:For anderer Gebrauch von "kovarianten" oder "kontravarianten", sieh Kovarianz und Kontravarianz.

In der mehrgeradlinigen Algebra und Tensor-Analyse beschreiben Kovarianz und Kontravarianz, wie sich die quantitative Beschreibung von bestimmten geometrischen oder physischen Entitäten mit einer Änderung der Basis von einem Koordinatensystem bis einen anderen ändert. Wenn ein Koordinatensystem gerade eine Folge vom anderen ist, ist diese Unterscheidung unsichtbar. Jedoch, wenn sie allgemeinere Koordinatensysteme als betrachtet, die Koordinaten, krummlinige Koordinaten verdrehen, und Systeme auf Differentiable-Sammelleitungen koordinieren, wird die Unterscheidung kritisch wichtig.

• Für einen Vektoren (wie ein Richtungsvektor oder Geschwindigkeitsvektor), um Koordinatensystem invariant zu sein, müssen die Bestandteile des Vektoren Gegenseite - sich mit einer Änderung der Basis ändern, um zu ersetzen. D. h. die Bestandteile müssen sich auf die entgegengesetzte Weise (die umgekehrte Transformation) als die Änderung der Basis ändern. Wie man sagt, sind Vektoren (im Vergleich mit Doppelvektoren) Kontravariante. Beispiele von kontravarianten Vektoren schließen die Position eines Gegenstands hinsichtlich eines Beobachters oder jede Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit, einschließlich der Geschwindigkeit, der Beschleunigung und des Rucks ein. In der Notation von Einstein haben kontravariante Bestandteile obere Indizes als in

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• Für einen Doppelvektoren, (wie ein Anstieg), um Koordinatensystem invariant zu sein, müssen die Bestandteile des Vektoren co-vary mit einer Änderung der Basis, um dieselbe Bedeutung aufrechtzuerhalten. D. h. die Bestandteile müssen sich durch dieselbe Transformation wie die Änderung der Basis ändern. Wie man sagt, sind Doppelvektoren (im Vergleich mit Vektoren) kovariant. Beispiele von kovarianten Vektoren erscheinen allgemein, wenn sie einen Anstieg einer Funktion (effektiv nehmen, sich durch einen Vektoren teilend). In der Notation von Einstein haben kovariante Bestandteile niedrigere Indizes als in

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In der Physik haben Vektoren häufig Einheiten der Entfernung oder Entfernungszeiten eine andere Einheit (wie die Geschwindigkeit), wohingegen covectors Einheiten das Gegenteil der Entfernung oder das Gegenteil von Entfernungszeiten eine andere Einheit haben. Die Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Vektoren ist für die Berechnung mit dem Tensor besonders wichtig, der Abweichung gemischt haben kann. Das bedeutet, dass sie sowohl kovariante als auch kontravariante Bestandteile, oder beide Vektoren und Doppelvektoren haben. Die Wertigkeit oder der Typ eines Tensor sind die Zahl von verschiedenen und kovarianten Begriffen. Die Dualität zwischen Kovarianz und Kontravarianz liegt dazwischen, wann auch immer Vektor- oder Tensor-Menge durch seine Bestandteile vertreten wird, obwohl moderne Differenzialgeometrie hoch entwickeltere Methoden ohne Indizes verwendet, Tensor zu vertreten.

Die Begriffe kovariant und kontravariant wurden von J.J. Sylvester 1853 eingeführt, um algebraische invariant Theorie zu studieren. In diesem Zusammenhang, zum Beispiel, ist ein System von gleichzeitigen Gleichungen Kontravariante in den Variablen. Der Gebrauch von beiden Begriffen im modernen Zusammenhang der mehrgeradlinigen Algebra ist ein spezifisches Beispiel von entsprechenden Begriffen in der Kategorie-Theorie.

Einführung

In der Physik entsteht ein Vektor normalerweise als das Ergebnis eines Maßes oder die Reihe von Maßen, und wird als eine Liste (oder Tupel) von Zahlen wie vertreten

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Diese Liste von Zahlen hängt von der Wahl des Koordinatensystems ab. Zum Beispiel, wenn der Vektor Position in Bezug auf einen Beobachter vertritt (Positionsvektor), dann kann das Koordinatensystem bei einem System von starren Stangen oder Bezugsäxten erhalten werden, entlang denen die Bestandteile v, v, und v gemessen werden. Für einen Vektoren, um einen geometrischen Gegenstand zu vertreten, muss es möglich sein zu beschreiben, wie es in jedem anderen Koordinatensystem schaut. Das heißt, werden sich die Bestandteile der Vektoren auf eine bestimmte Weise im Vorbeigehen von einem Koordinatensystem bis einen anderen verwandeln.

Ein kontravarianter Vektor ist erforderlich, Bestandteile zu haben, die sich "ebenso als die Koordinaten" (der entgegengesetzte Weg als die Bezugsäxte) unter Änderungen von Koordinaten wie Folge und Ausdehnung verwandeln. Der Vektor selbst ändert sich unter diesen Operationen nicht; statt dessen nehmen die Bestandteile des Vektoren eine Änderung vor, die die Änderung in den Raumäxten ebenso annulliert, der Änderung koordiniert. Mit anderen Worten, wenn die Bezugsäxte in einer Richtung rotieren gelassen würden, würde die Teildarstellung des Vektoren im genau Entgegengesetzten Weg rotieren lassen. Ähnlich, wenn die Bezugsäxte in einer Richtung gestreckt würden, würden die Bestandteile des Vektoren, wie die Koordinaten, auf eine genau ersetzende Weise abnehmen. Mathematisch, wenn das Koordinatensystem eine durch eine invertible MatrixM beschriebene Transformation erlebt, so dass ein Koordinatenvektor x in x  = Mx umgestaltet wird, dann muss ein kontravarianter Vektor v über v  = Mv ähnlich umgestaltet werden. Diese wichtige Voraussetzung ist, was einen kontravarianten Vektoren von irgendwelchem andere dreifache von physisch bedeutungsvollen Mengen unterscheidet. Zum Beispiel, wenn v aus dem x, y, und den Z-Bestandteilen der Geschwindigkeit besteht, dann ist v ein kontravarianter Vektor: Wenn die Koordinaten des Raums gestreckt werden, rotiert haben oder sich gedreht haben, dann verwandeln sich die Bestandteile der Geschwindigkeit ebenso. Andererseits, zum Beispiel, konnte ein dreifacher, der aus der Länge, Breite und Höhe eines rechteckigen Kastens besteht, die drei Bestandteile eines abstrakten Vektoren zusammensetzen, aber dieser Vektor würde nicht Kontravariante sein, seit dem Drehen des Kastens ändert die Länge des Kastens, Breite und Höhe nicht. Beispiele von kontravarianten Vektoren schließen Versetzung, Geschwindigkeit, Schwung, Kraft und Beschleunigung ein.

Im Vergleich hat ein kovarianter Vektor Bestandteile, die sich entgegengesetzt zu den Koordinaten ändern oder sich gleichwertig wie die Bezugsäxte verwandeln. Zum Beispiel, die Bestandteile des Anstieg-Vektoren einer Funktion

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verwandeln Sie sich wie die Bezugsäxte selbst. Wenn nur Folgen des räumlichen betrachtet werden, benehmen sich die Bestandteile von kontravarianten und kovarianten Vektoren ebenso. Es ist nur, wenn anderen Transformationen das erlaubt wird, wird der Unterschied offenbar.

Definition

Die allgemeine Formulierung der Kovarianz und Kontravarianz bezieht sich darauf, wie sich die Bestandteile eines Koordinatenvektoren unter einer Änderung der Basis (passive Transformation) verwandeln. Lassen Sie so V ein Vektorraum der Dimension n über das Feld von Skalaren S sein, und jeden von f = (X..., X) und f' = (Y..., Y) eine Basis V sein zu lassen. Lassen Sie außerdem die Änderung der Basis von f bis f  durch gegeben werden

für einen invertible n×n Matrix mit Einträgen.

Hier ist jeder Vektor Y des f' Basis eine geradlinige Kombination der Vektoren X der f Basis, so dass

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Kontravariante Transformation

Ein Vektor v in V wird einzigartig als eine geradlinige Kombination der Elemente der f Basis als ausgedrückt

wo v [f] Skalare in S sind, der als die Bestandteile von v in der f Basis bekannt ist. Zeigen Sie den Spaltenvektor von Bestandteilen von v durch v [f] an:

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so dass als ein Matrixprodukt umgeschrieben werden kann

:

Der Vektor v kann auch in Bezug auf den f' Basis, so dass ausgedrückt werden

:

Jedoch, da der Vektor v selbst invariant unter der Wahl der Basis, ist

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Der invariance von v, der mit der Beziehung zwischen f und f verbunden ist', bezieht das ein

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das Geben der Transformation herrscht

über:

In Bezug auf Bestandteile,

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wo die Koeffizienten die Einträge der umgekehrten Matrix von A sind.

Weil sich die Bestandteile des Vektoren v mit dem Gegenteil der Matrix A verwandeln, wie man sagt, verwandeln sich diese Bestandteile kontravariant unter einer Änderung der Basis.

Der Weg A bezieht sich die zwei Paare wird im folgenden informellen Diagramm mit einem Pfeil gezeichnet. Die Umkehrung des Pfeils zeigt eine kontravariante Änderung an:

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Kovariante Transformation

Ein geradliniger funktioneller α auf V wird einzigartig in Bezug auf seine Bestandteile (Skalare in S) in der f Basis als ausgedrückt

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Diese Bestandteile sind die Handlung von α auf den Basisvektoren X der f Basis.

Unter der Änderung der Basis von f bis f' verwandeln sich die Bestandteile so dass

Zeigen Sie den Zeilenvektoren von Bestandteilen von α durch α [f] an:

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so dass als das Matrixprodukt umgeschrieben werden kann

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Weil sich die Bestandteile des geradlinigen funktionellen α mit der Matrix A verwandeln, wie man sagt, verwandeln sich diese Bestandteile kovariant unter einer Änderung der Basis.

Der Weg A bezieht sich die zwei Paare wird im folgenden informellen Diagramm mit einem Pfeil gezeichnet. Eine kovariante Beziehung wird seit dem Pfeil-Reisen in derselben Richtung angezeigt:

::

Eine Spaltenvektor-Darstellung war statt dessen verwendet worden das Transformationsgesetz würde das Umstellen sein

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Koordinaten

Die Wahl der Basis f auf dem Vektorraum V definiert einzigartig eine Reihe von Koordinatenfunktionen auf V, mittels

:

Die Koordinaten auf V sind deshalb Kontravariante im Sinn das

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Umgekehrt definiert ein System von n Mengen v, die sich wie die Koordinaten x auf V verwandeln, einen kontravarianten Vektoren. Ein System von n Mengen, die sich entgegengesetzt zu den Koordinaten verwandeln, ist dann ein kovarianter Vektor.

Diese Formulierung der Kontravarianz und Kovarianz ist häufig in Anwendungen natürlicher, in denen es einen Koordinatenraum gibt (eine Sammelleitung), von dem Vektoren als Tangente-Vektoren oder Kotangens-Vektoren leben. In Anbetracht eines lokalen Koordinatensystems x auf der Sammelleitung sind die Bezugsäxte für das Koordinatensystem die Vektorfelder

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Das verursacht den Rahmen f = (X..., X) an jedem Punkt des Koordinatenflecks.

Wenn y ein verschiedenes Koordinatensystem und ist

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dann ist der Rahmen f' mit dem Rahmen f durch das Gegenteil der Matrix von Jacobian des Koordinatenübergangs verbunden:

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Oder, in Indizes,

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Ein Tangente-Vektor ist definitionsgemäß ein Vektor, der eine geradlinige Kombination der Koordinate partials ist. So wird ein Tangente-Vektor durch definiert

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Solch ein Vektor ist Kontravariante in Bezug auf die Änderung des Rahmens. Unter Änderungen im Koordinatensystem hat man

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Deshalb verwandeln sich die Bestandteile eines Tangente-Vektoren über

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Entsprechend wird ein System von n Mengen v abhängig von den Koordinaten, die sich auf diese Weise beim Übergang von einem Koordinatensystem bis einen anderen verwandeln, einen kontravarianten Vektoren genannt.

Kovariante und kontravariante Bestandteile eines Vektoren mit einem metrischen

In einem Vektorraum V über Feld K mit einer bilinearen Form (der den metrischen Tensor genannt werden kann) gibt es wenig Unterscheidung zwischen kovarianten und kontravarianten Vektoren, weil die bilineare Form covectors erlaubt, mit Vektoren identifiziert zu werden. D. h. ein Vektor v bestimmt einzigartig einen covector α über

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für alle Vektoren w. Umgekehrt bestimmt jeder covector α einen einzigartigen Vektoren v durch diese Gleichung. Wegen dieser Identifizierung von Vektoren mit covectors kann man von den kovarianten Bestandteilen oder kontravarianten Bestandteilen eines Vektoren sprechen, d. h. sie sind gerade Darstellungen desselben Vektoren mit gegenseitigen Basen.

In Anbetracht einer Basis f = (X..., X) V, gibt es eine einzigartige gegenseitige Basis f = (Y..., Y) von V bestimmt durch das Verlangen davon

:

das Delta von Kronecker. In Bezug auf diese Basen kann jeder Vektor v auf zwei Weisen geschrieben werden:

:

v &= \sum_i v^i [\mathbf {f}] X_i = \mathbf {f }\\, \mathbf {v} [\mathbf {f}] \\

&= \sum_i v_i [\mathbf {f}] Y^i = \mathbf {f} ^\\sharp\mathbf {v} ^\\scharf [\mathbf {f}].

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Bestandteile v [f] sind die kontravarianten Bestandteile des Vektoren v in der Basis f, und die Bestandteile v [f] sind die kovarianten Bestandteile von v in der Basis f. Die Fachsprache wird weil unter einer Änderung der Basis, gerechtfertigt

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Euklidisches Flugzeug

Im Euklidischen Flugzeug berücksichtigt das Punktprodukt mit covectors zu identifizierende Vektoren. Wenn eine Basis ist, dann befriedigt die Doppelbasis

:

\mathbf {e} ^1\cdot\mathbf {e} _1=1, &\\quad\mathbf {e} ^1\cdot\mathbf {e} _2=0 \\

\mathbf {e} ^2\cdot\mathbf {e} _1=0, &\\Viererkabel \mathbf {e} ^2\cdot\mathbf {e} _2=1.

\end {richten }\aus</Mathematik>

So sind e und e auf einander rechtwinklig, wie e und e und die Längen von e und e sind, der gegen e und e beziehungsweise normalisiert ist.

Beispiel

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass uns eine Basis e, e gegeben wird, aus einem Paar von Vektoren bestehend, die 45 ° miteinander, solch angeln lassen, dass e Länge 2 hat und e Länge 1 hat. Dann werden die Doppelbasisvektoren wie folgt gegeben:

• e ist das Ergebnis, e durch einen Winkel von 90 ° rotieren zu lassen (wo der Sinn gemessen wird, indem er das Paar e, e angenommen wird, positiv orientiert zu werden), und dann wiederkletternd, so dass hält.
• e ist das Ergebnis, e durch einen Winkel von 90 ° rotieren zu lassen, und dann wiederzuklettern, so dass hält.

Diese Regeln anwendend, finden wir

:und:

So ist die Änderung der Basismatrix im Gehen von der ursprünglichen Basis bis die gegenseitige Basis

:

- 1/\sqrt {2} & 2

\end {bmatrix}, </Mathematik>

seitdem

:- 1/\sqrt {2} & 2

\end {bmatrix}. </Mathematik>

Zum Beispiel, der Vektor

:

ist ein Vektor mit kontravarianten Bestandteilen

:

Die kovarianten Bestandteile werden durch die Gleichstellung der zwei Ausdrücke für den Vektoren v erhalten:

:

v = v_1\mathbf {e} ^1 + v_2\mathbf {e} ^2 = V^1\mathbf {e} _1+v^2\mathbf {e} _2 </Mathematik>

so:

\begin {bmatrix} v_1 \\v_2\end {bmatrix} &= R^ {-1 }\\beginnen {bmatrix} v^1 \\V^2\end {bmatrix} \\

&= \begin {bmatrix} 4& \sqrt {beginnen 2 }\\\\sqrt {2} &1 \end {bmatrix }\\{bmatrix} v^1 \\V^2\end {bmatrix} = \begin {bmatrix} 6+2\sqrt {2 }\\\2+3/\sqrt {2 }\\Ende {bmatrix }\\Ende {richtet sich aus}. </Mathematik>

Dreidimensionaler Euklidischer Raum

Im dreidimensionalen Euklidischen Raum kann man auch ausführlich die Doppelbasis zu einem gegebenen Satz von Basisvektoren e, e, e von E bestimmen, die, wie man notwendigerweise annimmt, nicht orthogonal sind noch von der Einheitsnorm. Die kontravarianten (doppel)-Basisvektoren sind:

:</Mathematik>

Selbst wenn der e und e nicht orthonormal sind, sind sie noch gegenseitig Doppel-:

:

Dann können die kontravarianten Koordinaten jedes Vektoren v durch das Punktprodukt von v mit den kontravarianten Basisvektoren erhalten werden:

:

Ebenfalls können die kovarianten Bestandteile von v beim Punktprodukt von v mit kovarianten Basisvektoren nämlich erhalten werden.

:

Dann kann v auf zwei (gegenseitige) Weisen nämlich ausgedrückt werden.

:oder:

Die obengenannten Beziehungen verbindend, haben wir

:

und wir können uns vom kovarianten bis kontravariante Basis mit umwandeln

:und:

Die Indizes von kovarianten Koordinaten, Vektoren und Tensor sind Subschriften. Wenn die kontravarianten Basisvektoren dann orthonormal sind, sind sie zu den kovarianten Basisvektoren gleichwertig, also gibt es kein Bedürfnis, zwischen den kovarianten und kontravarianten Koordinaten zu unterscheiden.

Allgemeine Euklidische Räume

Mehr allgemein, in einem n-dimensional Euklidischen Raum V, wenn eine Basis ist

:

die gegenseitige Basis wird durch gegeben

:

wo die Koeffizienten e die Einträge der umgekehrten Matrix von sind

:

Tatsächlich haben wir dann

:

Die kovarianten und kontravarianten Bestandteile jedes Vektoren

:

sind als oben durch verbunden

:und:

Informeller Gebrauch

Im Feld der Physik wird das kovariante Adjektiv häufig informell als ein Synonym für invariant verwendet. Zum Beispiel behält die Gleichung von Schrödinger seine schriftliche Form unter den Koordinatentransformationen der speziellen Relativität nicht. So könnte ein Physiker sagen, dass die Gleichung von Schrödinger nicht kovariant ist. Im Gegensatz behalten die Gleichung von Klein-Gordon und die Gleichung von Dirac wirklich ihre schriftliche Form unter diesen Koordinatentransformationen. So könnte ein Physiker sagen, dass diese Gleichungen kovariant sind.

Trotz dieses Gebrauchs von "kovarianten" ist es genauer zu sagen, dass die Gleichungen von Klein-Gordon und Dirac invariant sind, und dass die Gleichung von Schrödinger nicht invariant ist. Zusätzlich, um Zweideutigkeit zu entfernen, sollte die Transformation, durch die der invariance bewertet wird, angezeigt werden. Wenn sie mit dem obengenannten Beispiel weitermachen, sind weder der Klein-Gordon noch die Gleichungen von Dirac allgemein invariant unter keiner Koordinatentransformation (z.B diejenigen der allgemeinen Relativität), so ist die eindeutige Beschreibung dieser Gleichungen, dass sie invariant in Bezug auf die Koordinatentransformationen der speziellen Relativität sind.

Weil die Bestandteile von Vektoren Kontravariante sind und diejenigen von covectors kovariant sind, werden die Vektoren selbst häufig seiende Kontravariante und den covectors als kovariant genannt. Dieser Gebrauch ist jedoch nicht universal, da Vektor-Stoß vorwärts - unter diffeomorphism kovariant ist - und covectors zurückziehen - sind Kontravariante unter diffeomorphism. Sieh Notation von Einstein für Details.

Verwenden Sie in der Tensor-Analyse

Die Unterscheidung zwischen Kovarianz und Kontravarianz ist für die Berechnung mit dem Tensor besonders wichtig, der häufig Abweichung gemischt hat. Das bedeutet, dass sie sowohl kovariante als auch kontravariante Bestandteile, oder sowohl Vektor als auch Doppelvektor-Bestandteile haben. Die Wertigkeit eines Tensor ist die Zahl von verschiedenen und kovarianten Begriffen, und in der Notation von Einstein, kovariante Bestandteile haben niedrigere Indizes, während kontravariante Bestandteile obere Indizes haben. Die Dualität zwischen Kovarianz und Kontravarianz liegt dazwischen, wann auch immer Vektor- oder Tensor-Menge durch seine Bestandteile vertreten wird, obwohl moderne Differenzialgeometrie hoch entwickeltere Methoden ohne Indizes verwendet, Tensor zu vertreten.

In der Tensor-Analyse ändert sich ein kovarianter Vektor mehr oder weniger gegenseitig zu einem entsprechenden kontravarianten Vektoren. Ausdrücke für Längen, Gebiete und Volumina von Gegenständen im Vektorraum können dann in Bezug auf den Tensor mit kovarianten und kontravarianten Indizes gegeben werden. Unter einfachen Vergrößerungen und Zusammenziehungen der Koordinaten ist die Reziprozität genau; unter affine Transformationen vermischen sich die Bestandteile eines Vektoren beim Gehen zwischen dem kovarianten und kontravarianten Ausdruck.

Auf einer Sammelleitung wird ein Tensor-Feld normalerweise vielfache Indizes von zwei Sorten haben. Durch eine weit gefolgte Tagung werden kovariante Indizes als niedrigere Indizes geschrieben, wohingegen kontravariante Indizes obere Indizes sind. Wenn die Sammelleitung mit ausgestattet wird, werden metrische, kovariante und kontravariante Indizes sehr nah verbunden mit einander. Kontravariante Indizes können in kovariante Indizes durch das Zusammenziehen mit dem metrischen Tensor verwandelt werden. Kontravariante Indizes können durch das Zusammenziehen mit dem (matrix)-Gegenteil des metrischen Tensor bekommen werden. Bemerken Sie, dass im Allgemeinen keine solche Beziehung in mit einem metrischen Tensor nicht ausgestatteten Räumen besteht. Außerdem, von einer abstrakteren Einstellung, ist ein Tensor einfach "dort", und seine Bestandteile jeder Art sind nur calculational Kunsterzeugnisse, deren Werte von den gewählten Koordinaten abhängen.

Die Erklärung in geometrischen Begriffen besteht darin, dass ein allgemeiner Tensor kontravariante Indizes sowie kovariante Indizes haben wird, weil er Teile hat, die im Tangente-Bündel sowie dem Kotangens-Bündel leben.

Ein kontravarianter Vektor ist derjenige, der sich wie verwandelt, wo die Koordinaten einer Partikel in seiner richtigen Zeit sind. Ein kovarianter Vektor ist derjenige, der sich wie verwandelt, wo ein Skalarfeld ist.

Algebra und Geometrie

In der Kategorie-Theorie gibt es kovarianten functors und Kontravariante functors. Der Doppelraum eines Vektorraums ist ein Standardbeispiel einer Kontravariante functor. Einige Aufbauten der mehrgeradlinigen Algebra sind der 'Misch'-Abweichung, die sie davon abhält, functors zu sein.

In der Geometrie ist dieselbe Karte in/kartografisch darstellen der Unterscheidung im Festsetzen der Abweichung von Aufbauten nützlich. Ein Tangente-Vektor zu einer glatten mannigfaltigen M, ist zunächst, eine Kurve, die glatt in die M kartografisch darstellt und einen gegebenen Punkt P durchführt. Es ist deshalb in Bezug auf glatten mappings der M kovariant. Ein kontravarianter Vektor oder 1 Form, wird ebenso davon gebaut, von der M bis die echte Linie in der Nähe von P glatt kartografisch darzustellen. Es ist im Kotangens-Bündel, das von den Doppelräumen der Tangente-Räume aufgebaut ist. Seine Bestandteile in Bezug auf eine lokale Basis von einer Formen dx werden kovariant sein; aber ein-Form- und Differenzialformen sind im Allgemeinen Kontravariante im Sinn, dass sie unter glattem mappings zurückziehen. Das ist dafür entscheidend, wie sie angewandt werden; zum Beispiel kann eine Differenzialform auf jede Subsammelleitung eingeschränkt werden, während das denselben Sinn für ein Feld von Tangente-Vektoren nicht hat.

Kovariante und kontravariante Bestandteile verwandeln sich unterschiedlich unter Koordinatentransformationen. Durch das Betrachten einer Koordinatentransformation auf einer Sammelleitung als eine Karte von der Sammelleitung bis sich wird die Transformation von kovarianten Indizes eines Tensor durch ein Hemmnis gegeben, und die Transformationseigenschaften der kontravarianten Indizes werden durch einen pushforward gegeben.

Siehe auch

• Kovariante Transformation
• Änderung der Basis
• Aktive und passive Transformation
• Zwei-Punkte-Tensor, der diesen Begriff zum Tensor verallgemeinert, der Indizes nicht nur im ursprünglichen und Doppelraum, aber in anderen Vektorräumen (wie andere Tangente-Räume auf derselben Sammelleitung) hat.
• Mischtensor

Referenzen

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Links

• Invariance, Kontravarianz und Kovarianz