In der Mathematik sind Funktionen von Legendre Lösungen der Differenzialgleichung von Legendre:

:

Sie werden nach Adrien-Marie Legendre genannt. Auf diese gewöhnliche Differenzialgleichung wird oft in der Physik und den anderen technischen Feldern gestoßen. Insbesondere es kommt vor, wenn es die Gleichung von Laplace löst (und hat teilweise Differenzialgleichungen verbunden) in kugelförmigen Koordinaten.

Die Legendre Differenzialgleichung kann mit der Standardmacht-Reihe-Methode gelöst werden. Die Gleichung hat regelmäßige einzigartige Punkte an x = ±1 so im Allgemeinen, eine Reihe-Lösung über den Ursprung wird nur für |x &lt zusammenlaufen; 1. Wenn n eine ganze Zahl ist, ist die Lösung P (x), die an x = 1 regelmäßig ist, auch an x = −1 regelmäßig, und die Reihe für diese Lösung endet (d. h. ist ein Polynom).

Diese Lösungen für n = 0, 1, 2... (mit der Normalisierung P (1) = 1) formen sich eine polynomische Folge von orthogonalen Polynomen hat die Polynome von Legendre genannt. Jedes Legendre Polynom P (x) ist ein Polynom des n-ten Grads. Es kann mit der Formel von Rodrigues ausgedrückt werden:

:

Dass diese Polynome befriedigen, folgt die Differenzialgleichung von Legendre durch das Unterscheiden (n+1) von Zeiten beide Seiten der Identität

:

und die Beschäftigung vom General Leibniz herrscht für die wiederholte Unterscheidung. Der P kann auch als die Koeffizienten in einer Reihenentwicklung von Taylor definiert werden:

:.

In der Physik ist diese Erzeugen-Funktion die Basis für Mehrpol-Vergrößerungen.

Rekursive Definition

Die Erweiterung der Reihe von Taylor in der Gleichung (1) für die ersten zwei Begriffe gibt

:

für die ersten zwei Legendre Polynome. Um weitere Begriffe zu erhalten, ohne die direkte Vergrößerung der Reihe von Taylor aufzusuchen, wird Gleichung (1) in Bezug auf t an beiden Seiten unterschieden und umgeordnet, um zu erhalten

:

Das Ersetzen des Quotienten der Quadratwurzel mit seiner Definition in (1) und die Gleichstellung der Koeffizienten von Mächten von t in der resultierenden Vergrößerung geben die recursion Formel des Häubchens

:

Diese Beziehung, zusammen mit den ersten zwei Polynomen und, erlaubt den Legendre Polynomen, rekursiv erzeugt zu werden.

Die ersten paar Polynome von Legendre sind:

</tr>

</tr></tr></tr></tr></tr></tr></tr></tr></tr></tr></tr>

</Tisch>

</Zentrum>

Die Graphen dieser Polynome (bis zu n = 5) werden unten gezeigt:

Orthogonality

Ein wichtiges Eigentum der Polynome von Legendre besteht darin, dass sie in Bezug auf das L Skalarprodukt auf dem Zwischenraum &minus;1  x  1 orthogonal sind:

:

(wo δ das Delta von Kronecker anzeigt, das 1 wenn M = n und 0 sonst gleich ist).

Tatsächlich ist eine alternative Abstammung der Polynome von Legendre durch das Ausführen des Prozesses des Gramms-Schmidt auf den Polynomen {1, x, x...} in Bezug auf dieses Skalarprodukt. Der Grund für dieses orthogonality Eigentum besteht darin, dass die Differenzialgleichung von Legendre als ein Sturm-Liouville Problem angesehen werden kann, wo die Polynome von Legendre eigenfunctions eines Differenzialoperatoren von Hermitian sind:

:

wo der eigenvalue λ n (n + 1) entspricht.

Anwendungen von Polynomen von Legendre in der Physik

Die Polynome von Legendre wurden zuerst 1782 von Adrien-Marie Legendre als die Koeffizienten in der Vergrößerung des Newtonischen Potenzials eingeführt

:

\frac {1} {\\ist | \mathbf {x}-\mathbf {x} ^\\Haupt\right |} = \frac {1} {\\sqrt {r^2+r^ {\\erste 2}-2rr '\cos\gamma}} = \sum_ {\\ell=0} ^ {\\infty} \frac {r^ {\\Haupt\ell}} {r^ {\\ell+1}} P_ {\\Elle} (\cos \gamma) abgereist

</Mathematik>

wo und die Längen der Vektoren und beziehungsweise sind und der Winkel zwischen jenen zwei Vektoren ist. Die Reihe läuft wenn zusammen. Der Ausdruck gibt das Gravitationspotenzial, das einer Punkt-Masse oder dem zu einer Punkt-Anklage vereinigten Ampere-Sekunde-Potenzial vereinigt ist. Das Vergrößerungsverwenden Polynome von Legendre könnte zum Beispiel nützlich sein, als es diesen Ausdruck über eine dauernde Masse integriert hat, oder Vertrieb beladen.

Polynome von Legendre kommen in der Lösung der Gleichung von Laplace des Potenzials in einem kostenlosen Gebiet des Raums mit der Methode der Trennung von Variablen vor, wo die Grenzbedingungen axiale Symmetrie (keine Abhängigkeit von einem scheitelwinkligen Winkel) haben. Wo die Achse der Symmetrie ist und der Winkel zwischen der Position des Beobachters und der Achse (der Zenit-Winkel) ist, wird die Lösung für das Potenzial sein

:

\Phi (r, \theta) = \sum_ {\\ell=0} ^ {\\infty} \left [A_\ell r^\\Elle + B_\ell r^ {-(\ell+1)} \right] P_\ell (\cos\theta).

</Mathematik>

und sollen gemäß der Grenzbedingung jedes Problems bestimmt werden.

Sie erscheinen auch, wenn sie Gleichung von Schrödinger in drei Dimensionen für eine Hauptkraft lösen.

Polynome von Legendre in Mehrpol-Vergrößerungen

Polynome von Legendre sind auch in dehnbaren Funktionen der Form nützlich (das ist dasselbe wie zuvor, schriftlich etwas verschieden):

:

\frac {1} {\\sqrt {1 + \eta^ {2} - 2\eta x}} = \sum_ {k=0} ^ {\\infty} \eta^ {k} P_ {k} (x)

</Mathematik>

die natürlich in Mehrpol-Vergrößerungen entstehen. Die linke Seite der Gleichung ist die Erzeugen-Funktion für die Polynome von Legendre.

Als ein Beispiel ändert sich das elektrische Potenzial (in kugelförmigen Koordinaten) wegen einer Punkt-Anklage, die auf der Z-Achse an (der Abbildung 2) gelegen ist, wie

:

\Phi (r, \theta) \propto \frac {1} {R} = \frac {1} {\\sqrt {r^ {2} + a^ {2} - 2ar \cos\theta}}.

</Mathematik>

Wenn der Radius r der Beobachtung anspitzt, dass P ist

größer als a kann das Potenzial in den Polynomen von Legendre ausgebreitet werden

:

\Phi (r, \theta) \propto

\frac {1} {r} \sum_ {k=0} ^ {\\infty} \left (\frac {r} \right) ^ {k}

P_ {k} (\cos \theta)

</Mathematik>

wo wir η = a/r definiert haben

Da die Differenzialgleichung und das orthogonality Eigentum sind

unabhängig des Schuppens sind die Polynom-Definitionen von Legendre

"standardisiert" (manchmal genannt "Normalisierung", aber Zeichen dass der

wirkliche Norm ist nicht Einheit), indem es so dass erklettert

wird:

Die Ableitung am Endpunkt wird durch gegeben

:

Wie besprochen, oben folgen die Polynome von Legendre der drei Begriff-Wiederauftreten-Beziehung, die als die recursion Formel des Häubchens bekannt

ist:

und

:

Nützlich für die Integration von Polynomen von Legendre ist

:

Von oben kann man auch das sehen

:

oder gleichwertig

:

wo die Norm über den Zwischenraum 1  x  1 ist

:

Von der recursion Formel des Häubchens erhält man durch die Induktion die ausführliche Darstellung

:

Ausgewechselte Legendre Polynome

Die ausgewechselten Polynome von Legendre werden als definiert. Hier die "veränderliche" Funktion (tatsächlich, es ist eine affine Transformation) wird solch gewählt, dass es bijektiv den Zwischenraum [0, 1] zum Zwischenraum [&minus;1, 1] kartografisch darstellt, andeutend, dass die Polynome auf [0, 1] orthogonal sind:

:

Ein ausführlicher Ausdruck für die ausgewechselten Polynome von Legendre wird durch gegeben

:

Die Entsprechung der Formel von Rodrigues für die ausgewechselten Polynome von Legendre ist

:

Die ersten haben sich bewegt Polynome von Legendre sind:

</Zentrum>

Funktionen von Legendre der Bruchordnung

Funktionen von Legendre der Bruchordnung bestehen und folgen aus Einfügung von Bruchableitungen, wie definiert, durch die Bruchrechnung und nichtganze Zahl factorials (definiert durch die Gammafunktion) in die Formel von Rodrigues. Die resultierenden Funktionen setzen fort, die Differenzialgleichung von Legendre überall (&minus;1,1) zu befriedigen, aber sind an den Endpunkten nicht mehr regelmäßig. Die Bruchordnung Funktion von Legendre P stimmt mit dem verbundenen Polynom von Legendre P überein.

Siehe auch

• Vereinigter Legendre fungiert
• Quadratur von Gaussian
• Polynome von Gegenbauer
• Legendre vernünftige Funktionen
• Die Ungleichheit von Turán
• Elementarwelle von Legendre
• Polynome von Jacobi
• Kugelförmige Obertöne

Zeichen

• Kapitel 2.

. .

Links

• Eine schnelle informelle Abstammung des Polynoms von Legendre im Zusammenhang der Quant-Mechanik von Wasserstoff
• Wolfram Zugang von MathWorld auf Polynomen von Legendre
• Modul für Legendre Polynome durch John H. Mathews
• Der Artikel von Dr James B. Calvert über Polynome von Legendre von seiner persönlichen Sammlung der Mathematik
• Die Legendre Polynome durch Carlyle E. Moore
• Legendre Polynome von der Hyperphysik