In der Statistik ist der Test von Kolmogorov-Smirnov (K-S Test) ein nichtparametrischer Test auf die Gleichheit des dauernden, eindimensionalen Wahrscheinlichkeitsvertriebs, der verwendet werden kann, um eine Probe mit einem Bezugswahrscheinlichkeitsvertrieb (K-S Ein-Probe-Test) zu vergleichen, oder zwei Proben (Zwei-Proben-K-S-Test) zu vergleichen. Der statistische Kolmogorov-Smirnov misst eine Entfernung zwischen der empirischen Vertriebsfunktion der Probe und der kumulativen Vertriebsfunktion des Bezugsvertriebs, oder zwischen den empirischen Vertriebsfunktionen von zwei Proben. Der ungültige Vertrieb davon statistisch wird laut der ungültigen Hypothese berechnet, dass die Proben von demselben Vertrieb (im Zwei-Proben-Fall) gezogen werden, oder dass die Probe vom Bezugsvertrieb (im Ein-Probe-Fall) gezogen wird. In jedem Fall ist der laut der ungültigen Hypothese betrachtete Vertrieb dauernder Vertrieb, aber ist sonst uneingeschränkt.

Der Zwei-Proben-KS-Test ist eine der nützlichsten und allgemeinen nichtparametrischen Methoden, um zwei Proben zu vergleichen, weil es zu Unterschieden sowohl in der Position als auch in Gestalt der empirischen kumulativen Vertriebsfunktionen der zwei Proben empfindlich ist.

Der Test von Kolmogorov-Smirnov kann modifiziert werden, um als eine Güte des passenden Tests zu dienen. Im speziellen Fall der Prüfung für die Normalität des Vertriebs werden Proben standardisiert und im Vergleich zu einer Standardnormalverteilung. Das ist zum Setzen des bösartigen und der Abweichung des Bezugsvertriebs gleichwertig, der den Beispielschätzungen gleich ist, und es ist bekannt, dass mit diesen, um den spezifischen Bezugsvertrieb zu definieren, den ungültigen Vertrieb des statistischen Tests ändern: Sieh unten. Verschiedene Studien haben gefunden, dass, sogar in dieser korrigierten Form, der Test weniger stark ist, um Normalität zu prüfen, als der Test von Shapiro-Wilk oder Anderson-Lieblingstest.

Statistischer Kolmogorov-Smirnov

Die empirische Vertriebsfunktion F für n iid Beobachtungen X wird als definiert

wo die Anzeigefunktion ist, die 1 wenn X  x gleich ist und 0 sonst gleich ist.

Der Kolmogorov-Smirnov, der für eine gegebene kumulative Vertriebsfunktion F (x) statistisch ist, ist

wo Mund voll

In der Praxis verlangt das statistische, dass eine relativ hohe Zahl von Datenpunkten die ungültige Hypothese richtig zurückweist.

Vertrieb von Kolmogorov

Der Vertrieb von Kolmogorov ist der Vertrieb der zufälligen Variable

wo B (t) die Brownian Bridge ist. Die kumulative Vertriebsfunktion von K wird durch gegeben

Sowohl die Form des Tests von Kolmogorov-Smirnov statistisch als auch sein asymptotischer Vertrieb laut der ungültigen Hypothese wurden von Andrey Kolmogorov veröffentlicht, während ein Tisch des Vertriebs von Nikolai Vasilyevich Smirnov veröffentlicht wurde. Wiederauftreten-Beziehungen für den Vertrieb des in begrenzten Proben statistischen Tests sind verfügbar.

Test von Kolmogorov-Smirnov

Laut der ungültigen Hypothese, dass die Probe aus dem Hypothese aufgestellten Vertrieb F (x), kommt

im Vertrieb, wo B (t) die Brownian Bridge ist.

Wenn F dann laut der ungültigen Hypothese dauernd ist, läuft zum Vertrieb von Kolmogorov zusammen, der von F nicht abhängt. Dieses Ergebnis kann auch als der Lehrsatz von Kolmogorov bekannt sein; sieh den Lehrsatz von Kolmogorov für die Begriffserklärung.

Der Test der Güte-passend oder der Test von Kolmogorov-Smirnov werden durch das Verwenden der kritischen Werte des Vertriebs von Kolmogorov gebaut. Die ungültige Hypothese wird am Niveau wenn zurückgewiesen

wo K von gefunden wird

Die asymptotische Macht dieses Tests ist 1.

Test mit geschätzten Rahmen

Wenn entweder die Form oder die Rahmen von F (x) von den Daten X bestimmt werden, sind die kritischen Werte bestimmt auf diese Weise ungültig. In solchen Fällen können Monte Carlo oder andere Methoden erforderlich sein, aber Tische sind zu einigen Fällen bereit gewesen. Details für die erforderlichen Modifizierungen zum Test statistisch und für die kritischen Werte für die Normalverteilung und den Exponentialvertrieb sind von Pearson & Hartley (1972, Tabelle 54) veröffentlicht worden. Details für diesen Vertrieb, mit der Hinzufügung des Vertriebs von Gumbel, werden auch von Shorak & Wellner (1986, p239) gegeben. Der Lilliefors-Test vertritt einen speziellen Fall davon für die Normalverteilung.

Zwei-Proben-Test von Kolmogorov-Smirnov

Der Test von Kolmogorov-Smirnov kann auch verwendet werden, um zu prüfen, ob sich zwei zu Grunde liegender eindimensionaler Wahrscheinlichkeitsvertrieb unterscheidet. In diesem Fall ist der statistische Kolmogorov-Smirnov

wo und die empirischen Vertriebsfunktionen des ersten und der zweiten Probe beziehungsweise sind.

Die ungültige Hypothese wird am Niveau wenn zurückgewiesen

Bemerken Sie, dass der Zwei-Proben-Test überprüft, ob die zwei Datenproben aus demselben Vertrieb kommen. Das gibt was dieser allgemeine nicht an

Vertrieb ist (z.B normal oder nicht normal).

Das Festlegen von Vertrauensgrenzen für die Gestalt einer Vertriebsfunktion

Während der Test von Kolmogorov-Smirnov gewöhnlich verwendet wird, um zu prüfen, ob ein gegebener F (x) der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsvertrieb von F (x) ist, kann das Verfahren umgekehrt werden, um Vertrauensgrenzen auf F (x) selbst vorzuschreiben. Wenn man einen kritischen Wert des Tests statistischer solcher D wählt, dass P (D> D) = α, dann wird ein Band der Breite ±D um F (x) F (x) mit der Wahrscheinlichkeit 1 &minus völlig enthalten; α.

Der in mehr als einer Dimension statistische Kolmogorov-Smirnov

Statistikbedürfnisse des Tests von Kolmogorov-Smirnov, modifiziert zu werden, wenn ein ähnlicher Test auf multivariate Daten angewandt werden soll. Das ist nicht aufrichtig, weil der maximale Unterschied zwischen zwei gemeinsamen kumulativen Vertriebsfunktionen nicht allgemein dasselbe als der maximale Unterschied von einigen der Ergänzungsvertriebsfunktionen ist. So wird sich der maximale Unterschied abhängig von welch dessen unterscheiden

Eine Annäherung an die Generalisierung vom zu höheren Dimensionen statistischen Kolmogorov-Smirnov, der die obengenannte Sorge entspricht, soll den cdfs der zwei Proben mit der ganzen möglichen Einrichtung vergleichen, und den größten vom Satz nehmen, K-S Statistik zu resultieren. In d Dimensionen gibt es 2−1 solche Einrichtung. Eine solche Schwankung ist wegen Peacocks (1983) und ein anderer zu Fasano & Franceschini (1987): Sieh Lopes u. a. (2007) für einen Vergleich und rechenbetonte Details. Kritische Werte für den statistischen Test können durch Simulationen erhalten werden, aber von der Abhängigkeitsstruktur im gemeinsamen Vertrieb abhängen.

Siehe auch

• Cramér-von Mises prüfen
• Jarque-Bera prüfen
• Der Test von Kuiper
• Test von Siegel-Tukey
• Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz-Ungleichheit
• P-Wert

Kommentare

• Corder, G.W. Vorarbeiter, D.I. (2009).Nonparametric Statistik für Nichtstatistiker: Eine Schrittweise Annäherung Wiley, internationale Standardbuchnummer 9780470454619
• Pearson E.S., Hartley, H.O. (Redakteure) (1972) Biometrika Tische für Statistiker, Band II. TASSE. Internationale Standardbuchnummer 0-521-06937-8.
• Shorak, G.R. Wellner, J.A. (1986) Empirische Prozesse mit Anwendungen auf die Statistik, Wiley. Internationale Standardbuchnummer 0 471 86725 X.
• Stephens, M.A. (1979) Test von passenden für den logistischen Vertrieb, der auf der empirischen Vertriebsfunktion, Biometrika, 66 (3), 591-5 gestützt ist.

• Fasano, G., Franceschini, A. (1987) Eine mehrdimensionale Version des Tests von Kolmogorov-Smirnov. Monatsbenachrichtigungen der Königlichen Astronomischen Gesellschaft (ISSN 0035-8711), vol. 225,

• Lopes, R.H.C. Reid, I., Hobson, P.R. (2007) "Der zweidimensionale Test von Kolmogorov-Smirnov". XI Internationale Werkstatt auf Fortgeschrittenen Rechen- und Analyse-Techniken in der Physik-Forschung (am 23-27 April 2007) Amsterdam, die Niederlande.

Links

• Kurze Einführung
• KS prüfen Erklärung
• Durchführung von JavaScript von einer - und zweiseitige Tests
• Die Online-Rechenmaschine mit dem K-S prüft
• Offene Quelle C ++ codiert, um den Vertrieb von Kolmogorov zu schätzen und den K-S-Test durchzuführen
• Papier auf dem Auswerten des Vertriebs von Kolmogorov; enthält C Durchführung. Das ist die in Matlab verwendete Methode.