In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik ist der Gammavertrieb eine Zwei-Parameter-Familie des dauernden Wahrscheinlichkeitsvertriebs. Es gibt zwei verschiedene parameterizations in der üblichen Anwendung:

1. Mit einem Gestalt-Parameter k und einem Skala-Parameter θ.
2. Mit einem Gestalt-Parameter α = k und einem umgekehrten Skala-Parameter β =, genannt einen Rate-Parameter.

Der parameterization mit k und θ scheint, in econometrics und bestimmten anderen angewandten Feldern üblicher zu sein, wo z.B der Gammavertrieb oft an Musterwarten-Zeiten gewöhnt ist. Zum Beispiel, in der Lebensprüfung, die Wartezeit bis ist Tod eine zufällige Variable, die oft mit einem Gammavertrieb modelliert wird.

Der parameterization mit α und β ist in der Statistik von Bayesian üblicher, wo der Gammavertrieb als ein verbundener vorheriger Vertrieb für verschiedene Typen der umgekehrten Skala (auch bekannt als Rate) Rahmen, wie der λ eines Exponentialvertriebs oder eines Vertriebs von Poisson — oder was das betrifft, der β des Gammavertriebs selbst verwendet wird. (Der nah zusammenhängende umgekehrte Gammavertrieb wird als ein verbundener vorheriger für Skala-Rahmen wie die Abweichung einer Normalverteilung verwendet.)

Wenn k eine ganze Zahl ist, dann vertritt der Vertrieb einen Vertrieb von Erlang; d. h., die Summe von k unabhängigen exponential verteilten zufälligen Variablen, von denen jede einen bösartigen von θ hat (der zu einem Rate-Parameter von 1/θ gleichwertig ist). Gleichwertig, wenn α eine ganze Zahl ist, dann vertritt der Vertrieb wieder einen Vertrieb von Erlang, d. h. die Summe von α unabhängigen exponential verteilten zufälligen Variablen, von denen jede einen bösartigen von 1/β hat (der zu einem Rate-Parameter von β gleichwertig ist).

Der Gammavertrieb ist der maximale Wärmegewicht-Wahrscheinlichkeitsvertrieb für eine zufällige Variable X, für den befestigt und größer wird als Null und befestigt wird (ist die Digamma-Funktion).

Charakterisierung mit der Gestalt k und Skala θ

Eine zufällige Variable X, der mit der Gestalt k und Skala θ gammaverteilt wird, wird angezeigt

:

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion des Gammavertriebs kann in Bezug auf die Gammafunktion ausgedrückt werden, die in Bezug auf einen Gestalt-Parameter k und Skala-Parameter θ parametrisiert ist. Sowohl k als auch θ werden positive Werte sein.

Die Gleichung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion einer gammaverteilten zufälligen Variable x definiert, ist

:\begin {richten }\aus

f (x; k, \theta) &= \frac {1} {\\theta^k }\\frac {1} {\\Gamma (k)} X^ {k-1} e^ {-\frac {x} {\\theta}} \\

& \text {für} x \geq 0 \text {und} k, \theta> 0

\end {richten }\aus</Mathematik>

(Dieser parameterization wird im infobox und den Anschlägen verwendet.)

Kumulative Vertriebsfunktion

Die kumulative Vertriebsfunktion ist die normalisierte Gammafunktion::

:

= \frac {\\gamma\left (k, \frac {x} {\\theta }\\Recht)} {\\Gamma (k)} \, </Mathematik>

wo die niedrigere unvollständige Gammafunktion ist.

Es kann auch wie folgt ausgedrückt werden, wenn k eine positive ganze Zahl ist (d. h. der Vertrieb ist ein Vertrieb von Erlang):

:

Charakterisierung mit der Gestalt α und Rate β

Wechselweise kann der Gammavertrieb in Bezug auf einen Gestalt-Parameter α = k und einen umgekehrten Skala-Parameter β = parametrisiert, einen Rate-Parameter genannt werden:

:\begin {richten }\aus

g (x; \alpha, \beta) &= \beta^ {\\Alpha }\\frac {1} {\\Gamma (\alpha)} x^ {\\Alpha 1\e^ {-\beta x} \\

& \text {für} x \geq 0 \text {und} \alpha, \beta> 0

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wenn α eine positive ganze Zahl, dann ist

:

Eine zufällige Variable X, der mit der Gestalt α und Skala β gammaverteilt wird, wird angezeigt

:

Beide parametrizations sind üblich, weil irgendein abhängig von der Situation günstiger sein kann.

Kumulative Vertriebsfunktion

Die kumulative Vertriebsfunktion ist die normalisierte Gammafunktion:

:

= \frac {\\Gamma (\alpha, \beta x)} {\\Gamma (\alpha)} \, </Mathematik>

wo die niedrigere unvollständige Gammafunktion ist.

Es kann auch wie folgt ausgedrückt werden, wenn α eine positive ganze Zahl ist (d. h. der Vertrieb ist ein Vertrieb von Erlang):

:

Eigenschaften

Mittelberechnung

Verschieden von der Weise und den bösartigen, die sogleich berechenbare auf den Rahmen gestützte Formeln haben, hat die Mittellinie keine leichte geschlossene Form-Gleichung. Die Mittellinie für diesen Vertrieb wird als der unveränderliche solcher x dass definiert

:

Die Bequemlichkeit dieser Berechnung ist vom k Parameter abhängig. Das wird am besten durch einen Computer erreicht, da die Berechnungen aus der Kontrolle schnell wachsen können.

Summierung

Wenn X einen Γ (k, θ) Vertrieb hat, weil ich = 1, 2..., N (d. h. hat der ganze Vertrieb denselben Skala-Parameter θ), dann

:

\sum_ {i=1} ^N X_i \sim

\mathrm {Gamma} \left (\sum_ {i=1} ^N k_i, \theta \right) \, \!

</Mathematik>

vorausgesetzt dass alle X

Der Gammavertrieb stellt unendliche Teilbarkeit aus.

Schuppen

Wenn

:

dann für jeden c> 0,

:

Folglich der Gebrauch des Begriffes "Skala--Parameter", um &theta;. zu beschreiben

Gleichwertig, wenn

:dann für jeden c> 0,:

Folglich erklettert der Gebrauch des Begriffes "Gegenteil Parameter", um &beta;. zu beschreiben

Exponentialfamilie

Der Gammavertrieb ist eine Zwei-Parameter-Exponentialfamilie mit natürlichen Rahmen k &minus; 1 und &minus; (gleichwertig, &alpha; &minus; 1 und &minus;&beta;), und natürliche Statistik X und ln (X).

Wenn der Gestalt-Parameter α fest gehalten wird, ist die resultierende Ein-Parameter-Familie des Vertriebs eine natürliche Exponentialfamilie.

Logarithmische Erwartung

Man kann dem zeigen

:

oder gleichwertig,

:

wo ψ (&alpha;), oder ψ ist (k) die Digamma-Funktion.

Das kann mit der Exponentialfamilienformel abgeleitet werden, die im Augenblick Funktion des genügend statistischen erzeugt, weil eine der genügend Statistiken des Gammavertriebs ist

Informationswärmegewicht

Das Informationswärmegewicht kann als abgeleitet werden

:\begin {richten }\aus

H (x) = \operatorname {E} (-\ln p (X)) &= \operatorname {E} (-\alpha\ln\beta + \ln\Gamma (\alpha) - (\alpha-1) \ln X + \beta X) \\

&=-\alpha\ln\beta + \ln\Gamma (\alpha) - (\alpha-1) \operatorname {E} (\ln X) + \beta \operatorname {E} (X) \\

&=-\alpha\ln\beta + \ln\Gamma (\alpha) - (\alpha-1) (\psi (\alpha) - \ln (\beta)) + \beta \frac {\\Alpha} {\\Beta} \\

&=-\alpha\ln\beta + \ln\Gamma (\alpha) - (\alpha-1) \psi (\alpha) + \alpha\ln\beta - \ln\beta + \alpha \\

&= \ln\Gamma (\alpha) - (\alpha-1) \psi (\alpha) - \ln\beta + \alpha \\

&= \alpha - \ln\beta + \ln\Gamma (\alpha) + (1-\alpha) \psi (\alpha)

\end {richten }\aus</Mathematik>

In k,&theta; parameterization, das Informationswärmegewicht wird durch gegeben

:

Kullback-Leibler Abschweifung

Die Kullback-Leibler Abschweifung (KL-Abschweifung), als mit dem Informationswärmegewicht und den verschiedenen anderen theoretischen Eigenschaften, wird mit &alpha;,&beta allgemeiner gesehen; parameterization wegen ihres Gebrauches in Bayesian und anderem theoretischem Statistikfachwerk.

Die KL-Abschweifung ("wahrer" Vertrieb) von ("näher kommender" Vertrieb) wird durch gegeben

:\begin {richten }\aus

D_ {\\mathrm {KL}} (\alpha_p,& \,\beta_p; \alpha_q, \beta_q) = \\

& (\alpha_p-\alpha_q) \psi (\alpha_p) - \log\Gamma (\alpha_p) + \log\Gamma (\alpha_q) \\

& + \alpha_q (\log \beta_p - \log \beta_q) + \alpha_p\frac {\\beta_q-\beta_p} {\\beta_p }\

\end {richten }\aus</Mathematik>

Das schriftliche Verwenden k,&theta; parameterization, die KL-Abschweifung davon wird durch gegeben

:

D_ {\\mathrm {KL}} (k_p, \theta_p; k_q, \theta_q) =

(k_p-k_q) \psi (k_p) - \log\Gamma (k_p) + \log\Gamma (k_q) + k_q (\log \theta_q - \log \theta_p) + k_p\frac {\\theta_p - \theta_q} {\\theta_q }\

</Mathematik>

Laplace verwandeln sich

Die Laplace verwandeln sich vom Gamma PDF ist

:

Parameter-Bewertung

Maximale Wahrscheinlichkeitsbewertung

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für N iid Beobachtungen (x..., x) ist

:

von dem wir die Funktion der Klotz-Wahrscheinlichkeit berechnen

:

Die Entdeckung des Maximums in Bezug auf θ durch die Einnahme der Ableitung und das Setzen davon gleich der Null gibt den maximalen Wahrscheinlichkeitsvorkalkulatoren des θ Parameters nach:

:

Das Ersetzen davon in die Funktion der Klotz-Wahrscheinlichkeit gibt

:

Die Entdeckung des Maximums in Bezug auf k durch die Einnahme der Ableitung und das Setzen davon gleich Nullerträgen

:wo:

ist die Digamma-Funktion.

Es gibt keine Lösung der geschlossenen Form für k. Die Funktion wird numerisch sehr gut so benommen, wenn eine numerische Lösung gewünscht wird, kann es mit, zum Beispiel, die Methode von Newton gefunden werden. Ein Anfangswert von k kann entweder das Verwenden der Methode von Momenten oder das Verwenden der Annäherung gefunden werden

:

Wenn wir lassen

:

dann ist k ungefähr

:

der innerhalb von 1.5 % des richtigen Werts ist. Eine ausführliche Form für die Aktualisierung des Newtons-Raphson dieser anfänglichen Annahme wird von Choi und Wette (1969) als der folgende Ausdruck gegeben:

:

wo die Trigamma-Funktion (die Ableitung der Digamma-Funktion) anzeigt.

Der digamma und die Trigamma-Funktionen können schwierig sein, mit der hohen Präzision zu rechnen. Jedoch können Annäherungen, die bekannt sind, zu mehreren bedeutenden Zahlen gut zu sein, mit den folgenden Annäherungsformeln geschätzt werden:

:

\psi\left (k\right) = \begin {Fälle }\

\ln (k) - \left (1 + \left [1 - \left (1/10 - 1 / 21k^2 \right) / K^2 \right] / 6k \right) / 2k, \quad k \geq 8 \\

\psi\left (k + 1 \right) - 1/k, \quad k

und:

\psi \; '\left (k\right) = \begin {Fälle }\

(1 + [1 + (1 - [1/5 - 1 / 7k^2] / k^2) / 3k] / 2k) / k, \quad k \geq 8, \\

\psi \; '\left (k + 1 \right) + 1/k^2, \quad k

Für Details, sieh Choi und Wette (1969).

Minimum von Bayesian mittel Fehler

Mit bekanntem k und unbekannt ist der spätere PDF für theta (die normale Skala-invariant verwendend, die für vorherig ist)

:

Bezeichnung

:

Die Integration über θ kann mit einer Änderung von Variablen ausgeführt werden, offenbarend, dass das mit Rahmen gammaverteilt wird.

:

Die Momente können durch die Einnahme des Verhältnisses (M durch die M = 0) geschätzt werden

:

der zeigt, dass die ± Mittelstandardabweichungsschätzung des späteren Vertriebs für theta ist

:

Das Erzeugen gammaverteilter zufälliger Variablen

In Anbetracht des kletternden Eigentums oben ist es genug, Gammavariablen damit zu erzeugen, weil wir uns später zu jedem Wert mit der einfachen Abteilung umwandeln können.

Mit der Tatsache, dass ein Vertrieb dasselbe als ein Vertrieb und Anmerkung der Methode ist, Exponentialvariablen zu erzeugen, beschließen wir, dass, wenn darauf gleichförmig verteilt wird, dann wird  Jetzt mit dem "α-addition" Eigentum des Gammavertriebs verteilt, wir dieses Ergebnis ausbreiten:

:

wo alle darauf gleichförmig verteilt und unabhängig werden. Alles, was jetzt verlassen wird, soll eine Variable erzeugen, die bezüglich verteilt ist

Die zufällige Generation des Gammas variates wird im Detail von Devroye besprochen, bemerkend, dass niemand für alle Gestalt-Rahmen gleichförmig schnell ist. Für kleine Werte des Gestalt-Parameters sind die Algorithmen häufig nicht gültig. Für willkürliche Werte des Gestalt-Parameters kann man den Ahrens anwenden, und Dieter hat Annahmeverwerfungsmethode-Algorithmus GD modifiziert (gestalten Sie k  1), oder Transformationsmethode wenn 0 oder die Druck-Methode von Marsaglia.

Der folgende ist eine Version der Annahmeverwerfungsmethode von Ahrens-Dieter:

1. Lassen Sie, 1 zu sein.
2. Erzeugen Sie und als unabhängig gleichförmig verteilt auf Variablen.
3. Wenn, wohin, dann zum Schritt 4 sonst gehen, zum Schritt 5 gehen.
4. Lassen. Gehen Sie zum Schritt 6.
5. Lassen.
6. Wenn, dann erhöhen Sie und zum Schritt 2 gehen Sie.
7. Nehmen Sie an, um die Verwirklichung dessen zu sein.

Eine Zusammenfassung davon ist

:wo

• ist der integrale Bestandteil,
• ist mit dem Algorithmus oben mit (der Bruchteil), erzeugt worden

• und werden wie erklärt, oben verteilt und sind der ganze Unabhängige.

Zusammenhängender Vertrieb

Spezielle Fälle

• Wenn, dann X hat einen Exponentialvertrieb mit dem Rate-Parameter λ.
• Wenn, dann X ist zu χ (ν identisch), der chi-karierte Vertrieb mit ν Graden der Freiheit. Umgekehrt, wenn und c eine positive Konstante, dann ist.
• Wenn eine ganze Zahl ist, ist der Gammavertrieb ein Vertrieb von Erlang und ist der Wahrscheinlichkeitsvertrieb der Wartezeit bis zur-th "Ankunft" in einen eindimensionalen Prozess von Poisson mit der Intensität 1/θ. Wenn und, dann

• Wenn X einen Vertrieb von Maxwell-Boltzmann mit dem Parameter a, dann hat.

• dann folgt einem verallgemeinerten Gammavertrieb mit Rahmen, und.

• dann; d. h. ein Exponentialvertrieb: Sieh verdrehen - logistischer Vertrieb.

Verbunden vorherig

In der Bayesian Schlussfolgerung ist der Gammavertrieb das verbundene vor vielem Wahrscheinlichkeitsvertrieb: der Poisson, Exponential-, normal (mit dem bekannten bösartig), Pareto, Gamma mit der bekannten Gestalt σ, umgekehrtes Gamma mit dem bekannten Gestalt-Parameter und Gompertz mit dem bekannten Skala-Parameter.

Der Gammavertrieb verbunden vorherig ist:

:

Wo Z das unveränderliche Normalisieren ist, der keine geschlossene Form-Lösung hat. Der spätere Vertrieb kann durch das Aktualisieren der Rahmen wie folgt gefunden werden.

:

p' &= p\prod_i x_i \\

q' &= q + \sum_i x_i \\

r' &= r + n \\

s' &= s + n

\end {richten }\aus</Mathematik>

Wo die Zahl von Beobachtungen ist, und die Beobachtung ist.

Zusammengesetztes Gamma

Wenn der Gestalt-Parameter des Gammavertriebs bekannt ist, aber der Parameter der umgekehrten Skala ist unbekannt, dann bildet ein Gammavertrieb für die umgekehrte Skala einen verbundenen vorherigen. Der zusammengesetzte Vertrieb, der sich aus Integrierung der umgekehrten Skala ergibt, hat eine geschlossene Form-Lösung, die als der zusammengesetzte Gammavertrieb bekannt ist.

Andere

• Wenn X einen Γ (k, θ) Vertrieb hat, dann hat 1/X einen Vertrieb des umgekehrten Gammas mit Rahmen k und θ.
• Wenn X und Y Γ (α, θ unabhängig verteilt werden) und Γ (β, θ) beziehungsweise, dann X / (X + Y) hat einen Beta-Vertrieb mit Rahmen α und β.
• Wenn X Γ (α,θ unabhängig verteilt werden) beziehungsweise, dann folgt der Vektor (X / S..., X / S), wo S = X +... + X, einem Vertrieb von Dirichlet mit Rahmen α, …, α.
• Für großen k läuft der Gammavertrieb zum Vertrieb von Gaussian mit dem bösartigen und der Abweichung zusammen.
• Der Gammavertrieb ist das verbundene vorherige für die Präzision der Normalverteilung mit dem bösartigen bekannten.
• Der Wishart Vertrieb ist eine multivariate Generalisation des Gammavertriebs (Proben sind positiv-bestimmter matrices aber nicht positive reelle Zahlen).
• Der Gammavertrieb ist ein spezieller Fall des verallgemeinerten Gammavertriebs, des verallgemeinerten Gammavertriebs der ganzen Zahl und des verallgemeinerten umgekehrten Vertriebs von Gaussian
• Unter dem getrennten Vertrieb wird der negative binomische Vertrieb manchmal als die getrennte Entsprechung des Gammavertriebs betrachtet

Anwendungen

Der Gammavertrieb ist verwendet worden, um die Größe von Versicherungsansprüchen und Niederschlägen zu modellieren. Das bedeutet, dass gesamte Versicherungsansprüche und der Betrag des in einem Reservoir angesammelten Niederschlags durch einen Gammaprozess modelliert werden. Der Gammavertrieb ist auch an Musterfehler im Mehrniveau Modelle des rückwärts Gehens von Poisson gewöhnt, weil die Kombination des Vertriebs von Poisson und eines Gammavertriebs ein negativer binomischer Vertrieb ist.

In neuroscience wird der Gammavertrieb häufig verwendet, um den Vertrieb von Zwischenspitze-Zwischenräumen zu beschreiben. Obwohl der Gammavertrieb häufig phänomenologisch einen passenden Nutzen zur Verfügung stellt, gibt es nicht zu Grunde liegende biophysical Motivation davon.

Im Bakteriengenausdruck folgt die Kopie-Zahl eines bestimmend ausgedrückten Proteins häufig dem Gammavertrieb, wo die Skala und der Gestalt-Parameter, beziehungsweise, die Mittelzahl von Brüchen pro Zellzyklus und die Mittelzahl von Protein-Molekülen sind, die durch einen einzelnen mRNA während seiner Lebenszeit erzeugt sind.

Der Gammavertrieb wird als ein verbundener vorheriger in der Statistik von Bayesian weit verwendet. Es ist das verbundene vorherige für die Präzision (d. h. Gegenteil der Abweichung) einer Normalverteilung. Es ist auch das verbundene vorherige für den Exponentialvertrieb.

Referenzen

• R. V. Hogg und A. T. Craig. (1978) Einführung in die Mathematische Statistik, 4. Ausgabe. New York: Macmillan. (Sieh Abschnitt 3.3.)'
• S. C. Choi und R. Wette. (1969) Maximale Wahrscheinlichkeitsbewertung der Rahmen des Gammavertriebs und Ihrer Neigung, Technometrics, 11 (4) 683-690

Links

• Technikstatistikhandbuch