In der Mathematik wird Itō's Lemma in der Itō stochastischen Rechnung verwendet, um das Differenzial einer Funktion eines besonderen Typs des stochastischen Prozesses zu finden. Es wird nach seinem Entdecker, Kiyoshi Itō genannt. Es ist die stochastische Rechnungskopie der Kettenregel in der gewöhnlichen Rechnung und wird am besten mit der Reihenentwicklung von Taylor eingeprägt und den zweiten mit der stochastischen Teiländerung verbundenen Ordnungsbegriff behaltend. Das Lemma wird in der mathematischen Finanz weit verwendet, und seine am besten bekannte Anwendung ist in der Abstammung der Schwarzen-Scholes Gleichung, die verwendet ist, um Optionen zu schätzen. Auf das Lemma von Ito wird auch zurzeit als der Itō-Doeblin Lehrsatz als Anerkennung für die kürzlich entdeckte Arbeit von Wolfgang Doeblin verwiesen.

Mathematische Formulierung des Itō's Lemmas

In den folgenden Paragraphen besprechen wir Versionen des Itō's Lemmas für verschiedene Typen von stochastischen Prozessen.

Itō Antrieb-Diffusionsprozesse

In seiner einfachsten Form setzt Itō's Lemma den folgenden fest: für einen Itō Antrieb-Diffusionsprozess

:

und irgendwelcher zweimal differentiable Funktions-ƒ (t, x) zwei echter Variablen t und x, hat man

:\begin {richten }\aus

df (t, X_t) = \left (\frac {\\teilweiser f} {\\teilweise t\+ \mu_t \frac {\\teilweise f\{\\teilweise x\+ \frac {\\sigma_t^2} {2 }\\frac {\\partial^2f} {\\teilweiser x^2 }\\Recht) dt + \sigma_t \frac {\\teilweise f\{\\teilweiser x }\\, dB_t.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das deutet sofort an, dass ƒ (t, X) selbst ein Itō Antrieb-Diffusionsprozess ist.

In höheren Dimensionen setzt das Lemma von Ito fest

:

df\left (t, X_t \right) = \dot {f} _t \left (t, X_t \right) \, dt + \nabla_ {X_t} ^T f\cdot dX_t + \frac {1} {2} \, dX^T_t \cdot\nabla_ {X_t} ^2 f\cdot dX_t

</Mathematik>

wo ein Vektor von Itō-Prozessen ist, ist das teilweise Differenzial w.r.t. t, ist der Anstieg von ƒ w.r.t. X, und ist die Jute-Matrix von ƒ w.r.t. X.

Dauernde Halbmartingale

Mehr allgemein hält die obengenannte Formel auch für jedes dauernde d-dimensional Halbmartingal X = (X, X, …, X), und zweimal unaufhörlich differentiable und echte geschätzte Funktion f auf R. Einige Menschen ziehen es vor, die Formel in einer anderen Form mit der bösen Schwankung gezeigt ausführlich wie folgt zu präsentieren, f (X) ist ein Halbmartingal, das befriedigt

:

In diesem Ausdruck vertritt der Begriff f die partielle Ableitung von f (x) in Bezug auf x, und [X, X] ist der quadratische covariation Prozess X und X.

Sprung-Prozesse von Poisson

Wir können auch Funktionen auf diskontinuierlichen stochastischen Prozessen definieren.

Lassen Sie h die Sprung-Intensität sein. Das Prozessmodell von Poisson für Sprünge ist, dass die Wahrscheinlichkeit eines Sprungs im Zwischenraum plus höhere Ordnungsbegriffe ist. h konnte eine Konstante, eine deterministische Funktion der Zeit oder ein stochastischer Prozess sein. Die Überleben-Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass kein Sprung im Zwischenraum vorgekommen ist. Die Änderung in der Überleben-Wahrscheinlichkeit ist

:

So

:

Lassen Sie, ein diskontinuierlicher stochastischer Prozess zu sein. Schreiben Sie für den Wert von S, weil wir uns t vom links nähern. Schreiben Sie für die unendlich nichtkleine Änderung in infolge eines Sprungs. Dann

:

Lassen Sie z der Umfang des Sprungs sein und zu lassen, der Vertrieb von z zu sein. Der erwartete Umfang des Sprungs ist

:

Definieren Sie ein ersetzter Prozess und Martingal, als

:

Dann

:

Denken Sie eine Funktion des Sprung-Prozesses. Wenn Sprünge bis dahin dadurch springen. wird vom Vertrieb gezogen, der, dg abhängen kann und. Der Sprung-Teil dessen ist

:\begin {richten }\aus

g (t)-g (t^-) & =h (t) \, dt \int_ {\\Delta g\\, \Delta g \eta_g (\cdot) \, d\Delta g + d J_g (t).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wenn Antrieb, Verbreitung und Sprung-Teile enthält, dann ist Itō's Lemma dafür

:\begin {richten }\aus

d g (t) & = \left (\frac {\\teilweiser g} {\\teilweise t\+ \mu \frac {\\teilweise g\{\\teilweise S\+ \frac {1} {2} \sigma^2 \frac {\\partial^2 g\{\\teilweiser S^2} +h (t) \int_ {\\Delta g\(\Delta g \eta_g (\cdot) \, d {\\Delta} g) \, \right) dt + \frac {\\teilweise g\{\\teilweise S\\sigma \, d W (t) + d J_g (t).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das Itō's Lemma für einen Prozess, der die Summe eines Antrieb-Diffusionsprozesses und eines Sprung-Prozesses ist, ist gerade die Summe des Itō's Lemmas für die individuellen Teile.

Unterbrochene Halbmartingale

Itō's Lemma kann auch auf allgemeine d-dimensional Halbmartingale angewandt werden, die nicht dauernd zu sein brauchen. Im Allgemeinen ist ein Halbmartingal ein Càdlàg-Prozess, und ein zusätzlicher Begriff muss zur Formel hinzugefügt werden, um sicherzustellen, dass die Sprünge des Prozesses durch das Itō's Lemma richtig gegeben werden.

Weil irgendwelche cadlag Y bearbeiten, wird die linke Grenze in t durch Y angezeigt, der ein nach links dauernder Prozess ist. Die Sprünge werden als ΔY = Y - Y geschrieben. Dann stellt Itō's Lemma fest, dass, wenn X = (X, X, …, X) ein d-dimensional Halbmartingal und f ist, zweimal unaufhörlich differentiable ist, ist die echte geschätzte Funktion auf R dann f (X) ein Halbmartingal und

:\begin {richten }\aus

f (X_t) = & f (X_0) + \sum_ {i=1} ^d\int_0^t f_ {ich} (X_ {s-}) \, dX^i_s + \frac {1} {2 }\\sum_ {ich, j=1} ^d \int_0^t f_ {ich, j} (X_ {s-}) \, d [X^i, X^j] _s \\

& {} + \sum_ {s\le t }\\verlassen (\Delta f (X_s)-\sum_ {i=1} ^df_ {ich} (X_ {s-}) \, \Delta X^i_s-\frac {1} {2 }\\sum_ {ich, j=1} ^d f_ {ich, j} (X_ {s-}) \, \Delta X^i_s \, \Delta X^j_s\right).

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das unterscheidet sich von der Formel für dauernde Halbmartingale durch den zusätzlichen Begriff, der über die Sprünge X resümiert, der sicherstellt, dass der Sprung der rechten Seite in der Zeit t Δf (X) ist.

Informelle Abstammung

Ein formeller Beweis des Lemmas verlangt, dass wir die Grenze einer Folge von zufälligen Variablen nehmen, die hier nicht getan wird. Statt dessen geben wir eine Skizze dessen, wie man Itō's Lemma ableiten kann, indem man eine Reihe von Taylor ausbreitet und die Regeln der stochastischen Rechnung anwendet.

Nehmen Sie an, dass der Itō-Prozess in der Form von ist

:

Sich f (x t) in einer Reihe von Taylor in x und t ausbreitend, haben wir

:

und das Ersetzen eines dt + b DB für dx gibt

:

In der Grenze weil neigt dt zu 0, der dt und die dt DB-Begriffe verschwinden, aber der DB-Begriff neigt zu dt. Die Letzteren können gezeigt werden, wenn wir das beweisen

: seitdem

Wenn wir

den dt und die dt DB-Begriffe löschen, dt für das DB auswechselnd, und den dt und die DB-Begriffe sammelnd, erhalten wir

:

wie erforderlich.

Der formelle Beweis ist etwas technisch und ist außer dem aktuellen Staat dieses Artikels.

Beispiele

Geometrische Brownsche Bewegung

Wie man

sagt, folgt ein Prozess S einer geometrischen Brownschen Bewegung mit der Flüchtigkeit σ und Antrieb μ, wenn es die stochastische Differenzialgleichung dS = S (σdB + μdt), für eine Brownsche Bewegung B befriedigt.

Wenn er

Itō's Lemma mit f (S) = anwendet, gibt Klotz (S)

:\begin {richten }\aus

d\log (S) & = f^\\erst (S) \, dS + \frac {1} {2} f^ {\\prime\prime} (S) S^2\sigma^2 \, dt \\

& = \frac {1} {S} \left (\sigma S \, DB + \mu S \, dt\right) - \frac {1} {2 }\\sigma^2 \, dt \\

&= \sigma \, DB + (\mu-\sigma^2/2) \, dt.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Hieraus folgt dass Klotz (S) = Klotz (S) + σB + (μ &minus; σ/2) t, und exponentiating gibt den Ausdruck für S,

:

Der Doléans Exponential-

Der Doléans Exponential-(oder stochastisch Exponential-) eines dauernden Halbmartingals X kann als die Lösung des SDE dY = Y dX mit der anfänglichen Bedingung Y = 1 definiert werden. Es wird manchmal durch (X) angezeigt.

Wenn er

Itō's Lemma mit f (Y) = anwendet, gibt Klotz (Y)

:\begin {richten }\aus

d\log (Y) &= \frac {1} {Y }\\, dY-\frac {1} {2Y^2 }\\, d [Y] \\

&= dX - \frac {1} {2 }\\, d [X].

\end {richten }\aus</Mathematik>

Exponentiating gibt die Lösung

:

Schwarze-Scholes Formel

Itō's Lemma kann verwendet werden, um die Schwarze-Scholes Formel für eine Auswahl abzuleiten. Nehmen Sie an, dass ein Aktienpreis einer Geometrischen Brownschen Bewegung folgt, die durch die stochastische Differenzialgleichung dS = S (σdB + μ dt) gegeben ist.

Dann, wenn der Wert einer Auswahl in der Zeit t f ist (t, S), gibt Itō's Lemma

:

Der Begriff (f /  S) dS vertritt die Wertänderung rechtzeitig dt von der Handelsstrategie, die daraus besteht, einen Betrag f /  S vom Lager zu halten. Wenn dieser Handelsstrategie gefolgt wird, und, wie man annimmt, jedes gehaltene Bargeld im risikolosen Tempo r wächst, dann befriedigt der Gesamtwert V dieser Mappe den SDE

:

Diese Strategie wiederholt die Auswahl wenn V = f (t, S).

Das Kombinieren dieser Gleichungen gibt die berühmte Schwarze-Scholes Gleichung

:

Siehe auch

• Wiener bearbeiten
• Itō Rechnung
• Feynman-Kac Formel

Referenzen

• Kiyoshi Itō (1951). Auf stochastischen Differenzialgleichungen. Lebenserinnerungen, amerikanische Mathematische Gesellschaft 4, 1-51.
• Hagen Kleinert (2004). Pfad-Integrale in Quant-Mechanik, Statistik, Polymer-Physik, und Finanzmärkten, 4. Ausgabe, Welt Wissenschaftlich (Singapur); internationale Paperback-Standardbuchnummer 981-238-107-4. Auch verfügbar online: PDF-Dateien. Dieses Lehrbuch leitet auch Generalisationen des Itō's Lemmas für non-Wiener (non-Gaussian) Prozesse ab.
• Bernt Øksendal (2000). Stochastische Differenzialgleichungen. Eine Einführung mit Anwendungen, 5. Ausgabe, hat 2. Druck korrigiert. Springer. Internationale Standardbuchnummer 3-540-63720-6. Abschnitte 4.1 und 4.2.
• Domingo Tavella (2002). Quantitative Methoden in der Ableitungspreiskalkulation: Eine Einführung in die Rechenbetonte Finanz, John Wiley and Sons. Internationale Standardbuchnummer 978-0-471-27479-7. Seiten 36-39.

Links

• Abstammung, Prof. Thayer Watkins
• Informeller Beweis, optiontutor