In der Mathematik ist eine Conformal-Karte eine Funktion, die Winkel bewahrt. Im allgemeinsten Fall ist die Funktion zwischen Gebieten im komplizierten Flugzeug.

Mehr formell, eine Karte,

wird conformal (oder winkeltreu) daran genannt, wenn er orientierte Winkel zwischen Kurven durch in Bezug auf ihre Orientierung (d. h., nicht nur der akute Winkel) bewahrt. Karten von Conformal bewahren beide Winkel und die Gestalten unendlich klein kleiner Zahlen, aber nicht notwendigerweise ihre Größe.

Das conformal Eigentum kann in Bezug auf die Ableitungsmatrix von Jacobian einer Koordinatentransformation beschrieben werden. Wenn die Matrix von Jacobian der Transformation überall Skalarzeiten eine Folge-Matrix ist, dann ist die Transformation conformal.

Karten von Conformal können zwischen Gebieten in höheren dimensionalen Euklidischen Räumen, und mehr allgemein auf Riemannian oder Semi-Riemannian-Sammelleitung definiert werden.

Komplizierte Analyse

Eine wichtige Familie von Beispielen von Conformal-Karten kommt aus der komplizierten Analyse. Wenn U eine offene Teilmenge des komplizierten Flugzeugs, dann eine Funktion ist

ist conformal, wenn, und nur wenn es holomorphic und seine Ableitung ist, überall Nichtnull auf U ist. Wenn f antiholomorphic ist (d. h. das verbundene zu einer Holomorphic-Funktion), bewahrt es noch Winkel, aber es kehrt ihre Orientierung um.

Der Riemann, der Lehrsatz, eines der tiefen Ergebnisse der komplizierten Analyse kartografisch darstellt, stellt fest, dass jede nichtleere offene einfach verbundene richtige Teilmenge dessen eine bijektive Conformal-Karte zur offenen Einheitsplatte darin zulässt.

Eine Karte des verlängerten komplizierten Flugzeugs (der conformally Entsprechung zu einem Bereich ist) auf sich ist conformal, wenn, und nur wenn es eine Transformation von Möbius ist. Wieder, für das verbundene, werden Winkel bewahrt, aber Orientierung wird umgekehrt.

Ein Beispiel der Letzteren nimmt das Gegenstück des verbundenen, das Kreisinversion in Bezug auf den Einheitskreis entspricht. Das kann auch als Einnahme des Gegenstücks der radialen Koordinate in kreisförmigen Koordinaten ausgedrückt werden, den Winkel dasselbe haltend. Siehe auch umkehrende Geometrie.

Geometrie von Riemannian

In der Riemannian Geometrie wird zwei Metrik von Riemannian und auf der glatten Sammelleitung conformally Entsprechung wenn nach etwas positiver Funktion darauf genannt. Die Funktion wird den conformal Faktor genannt.

Ein diffeomorphism zwischen zwei Sammelleitungen von Riemannian wird eine Conformal-Karte genannt, wenn das zurückgezogene metrische conformally Entsprechung zur ursprünglichen ist. Zum Beispiel ist der stereografische Vorsprung eines Bereichs auf das Flugzeug, das mit einem Punkt an der Unendlichkeit vermehrt ist, eine Conformal-Karte.

Man kann auch eine conformal Struktur auf einer glatten Sammelleitung als eine Klasse der conformally gleichwertigen Metrik von Riemannian definieren.

Hoch-dimensionaler Euklidischer Raum

Ein klassischer Lehrsatz von Joseph Liouville hat die Lehrsatz-Shows von Liouville genannt die höheren Dimensionen haben weniger verschiedene Conformal-Karten:

Jede Conformal-Karte auf einem Teil des Euklidischen Raums der Dimension, die größer ist als 2, kann aus drei Typen der Transformation zusammengesetzt werden: eine homothetic Transformation, eine Isometrie und eine spezielle conformal Transformation. (Eine spezielle conformal Transformation ist die Zusammensetzung eines Nachdenkens und einer Inversion in einem Bereich.) So, die Gruppe von conformal Transformationen in Räumen der Dimension, die größer ist als 2, werden viel mehr eingeschränkt als der planare Fall, wo der Riemann, der Lehrsatz kartografisch darstellt, eine große Gruppe von conformal Transformationen zur Verfügung stellt.

Gebrauch

Wenn eine Funktion harmonisch ist (d. h. sie befriedigt die Gleichung von Laplace) über einen besonderen Raum, und wird über eine Conformal-Karte in einen anderen Raum umgestaltet, die Transformation ist auch harmonisch. Deshalb kann jede Funktion, die durch ein Potenzial definiert wird, durch einen conformal umgestaltet werden stellen kartografisch dar und bleiben noch geregelt durch ein Potenzial. Beispiele in der Physik von durch ein Potenzial definierten Gleichungen schließen das elektromagnetische Feld, das Schwerefeld, und, in der flüssigen Dynamik, dem potenziellen Fluss ein, der eine Annäherung an die Flüssigkeitsströmung ist, die unveränderliche Dichte, Nullviskosität und rotationsfreien Fluss annimmt. Ein Beispiel einer flüssigen dynamischen Anwendung einer Conformal-Karte ist Joukowsky verwandeln sich.

Conformal mappings sind unschätzbar, um Probleme in der Technik und Physik zu beheben, die in Bezug auf Funktionen einer komplizierten Variable, aber dieses Ausstellungsstücks ungünstige Geometrie ausgedrückt werden kann. Indem er wählt passend kartografisch darzustellen, kann der Analytiker die ungünstige Geometrie in eine viel günstigere umgestalten. Zum Beispiel könnte man das elektrische Feld berechnen mögen, aus einer Punkt-Anklage entstehend, die in der Nähe von der Ecke von zwei Leiten-Flugzeugen gelegen ist, die durch einen bestimmten Winkel getrennt sind (wo die komplizierte Koordinate eines Punkts im 2-Räume-ist). Dieses Problem ist per se ziemlich plump, um in der geschlossenen Form zu lösen. Jedoch, durch die Beschäftigung eines sehr einfachen kartografisch darstellenden conformal, wird der ungünstige Winkel zu einem genau des Pis radians kartografisch dargestellt, bedeutend, dass die Ecke von zwei Flugzeugen in eine Gerade umgestaltet wird. In diesem neuen Gebiet ist das Problem (dieses des Rechnens des elektrischen Feldes, das durch eine Punkt-Anklage beeindruckt ist, die in der Nähe von einer Leiten-Wand gelegen ist), ziemlich leicht zu lösen. Die Lösung wird in diesem Gebiet erhalten, und hat dann zurück zum ursprünglichen Gebiet durch die Anmerkung kartografisch dargestellt, dass das erhalten wurde, weil eine Funktion (nämlich, die Zusammensetzung und) dessen woher als angesehen werden kann, der eine Funktion der ursprünglichen Koordinatenbasis ist. Bemerken Sie, dass diese Anwendung nicht ein Widerspruch zur Tatsache ist, dass conformal mappings Winkel bewahren, tun sie so nur für Punkte im Interieur ihres Gebiets, und nicht an der Grenze.

Eine große Gruppe von Conformal-Karten, um Lösungen der Gleichungen von Maxwell zu verbinden, wurde von Ebenezer Cunningham (1908) und Harry Bateman (1910) identifiziert. Ihre Ausbildung an der Universität von Cambridge hatte ihnen Möglichkeit mit der Methode von Bildanklagen gegeben und Methoden von Images für Bereiche und Inversion vereinigt. Wie nachgezählt, durch Andrew Warwick (2003) Master der Theorie:

: Jede vierdimensionale Lösung konnte in einem vierdimensionalen Hyperbereich des Pseudoradius K umgekehrt werden, um eine neue Lösung zu erzeugen.

Warwick hebt (Seiten 404 bis 424) diesen "neuen Lehrsatz der Relativität" als eine Antwort von Cambridge Einstein, und so gegründet auf Übungen mit der Methode der Inversion, solcher, wie gefunden, im Lehrbuch von James Hopwood Jeans Mathematische Theorie der Elektrizität und des Magnetismus hervor.

Im Kartenzeichnen sind mehrere genannte Karte-Vorsprünge (einschließlich des Vorsprungs von Mercator) conformal.

In der allgemeinen Relativität, conformal Karten sind am einfachsten und so allgemeinster Typ von kausalen Transformationen. Physisch beschreiben diese verschiedenes Weltall, in dem alle gleich Ereignisse und Wechselwirkungen noch (kausal) möglich sind, aber eine neue zusätzliche Kraft ist notwendig, um das zu bewirken (d. h. die Erwiderung von allen gleichen Schussbahnen würden Abfahrten von der geodätischen Bewegung nötig machen, weil das metrische verschieden ist). Es wird häufig verwendet, um zu versuchen, Modelle zugänglich der Erweiterung außer Krümmungseigenartigkeiten zu machen, zum Beispiel Beschreibung des Weltalls sogar vor dem Urknall zu erlauben.

Alternative Winkel

Eine Conformal-Karte wird das genannt, weil sie sich dem Grundsatz der Winkelbewahrung anpasst. Die Annahme ist häufig, dass der Winkel, der wird bewahrt, der Euklidische Standardwinkel ist, sagen Sie parametrisiert in Graden oder radians. Jedoch im Flugzeug, das kartografisch darstellt, gibt es zwei andere Winkel, um in Betracht zu ziehen: Der Hyperbelwinkel und der Hang, der die Entsprechung des Winkels für Doppelzahlen ist.

Denken Sie ist von Oberflächen kartografisch darzustellen, die durch parametrisiert sind und. Die Jacobian Matrix dessen wird durch die vier partiellen Ableitungen und in Bezug auf gebildet und.

Wenn Jacobian g eine Nichtnulldeterminante hat, dann "conformal im verallgemeinerten Sinn" in Bezug auf einen der drei Winkeltypen abhängig von der echten Matrix ist, die von Jacobian g ausgedrückt ist.

Tatsächlich liegt jeder solcher g in einem besonderen planaren Ersatzsubring, und g hat eine durch Rahmen der radialen und winkeligen Natur bestimmte Polarkoordinate-Form. Der radiale Parameter entspricht einer Ähnlichkeit kartografisch darstellend und kann als 1 zum Zwecke der conformal Überprüfung genommen werden. Der winkelige Parameter von g ist einer der drei Typen, mähen Sie hyperbolisch, oder Euklidisch:

• Wenn der Subring zum Doppelzahl-Flugzeug, dann g Taten als ein Scheren kartografisch darstellend isomorph ist und den Doppelwinkel bewahrt.
• Wenn der Subring zum Flugzeug der komplexen Zahl des Spalts, dann g Taten als ein Druck kartografisch darstellend isomorph ist und den Hyperbelwinkel bewahrt.
• Wenn der Subring zum gewöhnlichen Flugzeug der komplexen Zahl, dann g Taten als eine Folge isomorph ist und den Euklidischen Winkel bewahrt.

sie analytische Funktionen einer bireal Variable beschreiben, haben U. Bencivenga und G. Fox über Conformal-Karten geschrieben, die den Hyperbelwinkel bewahren.

Siehe auch

• Bilder von Conformal
• Schwarz-Christoffel, der kartografisch darstellt
• Diagramm von Penrose
• Der Lehrsatz von Carathéodory

Außenverbindungen

• Conformal Modul durch John H. Mathews kartografisch darzustellen
• interaktive Vergegenwärtigungen von vielen conformal stellen kartografisch dar
• Conformal Karten von Michael Trott, Wolfram-Demonstrationsprojekt.
• Java applet durch Jürgen Richter-Gebert, der Aschenputtel verwendet.
• Java applet durch Christian Mercat, um Bilder zu deformieren; Java von MacOSX applet, der den Videofluss von der Netzkamera deformiert.
• Conformal Images des aktuellen Flusses in der verschiedenen Geometrie ohne und mit dem magnetischen Feld durch Gerhard Brunthaler Kartografisch darzustellen.