In der Mathematik ist ein Dedekind geschnitten, genannt nach Richard Dedekind, eine Teilung der rationalen Zahlen in zwei nichtleere Teile A und B, solch, dass alle Elemente von A weniger sind als alle Elemente von B, und A kein größtes Element enthält.

Wenn B ein kleinstes Element unter dem rationals hat, entspricht die Kürzung dem vernünftig. Sonst definiert diese Kürzung eine einzigartige irrationale Zahl, die, lose das Sprechen, die "Lücke" zwischen A und B schließt. Mit anderen Worten enthält A jede rationale Zahl weniger als die Kürzung, und B enthält jede rationale Zahl, die größer ist als die Kürzung. Eine vernunftwidrige Kürzung wird zu einer irrationalen Zahl ausgeglichen, die in keinem Satz ist. Jede reelle Zahl, vernünftig oder nicht, wird zu einer und nur einer Kürzung von rationals ausgeglichen.

Mehr allgemein hat Dedekind geschnitten ist eine Teilung eines völlig bestellten Satzes in zwei nichtleere Teile (A und B), solch, dass A abwärts geschlossen wird (das Meinen, dass für alle in A x  ein Andeuten, dass x in ebenso ist) und B aufwärts geschlossen wird, und A kein größtes Element enthält. Siehe auch Vollständigkeit (Ordnungstheorie).

Insbesondere wie besprochen, unten können Kürzungen von Dedekind unter den reellen Zahlen definiert als Kürzungen unter dem rationals betrachtet werden. Es stellt sich heraus, dass jede Kürzung von reals zur Kürzung identisch ist, die durch eine spezifische reelle Zahl erzeugt ist (der als das kleinste Element des B-Satzes identifiziert werden kann). Mit anderen Worten ist der Zahlenstrahl, wo jede reelle Zahl als eine Kürzung von Dedekind von rationals definiert wird, ein ganzes Kontinuum ohne weitere Lücken.

Dedekind hat das deutsche Wort Schnitt (Kürzung) in einem in der Euklidischen Geometrie eingewurzelten Sehsinn verwendet. Wenn zwei Kreuz der Geraden, wie man sagt, eines den anderen schneidet. Der Aufbau von Dedekind des Zahlenstrahls stellt sicher, dass zwei sich treffende Linien immer einen Punkt gemeinsam haben, weil jeder von ihnen eine Kürzung von Dedekind auf dem anderen definiert.

Darstellungen

Es ist mehr symmetrisch, um (A, B) Notation für Kürzungen von Dedekind zu verwenden, aber jeder von A und B bestimmt wirklich den anderen. Es kann eine Vereinfachung in Bezug auf die Notation sein, wenn nichts mehr, um sich auf eine 'Hälfte' zu konzentrieren —, die niedrigere sagt — und einen geschlossenen Satz nach unten ohne größtes Element eine "Kürzung von Dedekind" nennt.

Wenn der bestellte Satz S abgeschlossen ist, dann, für jede Kürzung von Dedekind (A, B) S, muss der Satz B ein minimales Element b, haben

folglich müssen wir das haben A ist der Zwischenraum (−, b, und B der Zwischenraum b, + .

In diesem Fall sagen wir, dass b durch die Kürzung (A, B) vertreten wird.

Der wichtige Zweck der Kürzung von Dedekind ist, mit Zahl-Sätzen zu arbeiten, die nicht abgeschlossen sind. Die Kürzung selbst kann eine Zahl nicht in der ursprünglichen Sammlung von Zahlen (meistenteils rationale Zahlen) vertreten. Die Kürzung kann eine Nummer b vertreten, wenn auch die Zahlen, die in den zwei Sätzen A und B enthalten sind, die Nummer b nicht wirklich einschließen, die ihre Kürzung vertritt.

Zum Beispiel, wenn A und B nur rationale Zahlen enthalten, können sie noch an 2 durch das Stellen jeder negativen rationalen Zahl in A zusammen mit jeder nichtnegativen Zahl geschnitten werden, deren Quadrat weniger als 2 ist; ähnlich würde B jede positive rationale Zahl enthalten, deren Quadrat größer oder gleich 2 ist. Wenn auch es keinen vernünftigen Wert für 2 gibt, wenn die rationalen Zahlen in A und B dieser Weg verteilt werden, vertritt die Teilung selbst eine irrationale Zahl.

Einrichtung von Kürzungen

Betrachten Sie eine Kürzung von Dedekind (A, B) als weniger als eine andere Kürzung von Dedekind (C, D), wenn A eine richtige Teilmenge von C ist. Gleichwertig, wenn D eine richtige Teilmenge von B ist, ist die Kürzung (A, B) wieder weniger als (C, D). Auf diese Weise kann Satz-Einschließung verwendet werden, um die Einrichtung von Zahlen zu vertreten, und alle anderen Beziehungen (größer als, weniger als oder gleich, gleich, und so weiter) können von aufgebauten Beziehungen ähnlich geschaffen werden.

Der Satz aller Kürzungen von Dedekind ist selbst ein geradlinig bestellter Satz (von Sätzen). Außerdem hat der Satz von Kürzungen von Dedekind das am wenigsten obere bestimmte Eigentum, d. h., jede nichtleere Teilmenge davon, die hat, irgendwelcher ober gebunden hat einen gebundenen am wenigsten oberen. So dient das Konstruieren des Satzes von Kürzungen von Dedekind dem Zweck, den ursprünglichen bestellten Satz S einzubetten, der das am wenigsten obere bestimmte Eigentum, innerhalb (gewöhnlich größer) geradlinig bestellter Satz nicht gehabt haben könnte, der wirklich dieses nützliche Eigentum hat.

Aufbau der reellen Zahlen

Eine typische Kürzung von Dedekind der rationalen Zahlen wird durch gegeben

Diese Kürzung vertritt die irrationale Zahl 2 im Aufbau von Dedekind. Um das aufrichtig zu gründen, muss man zeigen, dass das wirklich eine Kürzung ist, und dass es die Quadratwurzel zwei ist. Jedoch ist kein Anspruch unmittelbar. Vertretung, dass es eine Kürzung ist, verlangt Vertretung das für irgendwelchen positiv vernünftig damit

Bemerken Sie, dass die Gleichheit b = 2 nicht halten kann, da √2 nicht vernünftig ist.

Generalisationen

Ein Kürzungen von Dedekind ähnlicher Aufbau wird für den Aufbau von surrealen Zahlen verwendet.

Teilweise bestellte Sätze

Mehr allgemein, wenn S ein teilweise bestellter Satz ist, bedeutet eine Vollziehung von S ein ganzes Gitter L mit einem Ordnungseinbetten von S in L. Der Begriff des ganzen Gitters verallgemeinert das am wenigsten obere bestimmte Eigentum des reals.

Eine Vollziehung von S ist der Satz seiner geschlossenen Teilmengen nach unten, die durch die Einschließung bestellt sind. Eine zusammenhängende Vollziehung, die den ganzen vorhandenen Mund voll und infs von S bewahrt, wird durch den folgenden Aufbau erhalten: Für jede Teilmenge S, lassen Sie A den Satz von oberen Grenzen von A anzeigen, und A den Satz von niedrigeren Grenzen von A. anzeigen lassen (Diese Maschinenbediener bilden eine Verbindung von Galois.) Dann besteht die Dedekind-MacNeille Vollziehung von S aus allen Teilmengen für der (A) = A; es wird durch die Einschließung bestellt. Die Dedekind-MacNeille Vollziehung ist das kleinste ganze Gitter mit darin eingebettetem S.

Anspielungen

In seinem Kapitel über Henri Bergson hat der Autor C.E.M. Joad Bilder verwendet, die dem Konzept von Dedekind der Kürzung ähnlich waren. Joad versuchte zu erklären, wie Bergson die Meinung als ein Instrument gesehen hat, das dauerhafte Gegenstände auf die Erfahrung der unveränderlichen Änderung geplant hat. "Das Intellekt ist dann eine rein praktische Fakultät, die sich zu den Zwecken der Handlung entwickelt hat. Was es tut, soll den unaufhörlichen, lebenden Fluss nehmen, dessen das Weltall zusammengesetzt wird und Kürzungen darüber zu machen, künstlichen Halt oder Lücken darin einfügend, was wirklich ein dauernder und unteilbarer Prozess ist. Die Wirkung dieses Halts oder Lücken soll den Eindruck einer Welt von anscheinend festen Gegenständen erzeugen. Diese haben keine Existenz als getrennte Gegenstände in Wirklichkeit; sie sind, wie es, das Design oder Muster war, das unser Intellekt auf der Wirklichkeit beeindruckt hat, um unseren Zwecken zu dienen." Das ist an die Entwicklung von Dedekind einer neuen irrationalen Zahl an jeder Lücke im dauernden Zahlenstrahl erinnernd, an dem es keine vorhandene rationale Zahl gibt.

Siehe auch

• Cauchyfolge

Referenzen

• Dedekind, Richard, Aufsätze auf der Theorie von Zahlen, "Kontinuität und Irrationale Zahlen," Dover: New York, internationale Standardbuchnummer 0-486-21010-3. Auch verfügbar an Projektgutenberg.