In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Prozess von Poisson ein stochastischer Prozess, der die Zahl von Ereignissen und die Zeit aufzählt, dass diese Ereignisse in einem gegebenen Zeitabstand vorkommen. Die Zeit zwischen jedem Paar von Konsekutivereignissen hat einen Exponentialvertrieb mit dem Parameter λ, und, wie man annimmt, ist jede dieser Zwischenankunftszeit anderer Zwischenankunftszeit unabhängig. Der Prozess wird nach dem französischen Mathematiker Siméon-Denis Poisson genannt und ist ein gutes Modell des radioaktiven Zerfalls, der Anrufe und der Bitten um ein besonderes Dokument auf einem Webserver unter vielen anderen Phänomenen.

Der Prozess von Poisson ist ein dauernd-maliger Prozess; von der Summe eines Prozesses von Bernoulli kann als sein Kollege der diskreten Zeit gedacht werden. Ein Prozess von Poisson ist ein Prozess der reinen Geburt, das einfachste Beispiel eines Geburtstodesprozesses. Es ist auch ein Punkt-Prozess auf der echten Halblinie.

Definition

Die grundlegende Form des Prozesses von Poisson, der häufig auf einfach als "der Prozess von Poisson" verwiesen ist, ist ein dauernd-maliger zählender Prozess {N (t), t  0}, der die folgenden Eigenschaften besitzt:

• N (0) = 0
• Unabhängige Zunahme (sind die Zahlen von in zusammenhanglosen Zwischenräumen aufgezählten Ereignissen von einander unabhängig)
• Stationäre Zunahme (hängt der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Zahl von Ereignissen, die in jedem Zeitabstand nur aufgezählt sind, von der Länge des Zwischenraums ab)
• Keine aufgezählten Ereignisse sind gleichzeitig.

Folgen dieser Definition schließen ein:

• Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb von N (t) ist ein Vertrieb von Poisson.
• Der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Wartezeit bis zum folgenden Ereignis ist ein Exponentialvertrieb.
• Die Ereignisse werden gleichförmig auf jedem Zwischenraum der Zeit verteilt. (Bemerken Sie, dass N (t), die Gesamtzahl von Ereignissen, einen Vertrieb von Poisson darüber hat (0, t], wohingegen die Position eines individuellen Ereignisses darauf gleichförmig ist.)

Andere Typen des Prozesses von Poisson werden unten beschrieben.

Typen

Homogen

Der homogene Prozess von Poisson ist einer der wohl bekanntesten Prozesse von Lévy. Dieser Prozess wird durch einen Rate-Parameter λ, auch bekannt als Intensität, solch charakterisiert, dass die Zahl von Ereignissen im Zeitabstand (t, t + τ] folgt einem Vertrieb von Poisson mit dem verbundenen Parameter λτ. Diese Beziehung wird als gegeben

:

wo N (t + τ) − N (t) = ist k die Zahl von Ereignissen im Zeitabstand (t, t + τ].

Ebenso ein Poisson wird zufällige Variable durch seinen Skalarparameter λ charakterisiert, ein homogener Prozess von Poisson wird durch seinen Rate-Parameter λ charakterisiert, der die erwartete Zahl von "Ereignissen" oder "Ankünften" ist, die pro Einheitszeit vorkommen.

N ist (t) ein homogener Beispielprozess von Poisson, um mit einer Dichte oder Vertriebsfunktion nicht verwirrt zu sein.

Nichthomogen

Im Allgemeinen kann sich der Rate-Parameter mit der Zeit ändern; solch ein Prozess wird einen nichthomogenen Prozess von Poisson oder inhomogeneous Prozess von Poisson genannt.

In diesem Fall wird die verallgemeinerte Rate-Funktion als λ (t) gegeben. Jetzt ist die erwartete Zahl von Ereignissen zwischen Zeit a und Zeit b

:

So, die Zahl von Ankünften in den Zeitabstand (a, b], gegeben als N (b) − N (a), folgt einem Vertrieb von Poisson mit dem verbundenen Parameter λ\

:

Ein homogener Prozess von Poisson kann als ein spezieller Fall wenn λ (t) = λ, eine unveränderliche Rate angesehen werden.

Räumlich

Eine wichtige Schwankung auf (begrifflich zeitgestützt) Prozess von Poisson ist der Raumprozess von Poisson. Im Fall von einem Ein-Dimension-Raum (eine Linie) unterscheidet sich die Theorie von diesem eines zeitbasierten Prozesses von Poisson nur in der Interpretation der Index-Variable. Für höhere Dimensionsräume, wo die Index-Variable (jetzt x) in einem Vektorraum V ist (z.B. R oder R) kann ein Raumprozess von Poisson durch die Voraussetzung definiert werden, dass die zufälligen Variablen, die als die Zählungen der Zahl von "Ereignissen" innerhalb von jedem mehrerer nichtüberlappender begrenzter Subgebiete V definiert sind, jeder einen Vertrieb von Poisson haben sollten und von einander unabhängig sein sollten.

Raum-Zeit

Eine weitere Schwankung auf dem Prozess von Poisson, die Raum-Zeit Prozess von Poisson, berücksichtigt getrennt bemerkenswerte Variablen der Zeit und Raums. Wenn auch das als ein reiner Raumprozess durch das Behandeln "der Zeit" als gerade ein anderer Bestandteil eines Vektorraums theoretisch behandelt werden kann, ist es in den meisten Anwendungen günstig, Zeit und Raum getrennt zu behandeln, sowohl um Zwecke in praktischen Anwendungen als auch wegen der Typen von Eigenschaften solcher Prozesse zu modellieren, die es interessant ist zu studieren.

Im Vergleich mit einem zeitbasierten inhomogeneous Prozess von Poisson, der Erweiterung auf eine Raum-Zeit kann Prozess von Poisson eine Raumabhängigkeit in die Rate-Funktion, solch einführen, dass es als, wo für einen Vektorraum V definiert wird (z.B. R oder R). Jedoch kann ein Raum-Zeit-Prozess von Poisson eine Rate-Funktion haben, die entweder in Bezug auf oder in Bezug auf beide von x und t unveränderlich ist. Für jeden Satz (z.B ein Raumgebiet) mit dem begrenzten Maß kann die Zahl von Ereignissen, die innerhalb dieses Gebiets vorkommen, als ein Prozess von Poisson mit der verbundenen Rate-Funktion λ (t) solch dass modelliert werden

:

Trennbare Raum-Zeit-Prozesse

Im speziellen Fall, dass diese verallgemeinerte Rate-Funktion eine trennbare Funktion der Zeit und Raums ist, haben wir:

:

für etwas Funktion. Ohne Verlust der Allgemeinheit, lassen Sie

:

(Wenn das nicht ist, kann der Fall, λ (t) passend erklettert werden.) Jetzt, vertritt die Raumwahrscheinlichkeitsdichte-Funktion dieser zufälligen Ereignisse im folgenden Sinn. Die Tat, diesen Raumprozess von Poisson zu probieren, ist zur Stichprobenerhebung eines Prozesses von Poisson mit der Rate-Funktion λ (t), und das Verbinden mit jedem Ereignis ein zufälliger von der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion probierter Vektor gleichwertig. Ein ähnliches Ergebnis kann für den allgemeinen (nichttrennbaren) Fall gezeigt werden.

Charakterisierung

In seiner allgemeinsten Form sind die nur zwei Bedingungen für einen Zählen-Prozess, um ein Prozess von Poisson zu sein:

• Ordnung: Der grob bedeutet

::

:which deutet an, dass Ankünfte gleichzeitig nicht vorkommen (aber das ist wirklich eine mathematisch stärkere Behauptung).

• Memorylessness (auch genannt Evolution ohne Nachwirkungen): Die Zahl von Ankünften, die in jedem begrenzten Zwischenraum immer wieder t vorkommen, ist der Zahl von Ankünften unabhängig, die vor der Zeit t vorkommen.

Diese anscheinend uneinschränkenden Bedingungen erlegen wirklich sehr viel Struktur im Prozess von Poisson auf. Insbesondere sie deuten an, dass die Zeit zwischen Konsekutivereignissen (genannt Zwischenankunftszeit) unabhängige zufällige Variablen ist. Für den homogenen Prozess von Poisson wird diese Zwischenankunftszeit mit dem Parameter λ exponential verteilt (haben Sie 1/λ vor).

Beweis:

Lassen Sie, die erste Ankunftszeit des Prozesses von Poisson zu sein. Sein Vertrieb befriedigt

:

\begin {richten }\aus

Pr [\tau_1=x] =& \lim_ {dt\to 0 }\\frac {Pr [N_ {x+dt}> 0, N_x=0]} {dt }\\\

&\\lim_ {dt\to 0 }\\frac {1-Pr [N_ {dt}

0]} {dt} Pr [N_x=0] \\

&\\lim_ {dt\to 0 }\\frac {1-(1-\lambda dt +O (dt^2))} {dt }\\exp (-\lambda x) \\

&\\lambda\exp (-\lambda x)

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Außerdem hat das memorylessness Eigentum zur Folge, dass die Zahl von Ereignissen in jedem Zeitabstand der Zahl von Ereignissen in jedem anderen Zwischenraum unabhängig ist, der davon zusammenhanglos ist. Dieses letzte Eigentum ist als das unabhängige Zunahme-Eigentum des Prozesses von Poisson bekannt.

Eigenschaften

Wie definiert, oben ist der stochastische Prozess {N (t)} ein Prozess von Markov, oder mehr spezifisch, ein dauernd-maliger Prozess von Markov.

Um das exponential verteilte Zwischenankunftszeit-Eigentum zu illustrieren, denken Sie, dass ein homogener Poisson N (t) mit dem Rate-Parameter λ bearbeitet, und T die Zeit der kth Ankunft, für k = 1, 2, 3 sein lässt.... Klar ist die Zahl von Ankünften vor einer festen Zeit t weniger als k, wenn, und nur wenn die Wartezeit bis die kth Ankunft mehr ist als t. In Symbolen kommt das Ereignis [N (t)> t] vor. Folglich sind die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse dasselbe:

:

Insbesondere denken Sie die Wartezeit bis zur ersten Ankunft. Klar ist diese Zeit mehr als t, wenn, und nur wenn die Zahl von Ankünften vor der Zeit t 0 ist. Das Kombinieren dieses letzten Eigentums mit dem obengenannten Wahrscheinlichkeitsvertrieb für die Zahl von homogenen Prozess-Ereignissen von Poisson in einem festen Zwischenraum gibt

:

Folglich hat die Wartezeit bis zur ersten Ankunft T einen Exponentialvertrieb, und ist so memoryless. Man kann dass die andere Zwischenankunftszeit T &minus ähnlich zeigen; T teilen denselben Vertrieb. Folglich sind sie unabhängig, (i.i.d) identisch verteilt. zufällige Variablen mit dem Parameter λ> 0; und erwarteter Wert 1/λ. Zum Beispiel, wenn die durchschnittliche Rate von Ankünften 5 pro Minute ist, dann ist die durchschnittliche Wartezeit zwischen Ankünften 1/5 Minute.

Anwendungen

Das klassische Beispiel von durch einen Prozess von Poisson gut modellierten Phänomenen ist Todesfälle wegen des Pferd-Stoßes in der preußischen Armee, wie gezeigt, durch Ladislaus Bortkiewicz 1898. Die folgenden Beispiele werden auch durch den Prozess von Poisson gut modelliert:

• Bitten um Anrufe an einer Schalttafel.
• Absichten haben in einem Fußballmatch gezählt.
• Bitten um individuelle Dokumente auf einem Webserver.
• Partikel-Emissionen wegen des radioaktiven Zerfalls durch eine nicht stabile Substanz. In diesem Fall ist der Prozess von Poisson auf eine voraussagbare Weise - die Emissionsrate-Niedergänge nichthomogen, weil Partikeln ausgestrahlt werden.

In der queueing Theorie, wie man häufig annimmt, sind die Zeiten von Ankünften des Kunden/Jobs an Warteschlangen ein Prozess von Poisson.

Ereignis

Der Lehrsatz der Palme-Khintchine stellt ein Ergebnis zur Verfügung, das zeigt, dass die Überlagerung von vielen niedrig Intensität non-Poisson Punkt-Prozesse einem Prozess von Poisson nah sein wird.

Siehe auch

• Setzen Sie Vertrieb von Poisson zusammen
• Setzen Sie Prozess von Poisson zusammen
• Erneuerungsprozess
• Gammavertrieb
• Ankunft von Markovian bearbeitet

Poisson, der ausfällt

• Nichthomogener Prozess von Poisson, wo λ Funktion der Zeit λ (t) sein kann
• Steuermann-Prozess, wo λ (t) ein stochastischer Prozess sein kann

Weiterführende Literatur

Referenzen