Beta-Funktion

In der Mathematik, der Beta-Funktion, hat auch Euler integriert der ersten Art genannt, ist eine spezielle durch definierte Funktion

:

\mathrm {\\Beta} (x, y) = \int_0^1t^ {x-1} (1-t) ^ {y-1 }\\, dt

\! </Mathematik>

für

Die Beta-Funktion wurde von Euler und Legendre studiert und wurde sein Name von Jacques Binet gegeben; sein Symbol Β ist ein griechisches Kapital β aber nicht das ähnliche lateinische Kapital B.

Eigenschaften

Die Beta-Funktion ist symmetrisch, das bedeutend

:

\Beta (x, y) = \Beta (y, x).

\! </Mathematik>

Wenn x und y positive ganze Zahlen sind, folgt es trivial aus der Definition der Gammafunktion dass:

:

\Beta (x, y) = \dfrac {(x-1)! \, (y-1)!} {(x+y-1)! }\

\! </Mathematik>

Es hat viele andere Formen, einschließlich:

:

\Beta (x, y) = \dfrac {\\Gamma (x) \, \Gamma (y)} {\\Gamma (x+y) }\

\! </Mathematik>:

\Beta (x, y) =

2\int_0^ {\\Pi/2} (\sin\theta) ^ {2x-1} (\cos\theta) ^ {2y-1 }\\, d\theta,

\qquad \mathrm {Re} (x)> 0, \\mathrm {Re} (y)> 0

\! </Mathematik>: \Beta (x, y) =

\int_0^\\infty\dfrac {T^ {x-1}} {(1+t) ^ {x+y} }\\, dt,

\qquad \mathrm {Re} (x)> 0, \\mathrm {Re} (y)> 0\! </Mathematik>: \Beta (x, y) =

\sum_ {n=0} ^\\infty \dfrac {x+n},

\! </Mathematik>:

\Beta (x, y) = \frac {x+y} {x y} \prod_ {n=1} ^\\infty \left (1 + \dfrac {x y} {n (x+y+n) }\\Recht) ^ {-1},

\! </Mathematik>:

\Beta (x, y) \cdot (t \mapsto t _ +^ {x+y-1}) = (t \to t _ +^ {x-1}) * (t \to t _ +^ {y-1}) \qquad x\ge 1, y\ge 1,

\! </Mathematik>:

\Beta (x, y) \cdot \Beta (x+y, 1-y) =

\dfrac {\\Pi} {x \sin (\pi y)},

\! </Mathematik>

wo eine gestutzte Potenzfunktion ist und der Stern Gehirnwindung anzeigt.

Die zweiten Identitätsshows insbesondere. Etwas von dieser Identität, z.B die trigonometrische Formel, kann auf das Abstammen des Volumens eines N-Balls in Kartesianischen Koordinaten angewandt werden.

Das Integral von Euler für die Beta-Funktion kann in ein Integral über den Kontur-C von Pochhammer als umgewandelt werden

:

Dieser Pochhammer zeichnet integriert die Umrisse läuft für alle Werte &alpha zusammen; und &beta; und gibt so die analytische Verlängerung der Beta-Funktion.

Da die Gammafunktion für ganze Zahlen factorials beschreibt, kann die Beta-Funktion einen binomischen Koeffizienten nach sich anpassenden Indizes definieren:

:

Außerdem, für die ganze Zahl n, kann integriert werden, um eine geschlossene Form, eine Interpolationsfunktion für dauernde Werte von k zu geben:

:

Die Beta-Funktion war der erste bekannte sich zerstreuende Umfang in der Schnur-Theorie, die zuerst von Gabriele Veneziano vermutet ist. Es kommt auch in der Theorie des bevorzugten Verhaftungsprozesses, einem Typ des stochastischen Urne-Prozesses vor.

Beziehung zwischen Gammafunktion und Beta-Funktion

Um die integrierte Darstellung der Beta-Funktion abzuleiten, schreiben Sie das Produkt von zwei factorials als

:

\Gamma (x) \Gamma (y) =

\int_0^\\infty\E^ {-u} u^ {x-1 }\\, du \int_0^\\infty\E^ {-v} v^ {y-1 }\\, dv

\int_0^\\infty\int_0^\\infty\E^ {-u-v} U^ {x-1} v^ {y-1 }\\, du \, dv.

\! </Mathematik>

Variablen durch das Stellen u=zt, v=z (1-t) ändernd

Shows, dass das ist

:

\int_ {z=0} ^\\infty\int_ {t=0} ^1\E^ {-z} (zt) ^ {x-1} (z (1-t)) ^ {y-1} z \, dt \, dz

\int_ {z

0\^\\infty \E^ {-z} z^ {x+y-1} \, dz\int_ {t=0} ^1t^ {x-1} (1-t) ^ {y-1 }\\, dt.

\! </Mathematik>

Folglich

:

\Gamma (x) \, \Gamma (y) = \Gamma (x+y) \Beta (x, y).

</Mathematik>

Die festgesetzte Identität kann als ein besonderer Fall der Identität für das Integral einer Gehirnwindung gesehen werden. Einnahme

: und man hat:

:.

Ableitungen

Wir haben

:

wo die Digamma-Funktion ist.

Integrale

Der integrierte Nörlund-Rice ist eine Kontur das integrierte Beteiligen der Beta-Funktion.

Annäherung

Die Annäherung von Stirling gibt die asymptotische Formel

:

für großen x und großen y. Wenn andererseits x groß ist und y, dann befestigt wird

:

Unvollständige Beta-Funktion

Die unvollständige Beta-Funktion, eine Generalisation der Beta-Funktion, wird als definiert

:

Für x = 1 fällt die unvollständige Beta-Funktion mit der ganzen Beta-Funktion zusammen. Die Beziehung zwischen den zwei Funktionen ist dem zwischen der Gammafunktion und seiner Generalisation die unvollständige Gammafunktion ähnlich.

Die normalisierte unvollständige Beta-Funktion (oder normalisierte Beta-Funktion für den kurzen) werden in Bezug auf die unvollständige Beta-Funktion und die ganze Beta-Funktion definiert:

:

Das Integral ausarbeitend (kann man Integration durch Teile verwenden), für Werte der ganzen Zahl von a und b findet man:

:

Die normalisierte unvollständige Beta-Funktion ist die kumulative Vertriebsfunktion des Beta-Vertriebs, und ist mit der kumulativen Vertriebsfunktion einer zufälligen Variable X von einem binomischen Vertrieb verbunden, wo die "Wahrscheinlichkeit des Erfolgs" p ist und die Beispielgröße n ist:

:

Eigenschaften

::::

Berechnung

Selbst wenn nicht verfügbar direkt die ganzen und unvollständigen Beta-Funktionswerte mit Funktionen berechnet werden können, die allgemein ins Spreadsheet oder die Computeralgebra-Systeme eingeschlossen sind. Damit Ragen als ein Beispiel, mit GammaLn und (kumulativen) Beta-Vertriebsfunktionen Hervor, wir haben:

:Complete-Beta-Wert = Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (+ b))

und,

:Incomplete-Beta-Wert = BetaDist (x, a, b) * Exp (GammaLn (a) + GammaLn (b) - GammaLn (+ b)).

Diese ergeben sich aus Umordnen der Formeln für den Beta-Vertrieb und des unvollständigen Betas und vollenden Beta-Funktionen, die auch als das Verhältnis des Klotzes als oben definiert werden können.

Ähnlich in MATLAB und GNU-Oktave, betainc (Unvollständige Beta-Funktion) schätzt die normalisierte unvollständige Beta-Funktion - der, tatsächlich, der Kumulative Beta-Vertrieb - und so ist, um die wirkliche unvollständige Beta-Funktion zu bekommen, muss man das Ergebnis von betainc durch das durch die entsprechende Beta-Funktion zurückgegebene Ergebnis multiplizieren.. / /

Siehe auch

Links


Integrierter Euler / Der Eid
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