Alexander Grothendieck (geboren am 28. März 1928) ist ein Mathematiker und die Hauptzahl hinter der Entwicklung der modernen Theorie der algebraischen Geometrie. Sein Forschungsprogramm hat gewaltig das Spielraum des Feldes erweitert, Hauptelemente der Ersatzalgebra, homological Algebra, Bündel-Theorie und Kategorie-Theorie in seine Fundamente vereinigend. Diese neue Perspektive hat zu revolutionären Fortschritten über viele Gebiete der reinen Mathematik geführt. Grothendieck spricht Französisch, Englisch und Deutsch.

Innerhalb der algebraischen Geometrie selbst ist seine Theorie von Schemas die allgemein akzeptierte Sprache für die ganze weitere technische Arbeit geworden. Seine Generalisation des klassischen Lehrsatzes von Riemann-Roch hat die Studie der algebraischen und topologischen K-Theorie gestartet. Sein Aufbau von neuen cohomology Theorien hat tiefe Folgen für die Theorie der algebraischen Zahl, algebraische Topologie und Darstellungstheorie verlassen. Seine Entwicklung der topos Theorie hat einen Einfluss auf Mengenlehre und Logik gehabt.

Eines seiner berühmtesten Ergebnisse ist die Entdeckung der ersten arithmetischen Theorie von Weil cohomology: der -adic étale cohomology. Dieses Schlüsselergebnis hat den Weg für einen Beweis der Vermutungen von Weil geöffnet, die schließlich von seinem Studenten Pierre Deligne vollendet sind. Bis jetzt -adic bleibt cohomology ein grundsätzliches Werkzeug für Zahl-Theoretiker mit wichtigen Anwendungen auf das Programm von Langlands.

Die Denkart von Grothendieck hat Generationen von Mathematikern lange nach seiner Abfahrt von der Mathematik beeinflusst. Seine Betonung auf der Rolle von universalen Eigenschaften hat Kategorie-Theorie in die Hauptströmung als ein wichtiges Ordnungsprinzip gebracht. Sein Begriff der abelian Kategorie ist jetzt der grundlegende Gegenstand der Studie in der homological Algebra. Seine mutmaßliche Theorie von Motiven ist eine treibende Kraft hinter modernen Entwicklungen in der algebraischen K-Theorie, motivic homotopy Theorie und motivic Integration gewesen.

Gesteuert durch tiefe persönliche und politische Überzeugungen hat Grothendieck den Institut des Hautes Études Scientifiques verlassen, wo er zu Professor ernannt worden war und seine größte Arbeit nach einem Streit über das Militär vollbracht hat, das 1970 finanziell unterstützt. Seine mathematische Tätigkeit hat im Wesentlichen danach aufgehört, und er hat seine Energien politischen Ursachen gewidmet. Er hat sich formell 1988 und innerhalb von ein paar in die Pyrenäen bewegten Jahren zurückgezogen, wo er zurzeit in der Isolierung von der menschlichen Gesellschaft lebt.

Leben

Familie und Kindheit

Alexander Grothendieck ist in Berlin anarchistischen Eltern geboren gewesen: ein ukrainischer Vater von schließlich Familie von Hassidic, Alexander "Sascha" Shapiro auch bekannt als Tanaroff, und einer Mutter von einer deutschen Protestantischen Familie, Johanna "Hanka" Grothendieck; beide seiner Eltern hatten sich von ihren frühen Hintergründen in ihrem Teenageralter losgerissen. Zur Zeit seiner Geburt ist die Mutter von Grothendieck mit Johannes Raddatz, einem deutschen Journalisten verheiratet gewesen, und sein birthname wurde als Alexander Raddatz am Anfang registriert. Die Ehe wurde 1929 aufgelöst, und Shapiro/Tanaroff hat seine Vaterschaft anerkannt, aber hat nie Hanka Grothendieck geheiratet.

Grothendieck hat mit seinen Eltern bis 1933 in Berlin gelebt. Am Ende dieses Jahres hat sich Shapiro nach Paris bewegt, und Hanka ist ihm im nächsten Jahr gefolgt. Sie haben Grothendieck in der Sorge über Wilhelm Heydorn, einen lutherischen Pastor und Lehrer in Hamburg verlassen, wo er in die Schule gegangen ist. Während dieser Zeit haben seine Eltern am spanischen Bürgerkrieg im Unterstützen teilgenommen, anstatt mit Rollen zu kämpfen.

Während WWII

1939 ist Grothendieck nach Frankreich gekommen und hat in verschiedenen Lagern für Vertriebene mit seiner Mutter zuerst am Camp de Rieucros gelebt, und hat nachher für den Rest des Krieges im Dorf von Le Chambon-sur-Lignon gelebt, wo er geschützt und in lokalen Pensionen oder Pensionen verborgen wurde. Sein Vater wurde über Drancy an Auschwitz gesandt, wo er 1942 gestorben ist. Während Grothendieck in Chambon gelebt hat, hat er Collège Cévenol (jetzt bekannt als Le Collège-Lycée Cévenol International), eine einzigartige Höhere Schule gegründet 1938 von lokalen Protestantischen Pazifisten und Antikriegsaktivisten aufgewartet. Viele der Flüchtlingskinder, die in Chambon verbergen werden, haben Cévenol aufgewartet, und es war in dieser Schule, dass Grothendieck anscheinend zuerst fasziniert mit der Mathematik geworden ist.

Studien und Kontakt mit der Forschungsmathematik

Nach dem Krieg hat junger Grothendieck Mathematik in Frankreich am Anfang an der Universität von Montpellier studiert. Nach drei Jahren von immer unabhängigeren Studien dort hat er veranlasst, dass eine Gelehrsamkeit gegangen ist, um seine Studien in Paris 1948 fortzusetzen

Am Anfang hat Grothendieck dem Seminar von Henri Cartan an École Normale Supérieure beigewohnt, aber hat am notwendigen Hintergrund Mangel gehabt, um dem Hochleistungsseminar zu folgen. Auf dem Rat von Cartan und Weil hat er sich zur Universität von Nancy bewegt, wo er seine Doktorarbeit unter Laurent Schwartz in der Funktionsanalyse von 1950 bis 1953 geschrieben hat. In dieser Zeit war er ein Hauptexperte in der Theorie von topologischen Vektorräumen. Vor 1957 hat er dieses Thema beiseite gelegt, um in der algebraischen Geometrie und homological Algebra zu arbeiten.

Die IHÉS Jahre

Installiert am Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) hat Grothendieck Aufmerksamkeit durch eine intensive und hoch produktive Tätigkeit von Seminaren angezogen (das De-Facto-Arbeitsgruppe-Zeichnen in foundational arbeiten einige der fähigsten Franzosen und anderen Mathematiker der jüngeren Generation). Grothendieck selbst hat praktisch Veröffentlichung von Papieren durch den herkömmlichen, gelehrten Zeitschriftenweg aufgehört. Er war jedoch, fähig, eine dominierende Rolle in der Mathematik seit ungefähr einem Jahrzehnt zu spielen, eine starke Schule sammelnd.

Während dieser Zeit hatte er offiziell als Studenten Michel Demazure (wer an SGA3, an Gruppenschemas gearbeitet hat), Luc Illusie (Kotangens-Komplex), Michel Raynaud, Jean-Louis Verdier (Mitbegründer der abgeleiteten Kategorie-Theorie) und Pierre Deligne. Mitarbeiter auf den SGA-Projekten haben auch Mike Artin (étale cohomology) und Nick Katz (monodromy Theorie und Bleistifte von Lefschetz) eingeschlossen. Jean Giraud hat torsor Theorie-Erweiterungen von non-abelian cohomology ausgearbeitet. Viele andere wurden beteiligt.

Das 'Goldene Zeitalter'

Die Arbeit von Alexander Grothendieck während der Periode `des Goldenen Zeitalters' an IHÉS hat mehrere Vereinheitlichen-Themen in algebraischer Geometrie, Zahlentheorie, Topologie, Kategorie-Theorie und komplizierter Analyse gegründet. Sein erster (pre-IHÉS) Durchbruch in der algebraischen Geometrie war der Lehrsatz von Grothendieck Hirzebruch Riemann Roch, eine weit reichende Verallgemeinerung des Hirzebruch-Riemann-Roch Lehrsatzes hat sich algebraisch erwiesen; in diesem Zusammenhang hat er auch K-Theorie eingeführt. Dann im Anschluss an das Programm hat er in seinem Gespräch in 1958 Internationalen Kongress von Mathematikern entworfen, er hat die Theorie von Schemas eingeführt, es im Detail in seinem Éléments de géométrie algébrique (EGA) und Versorgung der neuen flexibleren und allgemeinen Fundamente für die algebraische Geometrie entwickelnd, die im Feld seit dieser Zeit angenommen worden ist. Er hat fortgesetzt, den étale cohomology Theorie von Schemas einzuführen, die Schlüsselwerkzeuge zur Verfügung stellend, für die Vermutungen von Weil, sowie kristallenen cohomology und algebraischen de Rham cohomology zu beweisen, um es zu ergänzen. Nah verbunden mit diesen cohomology Theorien hat er topos Theorie als eine Verallgemeinerung der Topologie (wichtig auch in der kategorischen Logik) hervorgebracht. Er hat auch eine algebraische Definition von grundsätzlichen Gruppen von Schemas und mehr allgemein den Hauptstrukturen einer kategorischen Theorie von Galois zur Verfügung gestellt. Als ein Fachwerk für seine zusammenhängende Dualitätstheorie hat er auch abgeleitete Kategorien eingeführt, die weiter von Verdier entwickelt wurden.

Die Ergebnisse der Arbeit an diesen und anderen Themen wurden im EGA und in der weniger polierten Form in den Zeichen des Séminaire de géométrie algébrique (SGA) veröffentlicht, den er an IHES geleitet hat.

Politik und Rückzug von der wissenschaftlichen Gemeinschaft

Die politischen Ansichten von Grothendieck waren radikal und pazifistisch. So hat er stark sowohl USA-Aggression in Vietnam als auch sowjetischer militärischer Expansionspolitik entgegengesetzt. Er hat Vorträge auf der Kategorie-Theorie in den Wäldern gegeben, die Hanoi umgeben, während die Stadt bombardiert wurde, um gegen den Krieg von Vietnam zu protestieren (Das Leben und die Arbeit von Alexander Grothendieck, Amerikaner Mathematisch Monatlich, vol. 113, Nr. 9, Fußnote 6). Er hat sich vom wissenschaftlichen Leben 1970 zurückgezogen, die teilweise militärische Finanzierung von IHÉS entdeckt (sieh Seiten xii und xiii von SGA1, Springer-Vortrag-Zeichen 224). Er ist zur Akademie ein paar Jahre später als ein Professor an der Universität von Montpellier zurückgekehrt, wo er bis zu seinem Ruhestand 1988 geblieben ist. Seine Kritiken der wissenschaftlichen Gemeinschaft, und besonders mehrerer Mathematik-Kreise, werden auch in einem Brief, geschrieben 1988 enthalten, in dem er die Gründe für seine Verweigerung des Crafoord Preises festsetzt. Er hat den Preis auf dem Moralboden in einem offenen Brief an die Medien geneigt.

Während das Problem der militärischen Finanzierung vielleicht die offensichtlichste Erklärung für die Abfahrt von Grothendieck von IHÉS, diejenigen war, die ihn gekannt haben, sagen, dass die Ursachen des Bruchs tiefer gelaufen sind. Pierre Cartier, ein visiteur de longue durée ("langfristiger Gast") am IHÉS, hat ein Stück über Grothendieck für ein spezielles anlässlich des vierzigsten Jahrestages des IHÉS veröffentlichtes Volumen geschrieben. Der Grothendieck Festschrift war eine dreibändige Sammlung von Forschungsarbeiten, um seinen sechzigsten Geburtstag zu kennzeichnen (1988 fallend), und veröffentlicht 1990.

Darin bemerkt Cartier, dass als der Sohn eines antimilitärischen Anarchisten und desjenigen, der unter dem entrechteten aufgewachsen ist, Grothendieck immer ein tiefes Mitfühlen mit den Armen und dem unterdrückten hatte. Wie Cartier sagt, ist Grothendieck gekommen, um Bures-sur-Yvette "une Käfig dorée" ("ein goldener Käfig") zu finden. Während Grothendieck am IHÉS war, heizte die Opposition gegen den Krieg von Vietnam an, und Cartier schlägt vor, dass das auch die Abneigung von Grothendieck daran verstärkt hat, eine Mandarine der wissenschaftlichen Welt geworden zu sein. Außerdem nach mehreren Jahren am IHÉS ist Grothendieck geschienen, nach neuen intellektuellen Interessen zu suchen. Bis zum Ende der 1960er Jahre hatte er angefangen, interessiert für wissenschaftliche Gebiete außerhalb der Mathematik zu werden. David Ruelle, ein Physiker, der sich der IHÉS Fakultät 1964 angeschlossen hat, hat gesagt, dass Grothendieck gekommen ist, um mit ihm ein paar Male über die Physik zu sprechen. (In den 1970er Jahren haben Ruelle und der holländische Mathematiker Floris Takens ein neues Modell für die Turbulenz erzeugt, und es war Ruelle, der das Konzept eines fremden attractor in einem dynamischen System erfunden hat.) Hat Biologie Grothendieck viel mehr interessiert als Physik, und er hat einige Seminare über biologische Themen organisiert.

Nach dem Verlassen des IHÉS ist Grothendieck ein vorläufiger Professor an Collège de France seit zwei Jahren geworden. Eine dauerhafte Position ist offen am Ende seiner Amtszeit geworden, aber der Antrag, den Grothendieck eingereicht hat, hat verständlich gemacht, dass er keine Pläne hatte, seine mathematische Forschung fortzusetzen. Die Position wurde Jacques Tits gegeben.

Er ist dann zu Université de Montpellier gegangen, wo er immer mehr getrennt lebend von der mathematischen Gemeinschaft geworden ist. Um diese Zeit hat er eine Gruppe genannt Survivre gegründet, der antimilitärischen und ökologischen Problemen gewidmet wurde. Seine mathematische Karriere hat größtenteils geendet, als er den IHÉS verlassen hat. 1984 hat er einen Vorschlag geschrieben, eine Position durch den Centre National de la Recherche Scientifique zu bekommen. Der Vorschlag, betiteltes Programm von Esquisse d'un ("Programm-Skizze") beschreibt neue Ideen, für den Modul-Raum von komplizierten Kurven zu studieren. Obwohl Grothendieck selbst nie seine Arbeit in diesem Gebiet veröffentlicht hat, ist der Vorschlag die Inspiration für die Arbeit von anderen Mathematikern und der Quelle der Theorie von dessin d'enfants geworden. Programm von Esquisse d'un

wurde in den zweibändigen Verhandlungen Geometrische Galois Handlungen (Universität von Cambridge Presse, 1997) veröffentlicht."

Manuskripte geschrieben in den 1980er Jahren

er mathematische Forschung auf herkömmliche Weisen während der 1980er Jahre nicht veröffentlicht hat, hat er mehrere einflussreiche Manuskripte mit dem beschränkten Vertrieb sowohl mit dem mathematischen als auch mit biografischen Inhalt erzeugt. Während dieser Periode hat er auch seine Arbeit an Typ-Lehrsätzen Bertini veröffentlicht, die in EGA 5 enthalten sind, veröffentlicht durch den Grothendieck Kreis 2004.

La Longue Marche à travers la théorie de Galois [ist Der Lange März Durch die Galois Theorie] ein ungefähr 1600-seitiges handschriftliches Manuskript, das von Grothendieck während der Jahre 1980-1981 erzeugt ist, viele der Ideen enthaltend, die zum Programm von Esquisse d'un führen (sieh unten, und auch ein ausführlicherer Zugang), und im besonderen Studieren die Theorie von Teichmüller.

1983 hat er ein verlängertes Manuskript (ungefähr 600 Seiten) genannt das Verfolgen von Stapeln geschrieben, die durch die Ähnlichkeit mit Ronald Brown stimuliert sind, (sieh auch R.Brown und Tim Porter an der Universität von Bangor in Wales), und mit einem an Daniel Quillen gerichteten Brief anfangend. Dieser Brief und aufeinander folgende Teile wurden von Bangor verteilt (sieh Außenverbindungen unten): Auf eine informelle Weise, als eine Art Tagebuch hat Grothendieck erklärt und hat seine Ideen auf der Beziehung zwischen der algebraischen homotopy Theorie und der algebraischen Geometrie und den Aussichten für eine Nichtersatztheorie von Stapeln entwickelt. Das Manuskript, das für die Veröffentlichung von G. Maltsiniotis editiert wird, hat später zu einer anderen seiner kolossalen Arbeiten, Les Dérivateurs geführt. Geschrieben 1991, dieses letzte Opus ungefähr um 2000 Seiten weiter entwickelten die homotopical im Verfolgen von Stapeln begonnenen Ideen. Viel von dieser Arbeit hat die nachfolgende Entwicklung des motivic homotopy Theorie von Fabien Morel und V. Voevodsky Mitte der 1990er Jahre vorausgesehen.

Sein Programm (1984) von Esquisse d'un ist ein Vorschlag für eine Position am Centre National de la Recherche Scientifique, den er von 1984 zu seinem Ruhestand 1988 gehalten hat. Ideen davon haben sich einflussreich erwiesen, und sind durch andere, in besonderem dessins d'enfants und einem neuen Feld entwickelt worden, das als anabelian Geometrie erscheint. In La Clef des Songes erklärt er, wie das Betrachten der Quelle von Träumen ihn dazu gebracht hat zu beschließen, dass Gott besteht.

Das 1000-seitige autobiografische Manuskript Récoltes und semailles (1986) sind jetzt im Internet im französischen Original, und einer englischen Übersetzung verfügbar, ist laufend (diese Teile von Récoltes, und semailles sind bereits ins Russisch übersetzt und in Moskau veröffentlicht worden). Einige Teile von Récoltes und semailles und dem ganzen La Clef des Songes sind ins Spanisch und Russisch übersetzt worden.

Ruhestand in reclusion

Grothendieck war co-awarded (aber hat sich geneigt) der Crafoord Preis mit Pierre Deligne 1988.

1991 hat sich Grothendieck zu einer Adresse bewegt, die er seinen vorherigen Kontakten in der mathematischen Gemeinschaft nicht zur Verfügung gestellt hat. Wie man jetzt sagt, lebt er im südlichen Frankreich oder Andorra und ist zurückgezogen.

Im Januar 2010 hat Grothendieck einen Brief Luc Illusie geschrieben. In diesem "Déclaration d'intention de non-publication" stellt er fest, dass im Wesentlichen alle Materialien, die in seiner Abwesenheit veröffentlicht worden sind, ohne seine Erlaubnis getan worden sind. Er fragt, dass keine seiner Arbeit im Ganzen oder teilweise, und noch weiter wieder hervorgebracht werden sollte, dass Bibliotheken, die solche Kopien seiner Arbeit enthalten, sie entfernen.

Mathematische Ergebnisse

Die frühe mathematische Arbeit von Grothendieck war in der Funktionsanalyse. Zwischen 1949 und 1953 hat er an seiner Doktorthese in diesem Thema an Nancy gearbeitet, die von Jean Dieudonné und Laurent Schwartz beaufsichtigt ist. Seine Schlüsselbeiträge schließen topologische Tensor-Produkte von topologischen Vektorräumen, die Theorie von Kernräumen als foundational für den Vertrieb von Schwartz und die Anwendung von L Räumen im Studieren geradliniger Karten zwischen topologischen Vektorräumen ein. In ein paar Jahren hatte er sich in eine Hauptautorität auf diesem Gebiet der Funktionsanalyse — im Ausmaß verwandelt, dass Dieudonné seinen Einfluss in diesem Feld zu diesem von Banach vergleicht.

Es, ist jedoch, in der algebraischen Geometrie und den verwandten Feldern, wo Grothendieck seine wichtigste und einflussreiche Arbeit getan hat. Ungefähr von 1955 hat er angefangen, an der Bündel-Theorie und homological Algebra zu arbeiten, das einflussreiche "Papier von Tôhoku" erzeugend (spitzt Sur quelques d'algèbre homologique, veröffentlicht 1957 an), wo er Kategorien von Abelian eingeführt hat und ihre Theorie angewandt hat zu zeigen, dass Bündel cohomology definiert werden kann, weil sicher functors in diesem Zusammenhang abgeleitet hat.

Methoden von Homological und Bündel-Theorie waren bereits in der algebraischen Geometrie von Jean-Pierre Serre und anderen eingeführt worden, nachdem Bündel von Jean Leray definiert worden waren. Grothendieck hat sie in ein höheres Niveau der Abstraktion gebracht und hat sie in ein Schlüsselordnungsprinzip seiner Theorie verwandelt. Er hat Aufmerksamkeit von der Studie von individuellen Varianten zum Verhältnisgesichtspunkt (Paare von Varianten ausgewechselt, die durch einen morphism verbunden sind), eine breite Generalisation von vielen klassischen Lehrsätzen erlaubend. Die erste Hauptanwendung war die Verhältnisversion des Lehrsatzes von Serre zeigend, dass der cohomology eines zusammenhängenden Bündels auf einer ganzen Vielfalt dimensional begrenzt ist; der Lehrsatz von Grothendieck zeigt, dass die höheren direkten Images von zusammenhängenden Bündeln laut einer richtigen Karte zusammenhängend sind; das nimmt zum Lehrsatz von Serre über einen Ein-Punkt-Raum ab.

1956 hat er dasselbe Denken zum Lehrsatz von Riemann-Roch angewandt, der bereits kürzlich zu jeder Dimension von Hirzebruch verallgemeinert worden war. Der Grothendieck-Riemann-Roch Lehrsatz wurde von Grothendieck an anfänglichem Mathematische Arbeitstagung in Bonn 1957 bekannt gegeben. Es ist im Druck in einer Zeitung erschienen, die von Armand Borel mit Serre geschrieben ist. Dieses Ergebnis war sein erstes Hauptzu-Stande-Bringen in der algebraischen Geometrie. Er hat fortgesetzt, ein foundational Hauptprogramm zu planen und durchzuführen, für die Fundamente der algebraischen Geometrie wieder aufzubauen, die dann in einem Wandel und unter der Diskussion im Seminar von Claude Chevalley waren; er hat sein Programm in seinem Gespräch in 1958 Internationaler Kongress von Mathematikern entworfen.

Seine Foundational-Arbeit an der algebraischen Geometrie ist an einem höheren Niveau der Abstraktion als alle vorherigen Versionen. Er hat den Gebrauch von nichtgeschlossenen allgemeinen Punkten angepasst, die zur Theorie von Schemas geführt haben. Er hat auch für den systematischen Gebrauch von nilpotents den Weg gebahnt. Als 'Funktionen' können diese nur den Wert 0 nehmen, aber sie tragen unendlich kleine Information in rein algebraischen Einstellungen. Seine Theorie von Schemas ist feststehend als das beste universale Fundament für dieses Hauptfeld, wegen seiner großen ausdrucksvollen Macht sowie technischer Tiefe geworden. In dieser Einstellung kann man birational Geometrie, Techniken von der Zahlentheorie, Theorie von Galois und Ersatzalgebra verwenden, und Entsprechungen der Methoden der algebraischen Topologie, aller auf eine einheitliche Weise schließen.

Er wird auch für seine Beherrschung von abstrakten Annäherungen an die Mathematik und seinen Perfektionismus hinsichtlich der Formulierung und Präsentation bemerkt. Relativ wenig von seiner Arbeit nach 1960 wurde durch den herkömmlichen Weg der gelehrten Zeitschrift veröffentlicht, am Anfang in kopierten Volumina von Seminar-Zeichen zirkulierend; sein Einfluss war zu einem beträchtlichen Ausmaß-Persönlichen. Sein Einfluss hat sich in viele andere Zweige der Mathematik, zum Beispiel die zeitgenössische Theorie von D-Modulen ergossen. (Es hat auch nachteilige Reaktionen mit vielen Mathematikern provoziert, die konkretere Gebiete und Probleme herausfinden.)

EGA und SGA

Der Hauptteil der veröffentlichten Arbeit von Grothendieck wird im kolossalen, und noch unvollständige, Éléments de géométrie algébrique (EGA) und Séminaire de géométrie algébrique (SGA) gesammelt. Die Sammlung Fondements de la Géometrie Algébrique (FGA), der sich in Séminaire Bourbaki gegebene Gespräche versammelt, enthält auch wichtiges Material.

Vielleicht ist die tiefste einzelne Ausführung von Grothendieck die Erfindung des étale und l-adic cohomology Theorien, die eine Beobachtung von André Weil erklären, dass es eine tiefe Verbindung zwischen den topologischen Eigenschaften einer Vielfalt und seines diophantine (Zahl theoretisch) Eigenschaften gibt. Zum Beispiel widerspiegelt die Zahl von Lösungen einer Gleichung über ein begrenztes Feld die topologische Natur seiner Lösungen über die komplexen Zahlen. Weil hat begriffen, dass, um solch eine Verbindung zu beweisen, man eine neue cohomology Theorie gebraucht hat, aber weder er noch jeder andere Experte haben gesehen, wie man das tut, bis solch eine Theorie von Grothendieck gefunden wurde.

Dieses Programm hat in den Beweisen der Vermutungen von Weil kulminiert, von denen die letzte vom Studenten von Grothendieck Pierre Deligne am Anfang der 1970er Jahre gesetzt wurde, nachdem sich Grothendieck von der Mathematik größtenteils zurückgezogen hatte.

Mathematische Hauptthemen (von Récoltes und Semailles)

Er hat eine rückblickende Bewertung über seine mathematische Arbeit geschrieben (sieh die Außenverbindung La Vision unten). Als seine mathematischen Hauptergebnisse ("maître-thèmes") hat er diese Sammlung von 12 Themen (seine zeitliche Reihenfolge) gewählt:

1. Topologische Tensor-Produkte und Kernräume
2. "Dauernde" und "getrennte" Dualität (abgeleitete Kategorien und "sechs Operationen").
3. Yoga des Grothendieck-Riemann-Roch Lehrsatzes (K-Theorie, Beziehung mit der Kreuzungstheorie).
4. Schemas.
5. Topoi.
6. Étale cohomology einschließlich l-adic cohomology.
7. Motive und die motivic Gruppe von Galois (und Kategorien von Grothendieck)
8. Kristalle und kristallener cohomology, Yoga von Koeffizienten von De Rham und Hodge.
9. Topologische Algebra, Unendlichkeitsstapel, 'dérivateurs', cohomological Formalismus von toposes als eine Inspiration für eine neue homotopic Algebra
10. Gezähmte Topologie.
11. Yoga der anabelian Geometrie und Galois-Teichmüller Theorie.
12. Schematischer Gesichtspunkt oder "arithmetics" für regelmäßige Polyeder und regelmäßige Konfigurationen aller Sorten.

Er hat geschrieben, dass das Hauptthema der Themen oben das der topos Theorie ist, während vor allen Dingen von kleinster Wichtigkeit zu ihm waren.

Hier zeigt der Begriff Yoga eine Art "Meta-Theorie" an, die heuristisch verwendet werden kann; Michel Raynaud schreibt die anderen Begriffe "der Faden von Ariadne" und "Philosophie" als wirksame Entsprechungen.

Siehe auch

• Lehrsatz der Axt-Grothendieck
• Birkhoff-Grothendieck Lehrsatz
• Brieskorn-Grothendieck Entschlossenheit
• Kategorie von Grothendieck
• Der Zusammenhang-Lehrsatz von Grothendieck
• Verbindung von Grothendieck
• Aufbau von Grothendieck
• Existenz-Lehrsatz von Grothendieck
• Die Galois Theorie von Grothendieck
• Gruppe von Grothendieck
• Ungleichheit von Grothendieck oder Grothendieck unveränderlicher
• P-Krümmung von Grothendieck-Katz vermutet
• Grothendieck-Ogg-Shafarevich-Formel
• Der Verhältnisgesichtspunkt von Grothendieck
• Grothendieck-Riemann-Roch-Lehrsatz
• Der Séminaire de géométrie algébrique von Grothendieck
• Raum von Grothendieck
• Grothendieck geisterhafte Folge
• Topologie von Grothendieck
• Weltall von Grothendieck
• Tarski-Grothendieck Mengenlehre
• IHES
• IHES an vierzig durch Allyn Jackson

Referenzen

• . Eine englische Übersetzung von Cartier (1998)
• Dreibändige Lebensbeschreibung.

Links

• Grothendieck Kreis, Sammlung der mathematischen und biografischen Information, Fotos, verbinden sich zu seinen Schriften
• Institut des Hautes Études Scientifiques
• Die Ursprünge, `Stapel Zu verfolgen Das ist eine Rechnung dessen, wie `das Verfolgen von Stapeln als Antwort auf eine Ähnlichkeit in Englisch mit Ronnie Brown und Tim Porter an Bangor geschrieben wurde, der bis 1991 weitergemacht hat.
• Récoltes und Semailles in Französisch.
• Spanische Übersetzung von "Récoltes und Semailles" und "Le Clef des Songes" und den Texten anderen Grothendiecks
• kurz Lebens-aus Benachrichtigungen der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft