Die Probleme von Hilbert bilden eine Liste von dreiundzwanzig Problemen in der Mathematik, die vom deutschen Mathematiker David Hilbert 1900 veröffentlicht ist. Die Probleme waren alle zurzeit ungelöst, und mehrere von ihnen waren für die Mathematik des 20. Jahrhunderts sehr einflussreich. Hilbert hat zehn der Probleme (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 und 22) auf der Pariser Konferenz des Internationalen Kongresses von Mathematikern aufgeworfen, am 8. August in Sorbonne sprechend. Die ganze Liste von 23 Problemen wurde später am meisten namentlich in der englischen Übersetzung 1902 von Mary Frances Winston Newson in der Meldung der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft veröffentlicht.

Natur und Einfluss der Probleme

Die Probleme von Hilbert haben sich außerordentlich im Thema und der Präzision erstreckt. Einige von ihnen werden genau genug vorgetragen, um eine klare bejahende/negative Antwort, wie das 3. Problem (wahrscheinlich das leichteste für einen Nichtfachmann zu ermöglichen, um zu verstehen, und auch das erste, das zu lösen ist) oder das notorische 8. Problem (die Hypothese von Riemann). Es gibt andere Probleme (namentlich der 5.), für den sich Experten über eine einzelne Interpretation traditionell geeinigt haben und eine Lösung der akzeptierten Interpretation gegeben worden ist, aber für den dort ungelöste Probleme bleiben, die so nah verbunden sind, um, vielleicht, ein Teil dessen zu sein, was Hilbert beabsichtigt hat. Manchmal waren die Behauptungen von Hilbert nicht genau genug, um ein besonderes Problem anzugeben, aber waren andeutend genug, so dass bestimmte Probleme des zeitgenössischeren Ursprungs scheinen, z.B zu gelten. die meisten modernen Zahl-Theoretiker würden wahrscheinlich das 9. Problem als beziehend auf die (mutmaßliche) Ähnlichkeit von Langlands auf Darstellungen der absoluten Gruppe von Galois eines numerischen Feldes sehen. Dennoch betreffen andere Probleme (z.B der 11. und der 16.), was jetzt mathematische Subdisziplinen, wie die Theorien von quadratischen Formen und echten algebraischen Kurven gedeiht.

Es gibt zwei Probleme, die nicht nur ungelöst sind, aber tatsächlich nach modernen Standards unauflösbar sein können. Das 6. Problem betrifft den axiomatization der Physik, eine Absicht dieses zwanzigste Jahrhundert, das Entwicklungen der Physik (einschließlich seiner Anerkennung als eine Disziplin, die von der Mathematik unabhängig ist), scheinen, sowohl entfernter als auch weniger wichtig zu machen, als in der Zeit von Hilbert. Außerdem betrifft das 4. Problem die Fundamente der Geometrie gewissermaßen, der, wie man jetzt allgemein beurteilt, zu vage ist, um eine endgültige Antwort zu ermöglichen.

Bemerkenswert haben die anderen einundzwanzig Probleme alle bedeutende Aufmerksamkeit erhalten, und spät in die Arbeit des zwanzigsten Jahrhunderts an diesen Problemen wurde noch betrachtet, von der größten Wichtigkeit zu sein. Namentlich hat Paul Cohen die Feldmedaille während 1966 für seine Arbeit am ersten Problem erhalten, und die negative Lösung des zehnten Problems während 1970 durch Yuri Matiyasevich (Arbeit von Martin Davis, Hilary Putnam und Julia Robinson vollendend), hat ähnlichen Beifall erzeugt. Aspekte dieser Probleme sind noch vom großen Interesse heute.

Ignorabimus

Mehrere der Probleme von Hilbert sind aufgelöst (oder wohl aufgelöst worden) auf Weisen, die tief überraschend, und sogar Hilbert selbst störend gewesen wären. Folgender Frege und Russell, Hilbert hat sich bemüht, Mathematik logisch mit der Methode von formellen Systemen, d. h., finitistic Beweise von einem vereinbarten Satz von Axiomen zu definieren. Eine der Hauptabsichten des Programms von Hilbert war ein finitistic Beweis der Konsistenz der Axiome der Arithmetik: Das ist sein zweites Problem.

Jedoch gibt der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel einen genauen Sinn, in dem solch ein finitistic Beweis der Konsistenz der Arithmetik nachweisbar unmöglich ist. Hilbert hat seit 12 Jahren nach dem Lehrsatz von Gödel gelebt, aber er scheint nicht, jede formelle Antwort auf die Arbeit von Gödel geschrieben zu haben. Aber zweifellos wurde die Bedeutung der Arbeit von Gödel zur Mathematik als Ganzes (und nicht nur zur formalen Logik) durch seine Anwendbarkeit auf eines der Probleme von Hilbert reichlich und drastisch illustriert.

Das zehnte Problem von Hilbert fragt nicht, ob dort ein Algorithmus besteht, für die Lösbarkeit von Gleichungen von Diophantine zu entscheiden, aber eher um den Aufbau solch eines Algorithmus bittet: "Um einen Prozess auszudenken, gemäß dem es in einer begrenzten Zahl von Operationen bestimmt werden kann, ob die Gleichung in vernünftigen ganzen Zahlen lösbar ist." Dass dieses Problem durch die Vertretung behoben wurde, dass es keinen solchen Algorithmus geben kann, wäre vermutlich zu ihm sehr überraschend gewesen.

Im Besprechen seiner Meinung, dass jedes mathematische Problem eine Lösung haben sollte, berücksichtigt Hilbert die Möglichkeit, dass die Lösung ein Beweis sein konnte, dass das ursprüngliche Problem unmöglich ist. Berühmt hat er festgestellt, dass der Punkt so oder so wissen soll, was die Lösung ist, und er geglaubt hat, dass wir immer das wissen können, dass in der Mathematik es nicht jeden "ignorabimus" gibt (Behauptung, dass die Wahrheit nie bekannt sein kann). Es scheint unklar, ob er die Lösung des zehnten Problems als ein Beispiel von ignorabimus betrachtet hätte: Was wir uns erweisen nicht zu bestehen, ist nicht die Lösung der ganzen Zahl, aber (im gewissen Sinne) unsere eigene Fähigkeit wahrzunehmen, ob eine Lösung besteht.

Andererseits ist der Status der ersten und zweiten Probleme noch mehr kompliziert: Es gibt nicht jede klare mathematische Einigkeit betreffs, ob die Ergebnisse von Gödel (im Fall vom zweiten Problem), oder Gödel und Cohen (im Fall vom ersten Problem) endgültige negative Lösungen geben oder nicht, da diese Lösungen für eine bestimmte Formalisierung der Probleme, eine Formalisierung gelten, die ziemlich angemessen ist, aber nicht notwendigerweise die einzige mögliche ist.

24. Problem

Hilbert hat ursprünglich 24 Probleme auf seiner Liste eingeschlossen, aber hat sich einschließlich einen von ihnen in der veröffentlichten Liste entschieden. Das "24. Problem" (in der Probetheorie, auf einem Kriterium für die Einfachheit und allgemeinen Methoden) wurde in den ursprünglichen Manuskript-Zeichen von Hilbert vom deutschen Historiker Rüdiger Thiele 2000 wieder entdeckt.

Fortsetzungen

Seit 1900 haben andere Mathematiker und mathematische Organisationen Problem-Listen bekannt gegeben, aber, mit wenigen Ausnahmen, haben diese Sammlungen fast so viel Einfluss nicht gehabt noch so viel Arbeit erzeugt die Probleme von Hilbert.

Eine der Ausnahmen wird durch drei Vermutungen ausgestattet, die von André Weil während des Endes der 1940er Jahre (die Vermutungen von Weil) gemacht sind. In den Feldern der algebraischen Geometrie, Zahlentheorie und der Verbindungen zwischen den zwei, waren die Vermutungen von Weil sehr wichtig. Die erste von den Vermutungen von Weil wurde von Bernard Dwork bewiesen, und ein völlig verschiedener Beweis der ersten zwei Vermutungen über l-adic cohomology wurde von Alexander Grothendieck gegeben. Das letzte und die tiefste von den Vermutungen von Weil (eine Entsprechung der Hypothese von Riemann) wurden von Pierre Deligne bewiesen. Sowohl Grothendieck als auch Deligne wurde dem Feldorden verliehen. Jedoch sind die Vermutungen von Weil in ihrem Spielraum mehr einem einzelnen Problem von Hilbert ähnlich, und Weil hat sie nie als ein Programm für die ganze Mathematik beabsichtigt. Das ist etwas ironisch, seitdem wohl Weil der Mathematiker der 1940er Jahre und der 1950er Jahre war, wer am besten die Rolle von Hilbert gespielt hat, mit fast allen Gebieten (der theoretischen) Mathematik bekannt seiend und wichtig in der Entwicklung von vielen von ihnen zu sein.

Paul Erdős ist legendär, für Hunderte, wenn nicht Tausende, von mathematischen Problemen, vielen von ihnen tief aufgestellt zu haben. Erdős hat häufig Geldbelohnungen angeboten; die Größe der Belohnung hat von der wahrgenommenen Schwierigkeit des Problems abgehangen.

Das Ende des Millenniums, auch die Hundertjahrfeier der Ansage von Hilbert seiner Probleme seiend, war eine natürliche Gelegenheit, um "einen neuen Satz von Problemen von Hilbert vorzuschlagen." Mehrere Mathematiker haben die Herausforderung, namentlich Feldmedaillengewinner Steve Smale akzeptiert, der auf eine Bitte von Vladimir Arnold geantwortet hat, indem er eine Liste von 18 Problemen vorgeschlagen hat.

Die Probleme von Smale haben so weit viel Aufmerksamkeit von den Medien nicht erhalten, und es ist unklar, wie viel ernste Aufmerksamkeit sie von der mathematischen Gemeinschaft kommen.

Mindestens in den Hauptströmungsmedien ist die De-Facto-Entsprechung des 21. Jahrhunderts der Probleme von Hilbert die Liste von sieben Millennium-Preis-Problemen, die während 2000 durch das Tonmathematik-Institut gewählt sind. Verschieden von den Problemen von Hilbert, wo der primäre Preis die Bewunderung für Hilbert insbesondere und Mathematiker im Allgemeinen war, schließt jedes Preis-Problem die reichliche Gabe von einer Million Dollar ein. Als mit den Problemen von Hilbert wurde eines der Preis-Probleme (die Vermutung von Poincaré) relativ behoben, kurz nachdem die Probleme bekannt gegeben wurden.

Beachtenswert für sein Äußeres auf der Liste von Problemen von Hilbert, der Liste von Smale und der Liste von Millennium-Preis-Problemen — und sogar, in seiner geometrischen Gestalt, in den Weil-Vermutungen — ist die Hypothese von Riemann. Trotz einiger berühmter neuer Angriffe von Hauptmathematikern unseres Tages glauben viele Experten, dass die Hypothese von Riemann in Problem-Listen seit Jahrhunderten noch eingeschlossen wird. Hilbert selbst hat erklärt: "Wenn ich erwachen sollte, seit eintausend Jahren geschlafen, würde meine erste Frage sein: Ist die Hypothese von Riemann bewiesen worden?"

Während 2008 hat DARPA seine eigene Liste von 23 Problemen bekannt gegeben, die es gehofft hat, konnte mathematische Hauptdurchbrüche, "verursachen, dadurch die wissenschaftlichen und technologischen Fähigkeiten zu DoD stärkend".

Zusammenfassung

Der sauber formulierten Probleme von Hilbert haben Probleme 3, 7, 10, 11, 13, 14, 17, 19, 20, und 21 eine Entschlossenheit, die durch die Einigkeit akzeptiert wird. Andererseits haben Probleme 1, 2, 5, 9, 15, 18, und 22 Lösungen, die teilweise Annahme haben, aber dort besteht eine Meinungsverschiedenheit betreffs, ob es das Problem auflöst.

+ auf 18 zeigt an, dass die Vermutungslösung von Kepler ein computergestützter Beweis, ein Begriff ist, der für ein Problem von Hilbert anachronistisch ist und einigermaßen wegen seines Mangels an verifiability durch einen menschlichen Leser in einer angemessenen Frist umstritten ist.

Das reist 16, 8 (die Hypothese von Riemann) und 12 ungelöste ab. Auf dieser Klassifikation 4, 16, und 23 sind zu vage, um jemals, wie gelöst, beschrieben zu werden. Das zurückgezogene 24 würde auch in dieser Klasse sein. 6 wird als ein Problem in der Physik aber nicht in der Mathematik betrachtet.

Tisch von Problemen

Die dreiundzwanzig Probleme von Hilbert sind:

Referenzen

Allgemeiner

• Felix E. Browder (Redakteur), Mathematical Developments, die aus Hilbert Problemen, Verhandlungen von Symposien in der Reinen Mathematik XXVIII (1976), amerikanische Mathematische Gesellschaft Entsteht. Eine Sammlung von Überblick-Aufsätzen durch Experten hat jedem der 23 Probleme gewidmet, aktuelle Entwicklungen betonend.

Spezifischer

Außenverbindungen

• Die Auflistung der 23 Probleme, mit deren Beschreibungen gelöst worden sind
• Ursprünglicher Text des Gespräches von Hilbert, in deutschem
• Details auf der Lösung des 18. Problems
• "Auf dem 24. Problem von Hilbert: Bericht über eine Neue Quelle und Einige Bemerkungen."
• Die Pariser Probleme
• Die zehnte Problem-Seite von Hilbert!
• 'Von den Problemen von Hilbert bis die Zukunft' lesen durch Professor Robin Wilson, Gresham Universität, am 27. Februar 2008 (verfügbar im Text, den Audio- und Videoformaten).