Der interne Zinsfuß (IRR) ist eine Rate der Rückkehr, die im Kapital verwendet ist, das plant, um die Rentabilität von Investitionen zu messen und zu vergleichen. Es wird auch die rabattierte Kassenzufluss-Rate der Rückkehr (DCFROR) oder die Rate der Rückkehr (ROR) genannt. Im Zusammenhang von Ersparnissen und Darlehen wird der IRR auch den wirksamen Zinssatz genannt. Der innere Begriff bezieht sich auf die Tatsache, dass seine Berechnung Umweltfaktoren (z.B, der Zinssatz oder die Inflation) nicht vereinigt.

Definition

Der interne Zinsfuß auf einer Investition oder Projekt ist die "auf Jahresbasis umgerechnete wirksame zusammengesetzte Rückrate" oder "Rate der Rückkehr", die den Kapitalwert (NPV als NET*1 / (1+IRR) ^year) von allen Kassenzuflüssen (sowohl positiv als auch negativ) von einer besonderen der Null gleichen Investition macht.

In spezifischeren Begriffen ist der IRR einer Investition der Diskontsatz, an dem der Kapitalwert von Kosten (negative Kassenzuflüsse) der Investition dem Kapitalwert der Vorteile (positive Kassenzuflüsse) von der Investition gleichkommt.

Interne Zinsfüße werden allgemein verwendet, um die Erwünschtheit von Investitionen oder Projekten zu bewerten. Je höher ein interner Zinsfuß eines Projektes, desto wünschenswerter es das Projekt übernehmen soll. Das Annehmen aller Projekte verlangt denselben Betrag der vordringlichen Investition, das Projekt mit dem höchsten IRR würde als das beste und übernommene zuerst betrachtet.

Ein Unternehmen (oder Person), in der Theorie, sollte alle Projekte oder Investitionen übernehmen, die mit IRRs verfügbar sind, die die Kosten des Kapitals überschreiten. Investition kann durch die Verfügbarkeit des Kapitals zum Unternehmen und/oder durch die Kapazität des Unternehmens oder Fähigkeit beschränkt werden, zahlreiche Projekte zu führen.

Gebrauch

Weil der interne Zinsfuß eine Rate-Menge ist, ist es ein Hinweis der Leistungsfähigkeit, der Qualität oder des Ertrags einer Investition. Das ist im Vergleich mit dem Kapitalwert, der ein Hinweis des Werts oder Umfang einer Investition ist.

Eine Investition wird annehmbar betrachtet, wenn sein interner Zinsfuß größer ist als eine feststehende minimale annehmbare Rate der Rückkehr oder Kosten des Kapitals. In einem Drehbuch, wo eine Investition von einem Unternehmen betrachtet wird, das Billigkeitshalter hat, ist diese minimale Rate die Kosten des Kapitals der Investition (der durch die risikoangepassten Kosten des Kapitals von alternativen Investitionen bestimmt werden kann). Das stellt sicher, dass die Investition von Billigkeitshaltern seitdem unterstützt wird, im Allgemeinen fügt eine Investition, deren IRR seine Kosten des Kapitals überschreitet, Wert für die Gesellschaft hinzu (d. h. es ist wirtschaftlich gewinnbringend).

Berechnung

In Anbetracht einer Sammlung von Paaren (Zeit, Kassenzufluss) beteiligt an einem Projekt, folgt der interne Zinsfuß aus dem Kapitalwert als eine Funktion der Rate der Rückkehr. Eine Rate der Rückkehr, für die diese Funktion Null ist, ist ein interner Zinsfuß.

Gegeben (Periode, Kassenzufluss) durch Paare wo eine positive ganze Zahl, die Gesamtzahl von Perioden, und der Kapitalwert, der interne Zinsfuß ist, wird gegeben in:

:

Die Periode wird gewöhnlich in Jahren gegeben, aber die Berechnung kann einfacher gemacht werden, wenn mit der Periode berechnet wird, in der die Mehrheit des Problems definiert wird (z.B, mit Monaten, wenn die meisten Kassenzuflüsse an Monatszwischenräumen vorkommen), und umgewandelt zu einer jährlichen Periode danach.

Jede feste Zeit kann im Platz der Gegenwart (z.B, das Ende eines Zwischenraums einer Jahresrente) verwendet werden; der erhaltene Wert ist Null, wenn, und nur wenn der NPV Null ist.

Im Fall, dass die Kassenzuflüsse zufällige Variablen, solcher als im Fall von einer Leibrente sind, werden die erwarteten Werte in die obengenannte Formel gelegt.

Häufig kann der Wert dessen nicht analytisch gefunden werden. In diesem Fall müssen numerische Methoden oder grafische Methoden verwendet werden.

Beispiel

Wenn eine Investition durch die Folge von Kassenzuflüssen gegeben werden kann

dann wird der IRR durch gegeben

:

In diesem Fall ist die Antwort 14.3 %.

Numerische Lösung

Da der obengenannte eine Manifestation des allgemeinen Problems ist, die Wurzeln der Gleichung zu finden, gibt es viele numerische Methoden, die verwendet werden können, um zu schätzen. Zum Beispiel, mit dem Sekantenverfahren, wird durch gegeben

:

wo als die Annäherung des IRR betrachtet wird.

Das kann zu einem willkürlichen Grad der Genauigkeit gefunden werden.

Das Konvergenz-Verhalten der Folge wird durch den folgenden geregelt:

• Wenn die Funktion eine einzelne echte Wurzel hat, dann wird die Folge reproduzierbar dazu zusammenlaufen.
• Wenn die Funktion echte Wurzeln hat, dann wird die Folge zu einer der Wurzeln zusammenlaufen, und das Ändern der Werte der anfänglichen Paare kann die Wurzel ändern, zu der es zusammenläuft.
• Wenn Funktion keine echten Wurzeln hat, dann wird die Folge zu +  neigen.

Wenn zu haben, oder

Numerische Lösung für den einzelnen Ausfluss und die vielfachen Zuströme

Vom besonderen Interesse ist der Fall, wo der Strom von Zahlungen aus einem einzelnen Ausfluss besteht, der von vielfachen Zuströmen gefolgt ist, die in gleichen Perioden vorkommen. In der obengenannten Notation entspricht das:

:

In diesem Fall ist der NPV des Zahlungsstroms eine konvexe, ausschließlich abnehmende Funktion Rate von Interesse. Es gibt immer eine einzelne einzigartige Lösung für IRR.

In Anbetracht zwei Schätzungen und für IRR wird die Sekantenverfahren-Gleichung (sieh oben), mit immer eine verbesserte Schätzung erzeugen. Das wird manchmal den Erfolg und die Probe (oder die Probe und den Fehler) Methode genannt. Genauere Interpolationsformeln können auch erhalten werden: zum Beispiel die schneidende Formel mit der Korrektur

:

(der am genauesten ist, wenn), ist gezeigt worden, fast 10mal genauer zu sein, als die schneidende Formel für eine breite Reihe Raten von Interesse und anfängliche Annahmen. Zum Beispiel gibt das Verwenden des Stroms von Zahlungen {−4000, 1200, 1410, 1875, 1050} und anfängliche Annahmen und die schneidende Formel mit der Korrektur eine IRR Schätzung von 14.2 % (0.7-%-Fehler) verglichen mit IRR = 13.2 % (7-%-Fehler) vom Sekantenverfahren. Andere verbesserte Formeln können in gefunden werden

Wenn angewandt, wiederholend werden entweder das Sekantenverfahren oder die verbesserte Formel immer zur richtigen Lösung zusammenlaufen.

Sowohl das Sekantenverfahren als auch die verbesserte Formel verlassen sich auf anfängliche Annahmen für IRR. Die folgenden anfänglichen Annahmen können verwendet werden:

::::wo::::

Entscheidungskriterium

Wenn der IRR größer ist als die Kosten des Kapitals, akzeptieren Sie das Projekt.

Wenn der IRR weniger ist als die Kosten des Kapitals, weisen Sie das Projekt zurück.

Probleme mit dem Verwenden des internen Zinsfußes

Als ein Investitionsentscheidungswerkzeug sollte der berechnete IRR nicht verwendet werden, um gegenseitig exklusive Projekte abzuschätzen, aber nur zu entscheiden, ob sich es lohnt, ein einzelnes in Projekt zu investieren. In Fällen, wo ein Projekt eine höhere anfängliche Investition hat als ein zweites gegenseitig exklusives Projekt, kann das erste Projekt einen niedrigeren IRR haben (erwartete Rückkehr), aber ein höherer NPV (Zunahme im Reichtum von Aktionären) und sollte so über das zweite Projekt (das Annehmen keiner Kapitaleinschränkungen) akzeptiert werden.

IRR nimmt Wiederanlage von Zwischenkassenzuflüssen in Projekten mit gleichen Raten der Rückkehr an (die Wiederanlage kann dasselbe Projekt oder ein verschiedenes Projekt sein). Deshalb übertreibt IRR die jährliche gleichwertige Rate der Rückkehr für ein Projekt, dessen Zwischenkassenzuflüsse an einer Rate tiefer wiederinvestiert werden als der berechnete IRR. Das wirft ein Problem besonders für hohe IRR-Projekte auf, da es oft nicht ein anderes Projekt verfügbar in der Zwischenzeit gibt, der dieselbe Rate der Rückkehr wie das erste Projekt verdienen kann.

Wenn der berechnete IRR höher ist als die wahre Wiederanlage-Quote für Zwischenkassenzuflüsse, wird das Maß — manchmal sehr bedeutsam — die jährliche gleichwertige Rückkehr aus dem Projekt überschätzen. Die Formel nimmt an, dass die Gesellschaft zusätzliche Projekte mit ebenso attraktiven Aussichten hat, in die man die Zwischenkassenzuflüsse investiert.

Das macht IRR einen passenden (und populär) Wahl, um Risikokapital und andere private Billigkeitsinvestitionen zu analysieren, weil diese Strategien gewöhnlich mehrere Kasseninvestitionen überall im Projekt verlangen, aber nur einen Kassenausfluss am Ende des Projektes (z.B, über IPO oder M&A) sehen.

Da IRR Kosten des Kapitals nicht denkt, sollte es nicht verwendet werden, um Projekte der verschiedenen Dauer zu vergleichen. Modifizierter Interner Zinsfuß (MIRR) denkt wirklich Kosten des Kapitals und stellt eine bessere Anzeige einer Leistungsfähigkeit eines Projektes im Beitragen zum rabattierten Kassenzufluss des Unternehmens zur Verfügung.

Im Fall von positiven Kassenzuflüssen, die von negativen und dann von positiven (zum Beispiel, + +    +) gefolgt sind, kann der IRR vielfache Werte haben. In diesem Fall kann ein Diskontsatz für den Borgen-Kassenzufluss und den für den Investitionskassenzufluss berechneten IRR verwendet werden. Das gilt zum Beispiel, wenn ein Kunde eine Ablagerung macht, bevor eine spezifische Maschine gebaut wird.

In einer Reihe von Kassenzuflüssen wie (−10, 21, −11), investiert man am Anfang Geld, so ist eine hohe Rate der Rückkehr am besten, aber erhält dann, besitzen mehr als ein, so dann schuldet man Geld, so jetzt ist ein niedriger Zinssatz der Rückkehr am besten. In diesem Fall ist es nicht sogar klar, ob ein hoher oder ein niedriger IRR besser sind. Es kann sogar vielfachen IRRs für ein einzelnes Projekt, wie im Beispiel 0 % sowie 10 % geben. Beispiele dieses Typs des Projektes sind Streifen-Gruben und Kernkraftwerke, wo es gewöhnlich einen großen Kassenausfluss am Ende des Projektes gibt.

Im Allgemeinen kann der IRR durch das Lösen einer polynomischen Gleichung berechnet werden. Der Lehrsatz von Sturm kann verwendet werden, um zu bestimmen, ob diese Gleichung eine einzigartige echte Lösung hat. Im Allgemeinen kann die IRR Gleichung nicht analytisch, aber nur wiederholend gelöst werden.

Wenn ein Projekt vielfachen IRRs hat, kann es günstiger sein, den IRR des Projektes mit den wiederinvestierten Vorteilen zu schätzen. Entsprechend wird MIRR verwendet, der eine angenommene Wiederanlage-Rate hat, die gewöhnlich den Kosten des Projektes des Kapitals gleich ist.

Es ist gezeigt worden, dass mit vielfachen internen Zinsfüßen die IRR-Annäherung noch in einem Weg interpretiert werden kann, der mit der Annäherung des aktuellen Wertes im Einklang stehend ist vorausgesetzt, dass der zu Grunde liegende Investitionsstrom als das Netto-Investitions- oder Nettoborgen richtig identifiziert wird.

Siehe auch für eine Weise, den relevanten Wert des IRR von einer Reihe vielfacher IRR Lösungen zu identifizieren.

Trotz einer starken akademischen Vorliebe für NPV zeigen Überblicke an, dass Manager IRR über NPV bevorzugen. Anscheinend finden Betriebsleiter es leichter, Investitionen verschiedener Größen prozentual Raten der Rückkehr zu vergleichen, als durch Dollars von NPV. Jedoch bleibt NPV das "genauere" Nachdenken vom Wert zum Geschäft. IRR, weil ein Maß der Investitionsleistungsfähigkeit bessere Einblicke im Kapital geben kann, hat Situationen beschränkt. Jedoch, wenn er gegenseitig exklusive Projekte vergleicht, ist NPV das passende Maß.

Mathematik

Mathematisch, wie man annimmt, erlebt der Wert der Investition Exponentialwachstum oder Zerfall gemäß einer Rate der Rückkehr (jeder Wert, der größer ist als −100%) mit Diskontinuitäten für Kassenzuflüsse, und der IRR einer Reihe von Kassenzuflüssen wird als jede Rate der Rückkehr definiert, die auf einen Kapitalwert der Null hinausläuft (oder gleichwertig, eine Rate der Rückkehr, die auf den richtigen Wert der Null nach dem letzten Kassenzufluss hinausläuft).

So, innere Rate (N) der Rückkehr folgen aus dem Kapitalwert als eine Funktion der Rate der Rückkehr. Diese Funktion ist dauernd. Zu einer Rate der Rückkehr −100% die Kapitalwert-Annäherungsunendlichkeit mit dem Zeichen des letzten Kassenzuflusses, und zu einer Rate der Rückkehr der positiven Unendlichkeit nähert sich der Kapitalwert dem ersten Kassenzufluss (derjenige an der Gegenwart). Deshalb, wenn vor allen Dingen Kassenzufluss ein verschiedenes Zeichen hat, dort besteht ein interner Zinsfuß. Beispiele der Zeitreihe ohne einen IRR:

• Nur negative Kassenzuflüsse — der NPV ist für jede Rate der Rückkehr negativ.
• (−1, 1, −1), ziemlich kleiner positiver Kassenzufluss zwischen zwei negativen Kassenzuflüssen; der NPV ist eine quadratische Funktion 1 / (1 + r), wo r die Rate der Rückkehr, oder gestellt verschieden, eine quadratische Funktion des Diskontsatzes r / (1 + r) ist; der höchste NPV ist −0.75, für r = 100 %.

Im Fall von einer Reihe exklusiv negativer von einer Reihe exklusiv positiver gefolgter Kassenzuflüsse, betrachten Sie den Gesamtwert der Kassenzuflüsse als umgewandelt zu einer Zeit zwischen der Verneinung und den positiven. Die resultierende Funktion der Rate der Rückkehr ist dauernd und monotonically, der von der positiven Unendlichkeit bis negative Unendlichkeit abnimmt, also gibt es eine einzigartige Rate der Rückkehr, für die es Null ist. Folglich ist der IRR auch einzigartig (und gleich). Obwohl die NPV-Funktion selbst nicht notwendigerweise monotonically ist, auf seinem ganzen Gebiet abnehmend, ist es am IRR.

Ähnlich im Fall von einer Reihe exklusiv positiver von einer Reihe exklusiv negativer gefolgter Kassenzuflüsse ist der IRR auch einzigartig.

Siehe auch

• Buchhaltungsrate der Rückkehr
• Kapital, das plant
• Rabattierter Kassenzufluss
• Modifizierter interner Zinsfuß
• Modifizierte Dietz Methode
• Kapitalwert
• Einfache Dietz Methode

Weiterführende Literatur

1. Bruce J. Feibel. Investitionsleistungsmessung. New York: Wiley, 2003. Internationale Standardbuchnummer 0-471-26849-6

Links

• Volkswirtschaft interaktiver Vortrag von der Universität South Carolinas