In der Geometrie ist umkehrende Geometrie die Studie jener Eigenschaften von Zahlen, die durch eine Generalisation eines Typs der Transformation des Euklidischen Flugzeugs, genannt Inversion bewahrt werden. Diese Transformationskonserve-Winkel und Karte haben Kreise in verallgemeinerte Kreise verallgemeinert, wo ein verallgemeinerter Kreis entweder einen Kreis oder eine Linie (lose das Sprechen, ein Kreis mit dem unendlichen Radius) bedeutet. Viele schwierige Probleme in der Geometrie werden viel lenksamer, wenn eine Inversion angewandt wird.

Das Konzept der Inversion kann zu höheren dimensionalen Räumen verallgemeinert werden.

Kreisinversion

Gegenteil eines Punkts

File:Inversion ist illustration1.png|P das Gegenteil von P in Bezug auf den Kreis.

File:Inversion ist Illustration2.png|The-Gegenteil, in Bezug auf den roten Kreis, eines Kreises, der O (blau) durchgeht, eine Linie, die nicht O (grün), und umgekehrt durchgeht.

File:Inversion ist Illustration3.png|The-Gegenteil, in Bezug auf den roten Kreis, eines Kreises, der nicht O (blau) durchgeht, ein Kreis, der nicht O (grün), und umgekehrt durchgeht.

File:Inversion im Kreis 2.png|A Verfahren, um das Gegenteil P von einem Punkt P außerhalb eines Kreises O zu bauen. Lassen Sie r der Radius von O sein. Seit den rechtwinkligen Dreiecken sind OPN und OPN ähnlich, OP ist zu r, wie r zu OP ist

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Im Flugzeug ist das Gegenteil eines Punkts P in Bezug auf einen Bezugskreis des Zentrums O und Radius r ein Punkt P, auf dem Strahl von O bis solchen P dass liegend

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Die Inversion, die jeden Punkt P (anders nimmt als O) zu seinem Image P nimmt auch, P zurück zu P, so ist das Ergebnis, dieselbe Inversion anzuwenden, zweimal die Identitätstransformation auf allen Punkten des Flugzeugs außer O. Um Inversion eine Involution zu machen, ist es notwendig, einen Punkt an der Unendlichkeit, ein einzelner Punkt einzuführen, der auf allen Linien gelegt ist, und die Inversion zu erweitern, definitionsgemäß das Zentrum O und diesen Punkt an der Unendlichkeit auszuwechseln.

Es folgt aus der Definition, dass die Inversion jedes Punkts innerhalb des Bezugskreises außerhalb dessen, und umgekehrt, mit dem Zentrum und dem Punkt an Unendlichkeitsändern-Positionen liegen muss, während jeder Punkt auf dem Kreis ungekünstelt ist. In der Zusammenfassung, je näher ein Punkt zum Zentrum, desto weiter weg seine Transformation, und umgekehrt.

Eigenschaften

Die Inversion von einer Reihe von Punkten im Flugzeug ist der Satz des Gegenteils jedes getrennten Elements in Bezug auf den Kreis. Die folgenden Eigenschaften sind, was Kreisinversion wichtig macht.

• Ein Kreis, der das Zentrum der umgekehrten Bezugskreisbogen zu einer Linie durchführt, die nicht das Zentrum, und umgekehrt durchführt; wohingegen eine Linie, die das Zentrum des Bezugskreises durchführt, in sich umgekehrt wird.
• Ein Kreis, der nicht das Zentrum des Bezugskreises durchführt, kehrt zu einem Kreis um, der es an denselben Punkten entspricht, während er das Zentrum nicht durchführt. Ein Kreis (oder Linie) ist durch die Inversion unverändert, wenn, und nur wenn es zum Bezugskreis an den Punkten der Kreuzung orthogonal ist.

Zusätzliche Eigenschaften schließen ein:

• Wenn ein Kreis q zwei verschiedene Punkte A und durchführt', Gegenteile in Bezug auf einen Kreis k, dann sind die Kreise k und q orthogonal.
• Wenn die Kreise k und q orthogonal sind, dann tut eine Gerade, die das Zentrum O k durchführt und sich q schneidet, so an umgekehrten Punkten in Bezug auf k.
• In Anbetracht eines Dreiecks OAB, in dem O das Zentrum eines Kreises k ist, und' und B' Gegenteile von A und B in Bezug auf k, dann hinweist

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• Die Punkte der Kreuzung von zwei Kreisen p und q orthogonal zu einem Kreis k, sind Gegenteile in Bezug auf k.
• Wenn M und M' umgekehrte Punkte in Bezug auf einen Kreis k auf zwei Kurven M und M sind', auch Gegenteile in Bezug auf k, dann sind die Tangenten zur M und M' an den Punkten M und M' entweder Senkrechte zum MM der Gerade' oder Form mit dieser Linie ein gleichschenkliges Dreieck mit dem Grund-MM'.
• Inversion verlässt Winkel unverändert, aber kehrt die Orientierung von orientierten Winkeln um.

Anwendung

Bemerken Sie, dass das Zentrum eines Kreises, der wird umkehrt, und das Zentrum des Kreises als Ergebnis der Inversion collinear mit dem Zentrum des Bezugskreises sind. Diese Tatsache konnte im Beweis nützlich sein, dass die Linie von Euler des intouch Dreiecks eines Dreiecks mit seiner OI Linie zusammenfällt. Der Beweis geht grob als unten:

Umgekehrter Bogen in Bezug auf den incircle des Dreieck-Abc. Das mittlere Dreieck des intouch Dreiecks wird ins Dreieck-Abc umgekehrt, den circumcenter des mittleren Dreiecks bedeutend, d. h. das Neun-Punkte-Zentrum des intouch Dreiecks, des incenter und circumcenter des Dreieck-Abc ist collinear.

Irgendwelche zwei sich nichtschneidenden Kreise können in konzentrische Kreise umgekehrt werden. Dann wird die umkehrende Entfernung (hat gewöhnlich δ angezeigt), als der natürliche Logarithmus des Verhältnisses der Radien der zwei konzentrischen Kreise definiert.

Außerdem können irgendwelche zwei sich nichtschneidenden Kreise in kongruente Kreise mit dem Kreis der Inversion umgekehrt werden, die an einem Punkt auf dem Kreis der Antiähnlichkeit in den Mittelpunkt gestellt ist.

Die Peaucellier Verbindung ist eine mechanische Durchführung der Inversion in einem Kreis. Es stellt eine genaue Lösung des wichtigen Problems des Umwandelns zwischen der geradlinigen und kreisförmigen Bewegung zur Verfügung.

Inversionen in drei Dimensionen

Kreisinversion ist generalizable zur Bereich-Inversion in drei Dimensionen. Die Inversion eines Punkts P im 3D in Bezug auf einen Bezugsbereich hat an einem Punkt O mit dem Radius R im Mittelpunkt gestanden ist ein Punkt P 'solch, dass und die Punkte P und P' auf demselben Strahl sind, der an O anfängt. Als mit der 2. Version kehrt ein Bereich zu einem Bereich, außer dass um, wenn ein Bereich das Zentrum O des Bezugsbereichs durchführt, dann kehrt es zu einem Flugzeug um. Jedes Flugzeug, das nicht O durchgeht, kehrt zu einem Bereich um, der O anlegt. Ein Kreis, d. h. die Kreuzung eines Bereichs mit einem schneidenden Flugzeug, kehrt in einen Kreis um, außer dass, wenn der Kreis O durchführt, es in eine Linie umkehrt. Das nimmt zum 2. Fall ab, wenn das schneidende Flugzeug O durchführt, aber ein wahres 3D-Phänomen ist, wenn das schneidende Flugzeug O nicht durchführt.

Stereografischer Vorsprung ist ein spezieller Fall der Bereich-Inversion. Denken Sie einen Bereich B des Radius 1 und ein Flugzeug P, sich B am Südpol S B berührend. Dann ist P der stereografische Vorsprung von B in Bezug auf den Nordpol N B. Denken Sie einen Bereich B des Radius 2 in den Mittelpunkt gestellte an N. Die Inversion in Bezug auf B gestaltet B in seinen stereografischen Vorsprung P um.

Axiomatics und Generalisation

Das Euklidische Flugzeug oder, mehr allgemein, jedes affine Flugzeug zusammen mit einem einzelnen Punkt an der zu jeder Linie hinzugefügten Unendlichkeit bildet ein Flugzeug von Möbius, auch bekannt als ein umkehrendes Flugzeug. Diese

Flugzeuge von Möbius können axiomatisch beschrieben werden und sowohl in begrenzten als auch in unendlichen Versionen bestehen.

Ein Modell für das Flugzeug von Möbius, das aus dem Euklidischen Flugzeug kommt, ist der Bereich von Riemann.

Beziehung zum Programm von Erlangen

Gemäß Coxeter wurde die Transformation durch die Inversion im Kreis von L. I. Magnus 1831 erfunden. Seitdem ist das kartografisch darzustellen, eine Allee zur höheren Mathematik geworden. Durch einige Schritte der Anwendung der Kreisinversionskarte schätzt ein Student der Transformationsgeometrie bald die Bedeutung des Erlangen Programms von Felix Klein, einen Auswuchs von bestimmten Modellen der Hyperbelgeometrie

Ausdehnungen

Die Kombination von zwei Inversionen in konzentrischen Kreisen läuft auf eine Ähnlichkeit, homothetic Transformation oder durch das Verhältnis der Kreisradien charakterisierte Ausdehnung hinaus.

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Erwiderung

Wenn ein Punkt im Flugzeug als eine komplexe Zahl mit dem verbundenen Komplex interpretiert wird, dann ist das Gegenstück von z. Folglich wird die algebraische Form der Inversion in einem Einheitskreis durch wo gegeben:

:.

Erwiderung ist Schlüssel in der Transformationstheorie als ein Generator der Gruppe von Mobius. Die anderen Generatoren sind Übersetzung und Folge, beide, die durch physische Manipulationen im umgebenden 3-Räume-vertraut sind. Die Einführung der Erwiderung (Abhängiger nach der Kreisinversion) ist, was die eigenartige Natur der Geometrie von Mobius erzeugt, die manchmal mit der umkehrenden Geometrie (des Euklidischen Flugzeugs) identifiziert wird. Jedoch ist umkehrende Geometrie die größere Studie, da es die rohe Inversion in einen Kreis (noch nicht gemacht, mit der Konjugation, in die Erwiderung) einschließt. Umkehrende Geometrie schließt auch die kartografisch darstellende Konjugation ein. Weder Konjugation noch Inversion in einem Kreis sind in der Gruppe von Mobius, da sie non-conformal (sieh unten) sind. Gruppenelemente von Mobius sind analytische Funktionen des ganzen Flugzeugs und notwendigerweise conformal auch.

Höhere Geometrie

Wie oben erwähnt verlangt Null, der Ursprung, spezielle Rücksicht in der kartografisch darstellenden Kreisinversion. Die Annäherung soll angrenzen ein Punkt an der Unendlichkeit hat  oder 1/0 benannt. In der Annäherung der komplexen Zahl, wo Erwiderung die offenbare Operation ist, führt dieses Verfahren zur komplizierten projektiven Linie, häufig genannt den Bereich von Riemann. Es war

Subräume und Untergruppen dieses Raums und Gruppe von mappings, die angewandt wurden, um frühe Modelle der Hyperbelgeometrie durch Beltrami, Cayley und Klein zu erzeugen. So schließt umkehrende Geometrie die Ideen ein, die von Lobachevsky und Bolyai in ihrer Flugzeug-Geometrie hervorgebracht sind. Außerdem wurde Felix Klein durch diese Möglichkeit von mappings so überwunden, geometrische Phänomene zu identifizieren, dass er ein Manifest, das Programm von Erlangen 1872 geliefert hat. Seitdem bestellen viele Mathematiker den Begriff Geometrie für einen Raum zusammen mit einer Gruppe von mappings dieses Raums vor. Die bedeutenden Eigenschaften von Zahlen in der Geometrie sind diejenigen, die invariant unter dieser Gruppe sind.

Zum Beispiel entwickelt Smogorzhevsky mehrere Lehrsätze der umkehrenden Geometrie vor dem Anfang der Geometrie von Lobachevskian.

Inversion in höheren Dimensionen

Im Geist der Generalisation zu höheren Dimensionen ist umkehrende Geometrie die Studie von Transformationen, die durch die Euklidischen Transformationen zusammen mit der Inversion in einem N-Bereich erzeugt sind:

:

wo r der Radius der Inversion ist.

In 2 Dimensionen, mit r = 1, ist das Kreisinversion in Bezug auf den Einheitskreis.

Wie gesagt, in der umkehrenden Geometrie gibt es keine Unterscheidung, die zwischen einer Gerade und einem Kreis (oder Hyperflugzeug und Hyperbereich) gemacht ist: Eine Linie ist einfach ein Kreis in seinem besonderen Einbetten in einer Euklidischen Geometrie (mit einem Punkt, der an der Unendlichkeit hinzugefügt ist), und einer kann immer in einen anderen umgestaltet werden.

Eine bemerkenswerte Tatsache über hoch-dimensionale Conformal-Karten ist, dass sie ausschließlich aus Inversionen in N-Bereichen oder Hyperflugzeugen und Euklidischen Bewegungen entstehen: Sieh den Lehrsatz von Liouville (conformal mappings).

Anticonformal, der Eigentum kartografisch darstellt

Die Kreisinversionskarte ist anticonformal, was bedeutet, dass an jedem Punkt es Winkel bewahrt und Orientierung umkehrt (eine Karte wird conformal genannt, wenn es orientierte Winkel bewahrt). Algebraisch ist eine Karte anticonformal, wenn an jedem Punkt Jacobian Skalarzeiten eine orthogonale Matrix mit der negativen Determinante ist: In zwei Dimensionen muss Jacobian Skalarzeiten ein Nachdenken an jedem Punkt sein. Das bedeutet das, wenn J Jacobian, dann ist

und

Wenn er

Jacobian im Fall z = x / || x schätzt, wo || x = x +... + x JJ = kI, mit k = 1 / || x, und zusätzlich det gibt, ist (J) negativ; folglich ist die umkehrende Karte anticonformal.

Im komplizierten Flugzeug ist die offensichtlichste Kreisinversionskarte (d. h., mit dem Einheitskreis, der am Ursprung in den Mittelpunkt gestellt ist), der Komplex, der der komplizierten umgekehrten Karte verbunden ist, die z zu 1/z nimmt. Die komplizierte analytische umgekehrte Karte ist conformal und seine verbundene, Kreisinversion, ist anticonformal.

Umkehrende Geometrie und Hyperbelgeometrie

(n  1) - Bereich mit der Gleichung

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wird einen positiven Radius haben, so lange +... + größer zu sein, als c, und auf der Inversion den Bereich gibt

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Folglich wird es invariant unter der Inversion wenn und nur wenn c = 1 sein. Aber das ist die Bedingung, zum Einheitsbereich orthogonal zu sein. Folglich werden wir dazu gebracht, (n  1) - Bereiche mit der Gleichung in Betracht zu ziehen

:

die invariant unter der Inversion sind, die zum Einheitsbereich orthogonal ist, und Zentren außerhalb des Bereichs haben. Das zusammen mit den Subraumhyperflugzeugen, die Halbkugeln trennen, sind die Hyperoberflächen des Scheibe-Modells von Poincaré der Hyperbelgeometrie.

Da die Inversion im Einheitsbereich die Bereiche orthogonal dazu invariant verlässt, stellt die Inversion die Punkte innerhalb des Einheitsbereichs zur Außenseite und umgekehrt kartografisch dar. Das ist deshalb im General von orthogonalen Bereichen, und in der besonderen Inversion in einem der zur Einheit orthogonalen Bereiche wahr der Bereich stellt den Einheitsbereich zu sich kartografisch dar. Es stellt auch das Interieur des Einheitsbereichs zu sich mit Punkten außerhalb des orthogonalen Bereichs kartografisch dar, der innen, und umgekehrt kartografisch darstellt; das definiert das Nachdenken des Scheibe-Modells von Poincaré, wenn wir auch mit ihnen das Nachdenken durch die Diameter einschließen, die Halbkugeln des Einheitsbereichs trennen. Dieses Nachdenken erzeugt die Gruppe von Isometrien des

Modell, das uns sagt, dass die Isometrien conformal sind. Folglich ist der Winkel zwischen zwei Kurven im Modell dasselbe als der Winkel zwischen zwei Kurven im Hyperbelraum.

Siehe auch

• Umgekehrte Kurve
• Kreis der Antiähnlichkeit
• Dualität (projektive Geometrie)
• Flugzeug von Möbius
• Transformation von Möbius
• Projektive Geometrie

Referenzen

Links

• Inversion: Nachdenken in einem Kreis an der Knoten-Kürzung
• Die umkehrende Geometrie-Seite von Wilson Stother
• IMO Kompendium-Lehrmaterial-Praxis-Probleme darauf, wie man Inversion für Matheolympiade-Probleme verwendet
• Das Sehwörterbuch der Sondermaschine biegt Xah Lee