In der Kategorie-Theorie und seinen Anwendungen auf die Mathematik ist ein biproduct einer begrenzten Sammlung von Gegenständen in einer Kategorie mit dem Nullgegenstand sowohl ein Produkt als auch ein coproduct. In einer vorzusätzlichen Kategorie fallen die Begriffe des Produktes und coproduct für begrenzte Sammlungen von Gegenständen zusammen. Der biproduct ist eine Generalisation von begrenzten direkten Summen von Modulen.

Definition

Lassen Sie C eine Kategorie mit dem Nullgegenstand sein.

Gegebene Gegenstände A..., in C, ist ihr biproduct ein Gegenstand Ein  ···  zusammen mit morphisms

• p: Ein  ···  Ein  in C (der Vorsprung morphisms)
• i: Ein  Ein  ···  (die Einspritzung morphisms)

Zufriedenheit

• p  i = 1, die Identität morphism Eines
• p  i = 0, die Null morphism Ein  A, für k  l.

und solch dass

• (Ein  ···  A, ist p) ein Produkt für Ein
• (Ein  ···  A, ist i) ein coproduct für den A.

Ein leerer, oder nullary, Produkt ist immer ein Endgegenstand in der Kategorie, und der leere coproduct ist immer ein anfänglicher Gegenstand in der Kategorie. Seit unserer Kategorie hat C einen Nullgegenstand, der leere biproduct besteht und ist zum Nullgegenstand isomorph.

Beispiele

In der Kategorie von abelian Gruppen, biproducts bestehen immer und werden durch die direkte Summe gegeben. Bemerken Sie, dass der Nullgegenstand die triviale Gruppe ist.

Ähnlich bestehen biproducts in der Kategorie von Vektorräumen über ein Feld. Der biproduct ist wieder die direkte Summe, und der Nullgegenstand ist der triviale Vektorraum.

Mehr allgemein bestehen biproducts in der Kategorie von Modulen über einen Ring.

Andererseits bestehen biproducts in der Kategorie von Gruppen nicht. Hier ist das Produkt das direkte Produkt, aber der coproduct ist das freie Produkt.

Außerdem bestehen biproducts in der Kategorie von Sätzen nicht. Da das Produkt durch das Kartesianische Produkt gegeben wird, wohingegen der coproduct von der zusammenhanglosen Vereinigung gegeben wird. Bemerken Sie auch, dass diese Kategorie keinen Nullgegenstand hat.

Eigenschaften

Wenn der biproduct Ein  B besteht für alle Paare von Gegenständen A und B in der Kategorie C, dann bestehen alle begrenzten biproducts.

Wenn das Produkt Ein × A und coproduct Ein  A beide besteht für ein Paar von Gegenständen A, dann gibt es einen einzigartigen morphism f: Ein  Ein  Ein × Ein solcher dass

• p  f  i = 1
• p  f  i = 0 für k  l.

Hieraus folgt dass der biproduct Ein  A besteht, wenn, und nur wenn f ein Isomorphismus ist.

Wenn C eine vorzusätzliche Kategorie ist, dann ist jedes begrenzte Produkt ein biproduct, und jeder begrenzte coproduct ist ein biproduct. Zum Beispiel, wenn Ein × A besteht, dann gibt es einzigartigen morphisms i: Ein  Ein × Ein solcher dass

• p  i = 1
• p  i = 0 für k  l.

Um zu sehen, dass Ein × A jetzt auch ein coproduct, und folglich ein biproduct ist, nehmen Sie an, dass wir morphisms f haben: Ein  X für einen Gegenstand X. Definieren Sie f: = f  p + f  p. Dann f: Ein × Ein  X ist ein morphism und f  i = f.

Bemerken Sie auch, dass in diesem Fall wir immer haben

• ich  p + ich  p = 1.

Eine zusätzliche Kategorie ist eine vorzusätzliche Kategorie, in der alle begrenzten biproduct bestehen. Insbesondere biproducts bestehen immer in abelian Kategorien.