Die Gleichungen von Maxwell sind eine Reihe teilweiser Differenzialgleichungen, die, zusammen mit Lorentz Gesetz zwingen, das Fundament der klassischen Elektrodynamik, klassischen Optik und elektrischen Stromkreise bilden. Diese Felder unterliegen der Reihe nach modernen elektrischen und Kommunikationstechnologien.

Die Gleichungen von Maxwell haben zwei Hauptvarianten. Der "mikroskopische" Satz der Gleichungen von Maxwell verwendet Gesamtanklage und Gesamtstrom einschließlich der difficult-calculate Atomniveau-Anklagen und Ströme in Materialien. Der "makroskopische" Satz der Gleichungen von Maxwell definiert zwei neue Hilfsfelder, die Notwendigkeit ausweichen können, diese großen 'Atom'-Anklagen und Ströme zu wissen.

Die Gleichungen von Maxwell werden genannt nach dem schottischen Physiker und Mathematiker James Clerk Maxwell seitdem in einer frühen Form werden sie alle in einer vierstimmigen Zeitung gefunden, "Auf Physischen Linien der Kraft", die er zwischen 1861 und 1862 veröffentlicht hat. Die mathematische Form von Lorentz zwingt Gesetz auch ist in dieser Zeitung erschienen.

Es ist häufig nützlich, die Gleichungen von Maxwell in anderen Formen zu schreiben; diese Darstellungen werden noch "die Gleichungen von Maxwell" formell genannt. Eine relativistische Formulierung in Bezug auf den kovarianten Feldtensor wird in der speziellen Relativität verwendet, während in der Quant-Mechanik eine auf den elektrischen und magnetischen Potenzialen gestützte Version bevorzugt wird.

Die Gleichungen von Maxwell sind eine Annäherung — gewöhnlich eine äußerst nahe Annäherung — zur genaueren Theorie der Quant-Elektrodynamik.

Begriffsbeschreibung

Begrifflich beschreiben die Gleichungen von Maxwell, wie elektrische Anklagen und elektrische Ströme als Quellen für die elektrischen und magnetischen Felder handeln. Weiter beschreibt es, wie eine Zeit, elektrisches Feld ändernd, eine Zeit erzeugt, magnetisches Feld und umgekehrt ändernd. (Sieh unten für eine mathematische Beschreibung dieser Gesetze.) Der vier Gleichungen beschreiben zwei von ihnen, dem Gesetz von Gauss und dem Gesetz von Gauss für den Magnetismus, wie die Felder von Anklagen ausgehen. (Für das magnetische Feld gibt es keine magnetische Anklage, und deshalb beginnen magnetische Feldlinien weder noch enden überall.) Beschreiben die anderen zwei Gleichungen, wie die Felder um ihre jeweiligen Quellen 'zirkulieren'; das magnetische Feld 'zirkuliert' um elektrische Ströme und Zeit, elektrisches Feld im Gesetz von Ampère mit der Korrektur von Maxwell ändernd, während das elektrische Feld um die Zeit 'zirkuliert', magnetische Felder im Gesetz von Faraday ändernd.

Das Gesetz von Gauss

Das Gesetz von Gauss beschreibt die Beziehung zwischen einem elektrischen Feld und den elektrischen Anklagen, die es verursachen: Das elektrische Feld weist weg von positiven Anklagen und zu negativen Anklagen hin. In der Feldlinienbeschreibung beginnen elektrische Feldlinien nur an positiven elektrischen Anklagen und enden nur an negativen elektrischen Anklagen. 'Das Aufzählen' der Zahl von Feldlinien in einer geschlossenen Oberfläche gibt deshalb die durch diese Oberfläche eingeschlossene Gesamtanklage nach. Mehr technisch verbindet es den elektrischen Fluss durch jede hypothetische geschlossene "Oberfläche von Gaussian" zur beiliegenden elektrischen Anklage.

Das Gesetz von Gauss für den Magnetismus

Das Gesetz von Gauss für den Magnetismus stellt fest, dass es keine "magnetischen Anklagen" gibt (auch hat magnetische Monopole genannt), analog elektrischen Anklagen. Statt dessen wird das magnetische Feld wegen Materialien durch eine Konfiguration genannt einen Dipol erzeugt. Magnetische Dipole werden am besten als Schleifen des Stroms vertreten, aber ähneln positiven und negativen 'magnetischen Anklagen', untrennbar gebunden zusammen, keine magnetische 'Nettoanklage' habend. In Bezug auf Feldlinien stellt diese Gleichung fest, dass magnetische Feldlinien weder beginnen noch beenden, aber Schleifen machen oder sich bis zu die Unendlichkeit und zurück ausstrecken. Mit anderen Worten muss jede magnetische Feldlinie, die in ein gegebenes Volumen eingeht, irgendwo über dieses Volumen herrschen. Gleichwertige technische Behauptungen sind, dass die Summe der magnetische Gesamtfluss durch jede Oberfläche von Gaussian ist Null, oder dass das magnetische Feld ein solenoidal Vektorfeld ist.

Das Gesetz von Faraday

Das Gesetz von Faraday beschreibt, wie eine Zeit, magnetisches Feld ändernd, schafft (veranlasst) ein elektrisches Feld. Dieser Aspekt der elektromagnetischen Induktion ist der Betriebsgrundsatz hinter vielen elektrischen Generatoren: Zum Beispiel schafft ein rotierender Bar-Magnet ein sich änderndes magnetisches Feld, das der Reihe nach ein elektrisches Feld in einer nahe gelegenen Leitung erzeugt. (Bemerken Sie: Es gibt zwei nah zusammenhängende Gleichungen, die das Gesetz von Faraday genannt werden. Die in den Gleichungen von Maxwell verwendete Form ist immer gültig, aber einschränkender als das, das ursprünglich von Michael Faraday formuliert ist.)

Das Gesetz von Ampère mit der Korrektur von Maxwell

Das Gesetz von Ampère mit der Korrektur von Maxwell stellt fest, dass magnetische Felder auf zwei Weisen erzeugt werden können: Durch den elektrischen Strom (war das das Gesetz des ursprünglichen "Ampères"), und durch das Ändern von elektrischen Feldern (war das "die Korrektur von Maxwell").

Die Korrektur von Maxwell zum Gesetz von Ampère ist besonders wichtig: Es zeigt, dass nicht nur ein sich ändernde magnetische Feld ein elektrisches Feld veranlasst, sondern auch ein sich änderndes elektrisches Feld veranlasst ein magnetisches Feld. Deshalb erlauben diese Gleichungen, "elektromagnetische Wellen" selbstzustützen, um durch den leeren Raum zu reisen (sieh elektromagnetische Wellengleichung).

Die Geschwindigkeit hat für elektromagnetische Wellen gerechnet, die von Experimenten auf Anklagen und Strömen vorausgesagt werden konnten, genau vergleicht die Geschwindigkeit des Lichtes; tatsächlich ist Licht eine Form der elektromagnetischen Radiation (wie Röntgenstrahlen, Funkwellen und andere sind). Maxwell hat die Verbindung zwischen elektromagnetischen Wellen und Licht 1861 verstanden, dadurch die Theorien des Elektromagnetismus und der Optik vereinigend.

Einheiten und Zusammenfassung von Gleichungen

Die Gleichungen von Maxwell ändern sich mit dem verwendeten Einheitssystem. Obwohl die allgemeine Form dasselbe bleibt, werden verschiedene Definitionen geändert, und verschiedene Konstanten erscheinen an verschiedenen Plätzen. (Das kann sonderbar zuerst scheinen, aber das ist, weil einige Einheitssysteme, z.B Varianten von cgs, ihre Einheiten auf solche Art und Weise definieren, dass bestimmte physische Konstanten, ohne Dimension Konstanten, z.B 1 befestigt werden, so verschwinden diese Konstanten von den Gleichungen.) Die Gleichungen in dieser Abteilung werden in SI-Einheiten gegeben. Andere allgemein verwendete Einheiten sind Einheiten von Gaussian (gestützt auf dem cgs System), Lorentz-Heaviside Einheiten (verwendet hauptsächlich in der Partikel-Physik) und Einheiten von Planck (verwendet in der theoretischen Physik). Sieh unten für CGS-Gaussian Einheiten.

Weil eine Beschreibung des Unterschieds zwischen den mikroskopischen und makroskopischen Varianten der Gleichungen von Maxwell die relevanten Abteilungen unten sieht.

In den Gleichungen, die unten gegeben sind, vertreten Symbole im kühnen Vektor-Mengen, und Symbole in der Kursive vertreten Skalarmengen. Die Definitionen von in den zwei Tischen von Gleichungen gebrauchten Begriffen werden in einem anderen Tisch sofort im Anschluss an gegeben.

Tisch der "mikroskopischen" Gleichungen

Tisch der "makroskopischen" Gleichungen

Der Tisch von Begriffen in den Gleichungen von Maxwell verwendet

Der folgende Tisch stellt die Bedeutung jedes Symbols und die SI-Einheit des Maßes zur Verfügung:

Beweis, dass die zwei allgemeinen Formulierungen gleichwertig

sind

Die zwei abwechselnden allgemeinen Formulierungen der Gleichungen von Maxwell, die oben gegeben sind, sind mathematisch gleichwertig und durch die folgenden Beziehungen zusammenhängend:

• Definition der bestimmten Anklage-Dichte ρ und gebundenen aktuellen Dichte J in Bezug auf die Polarisation P und Magnetisierung M:

::

::

• Beziehungen zwischen D und E und zwischen B und H:

::::

• Beziehungen zwischen dem freien, gebunden, und der Gesamtanklage und der aktuellen Dichte:

::::

Das Ersetzen aller dieser Gleichungen in die Gleichungen des "makroskopischen" Maxwells gibt die "mikroskopischen" Gleichungen.

Beziehung zwischen unterschiedlichen und integrierten Formen

Die unterschiedlichen und integrierten Formen der Gleichungen sind durch den Abschweifungslehrsatz im Fall vom Gesetz von Gauss mathematisch gleichwertig, und das Gesetz von Gauss für den Magnetismus, und durch Kelvin-schürt Lehrsatz im Fall vom Gesetz von Faraday und dem Gesetz von Ampère. Sowohl die unterschiedlichen als auch integrierten Formen sind nützlich. Die integrierten Formen können häufig an einfach gewöhnt sein und direkt Felder vom symmetrischen Vertrieb von Anklagen und Strömen berechnen. Andererseits sind die Differenzialformen ein natürlicherer Startpunkt, für die Felder im mehr komplizierten (weniger symmetrisch) Situationen zum Beispiel mit der begrenzten Element-Analyse zu berechnen.

"Die mikroskopischen" Gleichungen von Maxwell

Die mikroskopische Variante der Gleichung von Maxwell drückt das elektrische E Feld und das magnetische B Feld in Bezug auf die Gesamtanklage und aktuelle Gesamtgegenwart einschließlich der Anklagen und Ströme am Atomniveau aus. Es wird manchmal die allgemeine Form der Gleichungen von Maxwell oder "der Gleichungen von Maxwell in einem Vakuum" genannt. Beide Varianten der Gleichungen von Maxwell sind aber ebenso allgemein, weil sie mathematisch gleichwertig sind. Die mikroskopischen Gleichungen sind in Wellenleitern zum Beispiel am nützlichsten, wenn es keine dielektrischen oder magnetischen Materialien in der Nähe gibt.

Weder mit Anklagen noch mit Strömen

In einem Gebiet ohne Anklagen (ρ 0) und keine Ströme (J 0), solcher als in einem Vakuum, nehmen die Gleichungen von Maxwell ab zu:

::::

Diese Gleichungen führen direkt zu E und B Zufriedenheit der Wellengleichung, für die die Lösungen geradlinige Kombinationen von Flugzeug-Wellen sind, die mit der Geschwindigkeit des Lichtes, reisen

:

Außerdem sind E und B auf einander und der Richtung der Bewegung gegenseitig rechtwinklig und sind in der Phase mit einander. Eine sinusförmige Flugzeug-Welle ist eine spezielle Lösung dieser Gleichungen.

Tatsächlich erklären die Gleichungen von Maxwell, wie sich diese Wellen durch den Raum physisch fortpflanzen können. Das sich ändernde magnetische Feld schafft ein sich änderndes elektrisches Feld durch das Gesetz von Faraday. Der Reihe nach schafft dieses elektrische Feld ein sich änderndes magnetisches Feld durch die Korrektur von Maxwell zum Gesetz von Ampère. Dieser fortwährende Zyklus erlaubt diese Wellen, die jetzt als elektromagnetische Radiation bekannt sind, um sich durch den Raum an der Geschwindigkeit c zu bewegen.

"Die makroskopischen" Gleichungen von Maxwell

Verschieden von den "mikroskopischen" Gleichungen, "klammern die makroskopischen Gleichungen von Maxwell", auch bekannt als die Gleichungen von Maxwell in der Sache, die bestimmte Anklage und den Strom aus, um Gleichungen zu erhalten, die nur von den freien Anklagen und Strömen abhängen. Diese Gleichungen sind denjenigen ähnlicher, die Maxwell selbst vorgestellt hat. Die Kosten dieses factorization sind, dass zusätzliche Felder definiert werden müssen: Versetzungsfeld D, das in Bezug auf das elektrische Feld E und die Polarisation P des Materials und des magnetischen-H Feldes definiert wird, das in Bezug auf das magnetische-B Feld und die Magnetisierung M des Materials definiert wird.

Bestimmte Anklage und Strom

Wenn ein elektrisches Feld auf ein dielektrisches Material angewandt wird, antworten seine Moleküle durch das Formen mikroskopischer elektrischer Dipole — ihre Atomkerne bewegen eine winzige Entfernung in der Richtung auf das Feld, während ihre Elektronen eine winzige Entfernung in der entgegengesetzten Richtung bewegen. Das erzeugt eine makroskopische bestimmte Anklage im Material, wenn auch alle beteiligten Anklagen zu individuellen Molekülen gebunden werden. Zum Beispiel, wenn jedes Molekül dasselbe antwortet, das dem ähnlich ist, das in der Zahl, diesen winzigen Bewegungen der Anklage-Vereinigung gezeigt ist, um eine Schicht der positiven bestimmten Anklage auf einer Seite des Materials und eine Schicht der negativen Anklage auf der anderen Seite zu erzeugen. Die bestimmte Anklage wird in Bezug auf eine Polarisation, P im Material am günstigsten beschrieben. Wenn P gleichförmig ist, wird eine makroskopische Trennung der Anklage nur an den Oberflächen erzeugt, wo P eingehen und das Material verlassen. Für ungleichförmigen P wird eine Anklage auch im Hauptteil erzeugt.

Etwas ähnlich in allen Materialien stellen die konstituierenden Atome magnetische Momente aus, die mit dem winkeligen Schwung der Bestandteile der Atome, am meisten namentlich ihre Elektronen wirklich verbunden werden. Die Verbindung zum winkeligen Schwung deutet das Bild eines Zusammenbaues von mikroskopischen aktuellen Schleifen an. Außerhalb des Materials ist ein Zusammenbau solcher mikroskopischen aktuellen Schleifen von einem makroskopischen aktuellen Zirkulieren um die Oberfläche des Materials nicht verschieden, ungeachtet der Tatsache dass kein individueller magnetischer Moment eine große Entfernung reist. Diese bestimmten Ströme können mit der Magnetisierung M beschrieben werden.

Die sehr komplizierten und granulierten bestimmten Anklagen und gebundenen Ströme, kann deshalb auf der makroskopischen Skala in Bezug auf P und M vertreten werden, die diese Anklagen und Ströme auf einem genug in großem Umfang im Durchschnitt betragen, um die Körnung von individuellen Atomen, sondern auch genug klein nicht zu sehen, den sie mit der Position im Material ändern. Als solcher ignorieren die makroskopischen Gleichungen von Maxwell viele Details auf einer feinen Skala, die zum Verstehen von Sachen auf einer groben Skala durch das Rechnen von Feldern unwichtig sein kann, die über ein suitabe Volumen durchschnittlich sind.

Gleichungen

Bestimmende Beziehungen

Um 'die makroskopischen Gleichungen von Maxwell anzuwenden, ist es notwendig, die Beziehungen zwischen Versetzung Feld D und E, und das magnetische H-Feld H und B anzugeben. Diese Gleichungen geben die Antwort der bestimmten Anklage und des Stroms zu den angewandten Feldern an und werden bestimmende Beziehungen genannt.

Die Bestimmung der bestimmenden Beziehung zwischen den Hilfsfeldern D und H und dem E und den B Feldern fängt mit der Definition der Hilfsfelder selbst an:

::

wo P das Polarisationsfeld ist und M das Magnetisierungsfeld ist, die in Bezug auf mikroskopische bestimmte Anklagen definiert werden und Strom beziehungsweise gebunden haben. Vor dem Bekommen dazu, wie man M und P berechnet, ist es nützlich, einige spezielle Fälle zu untersuchen, dennoch.

Ohne magnetische oder dielektrische Materialien

Ohne magnetische oder dielektrische Materialien sind die bestimmenden Beziehungen einfach:

:

wo ε und μ zwei universale Konstanten, genannt den permittivity des freien Raums und die Durchdringbarkeit des freien Raums beziehungsweise sind. Das Ersetzen von diesen bewegt sich in die makroskopische Gleichungsleitung von Maxwell direkt zu den mikroskopischen Gleichungen von Maxwell rückwärts, außer dass die Ströme und Anklagen durch freie Ströme und freie Anklagen ersetzt werden. Das wird erwartet, da es keine bestimmten Anklagen noch Ströme gibt.

Isotropische geradlinige Materialien

In einem (isotropischen) geradlinigen Material, wo P zu E proportional ist, und ist M zu B proportional, die bestimmenden Beziehungen sind auch aufrichtig. In Bezug auf die Polarisation P und die Magnetisierung M sind sie:

:

wo χ und χ die elektrische und magnetische Empfänglichkeit eines gegebenen Materials beziehungsweise sind. In Bezug auf D und H sind die bestimmenden Beziehungen:

:

wo ε und μ Konstanten sind (die vom Material abhängen), genannt den permittivity und die Durchdringbarkeit, beziehungsweise, des Materials. Diese sind mit der Empfänglichkeit verbunden durch:

:

In den bestimmenden Beziehungen oben in die Gleichungen von Maxwell im geradlinigen, dispersionless vertretend, sind Zeit-Invariant Materialien (Differenzial formen sich nur):

::::

Diese sind zur allgemeinen Formulierung in Bezug auf E und B formell identisch (gegeben oben), außer dass der permittivity des freien Raums durch den permittivity des Materials ersetzt wurde, wurde die Durchdringbarkeit des freien Raums durch die Durchdringbarkeit des Materials ersetzt, und nur freie Anklagen und Ströme werden (statt aller Anklagen und Ströme) eingeschlossen. Wenn dieses Material im Raum, ε nicht homogen ist und μ der abgeleiteten Ausdrücke auf den linken Seiten nicht ausgeklammert werden kann.

Allgemeiner Fall

Für wirkliche Materialien sind die bestimmenden Beziehungen nicht geradlinig, außer ungefähr. Das Rechnen der bestimmenden Beziehungen von den ersten Grundsätzen ist mit Bestimmung verbunden, wie P und M von einem gegebenen E und B geschaffen werden. Diese Beziehungen können (gestützt direkt auf Maßen) empirisch, oder (gestützt auf der statistischen Mechanik, der Transporttheorie oder den anderen Werkzeugen der kondensierten Sache-Physik) theoretisch sein. Das verwendete Detail kann makroskopisch oder abhängig von Niveau mikroskopisch sein, das für das Problem unter Prüfung notwendig ist.

Im Allgemeinen, obwohl die bestimmenden Beziehungen gewöhnlich noch geschrieben werden können:

:

aber ε und μ sind nicht, im Allgemeinen, einfache Konstanten, aber fungiert eher. Beispiele sind:

• Streuung und Absorption, wo ε und μ Funktionen der Frequenz sind. (Kausalität erlaubt Materialien nicht, nondispersive zu sein; sieh zum Beispiel, Kramers-Kronig Beziehungen). Keiner tut die Felder müssen in der Phase sein, die zu ε und μ führt, der kompliziert ist. Das führt auch zu Absorption.
• Bi-(eine) Isotropie, wo H und D sowohl von B als auch von E abhängen:

:

• Nichtlinearität, wo ε und μ Funktionen von E und B sind.
• Anisotropy (wie Doppelbrechung oder Zweifarbigkeit), der vorkommt, wenn ε und μ Tensor der zweiten Reihe, sind

:

• Abhängigkeit von P und M auf E und B an anderen Positionen und Zeiten. Das konnte wegen der Rauminhomogenität sein; zum Beispiel in einer domained Struktur, heterostructure oder einem flüssigen Kristall, oder meistens in der Situation, wo es einfach vielfache Materialien gibt, die verschiedene Gebiete des Raums besetzen). Oder es konnte wegen einer unterschiedlichen Zeit mittler oder wegen der magnetischen Trägheit sein. In solchen Fällen kann P und M als berechnet werden:

:

\hat {\\chi} _e (\mathbf {r}, \mathbf {r} ', t, t'; \mathbf {E}) \, \mathbf {E} (\mathbf {r} ', t') </Mathematik>

:

\hat {\\chi} _m (\mathbf {r}, \mathbf {r} ', t, t'; \mathbf {B}) \, \mathbf {B} (\mathbf {r} ', t'), </Mathematik>

:in, der der permittivity und die Durchdringbarkeitsfunktionen durch Integrale über mehr General Electric und magnetische Empfänglichkeit ersetzt werden.

In der Praxis haben einige Material-Eigenschaften einen unwesentlichen Einfluss in besonderen Verhältnissen, Vernachlässigung von kleinen Effekten erlaubend. Zum Beispiel: Optische Nichtlinearitäten können für niedrige Feldkräfte vernachlässigt werden; materielle Streuung ist unwichtig, wenn Frequenz auf eine schmale Bandbreite beschränkt wird; materielle Absorption kann für Wellenlängen vernachlässigt werden, für die ein Material durchsichtig ist; und Metallen mit dem begrenzten Leitvermögen wird häufig an längeren oder Mikrowellenwellenlängen als vollkommene Metalle mit dem unendlichen Leitvermögen näher gekommen (harte Barrieren mit der Nulleindringtiefe des Felddurchdringens bildend).

Es kann bemerkt werden, dass künstliche Materialien entworfen werden können, um permittivity und Durchdringbarkeit, wie metamaterials und photonic Kristalle kundengerecht angefertigt zu haben.

Berechnung von bestimmenden Beziehungen

Im Allgemeinen werden die bestimmenden Gleichungen durch das Rechnen theoretisch bestimmt, wie ein Molekül auf die lokalen Felder durch die Kraft von Lorentz antwortet. Andere Kräfte müssen eventuell ebenso wie Gitter-Vibrationen in Kristallen oder Band-Kräften modelliert werden. Einschließlich aller Kräfte führt zu Änderungen im Molekül, die verwendet werden, um P und M als eine Funktion der lokalen Felder zu berechnen.

Die lokalen Felder unterscheiden sich von den angewandten Feldern wegen der Felder, die durch die Polarisation und Magnetisierung des nahe gelegenen Materials erzeugt sind; eine Wirkung, die auch modelliert werden muss. Weiter sind echte Materialien nicht dauernde Medien; die lokalen Felder von echten Materialien ändern sich wild auf der Atomskala. Die Felder müssen über ein passendes Volumen durchschnittlich sein, um eine Kontinuum-Annäherung zu bilden.

Diese Kontinuum-Annäherungen verlangen häufig einen Typ des Quants mechanische Analyse wie Quant-Feldtheorie in Bezug auf die kondensierte Sache-Physik., Sieh zum Beispiel, Dichte funktionelle Theorie, Grüne-Kubo Beziehungen und die Funktion von Green. Verschiedene ungefähre Transportgleichungen haben sich zum Beispiel entwickelt, die Gleichung von Boltzmann oder die Gleichung von Fokker-Planck oder Navier-schüren Gleichungen. Einige Beispiele, wo diese Gleichungen angewandt werden, sind magnetohydrodynamics, flüssige Dynamik, electrohydrodynamics, Supraleitfähigkeit, das Plasmamodellieren. Ein kompletter physischer Apparat, um sich mit diesen Sachen zu befassen, hat sich entwickelt. Ein verschiedener Satz von homogenization Methoden (sich von einer Tradition in behandelnden Materialien wie Konglomerate und Folien entwickelnd), basiert nach der Annäherung eines inhomogeneous Materials durch ein homogenes wirksames Medium (gültig für Erregung mit Wellenlängen, die viel größer sind als die Skala der Inhomogenität).

Das theoretische Modellieren der Eigenschaften der Kontinuum-Annäherung von vielen echten Materialien verlässt sich häufig auf Maß ebenso, zum Beispiel, ellipsometry Maße.

Geschichte

Beziehung zwischen der Elektrizität, dem Magnetismus und der Geschwindigkeit des Lichtes

Die Beziehung zwischen der Elektrizität, dem Magnetismus und der Geschwindigkeit des Lichtes kann durch die moderne Gleichung zusammengefasst werden:

:

Die linke Seite ist die Geschwindigkeit des Lichtes, und die Rechte ist eine mit den Gleichungen verbundene Menge, Elektrizität und Magnetismus regelnd. Obwohl die Rechte Einheiten der Geschwindigkeit hat, kann sie aus Maßen von elektrischen und magnetischen Kräften abgeleitet werden, die keine physischen Geschwindigkeiten einschließen. Deshalb hat das Herstellen dieser Beziehung überzeugende Beweise zur Verfügung gestellt, dass Licht ein elektromagnetisches Phänomen ist.

Die Entdeckung dieser Beziehung hat 1855 angefangen, als Wilhelm Eduard Weber und Rudolf Kohlrausch beschlossen haben, dass es eine Menge gab, die mit der Elektrizität und dem Magnetismus verbunden ist, "hat das Verhältnis der absoluten elektromagnetischen Einheit der Anklage zur absoluten elektrostatischen Einheit der Anklage" (auf der modernen Sprache, dem Wert), und beschlossen, dass es Einheiten der Geschwindigkeit haben sollte. Sie haben dann dieses Verhältnis durch ein Experiment gemessen, das mit Aufladung und Entladung eines Glases von Leyden und dem Messen der magnetischen Kraft vom Entladungsstrom verbunden gewesen ist, und einen Wert bemerkenswert in der Nähe von der Geschwindigkeit des Lichtes gefunden hat, das kürzlich an von Hippolyte Fizeau 1848 und an von Léon Foucault 1850 gemessen worden war. Jedoch haben Weber und Kohlrausch die Verbindung zur Geschwindigkeit des Lichtes nicht gemacht. Zum Ende von 1861, während er am Teil III seines Papiers Auf Physischen Linien der Kraft gearbeitet hat, ist Maxwell von Schottland nach London gereist und hat Weber und die Ergebnisse von Kohlrausch nachgeschlagen. Er hat sie in ein Format umgewandelt, das mit seinen eigenen Schriften vereinbar war, und dabei er die Verbindung mit der Geschwindigkeit des Lichtes hergestellt hat und beschlossen hat, dass Licht eine Form der elektromagnetischen Radiation ist.

Die Begriff-Gleichungen von Maxwell

Die Gleichungen des vier modernen Maxwells können individuell überall in seinem 1861-Papier gefunden werden, hat theoretisch das Verwenden eines molekularen Wirbelwind-Modells der "Linien von Michael Faraday der Kraft" und in Verbindung mit dem experimentellen Ergebnis von Weber und Kohlrausch abgeleitet. Aber erst als 1884, dass Oliver Heaviside, gleichzeitig mit der ähnlichen Arbeit von Willard Gibbs und Heinrich Hertz, die vier zusammen in einen verschiedenen Satz gruppiert hat. Diese Gruppe von vier Gleichungen war verschiedenartig als die Gleichungen des Hertz-Heaviside und die Maxwell-Hertz-Gleichungen bekannt, und ist manchmal noch als die Gleichungen von Maxwell-Heaviside bekannt.

Der Beitrag von Maxwell zur Wissenschaft im Produzieren dieser Gleichungen liegt in der Korrektur, die er zum circuital Gesetz von Ampère in seiner 1861-Zeitung Auf Physischen Linien der Kraft gemacht hat. Er hat den Versetzungsstrom-Begriff zum circuital Gesetz von Ampère hinzugefügt, und das hat ihm ermöglicht, die elektromagnetische Wellengleichung in seiner späteren 1865-Zeitung Eine Dynamische Theorie des Elektromagnetischen Feldes abzuleiten und die Tatsache zu demonstrieren, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist. Diese Tatsache wurde dann später experimentell von Heinrich Hertz 1887 bestätigt. Der Physiker Richard Feynman hat vorausgesagt, dass, "Wird der amerikanische Bürgerkrieg in die provinzielle Geringfügigkeit im Vergleich mit diesem wichtigen wissenschaftlichen Ereignis desselben Jahrzehnts blass werden."

Das Konzept von Feldern wurde durch, unter anderen, Faraday eingeführt. Albert Einstein hat geschrieben:

Heaviside hat gearbeitet, um die Potenziale zu beseitigen (elektrisches potenzielles und magnetisches Potenzial), den Maxwell als die Hauptkonzepte in seinen Gleichungen verwendet hatte; diese Anstrengung war etwas umstritten, obwohl es vor 1884 verstanden wurde, dass sich die Potenziale mit der Geschwindigkeit des Lichtes wie die Felder, verschieden vom Konzept der sofortigen Handlung in einer Entfernung wie dann Vorstellung des Gravitationspotenzials fortpflanzen müssen. Moderne Analyse, zum Beispiel, Radioantennen, macht vollen Gebrauch des Vektoren von Maxwell und Skalarpotenziale, um die Variablen, eine allgemeine Technik zu trennen, die in der Formulierung der Lösungen von Differenzialgleichungen verwendet ist. Jedoch können die Potenziale durch die algebraische Manipulation der vier grundsätzlichen Gleichungen eingeführt werden.

Auf physischen Linien der Kraft

Der vier moderne Tag die Gleichungen von Maxwell ist überall im 1861-Papier von Maxwell Auf Physischen Linien der Kraft erschienen:

1. Gleichung (56) in der 1861-Zeitung von Maxwell ist   B = 0.
2. Gleichung (112) ist das circuital Gesetz von Ampère mit dem hinzugefügten Versetzungsstrom von Maxwell. Es ist die Hinzufügung des Versetzungsstroms, der der bedeutendste Aspekt der Arbeit von Maxwell im Elektromagnetismus ist, weil es ihm ermöglicht hat, später die elektromagnetische Wellengleichung in seiner 1865-Zeitung Eine Dynamische Theorie des Elektromagnetischen Feldes abzuleiten, und folglich zu zeigen, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist. Es ist deshalb dieser Aspekt der Arbeit von Maxwell, die den Gleichungen ihre volle Bedeutung gibt. (Interessanterweise hat Kirchhoff die Gleichungen des Telegrafenbeamten 1857 abgeleitet, ohne Versetzungsstrom zu verwenden. Aber er hat wirklich die Gleichung von Poisson und die Gleichung der Kontinuität verwendet, die die mathematischen Zutaten des Versetzungsstroms sind. Dennoch hat Kirchhoff geglaubt, dass seine Gleichungen nur innerhalb einer elektrischen Leitung anwendbar waren, und so wird ihn nicht zugeschrieben entdeckt zu haben, dass Licht eine elektromagnetische Welle ist).
3. Gleichung (115) ist das Gesetz von Gauss.
4. Gleichung (54) ist eine Gleichung, die Oliver Heaviside als 'das Gesetz von Faraday' gekennzeichnet hat. Diese Gleichung befriedigt die Zeit unterschiedlicher Aspekt der elektromagnetischen Induktion, aber nicht für den Bewegungs-veranlassten Aspekt, wohingegen das ursprüngliche Fluss-Gesetz von Faraday beide Aspekte befriedigt. Maxwell befasst sich mit dem Bewegungs-abhängigen Aspekt der elektromagnetischen Induktion, v × B, an der Gleichung (77). Gleichung (77), der dasselbe als Gleichung (D) in den Gleichungen des ursprünglichen acht Maxwells ist, die unten verzeichnet sind, entspricht in jeder Hinsicht zum modernen Tageskraft-Gesetz F = q (E + v × B), der neben den Gleichungen von Maxwell sitzt und den Namen Kraft von Lorentz trägt, wenn auch Maxwell es abgeleitet hat, als Lorentz noch ein junger Junge war.

Der Unterschied zwischen dem B und den H Vektoren kann zurück zum 1855-Papier von Maxwell genannt Auf den Linien von Faraday der Kraft verfolgt werden, die zum Cambridge Philosophische Gesellschaft gelesen wurde. Das Papier hat ein vereinfachtes Modell der Arbeit von Faraday präsentiert, und wie die zwei Phänomene verbunden gewesen sind. Er hat alle aktuellen Kenntnisse in einen verbundenen Satz von Differenzialgleichungen reduziert.

Es wird später in seinem Konzept eines Meeres von molekularen Wirbelwinden geklärt, das in seiner 1861-Zeitung Auf Physischen Linien der Kraft erscheint. Innerhalb dieses Zusammenhangs hat H reinen vorticity (Drehung) vertreten, wohingegen B ein belasteter vorticity war, der für die Dichte des Wirbelwind-Meeres beschwert wurde. Maxwell hat gedacht, dass magnetische Durchdringbarkeit µ ein Maß der Dichte des Wirbelwind-Meeres war. Folglich die Beziehung,

1. Magnetischer Induktionsstrom verursacht eine magnetische aktuelle Dichte B = μ H war im Wesentlichen eine Rotationsanalogie zur geradlinigen Beziehung des elektrischen Stroms,
2. Elektrischer Konvektionsstrom J = ρ v, wo ρ elektrische Anklage-Dichte ist. B wurde als eine Art magnetischer Strom von Wirbelwinden gesehen, die in ihren axialen Flugzeugen mit H ausgerichtet sind die circumferential Geschwindigkeit der Wirbelwinde zu sein. Mit µ, der Wirbelwind-Dichte vertritt, hieraus folgt dass das Produkt von µ mit vorticity H zum magnetischen Feld angezeigt als B führt.

Die Gleichung des elektrischen Stroms kann als ein convective Strom der elektrischen Anklage angesehen werden, die geradlinige Bewegung einschließt. Analog ist die magnetische Gleichung ein induktiver Strom, der Drehung einschließt. Es gibt keine geradlinige Bewegung im induktiven Strom entlang der Richtung des B Vektoren. Der magnetische induktive Strom vertritt Linien der Kraft. Insbesondere es vertritt Linien der umgekehrten Quadratgesetzkraft.

Die Erweiterung der obengenannten Rücksichten bestätigt, dass, wo B zu H ist, und wo J zu ρ dann ist, es notwendigerweise aus dem Gesetz von Gauss und von der Gleichung der Kontinuität der Anklage folgt, dass E zu D. ist d. h. B passt mit E an, wohingegen H mit D anpasst.

Eine dynamische Theorie des elektromagnetischen Feldes

1864 hat Maxwell Eine Dynamische Theorie des Elektromagnetischen Feldes veröffentlicht, in dem er gezeigt hat, dass Licht ein elektromagnetisches Phänomen war.

Die Verwirrung über den Begriff "die Gleichungsvon Maxwell" entsteht manchmal, weil es für eine Reihe acht Gleichungen verwendet worden ist, die im Teil III von 1864-Papier von Maxwell Eine Dynamische Theorie des Elektromagnetischen Feldes, betitelt "Allgemeine Gleichungen des Elektromagnetischen Feldes" erschienen sind, und diese Verwirrung durch das Schreiben von sechs jener acht Gleichungen als drei getrennte Gleichungen (ein für jede der Kartesianischen Äxte) zusammengesetzt wird, auf zwanzig Gleichungen und zwanzig unknowns hinauslaufend. (Wie bemerkt, oben ist diese Fachsprache nicht üblich: Moderne Verweisungen auf den Begriff "die Gleichungsvon Maxwell" beziehen sich auf die Neuformulierungen von Heaviside.)

Die Gleichungen des acht ursprünglichen Maxwells können in der modernen Vektor-Notation wie folgt geschrieben werden:

(A) Das Gesetz von Gesamtströmen

:

(B) Die Gleichung der magnetischen Kraft

:

Das circuital Gesetz von (C) Ampère

:

(D) Elektromotorische Kraft, die durch die Konvektion, Induktion, und durch die statische Elektrizität geschaffen ist. (Das ist tatsächlich die Kraft von Lorentz)

:

(E) Die elektrische Elastizitätsgleichung

:

(F) Das Gesetz des Ohms

:

Das Gesetz von (G) Gauss

:

(H) Gleichung der Kontinuität

:

oder

:

Notation

: H ist das Magnetisieren-Feld, das Maxwell die magnetische Intensität genannt hat.

:J ist die aktuelle Dichte (withJ der Gesamtstrom einschließlich des Versetzungsstroms zu sein).

: D ist das Versetzungsfeld (hat die elektrische Versetzung durch Maxwell genannt).

: ρ ist die freie Anklage-Dichte (hat die Menge der freien Elektrizität durch Maxwell genannt).

: A ist das magnetische Potenzial (hat den winkeligen Impuls durch Maxwell genannt).

: E wird die elektromotorische Kraft von Maxwell genannt. Elektromotorische Gewalt des Begriffes wird heutzutage für die Stromspannung angewendet, aber es ist vom Zusammenhang klar, dass die Bedeutung von Maxwell mehr zum modernen Begriff elektrisches Feld entsprochen hat.

: φ ist das elektrische Potenzial (den Maxwell auch elektrisches Potenzial genannt hat).

: σ ist das elektrische Leitvermögen (Maxwell hat das Gegenteil des Leitvermögens den spezifischen Widerstand genannt, was jetzt den spezifischen Widerstand genannt wird).

Es ist interessant, den μv × H Begriff zu bemerken, der in der Gleichung D erscheint. Gleichung D ist deshalb effektiv die Kraft von Lorentz, ähnlich zur Gleichung (77) seines 1861-Papiers (sieh oben).

Wenn Maxwell die elektromagnetische Wellengleichung in seiner 1865-Zeitung ableitet, verwendet er Gleichung D, um elektromagnetische Induktion aber nicht das Gesetz von Faraday der Induktion zu befriedigen, die in modernen Lehrbüchern verwendet wird. (Das Gesetz von Faraday selbst erscheint unter seinen Gleichungen nicht.) Jedoch lässt Maxwell den μv × H Begriff von der Gleichung D fallen, wenn er die elektromagnetische Wellengleichung ableitet, weil er die Situation nur vom Rest-Rahmen denkt.

Eine Abhandlung auf der Elektrizität und dem Magnetismus

In Einer Abhandlung auf der Elektrizität und dem Magnetismus, einer 1873-Abhandlung auf dem von James Clerk Maxwell geschriebenen Elektromagnetismus, werden elf allgemeine Gleichungen des elektromagnetischen Feldes verzeichnet, und diese schließen die acht ein, die in der 1865-Zeitung verzeichnet werden.

Die Gleichungen und Relativität von Maxwell

Die ursprünglichen Gleichungen von Maxwell basieren auf der Idee, dass Licht durch ein Meer von molekularen Wirbelwinden bekannt als "luminiferous Narkoseäther" reist, und dass die Geschwindigkeit des Lichtes zum Bezugsrahmen dieses Narkoseäthers jeweilig sein muss. Maße haben vorgehabt zu messen die Geschwindigkeit der Erde durch den Narkoseäther hat diesen Begriff kollidiert, dennoch.

Eine theoretischere Annäherung wurde von Hendrik Lorentz zusammen mit George FitzGerald und Joseph Larmor angedeutet. Sowohl Larmor (1897) als auch Lorentz (1899, 1904) haben die Transformation von Lorentz (so genannt von Henri Poincaré) abgeleitet wie ein, unter dem die Gleichungen von Maxwell invariant waren. Poincaré (1900) hat die Koordination von bewegenden Uhren analysiert, indem er leichte Signale ausgetauscht hat. Er hat auch das mathematische Gruppeneigentum der Transformation von Lorentz (Poincaré 1905) eingesetzt. Manchmal wird diese Transformation FitzGerald - Transformation von Lorentz oder sogar FitzGerald - Lorentz - Transformation von Einstein genannt.

Albert Einstein hat den Begriff des Narkoseäthers als ein unnötiger abgewiesen, und er hat beschlossen, dass die Gleichungen von Maxwell die Existenz einer festen Geschwindigkeit des Lichtes vorausgesagt haben, das der Geschwindigkeit des Beobachters unabhängig ist. Folglich hat er die Gleichungen von Maxwell als der Startpunkt für seine Spezielle Relativitätstheorie verwendet. Dabei hat er festgestellt, dass FitzGerald - Lorentz Transformation für die ganze Sache und Raum, und nicht nur die Gleichungen von Maxwell gültig ist. Die Gleichungen von Maxwell haben eine Schlüsselrolle im groundbreaking von Einstein scientic Papier auf der Speziellen Relativität (1905) gespielt. Zum Beispiel, im öffnenden Paragrafen seines Papiers, hat er seine Theorie begonnen, indem er bemerkt hat, dass eine Beschreibung eines elektrischen Leiters, der sich in Bezug auf einen Magnet bewegt, eine konsistente Menge von Feldern unabhängig davon erzeugen muss, ob die Kraft im Rest-Rahmen des Magnets oder diesem des Leiters berechnet wird.

Die Allgemeine Relativitätstheorie hat auch hat eine nahe Beziehung mit den Gleichungen von Maxwell. Zum Beispiel haben Theodor Kaluza und Oskar Klein duirng die 1920er Jahre gezeigt, dass die Gleichungen von Maxwell durch das Verlängern Allgemeiner Relativität in fünf physische Dimensionen abgeleitet werden konnten. Diese Strategie, zusätzliche Dimensionen zu verwenden, um verschiedene Kräfte zu vereinigen, bleibt ein aktives Gebiet von der Forschung in der Physik.

Modifiziert, um magnetische Monopole einzuschließen

Die Gleichungen von Maxwell sorgen für eine elektrische Anklage, aber postulieren keine magnetische Anklage. Magnetische Anklage ist nie gesehen worden und kann nicht bestehen. Dennoch sind die Gleichungen von Maxwell einschließlich der magnetischen Anklage (und des magnetischen Stroms) von einem theoretischen Interesse.

Aus einem Grund können die Gleichungen von Maxwell völlig symmetrisch unter dem Austausch des elektrischen und magnetischen Feldes durch das Berücksichtigen der Möglichkeit von magnetischen Anklagen mit der magnetischen Anklage-Dichte ρ und Ströme mit der magnetischen aktuellen Dichte J gemacht werden. Die Gleichungen des verlängerten Maxwells (in cgs-Gaussian Einheiten) sind:

:

Wenn magnetische Anklagen nicht bestehen, oder wenn sie bestehen, aber nicht im studierten Gebiet, dann sind die neuen Variablen Null, und die symmetrischen Gleichungen nehmen zu den herkömmlichen Gleichungen des Elektromagnetismus wie  ab · B = 0. Weiter, wenn jede Partikel dasselbe Verhältnis von elektrischen zur magnetischen Anklage hat, dann können ein E und ein B Feld definiert werden, der der Gleichung des normalen Maxwells folgt (keine magnetischen Anklagen oder Ströme habend), mit seiner eigenen Anklage und aktuellen Dichten.

Das Lösen der Gleichungen von Maxwell

Die Gleichungen von Maxwell sind teilweise Differenzialgleichungen, die die elektrischen und magnetischen Felder mit einander und mit den elektrischen Anklagen und Strömen verbinden. Häufig sind die Anklagen und Ströme selbst von den elektrischen und magnetischen Feldern über die Kraft-Gleichung von Lorentz und die bestimmenden Beziehungen abhängig. Diese alle bilden eine Reihe verbundener teilweiser Differenzialgleichungen, die häufig sehr schwierig sind zu lösen. Tatsächlich umfassen die Lösungen dieser Gleichungen alle verschiedenen Phänomene im kompletten Feld des klassischen Elektromagnetismus. Eine gründliche Diskussion ist weit außer dem Spielraum des Artikels, aber einige allgemeine Zeichen folgen:

• Wie jede Differenzialgleichung sind Grenzbedingungen und anfängliche Bedingungen für eine einzigartige Lösung notwendig. Zum Beispiel, sogar ohne Anklagen und keine Ströme überall in der Raum-Zeit, sind viele Lösungen der Gleichungen von Maxwell, nicht nur die offensichtliche Lösung E=B=0 möglich. Eine andere Lösung ist E=constant, B=constant, während noch andere Lösungen elektromagnetische Wellen haben, die Raum-Zeit füllen. In einigen Fällen werden die Gleichungen von Maxwell durch den unendlichen Raum gelöst, und Grenzbedingungen werden als asymptotische Grenzen an der Unendlichkeit gegeben. In anderen Fällen werden die Gleichungen von Maxwell in gerade einem begrenzten Gebiet des Raums mit passenden Grenzbedingungen auf diesem Gebiet gelöst: Zum Beispiel konnte die Grenze eine künstliche fesselnde Grenze sein, die den Rest des Weltalls oder periodische Grenzbedingungen vertritt, oder (als mit einem Wellenleiter oder Höhle-Resonator) die Grenzbedingungen können die Wände beschreiben, die ein kleines Gebiet von außen Welt isolieren.
• Die Gleichungen von Jefimenko (oder die nah zusammenhängenden Liénard-Wiechert Potenziale) sind die ausführliche Lösung der Gleichungen von Maxwell für die elektrischen und magnetischen Felder, die durch jeden gegebenen Vertrieb von Anklagen und Strömen geschaffen sind. Es nimmt spezifische anfängliche Bedingungen an, die so genannte "zurückgebliebene Lösung" zu erhalten, wo die einzigen Felder präsentieren, sind diejenigen, die durch die Anklagen geschaffen sind. Die Gleichungen von Jefimenko sind in Situationen nicht so nützlich, wenn die Anklagen und Ströme selbst durch die Felder betroffen werden, schaffen sie.
• Numerische Methoden für Differenzialgleichungen können verwendet werden, um die Gleichungen von Maxwell ungefähr zu lösen, wenn eine genaue Lösung unmöglich ist. Diese Methoden verlangen gewöhnlich einen Computer, und schließen die begrenzte Element-Methode und Zeitabschnitt-Methode des begrenzten Unterschieds ein. Für mehr Details, sieh Rechenbetonten electromagnetics.
• Die Gleichungen von Maxwell scheinen überentschlossen, darin schließen sie sechs unknowns (die drei Bestandteile von E und B), aber acht Gleichungen (ein für jedes der Gesetze von zwei Gauss, drei Vektor-Bestandteile jeder für die Gesetze von Faraday und Amperes) ein. (Die Ströme und Anklagen sind nicht unknowns, frei unterscheidbares Thema seiend, um Bewahrung zu beladen.) Tatsächlich sind die Gleichungen von Maxwell etwas überflüssig; es kann bewiesen werden, dass jedes System, das das Gesetz von Faraday und das Gesetz von Ampere automatisch auch befriedigt, die Gesetze von zwei Gauss befriedigt, so lange die anfängliche Bedingung des Systems tut. Deshalb ignorieren numerische Algorithmen häufig die Gesetze von zwei Gauss, obwohl genauere Algorithmen sie in Betracht ziehen, um numerische Ungenauigkeit zu minimieren.

Einheiten von Gaussian

Einheiten von Gaussian sind eine populäre Elektromagnetismus-Variante des Zentimeter-Gramms das zweite System von Einheiten (cgs). In gaussian Einheiten sind die Gleichungen von Maxwell:

::::

wo c die Geschwindigkeit des Lichtes in einem Vakuum ist. Die mikroskopischen Gleichungen sind:

::::

Die Beziehung zwischen dem elektrischen Versetzungsfeld, dem elektrischen Feld und der Polarisationsdichte ist:

:

Und ebenfalls die Beziehung zwischen der magnetischen Induktion, magnetische Feld- und Gesamtmagnetisierung ist:

:

In der geradlinigen Annäherung werden die elektrische Empfänglichkeit und magnetische Empfänglichkeit so dass definiert:

:

(Zeichen: Obwohl die Empfänglichkeit ohne Dimension Zahlen sowohl in cgs als auch in SI ist, unterscheiden sie sich im Wert durch einen Faktor 4π.)

Der permittivity und die Durchdringbarkeit sind:

:

so dass

:

Im Vakuum, ε = μ = 1, deshalb D = E, und B = H.

Die Kraft, die auf eine beladene Partikel durch das elektrische magnetische und Feldfeld ausgeübt ist, wird durch die Kraft-Gleichung von Lorentz gegeben:

:

wo q die Anklage auf der Partikel ist und v die Partikel-Geschwindigkeit ist. Das ist vom Ausdruck der SI-EINHEIT oben ein bisschen verschieden. Zum Beispiel hat das magnetische Feld B dieselben Einheiten wie das elektrische Feld E.

Einige Gleichungen im Artikel werden in Einheiten von Gaussian, aber nicht SI oder umgekehrt gegeben. Glücklich gibt es allgemeine Regeln, sich von einem bis den anderen umzuwandeln; sieh die Einheiten des Artikels Gaussian für Details.

Alternative Formulierungen der Gleichungen von Maxwell

In Bezug auf einen minimalen Handlungsgrundsatz

Für die Feldformulierung der Gleichungen von Maxwell in Bezug auf einen Grundsatz der extremal Handlung, sieh den Artikel über den elektromagnetischen Tensor.

Potenzielle Formulierung

In der fortgeschrittenen klassischen Mechanik ist es häufig nützlich, und in der Quant-Mechanik ist es häufig notwendig, um die Gleichungen von Maxwell in einer potenziellen Formulierung auszudrücken, die das elektrische Potenzial (auch genannt Skalarpotenzial), φ, und das magnetische Potenzial, A, (auch genannt Vektor-Potenzial) einschließt. Diese werden solch dass definiert:

::

Mit diesen Definitionen sind die Gleichungen des zwei homogenen Maxwells (das Gesetz von Faraday und das Gesetz von Gauss für den Magnetismus) automatisch zufrieden, und die anderen zwei (inhomogeneous) Gleichungen geben die folgenden Gleichungen (für die "mikroskopischen Gleichungen von Maxwell"):

Diese Gleichungen, genommen zusammen, sind so stark und abgeschlossen wie die Gleichungen von Maxwell. Außerdem wird die Mathematik häufig vereinfacht, weil die elektrischen und magnetischen Felder jeder hat drei Vektor-Bestandteile, die an jedem Punkt oder sechs Zahlen zusammen berechnet werden müssen, während die elektrischen und magnetischen Potenziale nur vier Bestandteile zusammen haben.

Viele verschiedene Wahlen von A und φ sind mit einem gegebenen E und B im Einklang stehend, diese Wahlen physisch gleichwertig - eine als Maß-Freiheit bekannte Flexibilität machend. Die passende Wahl von A und φ kann diese Gleichungen vereinfachen, oder kann sie anpassen, um einer besonderen Situation anzupassen.

Offenbar kovariante Formulierungen

Die Gleichungen von Maxwell sind mit der speziellen Relativität genau im Einklang stehend — d. h., wenn sie in einem Trägheitsbezugsrahmen gültig sind, dann sind sie in jedem anderen Trägheitsbezugsrahmen automatisch gültig. Tatsächlich waren die Gleichungen von Maxwell in der historischen Entwicklung der speziellen Relativität entscheidend. Jedoch, in den üblichen Formulierungsgleichungen von Maxwell, ist ihre Konsistenz mit der speziellen Relativität nicht offensichtlich; es kann nur durch eine mühsame Berechnung bewiesen werden, die mit einer anscheinend wunderbaren Annullierung von verschiedenen Begriffen verbunden ist.

Denken Sie zum Beispiel einen Leiter, der sich im Feld eines Magnets bewegt. Im Rahmen des Magnets erfährt dieser Leiter eine magnetische Kraft. Aber im Rahmen eines Leiters, der sich hinsichtlich des Magnets bewegt, erfährt der Leiter eine Kraft wegen eines elektrischen Feldes. Die Bewegung entspricht genau in diesen zwei verschiedenen Bezugsrahmen, aber sie entsteht mathematisch auf ziemlich verschiedene Weisen.

Aus diesem Grund und andere ist es häufig nützlich, die Gleichungen von Maxwell in einem Weg umzuschreiben, der "offenbar kovariant" — d. h. mit der speziellen Relativität, sogar mit gerade einem flüchtigen Blick an den Gleichungen — das Verwenden kovarianter und kontravarianter vier Vektoren und Tensor offensichtlich im Einklang stehend ist.

(Diese Abteilung verwendet Notation von Einstein einschließlich der Summierungstagung von Einstein. Siehe auch Rechnung von Ricci für eine Zusammenfassung von Tensor-Index-Notationen, und Aufhebung und das Senken von Indizes für die Definition des Exponenten und Subschrift-Indizes, und wie man zwischen ihnen umschaltet. Der Minkowski metrischer Tensor hier ist " +++".)

Eine Zutat in dieser Formulierung ist der vier-Ströme-:

:

wo ρ die Anklage-Dichte ist und J die aktuelle Dichte ist.

Die andere Zutat ist der elektromagnetische Tensor, eine Reihe 2 kovarianter antisymmetrischer Tensor, der die elektrischen und magnetischen Felder verbindet:

:

0 & E_x/c & E_y/c & E_z/c \\

- E_x/c & 0 & B_z &-b_y \\

- E_y/c &-b_z & 0 & B_x \\

- E_z/c & B_y &-b_x & 0

\end {Matrix} \right). </Mathematik>

Mit diesen Zutaten können die Gleichungen von Maxwell geschrieben werden:

Bemerken Sie die zyklische Versetzung von Indizes in der zweiten Gleichung:

& \scriptstyle {\\Alpha \, \, \longrightarrow \, \, \beta} \\

& \nwarrow_\gamma \swarrow

\end {ordnen }\

</Mathematik>.

Die erste Tensor-Gleichung ist ein Ausdruck der Gleichungen von zwei inhomogeneous Maxwell, des Gesetzes von Gauss und des Gesetzes von Ampère mit der Korrektur von Maxwell. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck der zwei homogenen Gleichungen, das Gesetz von Faraday der Induktion und das Gesetz von Gauss für den Magnetismus.

Eine alternative offenbar kovariante Formulierung verwendet Potenziale (als in der vorherigen Abteilung) im Maß von Lorenz. Das schließt den elektromagnetischen durch definierten vier-Potenziale-ein

:

gebildet vom Vektor-Potenzial A und dem Skalarpotenzial φ. Die resultierende einzelne Gleichung, wegen Arnold Sommerfelds, einer Generalisation einer Gleichung wegen Bernhard Riemanns und bekannt als die Gleichung von Riemann-Sommerfeld oder die kovariante Form der Gleichungen von Maxwell, ist:

wo der Maschinenbediener von d'Alembertian, oder vier-Laplacian, manchmal schriftlich ist, oder, wo der vier-Anstiege-ist.

Geometrische Differenzialformulierungen

Im freien Raum, wo ε = ε und μ = μ überall unveränderlich sind, vereinfachen die Gleichungen von Maxwell beträchtlich, sobald die Sprache der Differenzialgeometrie und Differenzialformen verwendet wird. Worin, cgs-Gaussian Einheiten, nicht folgt, werden SI-Einheiten verwendet. (Um sich zum SI umzuwandeln, sieh hier.) Die elektrischen und magnetischen Felder werden jetzt durch einen 2-Formen-F in einer 4-dimensionalen Raum-Zeit-Sammelleitung gemeinsam beschrieben. Die Gleichungen von Maxwell nehmen dann zur Identität von Bianchi und der Quellgleichung beziehungsweise ab:

wo d die Außenableitung — eine natürliche Koordinate und metrischer unabhängiger Differenzialoperator anzeigt, der Formen folgt, und der (doppel)-Sternmaschinenbediener von Hodge eine geradlinige Transformation vom Raum von 2 Formen zum Raum (42) - Formen ist, die durch das metrische im Raum von Minkowski (in vier Dimensionen sogar durch jeden metrischen conformal dazu definiert sind, metrisch). Die Felder sind in natürlichen Einheiten wo 1/4πε = 1. Hier wird der 3-Formen-J die Form des elektrischen Stroms oder aktuelle 3-Formen-Zufriedenheit der Kontinuitätsgleichung genannt

:

Der 3-Formen-Strom kann über ein 3-dimensionales Raum-Zeit-Gebiet integriert werden. Die physische Interpretation dieses Integrals ist die Anklage in diesem Gebiet, wenn es, oder der Betrag der Anklage raummäßig ist, die durch eine Oberfläche in einer bestimmten Zeitdauer fließt, wenn dieses Gebiet ein Raummäßigoberflächenkreuz ein Zeitmäßigzwischenraum ist.

Da die Außenableitung auf jeder Sammelleitung definiert wird, hat die Differenzialform-Version der Identität von Bianchi Sinn für jede 4-dimensionale Sammelleitung, wohingegen die Quellgleichung

wird definiert, wenn die Sammelleitung orientiert wird und metrischen Lorentz hat. Insbesondere ist die Differenzialform-Version der Gleichungen von Maxwell eine günstige und intuitive Formulierung des

Gleichungen von Maxwell in der allgemeinen Relativität.

In einer geradlinigen, makroskopischen Theorie wird der Einfluss der Sache auf dem elektromagnetischen Feld durch die allgemeinere geradlinige Transformation im Raum von 2 Formen beschrieben. Wir nennen

:

die bestimmende Transformation. Die Rolle dieser Transformation ist mit der Dualitätstransformation von Hodge vergleichbar. Die Gleichungen von Maxwell in Gegenwart von der Sache werden dann:

::

wo der aktuelle 3-Formen-J noch den Kontinuitätsgleichungs-DJ = 0 befriedigt.

Wenn die Felder ausgedrückt werden, weil geradlinige Kombinationen (Außenprodukte) der Basis θ, bilden

:

die bestimmende Beziehung nimmt die Form an

:

wo die mitwirkenden Feldfunktionen in den Indizes antisymmetrisch sind und die bestimmenden Koeffizienten in den entsprechenden Paaren antisymmetrisch sind. Insbesondere die Dualitätstransformation von Hodge, die zu den Vakuumgleichungen führt, die oben besprochen sind, wird durch die Einnahme erhalten

:

der bis zum Schuppen der einzige invariant Tensor dieses Typs ist, der mit dem metrischen definiert werden kann.

In dieser Formulierung verallgemeinert Elektromagnetismus sofort zu jeder 4-dimensionalen orientierten Sammelleitung oder mit kleinen Anpassungen jede Sammelleitung, nicht sogar einen metrischen verlangend.

So führt der Ausdruck der Gleichungen von Maxwell in Bezug auf Differenzialformen zu einem weiteren notational und Begriffsvereinfachung. Wohingegen die Gleichungen von Maxwell als zwei Tensor-Gleichungen statt acht Skalargleichungen geschrieben werden konnten, von denen die Fortpflanzung von elektromagnetischen Störungen und der Kontinuitätsgleichung mit ein bisschen Anstrengung abgeleitet werden konnte, führt das Verwenden von Differenzialformen zu einer noch einfacheren Abstammung dieser Ergebnisse.

Begriffsscharfsinnigkeit von dieser Formulierung

Auf der Begriffsseite, aus dem Gesichtswinkel von der Physik, zeigt das, dass das zweite und Drittel Gleichungen von Maxwell zusammen gruppiert werden, die homogenen genannt werden sollten, und als Identität gesehen werden, die nichts anderes ausdrückt als: Feld F ist auf ein "grundsätzlicheres" Potenzial A zurückzuführen. Während vor allen Dingen einer als die Gleichungen der Bewegung gesehen werden sollte, die über den Grundsatz von Lagrangian von kleinster Handlung, vom "Wechselwirkungsbegriff" Ein J erhalten ist (eingeführt durch das Maß kovariante Ableitungen), Kopplung das Feld, um von Bedeutung zu sein.

Häufig motiviert die Zeitableitung im dritten Gesetz das Benennen dieser "dynamischen" Gleichung, der etwas irreführend ist; im Sinne der vorhergehenden Analyse ist das eher ein Kunsterzeugnis, relativistische Kovarianz durch die Auswahl einer bevorzugten Zeitrichtung zu brechen. Um physische Grade der durch diese Feldgleichungen fortgepflanzten Freiheit zu haben, muss man einen kinetischen Begriff F *F für A einschließen; und ziehen Sie die nichtphysischen Grade der Freiheit in Betracht, die durch die Maß-Transformation Ein ' = Ein  dα entfernt werden kann. Siehe auch Maß-Befestigen und Geister von Faddeev-Popov.

Formulierung der geometrischen Algebra (GA)

In der geometrischen Algebra werden die Gleichungen von Maxwell auf eine einzelne Gleichung, reduziert

wo und Mehrvektoren sind

:

und

:

mit dem Einheitspseudoskalar.

Der GA Raumanstieg-Maschinenbediener folgt einem Vektorfeld, solch dass

:

In der Raum-Zeit-Algebra mit demselben geometrischen Produkt ist die Gleichung einfach

:

die Raum-Zeit-Ableitung des elektromagnetischen Feldes ist seine Quelle. Hier der (nichtkühne) Raum-Zeit-Anstieg

:

ist ein vier Vektor, wie die aktuelle Dichte ist

:

Für eine Demonstration, dass die gegebenen Gleichungen die Gleichungen von Maxwell wieder hervorbringen, sieh den Hauptartikel.

Klassische Elektrodynamik als die Krümmung eines Linienbündels

Eine elegante und intuitive Weise, die Gleichungen von Maxwell zu formulieren, soll komplizierte Linienbündel oder Hauptbündel mit der Faser U (1) verwenden. Die Verbindung  auf dem Linienbündel hat eine Krümmung F = , der ein zwei-Formen-ist, der automatisch dF = 0 befriedigt und als eine Feldkraft interpretiert werden kann. Wenn das Linienbündel mit der flachen Bezugsverbindung d trivial ist, können wir  = d + A und F = dA mit die 1 Form schreiben, die aus dem elektrischen Potenzial und dem magnetischen Vektor-Potenzial zusammengesetzt ist.

In der Quant-Mechanik wird die Verbindung selbst verwendet, um die Dynamik des Systems zu definieren. Diese Formulierung erlaubt eine natürliche Beschreibung der Aharonov-Bohm Wirkung. In diesem Experiment bohrt ein statisches magnetisches Feld eine lange magnetische Leitung (z.B, eine Eisenleitung magnetisiert längs gerichtet) durch. Außerhalb dieser Leitung ist die magnetische Induktion Null im Gegensatz zum Vektor-Potenzial, das im Wesentlichen vom magnetischen Fluss durch den Querschnitt durch die Leitung abhängt und draußen nicht verschwindet. Da es kein elektrisches Feld auch, der Tensor von Maxwell F = 0 überall im Raum-Zeit-Gebiet außerhalb der Tube während des Experimentes gibt. Das bedeutet definitionsgemäß, dass die Verbindung  dort flach ist.

Jedoch, wie erwähnt, hängt die Verbindung vom magnetischen Feld durch die Tube ab, da der holonomy entlang einer Non-Contractible-Kurve, die die Tube umgibt, der magnetische Fluss durch die Tube in den richtigen Einheiten ist. Das kann entdecktes Quant mechanisch mit einem Elektronbeugungsexperiment des doppelten Schlitzes auf einer Elektronwelle sein, die um die Tube reist. Der holonomy entspricht einer Extraphase-Verschiebung, die zu einer Verschiebung im Beugungsmuster führt.

Gekrümmte Raum-Zeit

Traditionelle Formulierung

Sache und Energie erzeugen Krümmung der Raum-Zeit. Das ist das Thema der allgemeinen Relativität. Die Krümmung der Raum-Zeit betrifft Elektrodynamik. Ein elektromagnetisches Feld, das Energie und Schwung auch hat, erzeugt Krümmung in der Raum-Zeit. Die Gleichungen von Maxwell in der gekrümmten Raum-Zeit können durch das Ersetzen der Ableitungen in den Gleichungen in der flachen Raum-Zeit mit kovarianten Ableitungen erhalten werden. (Ob das die passende Generalisation ist, verlangt getrennte Untersuchung.) Der sourced und die quellfreien Gleichungen werden (cgs-Gaussian Einheiten):

:und:

Hier,

:

ist ein Symbol von Christoffel, das die Krümmung der Raum-Zeit charakterisiert und  die kovariante Ableitung ist.

Formulierung in Bezug auf Differenzialformen

Die Formulierung der Gleichungen von Maxwell in Bezug auf Differenzialformen kann ohne Änderung in der allgemeinen Relativität verwendet werden. Die Gleichwertigkeit der traditionelleren allgemeinen relativistischen Formulierung mit der kovarianten Ableitung mit der Differenzialform-Formulierung kann wie folgt gesehen werden. Wählen Sie lokale Koordinaten x, der eine Basis von 1 Formen dx in jedem Punkt des offenen Satzes gibt, wo die Koordinaten definiert werden. Mit dieser Basis und cgs-Gaussian Einheiten definieren wir

• Der antisymmetrische unendlich kleine Feldtensor F, entsprechend dem Feld-2-Formen-F

:

• Der aktuelle Vektor unendlich kleiner 3-Formen-J

:

Hier ist g wie gewöhnlich die Determinante des metrischen Tensor g. Eine kleine Berechnung, die die Symmetrie der Symbole von Christoffel (d. h., die Verdrehungsfreikeit der Verbindung von Levi-Civita) und die kovariante Unveränderlichheit des Sternmaschinenbedieners von Hodge dann verwendet, zeigt, dass in dieser Koordinatennachbarschaft wir haben:

• die Identität von Bianchi

:

• die Quellgleichung

:

• die Kontinuitätsgleichung

:

Siehe auch

Referenzen

Weiterführende Literatur

Zeitschriftenartikel

• James Clerk Maxwell, "Eine Dynamische Theorie des Elektromagnetischen Feldes", Philosophische Transaktionen der Königlichen Gesellschaft Londons 155, 459-512 (1865). (Dieser Artikel hat eine Präsentation am 8. Dezember 1864 durch Maxwell zur Königlichen Gesellschaft begleitet.)

Die Entwicklungen vor der Relativität

• Joseph Larmor (1897) "Auf einer dynamischen Theorie des elektrischen und luminiferous Mediums", Phil. Trans. Roy. Soc. 190, 205-300 (Drittel und letzt in einer Reihe von Papieren mit demselben Namen).
• Hendrik Lorentz (1899) "Vereinfachte Theorie von elektrischen und optischen Phänomenen in bewegenden Systemen", Proc. Acad. Wissenschaft Amsterdam, ich, 427-43.
• Hendrik Lorentz (1904) "Elektromagnetische Phänomene in einem System, das sich mit jeder Geschwindigkeit weniger bewegt als dieses des Lichtes", Proc. Acad. Wissenschaft Amsterdam, IV, 669-78.
• Henri Poincaré (1900) "La theorie de Lorentz et la Principe de Reaction", Archive Néerlandaises, V, 253-78.
• Henri Poincaré (1901) Wissenschaft und Hypothese
• Henri Poincaré (1905) "Sur la dynamique de l'électron", Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504-8.

sieh

Universitätsniveau-Lehrbücher

Student

• Sieh besonders zweiten Teil.

Absolvent

Ältere Klassiker

• Legt die Gleichungen mit Differenzialformen dar.

Rechenbetonte Techniken

• Kapitel 8 legt mehrere Varianten der Gleichungen mit der Außenalgebra und den Differenzialformen dar.

Links

• Mathematische Aspekte der Gleichung von Maxwell werden auf dem Dispersive PDE Wiki besprochen.

Moderne Behandlungen

• Elektromagnetismus, B. Crowell, Universität von Fullerton
• Vortrag-Reihe: Relativität und Elektromagnetismus, R. Fitzpatrick, Universität Texas an Austin
• Elektromagnetische Wellen von den Gleichungen von Maxwell auf Projekt-PHYSNET.
• MIT Videovortrag-Reihe (36 x 50-minutige Vorträge) (im.mp4-Format) - Elektrizität und durch Professor Walter Lewin Unterrichteter Magnetismus.

Historisch

• James Clerk Maxwell, Eine Abhandlung auf der Elektrizität Und dem Magnetismus Vols 1 und 2 1904 — lesbarste Ausgabe mit allen Korrekturen — Antike Buchsammlung, die für das freie Lesen online passend ist.
• Maxwell, J.C. Eine Abhandlung auf Elektrizität Und Magnetismus - Band 1 - 1873 - Posner Gedächtnissammlung - Universität von Carnegie Mellon
• Maxwell, J.C. Eine Abhandlung auf Elektrizität Und Magnetismus - Band 2 - 1873 - Posner Gedächtnissammlung - Universität von Carnegie Mellon
• Auf den Linien von Faraday der Kraft - 1855/56 das erste Papier von Maxwell (Teil 1 & 2) - Kompiliert durch die Flamme-Laboratorium-Forschung (PDF)
• Das 1861-Papier von Maxwell, das magnetische Linien der Kraft - Vorgänger bis 1873 Abhandlung beschreibt

• Maxwell, James Clerk, "", Philosophische Transaktionen der Königlichen Gesellschaft Londons 155, 459-512 (1865). (Dieser Artikel hat eine Präsentation am 8. Dezember 1864 durch Maxwell zur Königlichen Gesellschaft begleitet.)
• Catt, Walton und Davidson. "Die Geschichte des Versetzungsstroms". Radiowelt, März 1979.
• Nachdruck aus Veröffentlichungen von Dover (internationale Standardbuchnummer 0 486 60636 8)
• Voller Text der 1904-Ausgabe einschließlich der vollen Textsuche.
• Eine Dynamische Theorie Des Elektromagnetischen Feldes - 1865 des 1865-Papiers von Maxwell, das seine 20 Gleichungen in 20 Unknowns - Vorgänger zur 1873-Abhandlung beschreibt

Anderer

• Die Abstammung von Feynman von Gleichungen von Maxwell und Extradimensionen
• Natur-Meilensteine: Fotonen - Meilenstein 2 (1861) die Gleichungen von Maxwell