: Für anderen Gebrauch "des Atlasses", sieh Atlas (Begriffserklärung).

In der Mathematik, besonders Topologie, beschreibt man

eine Sammelleitung mit einem Atlas. Ein Atlas besteht aus individuellem

Karten, dass, grob das Sprechen, individuelle Gebiete beschreiben

der Sammelleitung. Wenn die Sammelleitung die Oberfläche der Erde, ist

dann hat ein Atlas seine allgemeinere Bedeutung. Im Allgemeinen,

der Begriff des Atlasses unterliegt der formellen Definition einer Sammelleitung.

Karten

Die Definition eines Atlasses hängt vom Begriff einer Karte ab.

Eine Karte für eine topologische RaumM ist ein homeomorphism von einer offenen Teilmenge U von der M zu einer offenen Teilmenge des Euklidischen Raums. Die Karte wird als das befohlene Paar traditionell registriert.

Formelle Definition des Atlasses

Ein Atlas für eine topologische RaumM ist eine Sammlung von Karten auf der solcher M dass

. Wenn die Reihe jeder Karte der n-dimensional Euklidische Raum ist, dann, wie man sagt, ist M eine N-Dimensional-Sammelleitung.

Übergang-Karten

Eine Übergang-Karte stellt eine Weise zur Verfügung, zwei Karten eines Atlasses zu vergleichen.

Um diesen Vergleich zu machen, denken wir die Zusammensetzung einer Karte

mit dem Gegenteil vom anderen. Diese Zusammensetzung ist nicht bestimmter

wenn wir beide Karten auf die Kreuzung ihrer Gebiete nicht einschränken

der Definition. (Zum Beispiel, wenn wir eine Karte Europas und eine Karte Russlands haben, dann können wir diese zwei Karten auf ihrem Übergreifen, nämlich der europäische Teil Russlands vergleichen.)

Um genauer zu sein, nehmen Sie an, dass und zwei Karten für eine mannigfaltige solche M sind, der nichtleer ist.

Die Übergang-Karte ist die Karte, die auf der Kreuzung definiert ist

durch

:

Bemerken Sie, dass seitdem und beide homeomorphisms sind, ist die Übergang-Karte auch ein homeomorphism.

Mehr Struktur

Man wünscht häufig mehr Struktur auf einer Sammelleitung als einfach die topologische Struktur. Zum Beispiel, wenn man einen eindeutigen Begriff der Unterscheidung von Funktionen auf einer Sammelleitung möchte, dann ist es notwendig, einen Atlas zu bauen, dessen Übergang-Funktionen differentiable sind. Dann kann man den Begriff von Tangente-Vektoren und dann Richtungsableitungen eindeutig definieren.

Wenn jede Übergang-Funktion

ist eine glatte Karte, dann wird der Atlas einen genannt

glatter Atlas.

Wechselweise konnte man verlangen, dass der Übergang kartografisch darstellt

haben Sie nur k dauernde Ableitungen, in welchem Fall der Atlas ist

gesagt zu sein.

Sehr allgemein, wenn jede Übergang-Funktion

gehört einer Pseudogruppe

homeomorphisms des Euklidischen Raums,

dann wird der Atlas - Atlas genannt.

Links

• Atlas von Rowland, Todd