In der Mathematik, besonders in Anwendungen der geradlinigen Algebra zur Physik, der Notation von Einstein oder Summierungstagung von Einstein ist eine notational Tagung, die Summierung mehr als eine Reihe von mit einem Inhaltsverzeichnis versehenen Begriffen in einer Formel einbezieht, so notational Kürze erreichend. Es wurde von Albert Einstein 1916 eingeführt.

Einführung

Behauptung der Tagung

Gemäß dieser Tagung, wenn eine Index-Variable zweimal in einem einzelnen Begriff erscheint, bezieht sie Summierung dieses Begriffes über alle Werte des Index ein. So, wo sich die Indizes über den Satz, erstrecken können

:

wird durch die Tagung reduziert auf:

:

Die oberen Indizes sind nicht Hochzahlen, aber sind Indizes von Koordinaten, Koeffizienten oder Basisvektoren. Zum Beispiel, sollte als "x zwei", nicht "x quadratisch gemacht" gelesen werden, und würde normalerweise zum traditionellen gleichwertig sein.

In der allgemeinen Relativität ist eine allgemeine Tagung das

• das griechische Alphabet wird für Bestandteile der Zeit und Raums verwendet, wo Indizes Werte 0,1,2,3 nehmen (oft verwendete Briefe sind),
• das lateinische Alphabet wird für Raumbestandteile nur verwendet, wo Indizes Werte 1,2,3 nehmen (oft verwendete Briefe sind),

Im Allgemeinen können sich Indizes über jeden Indexieren-Satz einschließlich eines unendlichen Satzes erstrecken. Das sollte mit einer typografisch ähnlichen Tagung nicht verwirrt sein, die verwendet ist, um zwischen der Tensor-Index-Notation und der nah zusammenhängenden, aber verschiedenen basisunabhängigen abstrakten Index-Notation zu unterscheiden.

Ein Index, der summiert wird, ist ein Summierungsindex, in diesem Fall ich. Es wird auch einen Scheinindex genannt, da jedes Symbol mich ersetzen kann, ohne die Bedeutung des Ausdrucks zu ändern, vorausgesetzt, dass es mit Index-Symbolen in demselben Begriff nicht kollidiert.

Ein Index, der nicht summiert wird, ist ein freier Index und sollte in jedem Begriff der Gleichung oder Formel gefunden werden, wenn es in einem Begriff erscheint. Vergleichen Sie Scheinindizes und freie Indizes mit freien Variablen und gebundenen Variablen.

Anwendungen

Notation von Einstein kann auf ein bisschen verschiedene Weisen angewandt werden. Gewöhnlich kommt jeder Index einmal in einem oberen (Exponent) und einmal in einem niedrigeren (Subschrift) Position in einem Begriff vor; jedoch kann die Tagung mehr allgemein auf irgendwelche wiederholten Indizes innerhalb eines Begriffes angewandt werden. Wenn, sich mit kovarianten und kontravarianten Vektoren befassend, wo die Position eines Index auch den Typ des Vektoren anzeigt, der erste Fall gewöhnlich gilt; ein kovarianter Vektor kann nur mit einem kontravarianten Vektoren entsprechend der Summierung der Produkte von Koeffizienten zusammengezogen werden. Andererseits, wenn es eine feste Koordinatenbasis gibt (oder wenn nicht das Betrachten von Koordinatenvektoren), kann man beschließen, nur Subschriften zu verwenden; sieh unten.

Vektor-Darstellungen

Exponenten und Subschriften gegen nur Subschriften

In Bezug auf die Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren,

• obere Indizes vertreten Bestandteile von kontravarianten Vektoren (Vektoren),
• niedrigere Indizes vertreten Bestandteile von kovarianten Vektoren (covectors): Sie verwandeln sich kovariant (resp. kontravariant) in Bezug auf die Änderung der Basis.

Als Anerkennung für diese Tatsache verwendet die folgende Notation dasselbe Symbol sowohl für einen (co) Vektoren als auch für seine Bestandteile, als in:

::

wo v der Vektor ist, und v seine Bestandteile (nicht der ith covector v) w sind, ist der covector, und w sind seine Bestandteile.

In Gegenwart von einer nichtdegenerierten Form (ein Isomorphismus, zum Beispiel Riemannian metrisch oder Minkowski metrisch), kann man erheben und Indizes senken.

Eine Basis gibt solch eine Form (über die Doppelbasis) folglich, wenn sie an R mit Euclidian metrisch und eine feste orthonomal Basis arbeitet, man kann mit nur Subschriften arbeiten.

Jedoch, wenn man Koordinaten, die Weise ändert, wie mitwirkende Änderung von der Abweichung des Gegenstands abhängt, und man kann die Unterscheidung nicht ignorieren; sieh Kovarianz und Kontravarianz von Vektoren.

Gedächtniskunst

Im obengenannten Beispiel werden Vektoren als n×1 matrices (Spaltenvektoren) vertreten, während covectors als 1×n matrices (Reihe covectors) vertreten werden. Die entgegengesetzte Tagung wird auch verwendet. Zum Beispiel verwendet die API von DirectX Zeilenvektoren.

Wenn

man die Spaltenvektor-Tagung verwendet

• "Obere Indizes steigen zu unten; niedrigere Indizes gehen verlassen zum Recht"
• Vektoren können (Säule matrices) nebeneinander aufgeschobert werden:

:

:Hence, den der niedrigere Index anzeigt, in welcher Säule Sie sind.

• Sie können covectors (Reihe matrices) Spitze zum Boden aufschobern:

:

:Hence, den der obere Index anzeigt, in welcher Reihe Sie sind.

Abstrakte Beschreibung

Der Vorteil der Notation von Einstein besteht darin, dass sie die invariant Mengen mit einer einfachen Notation vertritt.

Jeder Skalar ist invariant unter Transformationen der Basis, die individuellen Begriffe in der Summe sind nicht. Wenn die Basis, die Bestandteile einer Vektor-Änderung durch eine geradlinige durch eine Matrix beschriebene Transformation geändert wird. Das hat Einstein dazu gebracht, die Tagung vorzuschlagen, die wiederholt hat, dass Indizes andeuten, dass die Summierung getan werden soll.

Bezüglich covectors ändern sie sich durch die umgekehrte Matrix. Das wird entworfen, um zu versichern, dass die geradlinige Funktion, die mit dem covector, der Summe oben vereinigt ist, dasselbe ist, egal was die Basis ist.

Der Wert der Tagung von Einstein besteht darin, dass sie für andere Vektorräume gilt, die vom V Verwenden des Tensor-Produktes und der Dualität gebaut sind. Zum Beispiel, das Tensor-Produkt V mit sich, hat eine Basis, die aus dem Tensor der Form besteht. Jeder Tensor darin kann als geschrieben werden:

:.

V *, der Doppel-davon, hat eine Basis e, e..., e, der der Regel folgt

:

Hier ist δ das Delta von Kronecker, auch ist 1 wenn ich =j und 0 sonst.

Als

:

die Koordinaten der Reihe-Säule auf einer Matrix entsprechen den oberen tiefer Indizes auf dem Tensor-Produkt.

Allgemeine Operationen in dieser Notation

In der Notation von Einstein wird die übliche Element-Verweisung für die mth Reihe und die n-te Säule der Matrix A. Wir können dann die folgenden Operationen in der Notation von Einstein wie folgt schreiben.

Skalarprodukt (folglich auch Vektor punktieren Produkt)

Mit einer orthogonalen Basis ist das Skalarprodukt die Summe von entsprechenden Bestandteilen multipliziert zusammen:

:

Das kann auch durch das Multiplizieren des covector auf dem Vektoren berechnet werden.

Vektor-Kreuzprodukt

Wieder mit einer orthogonalen Basis (im 3.) schließt das Kreuzprodukt intrisically Summierungen über Versetzungen von Bestandteilen ein:

:

wo

:

und ist das Symbol von Levi-Civita.

Matrixmultiplikation

Das Matrixprodukt von zwei matrices und ist:

:

gleichwertig zu

:

Spur

Für eine Quadratmatrix ist die Spur die Summe der diagonalen Elemente, folglich die Summe über einen allgemeinen Index.

Außenprodukt

Das Außenprodukt des Spaltenvektors durch den Zeilenvektoren trägt m×n Matrix A:

:

Da ich und j zwei verschiedene Indizes vertreten, gibt es keine Summierung, und die Indizes werden durch die Multiplikation nicht beseitigt.

Siehe auch

• Rechnung von Ricci
• Tensor
• Abstrakte Index-Notation
• Notation des Büstenhalters-ket
• Penrose grafische Notation
• Delta von Kronecker
• Symbol von Levi-Civita

Referenzen

1. Das gilt nur wegen numerischer Indizes. Die Situation ist das Gegenteil für abstrakte Indizes. Dann tragen Vektoren selbst obere abstrakte Indizes, und covectors tragen niedrigere abstrakte Indizes laut des Beispiels in der Einführung dieses Artikels. Elemente einer Basis von Vektoren können einen niedrigeren numerischen Index und einen oberen abstrakten Index tragen.

Bibliografie

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Links