Ein begrenzter Unterschied ist ein mathematischer Ausdruck der Form f (x + b) − f (x + a). Wenn ein begrenzter Unterschied durch b &minus geteilt wird; a bekommt man einen Unterschied-Quotienten. Die Annäherung von Ableitungen durch begrenzte Unterschiede spielt eine Hauptrolle in begrenzten Unterschied-Methoden für die numerische Lösung von Differenzialgleichungen, besonders Grenzwertproblemen.

Wiederauftreten-Beziehungen können als Unterschied-Gleichungen durch das Ersetzen der Wiederholungsnotation mit begrenzten Unterschieden geschrieben werden.

Schicken Sie rückwärts, und Hauptunterschiede nach

Nur drei Formen werden allgemein betrachtet: Schicken Sie rückwärts, und Hauptunterschiede nach.

Ein Vorwärtsunterschied ist ein Ausdruck der Form

:

Abhängig von der Anwendung kann der Abstand h variabel oder unveränderlich sein.

Ein rückwärts gerichteter Unterschied verwendet die Funktionswerte an x und x − h, statt der Werte an x + h und x:

:

Schließlich wird der Hauptunterschied durch gegeben

:

Beziehung mit Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion f an einem Punkt x wird durch die Grenze definiert

:

Wenn h einen festen (nichtnull)-Wert hat, anstatt sich Null zu nähern, dann würde die Rechte der obengenannten Gleichung geschrieben

:

Folglich kommt der durch h geteilte Vorwärtsunterschied der Ableitung näher, wenn h klein ist. Der Fehler in dieser Annäherung kann aus dem Lehrsatz von Taylor abgeleitet werden. Annehmend, dass f unaufhörlich differentiable ist, ist der Fehler

:

Dieselbe Formel hält für den rückwärts gerichteten Unterschied:

:

Jedoch gibt der Hauptunterschied eine genauere Annäherung nach. Sein Fehler ist zum Quadrat des Abstands proportional (wenn f zweimal unaufhörlich differentiable ist):

:

Das Hauptproblem mit der Hauptunterschied-Methode besteht jedoch darin, dass das Oszillieren von Funktionen Nullableitung nachgeben kann. Wenn f (nh) =1 für den n uneben, und f (nh) =2 für n sogar, dann f' (nh) =0, wenn es mit dem Hauptunterschied-Schema berechnet wird. Das ist besonders lästig, wenn das Gebiet von f getrennt ist.

Höherwertige Unterschiede

Auf eine analoge Weise kann man begrenzte Unterschied-Annäherungen an höhere Ordnungsableitungen und Differenzialoperatoren erhalten. Zum Beispiel, indem wir die obengenannte Hauptunterschied-Formel dafür verwenden und und uns an eine Hauptunterschied-Formel wegen der Ableitung an x wenden, erhalten wir die Hauptunterschied-Annäherung der zweiten Ableitung von f:

2. Ordnung Zentraler

:

Ähnlich können wir andere differencing Formeln auf eine rekursive Weise anwenden.

2. Ordnung Fortgeschrittener

:

Mehr allgemein wird durch die N-Ordnung vorwärts, rückwärts, und Hauptunterschiede beziehungsweise gegeben:

:

\sum_ {ich = 0} ^ {n} (-1) ^i \binom {n} {ich} f (x + (n - i) h),

</Mathematik>:

\sum_ {ich = 0} ^ {n} (-1) ^i \binom {n} {ich} f (x - ih),

</Mathematik>:

\sum_ {ich = 0} ^ {n} (-1) ^i \binom {n} {ich} f\left (x + \left (\frac {n} {2} - i\right) h\right).

</Mathematik>

Bemerken Sie, dass der Hauptunterschied, für den sonderbaren, durch nichtganze Zahlen multipliziert haben wird. Das ist häufig ein Problem, weil es sich auf das Ändern des Zwischenraums von discretization beläuft. Das Problem kann behoben werden, den Durchschnitt nehmend, und.

Die Beziehung dieser höherwertigen Unterschiede mit den jeweiligen Ableitungen ist sehr aufrichtig:

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Höherwertige Unterschiede können auch verwendet werden, um bessere Annäherungen zu bauen. Wie oben erwähnt kommt der Unterschied der ersten Ordnung der Ableitung der ersten Ordnung bis zu einem Begriff des Auftrags h näher. Jedoch, die Kombination

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kommt f' (x) bis zu einem Begriff des Auftrags h näher. Das kann durch die Erweiterung des obengenannten Ausdrucks in der Reihe von Taylor, oder durch das Verwenden der Rechnung von begrenzten Unterschieden bewiesen werden, hat unten erklärt.

Nötigenfalls kann der begrenzte Unterschied über jeden Punkt durch das Mischen vorwärts, rückwärts, und Hauptunterschiede in den Mittelpunkt gestellt werden.

Willkürlich nach Größen geordnete Kerne

Mit einer kleinen geradlinigen Algebra kann man Annäherungen, der Probe eine beliebige Zahl von Punkten nach links und (vielleicht verschieden) Zahl von Punkten rechts vom Zentrum-Punkt für jede Ordnung der Ableitung ziemlich leicht bauen. Das schließt das Lösen eines geradlinigen solchen Systems ein, dass die Vergrößerung von Taylor der Summe jener Punkte, um den Zentrum-Punkt, gut der Vergrößerung von Taylor der gewünschten Ableitung näher kommt.

Das ist nützlich, für eine Funktion auf einem Bratrost zu unterscheiden, wo weil man sich dem Rand des Bratrostes nähert, muss man Probe weniger und weniger Punkte auf einer Seite.

Die Details werden in diesen Referenzen entworfen.

Eigenschaften

• Für den ganzen positiven k und n

:

• Regierung von Leibniz:

:

Begrenzte Unterschied-Methoden

Eine wichtige Anwendung begrenzter Unterschiede ist in der numerischen Analyse besonders in numerischen Differenzialgleichungen, die auf die numerische Lösung gewöhnlicher und teilweiser Differenzialgleichungen beziehungsweise zielen. Die Idee ist, die Ableitungen zu ersetzen, die in der Differenzialgleichung durch begrenzte Unterschiede erscheinen, die ihnen näher kommen. Die resultierenden Methoden werden begrenzte Unterschied-Methoden genannt.

Allgemeine Anwendungen der begrenzten Unterschied-Methode sind in der rechenbetonten Wissenschaft und den Technikdisziplinen, wie Thermaltechnik, flüssige Mechanik usw.

der n-te Unterschied

Der n-te Vorwärtsunterschied einer Funktion f (x) wird durch gegeben

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wo der binomische Koeffizient ist. Auf eine Folge angewandte Vorwärtsunterschiede werden manchmal genannt das Binom verwandeln sich der Folge, und haben mehrere interessante kombinatorische Eigenschaften.

Vorwärtsunterschiede können mit dem integrierten Nörlund-Rice bewertet werden. Die integrierte Darstellung für diese Typen der Reihe ist interessant, weil das Integral häufig mit der asymptotischen Vergrößerung oder den Techniken des Sattel-Punkts bewertet werden kann; im Vergleich kann die Vorwärtsunterschied-Reihe äußerst hart sein, numerisch zu bewerten, weil die binomischen Koeffizienten schnell für großen n wachsen.

Die Reihe des Newtons

Die Reihe von Newton besteht aus den Begriffen des Newtons Vorwärtsunterschied-Gleichung, genannt nach Isaac Newton; hauptsächlich ist es die Interpolationsformel von Newton, die zuerst in seinem Principia Mathematica 1687, nämlich das getrennte Analogon des Kontinuums Vergrößerung von Taylor, veröffentlicht ist

::

\sum_ {k

0\^\\infty {x-a \choose k} \Delta^k [f] (a) ~,

</Mathematik>

der für jede polynomische Funktion f und für meiste (aber nicht alle) analytische Funktionen hält. Hier, der Ausdruck

:

ist der binomische Koeffizient und

:

ist das "Fallen factorial" oder "tiefer factorial", während das leere Produkt (x) definiert wird, um 1 zu sein. In diesem besonderen Fall gibt es eine Annahme von Einheitsschritten für die Änderungen in den Werten von x, h=1 der Generalisation unten.

Bemerken Sie auch die formelle Ähnlichkeit dieses Ergebnisses zum Lehrsatz von Taylor; historisch, das, sowie die Identität von Chu-Vandermonde,

, das Folgen daraus, ist eine der Beobachtungen, die zum System der umbral Rechnung reif geworden sind.

Um zu illustrieren, wie man die Formel von Newton in der wirklichen Praxis verwenden könnte, denken Sie die ersten paar Begriffe der Folge von Fibonacci f = 2, 2, 4... Man kann so ein Polynom finden, das diese Werte, durch die erste Computerwissenschaft eines Unterschied-Tisches und dann das Ersetzen der Unterschiede wieder hervorbringt, die x entsprechen, der in die Formel wie folgt, (unterstrichen) ist)

:

\begin {Matrix-}\

\begin {ordnen }\

\hline

x& f =\Delta^0 & \Delta^1 & \Delta^2 \\

\hline

1& \underline {2} & & \\

& &\\Unterstreichung {0} & \\

2&2& &\\Unterstreichung {2} \\

& &2& \\

3&4& & \\

\hline

\end {ordnen }\

&

\quad \begin {Matrix-}\

f (x) = \Delta^0 \cdot 1 + \Delta^1 \cdot \dfrac {(x-x_0) _1} {1!} + \Delta^2 \cdot \dfrac {(x-x_0) _2} {2!} \quad (x_0=1) \\

\\

2 \cdot 1 + 0 \cdot \dfrac {x-1} {1} + 2 \cdot \dfrac {(x-1) (x-2)} {2} \\

\\

2 + (x-1) (x-2) \\

\end {Matrix-}\

\end {Matrix-}\</Mathematik>

Für den Fall von ungleichförmigen Schritten in den Werten von x schätzt Newton die geteilten Unterschiede,

:

die Reihe von Produkten,

:

und das resultierende Polynom ist das Skalarprodukt.

In der Analyse mit p-adic Zahlen stellt der Lehrsatz von Mahler fest, dass die Annahme, dass f eine polynomische Funktion ist, den ganzen Weg zur Annahme geschwächt werden kann, dass f bloß dauernd ist.

Der Lehrsatz von Carlson stellt notwendige und genügend Bedingungen für eine Reihe von Newton zur Verfügung, um einzigartig zu sein, wenn er besteht. Jedoch wird eine Reihe von Newton im Allgemeinen nicht bestehen.

Die Newton-Reihe, zusammen mit der Reihe von Stirling und der Reihe von Selberg, ist ein spezieller Fall der allgemeinen Unterschied-Reihen, von denen alle in Bezug auf schuppige Vorwärtsunterschiede definiert werden.

In einer komprimierten und ein bisschen allgemeineren Form und gleich weit entfernten Knoten liest die Formel

:

Rechnung von begrenzten Unterschieden

Der Vorwärtsunterschied kann als ein Unterschied-Maschinenbediener betrachtet werden, der die Funktion f zu Δ [f] kartografisch darstellt. Dieser Maschinenbediener beläuft sich auf

::

wo T der Verschiebungsmaschinenbediener mit dem Schritt h ist, der dadurch definiert ist, und ich der Identitätsmaschinenbediener bin.

Der begrenzte Unterschied von höheren Ordnungen kann auf die rekursive Weise als definiert werden

oder, in der Maschinenbediener-Notation,

Eine andere gleichwertige Definition ist

Der Unterschied-Maschinenbediener Δ ist ein geradliniger und befriedigt eine Regierung von Leibniz. Ähnliche Behauptungen halten für die rückwärts gerichteten und zentralen Unterschiede.

Formell gibt die Verwendung der Reihe von Taylor in Bezug auf h die Formel nach

:

wo D den Kontinuum-Ableitungsmaschinenbediener anzeigt, f zu seiner Ableitung f kartografisch darstellend'. Die Vergrößerung ist gültig, wenn beide Seiten analytischen Funktionen für genug kleinen h folgen. So, T=e und formell das Umkehren der Exponentialerträge

:

Diese Formel hält im Sinn, dass beide Maschinenbediener dasselbe Ergebnis, wenn angewandt, auf ein Polynom geben. Sogar für analytische Funktionen, wie man versichert, läuft die Reihe rechts nicht zusammen; es kann eine asymptotische Reihe sein. Jedoch kann es verwendet werden, um genauere Annäherungen für die Ableitung zu erhalten. Zum Beispiel gibt das Behalten der ersten zwei Begriffe der Reihe die Annäherung der zweiten Ordnung an f' (x) erwähnt am Ende der Abteilung Höherwertige Unterschiede nach.

Die analogen Formeln für die rückwärts gerichteten und zentralen Unterschied-Maschinenbediener sind

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Die Rechnung von begrenzten Unterschieden ist mit der umbral Rechnung von combinatorics verbunden. Diese bemerkenswert systemare Entsprechung ist wegen der Identität der Umschalter der umbral Mengen zu ihren Kontinuum-Analoga (h0 Grenzen),

::

Eine Vielzahl von formellen Differenzialbeziehungen der Standardrechnung, die einschließt

Funktionen f (x) so Karte systematisch zu umbral Analoga des begrenzten Unterschieds, die f (xT) einschließen.

Zum Beispiel ist das umbral Analogon eines Monoms x eine Generalisation des obengenannten Fallens factorial (K-Symbol von Pochhammer), so dass

::

folglich die obengenannte Interpolationsformel von Newton (durch das Zusammenbringen von Koeffizienten in der Vergrößerung einer willkürlichen Funktion f (x) in solchen Symbolen), und so weiter.

Als in der Kontinuum-Grenze ist der eigenfunction dessen auch zufällig ein Exponential-,

::

und folglich werden Summen von Fourier von Kontinuum-Funktionen zu umbral Summen von Fourier treu sogleich kartografisch dargestellt, d. h., dieselben Koeffizienten von Fourier einschließend, die diese umbral Basis exponentials multiplizieren.

So, zum Beispiel, stellt die Delta-Funktion von Dirac seinem umbral Korrespondenten, der grundsätzlichen Sinusfunktion, kartografisch dar

:

und so weiter. Unterschied-Gleichungen können häufig mit Techniken gelöst werden, die denjenigen sehr ähnlich sind, um Differenzialgleichungen zu lösen.

Der umgekehrte Maschinenbediener des Vorwärtsunterschied-Maschinenbedieners, des umbral Integrals, ist die unbestimmte Summe oder der Antiunterschied-Maschinenbediener.

Regeln für die Rechnung von begrenzten Unterschied-Maschinenbedienern

Analog Regeln, für die Ableitung zu finden, haben wir:

• Unveränderliche Regel: Wenn c eine Konstante, dann ist

:

• Linearität: Wenn a und b Konstanten, sind

:

Alle obengenannten Regeln gelten ebenso gut für jeden Unterschied-Maschinenbediener, einschließlich betreffs.

• Produktregel:

::

• Quotientenregel:

:

\left (\det {\\beginnen {bmatrix} g & \nabla g \\1 & 1 \end {bmatrix} }\\Recht), ^ {-1} </Mathematik>

:: oder

::

• Summierungsregeln:

::

Generalisationen

• Ein verallgemeinerter begrenzter Unterschied wird gewöhnlich als definiert

:

wo sein mitwirkender Vektor ist. Ein unendlicher Unterschied ist eine weitere Generalisation, wo die begrenzte Summe oben durch eine unendliche Reihe ersetzt wird. Ein anderer Weg der Generalisation lässt Koeffizienten von Punkt abhängen: so hat das Betrachten begrenzten Unterschied beschwert. Auch man kann Schritt von Punkt abhängen lassen:. Solche Generalisationen sind nützlich, um verschiedenes Modul der Kontinuität zu bauen.

• Unterschied-Maschinenbediener verallgemeinert zur Inversion von Möbius über einen teilweise bestellten Satz.
• Als ein Gehirnwindungsmaschinenbediener: Über den Formalismus von Vorkommen-Algebra können Unterschied-Maschinenbediener und andere Inversion von Möbius durch die Gehirnwindung mit einer Funktion auf dem poset, genannt die Funktion von Möbius μ vertreten werden; für den Unterschied-Maschinenbediener ist μ die Folge (1, &minus;1, 0, 0, 0...).

Begrenzter Unterschied in mehreren Variablen

Begrenzte Unterschiede können in mehr als einer Variable betrachtet werden. Sie sind partiellen Ableitungen in mehreren Variablen analog.

Einige Annäherungen der partiellen Ableitung sind:

:::::

Siehe auch

Außenverbindungen

• Der Tisch der nützlichen begrenzten Unterschied-Formel hat das Verwenden von Mathematica erzeugt
• Begrenzte Rechnung: Ein Tutorenkurs, um scheußliche Summen zu lösen
• Hauptunterschiede: Einfache Abstammung, Bezugsformeln, Frequenzbereichseigenschaften. Mögliche Alternative nähert sich