Ein Kreis ist eine einfache Gestalt der Euklidischen Geometrie, die aus jenen Punkten in einem Flugzeug besteht, die von einem gegebenen Punkt, dem Zentrum gleich weit entfernt sind. Die Entfernung zwischen einigen der Punkte und dem Zentrum wird den Radius genannt.

Kreise sind einfache geschlossene Kurven, die das Flugzeug in zwei Gebiete teilen: ein Interieur und ein Äußeres. Im täglichen Gebrauch kann der Begriff "Kreis" austauschbar gebraucht werden, um sich entweder auf die Grenze der Zahl, oder zur ganzen Zahl einschließlich seines Interieurs zu beziehen; im strengen technischen Gebrauch ist der Kreis der erstere, und der Letztere wird eine Platte genannt.

Ein Kreis kann als die Kurve verfolgt durch einen Punkt definiert werden, der sich bewegt, so dass seine Entfernung von einem gegebenen Punkt unveränderlich ist.

Ein Kreis kann auch als eine spezielle Ellipse definiert werden, in der die zwei Fokusse zusammenfallend sind und die Seltsamkeit 0 ist. Kreise sind konische erreichte Abteilungen, wenn ein richtiger kreisförmiger Kegel durch eine Flugzeug-Senkrechte zur Achse des Kegels durchgeschnitten wird.

Fachsprache

Ein Diameter eines Kreises ist die Länge eines Liniensegmentes, dessen Endpunkte auf dem Kreis liegen, und das das Zentrum durchführt. Das ist die größte Entfernung zwischen irgendwelchen zwei Punkten auf dem Kreis. Das Diameter eines Kreises ist zweimal der Radius oder Entfernung vom Zentrum bis die Grenze des Kreises. Die Begriffe "Diameter" und "Radius" beziehen sich auch auf die Liniensegmente, die diese Beschreibungen passen. Der Kreisumfang ist die Entfernung um die Außenseite eines Kreises.

Ein Akkord ist ein Liniensegment, dessen Endpunkte auf dem Kreis liegen. Ein Diameter ist der längste Akkord in einem Kreis. Eine Tangente zu einem Kreis ist eine Gerade, die den Kreis an einem einzelnen Punkt berührt, während eine Sekante ein verlängerter Akkord ist: eine Gerade, den Kreis an zwei Punkten schneidend.

Ein Kreisbogen eines Kreises ist jeder verbundene Teil des Kreisumfangs des Kreises. Ein Sektor ist ein Gebiet, das durch zwei Radien und einen Kreisbogen begrenzt ist, der zwischen den Radien liegt, und ein Segment ist ein Gebiet, das durch einen Akkord und einen Kreisbogen begrenzt ist, der zwischen den Endpunkten des Akkords liegt.

Geschichte

Das Wort "Kreis" ist auf den Griechen, kirkos "ein Kreis zurückzuführen," von der Basis ker-, was bedeutet, sich zu drehen oder sich zu biegen. Die Ursprünge der Wörter "Zirkus" und "" sind nah verbunden.

Der Kreis ist da vor dem Anfang der registrierten Geschichte bekannt gewesen. Natürliche Kreise, würden wie der Mond, die Sonne und ein kurzer Pflanzenstiel beobachtet worden sein, der den Wind auf Sand eindrückt, der eine Kreisgestalt im Sand bildet. Der Kreis ist die Basis für das Rad, das, mit zusammenhängenden Erfindungen wie Getriebe, viel moderne Zivilisation möglich macht. In der Mathematik hat die Studie des Kreises geholfen, die Entwicklung der Geometrie, Astronomie und Rechnung zu begeistern.

Frühe Wissenschaft, besonders Geometrie und Astrologie und Astronomie, wurde mit dem göttlichen für die meisten mittelalterlichen Gelehrten verbunden, und viele haben geglaubt, dass es etwas gab, wirklich "prophezeien" oder "vollkommen", der in Kreisen gefunden werden konnte.

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Einige Höhepunkte in der Geschichte des Kreises sind:

• 1700 v. Chr. - Der Rhind Papyrus gibt eine Methode, das Gebiet eines kreisförmigen Feldes zu finden. Das Ergebnis entspricht 256 / 81 (3.16049...) als ein ungefährer Wert von π.
• 300 v. Chr. - befasst sich das Buch 3 der Elemente von Euklid mit den Eigenschaften von Kreisen.
• Im Siebenten Brief von Plato gibt es eine ausführliche Definition und Erklärung des Kreises. Plato erklärt den vollkommenen Kreis, und wie es von jeder Zeichnung, Wörtern, Definition oder Erklärung verschieden ist.
• 1880 - Lindemann beweist, dass π transzendental ist, effektiv das mit den Millennien alte Problem des Quadrierens der Kreis setzend.

Analytische Ergebnisse

Länge des Kreisumfangs

Das Verhältnis eines Kreisumfangs eines Kreises zu seinem Diameter ist π (Pi), eine vernunftwidrige Konstante, die ungefähr 3.141592654 gleich ist. So ist die Länge des Kreisumfangs C mit dem Radius r und Diameter d verbunden durch:

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Gebiet eingeschlossen

Wie bewiesen, durch Archimedes ist das durch einen Kreis eingeschlossene Gebiet diesem eines Dreiecks gleich, dessen Basis die Länge des Kreisumfangs des Kreises hat, und dessen Höhe dem Radius des Kreises gleichkommt, der zu π kommt, der mit dem quadratisch gemachten Radius multipliziert ist:

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Gleichwertig, Diameter durch d, anzeigend

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d. h. etwa 79 Prozent des Umgrenzen-Quadrats (dessen Seite von der Länge d ist).

Der Kreis ist die Flugzeug-Kurve, die das maximale Gebiet für eine gegebene Kreisbogen-Länge einschließt. Das verbindet den Kreis mit einem Problem in der Rechnung von Schwankungen, nämlich die isoperimetric Ungleichheit.

Gleichungen

Kartesianische Koordinaten

In einem x-y Kartesianischen Koordinatensystem, dem Kreis mit Zentrum-Koordinaten (a, b) und Radius ist r der Satz aller Punkte (x, y) solch dass

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Diese Gleichung des Kreises folgt aus dem Pythagoreischen Lehrsatz, der auf jeden Punkt auf dem Kreis angewandt ist: Wie gezeigt, im Diagramm nach rechts ist der Radius die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Seiten der Länge sind und. Wenn der Kreis am Ursprung in den Mittelpunkt gestellt wird (0, 0), dann vereinfacht die Gleichung zu

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Die Gleichung kann in der parametrischen Form mit dem trigonometrischen Funktionssinus und Kosinus als geschrieben werden

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wo t eine parametrische Variable in der Reihe 0 zu 2π, interpretiert geometrisch als der Winkel ist, den der Strahl von (a, b) zu (x, y) mit der X-Achse macht. Eine Alternative parametrisation des Kreises ist:

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In diesem parametrisation kann das Verhältnis von t zu r geometrisch als der stereografische Vorsprung des Kreises auf die Linie interpretiert werden, die die Zentrum-Parallele zur X-Achse durchführt.

In homogenen Koordinaten ist jede konische Abteilung mit der Gleichung eines Kreises von der Form

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Es kann bewiesen werden, dass eine konische Abteilung ein Kreis genau ist, wenn es (wenn erweitert, zum komplizierten projektiven Flugzeug) die Punkte I enthält (1: ich: 0) und J (1: i: 0). Diese Punkte werden die kreisförmigen Punkte an der Unendlichkeit genannt.

Polarkoordinaten

In Polarkoordinaten ist die Gleichung eines Kreises:

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wo des Radius des Kreises zu sein, die Polarkoordinate eines allgemeinen Punkts auf dem Kreis ist, und die Polarkoordinate des Zentrums des Kreises ist (d. h., ist r die Entfernung vom Ursprung bis das Zentrum des Kreises, und φ ist gegen den Uhrzeigersinn Winkel von der positiven X-Achse bis die Linie, die den Ursprung mit dem Zentrum des Kreises verbindet). Für einen Kreis, der am Ursprung, d. h. r = 0 in den Mittelpunkt gestellt ist, nimmt das zu einfach ab. Wenn, oder wenn der Ursprung auf dem Kreis liegt, die Gleichung wird

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Im allgemeinen Fall kann die Gleichung für r gelöst werden, gebend

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die Lösung mit minus das Zeichen vor der Quadratwurzel, die dieselbe Kurve gibt.

Kompliziertes Flugzeug

Im komplizierten Flugzeug hat ein Kreis mit einem Zentrum an c und Radius (r) die Gleichung. In der parametrischen Form kann das geschrieben werden.

Die ein bisschen verallgemeinerte Gleichung für echten p, q und Komplex g wird manchmal einen verallgemeinerten Kreis genannt. Das wird die obengenannte Gleichung für einen Kreis mit seitdem. Nicht alle verallgemeinerten Kreise sind wirklich Kreise: Ein verallgemeinerter Kreis ist entweder ein (wahrer) Kreis oder eine Linie.

Tangente-Linien

Die Tangente-Linie durch einen Punkt P auf dem Kreis ist auf dem Diameter rechtwinklig, das P durchgeht. Wenn und der Kreis Zentrum (a, b) und Radius r hat, dann ist die Tangente-Linie auf der Linie von (a, b) dazu rechtwinklig (x, y), so hat es die Form. Das Bewerten an (x, y) bestimmt den Wert von c, und das Ergebnis besteht darin, dass die Gleichung der Tangente ist

:oder:

Wenn dann der Hang dieser Linie ist

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Das kann auch mit der impliziten Unterscheidung gefunden werden.

Wenn das Zentrum des Kreises am Ursprung dann ist, wird die Gleichung der Tangente-Linie

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und sein Hang ist

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Eigenschaften

• Der Kreis ist die Gestalt mit dem größten Gebiet für eine gegebene Länge des Umfangs. (Sieh Isoperimetric Ungleichheit.)
• Der Kreis ist eine hoch symmetrische Gestalt: Jede Linie durch das Zentrum bildet eine Linie der Nachdenken-Symmetrie, und es hat Rotationssymmetrie um das Zentrum für jeden Winkel. Seine Symmetrie-Gruppe ist die orthogonale Gruppe O (2, R). Die Gruppe von Folgen allein ist die Kreisgruppe T.
• Alle Kreise sind ähnlich.
• Ein Kreisumfang und Radius eines Kreises sind proportional.
• Das Gebiet eingeschlossen und das Quadrat seines Radius ist proportional.
• Die Konstanten der Proportionalität sind 2π und π beziehungsweise.
• Der Kreis, der am Ursprung mit dem Radius 1 in den Mittelpunkt gestellt wird, wird den Einheitskreis genannt.
• Gedanke als ein großer Kreis des Einheitsbereichs, es wird der Kreis von Riemannian.
• Durch irgendwelche drei Punkte, nicht alle auf derselben Linie, dort liegt ein einzigartiger Kreis. In Kartesianischen Koordinaten ist es möglich, ausführliche Formeln für die Koordinaten des Zentrums des Kreises und des Radius in Bezug auf die Koordinaten der drei gegebenen Punkte zu geben. Sieh circumcircle.

Akkord

• Akkorde sind vom Zentrum eines Kreises gleich weit entfernt, wenn, und nur wenn sie in der Länge gleich sind.
• Die rechtwinklige Halbierungslinie eines Akkords führt das Zentrum eines Kreises durch; gleichwertige Behauptungen, die von der Einzigartigkeit der rechtwinkligen Halbierungslinie stammen:
• Eine Lotlinie vom Zentrum eines Kreises halbiert den Akkord.
• Das Liniensegment (kreisförmiges Segment) durch das Zentrum, das einen Akkord halbiert, ist auf dem Akkord rechtwinklig.
• Wenn ein Hauptwinkel und ein eingeschriebener Winkel eines Kreises durch denselben Akkord und auf derselben Seite des Akkords entgegengesetzt werden, dann ist der Hauptwinkel zweimal der eingeschriebene Winkel.
• Wenn zwei Winkel auf demselben Akkord und auf derselben Seite des Akkords eingeschrieben werden, dann sind sie gleich.
• Wenn zwei Winkel auf demselben Akkord und auf Gegenseiten des Akkords eingeschrieben werden, dann sind sie ergänzend.
• Für ein zyklisches Vierseit ist der Außenwinkel dem Interieur entgegengesetzter Winkel gleich.
• Ein eingeschriebener durch ein Diameter entgegengesetzter Winkel ist ein richtiger Winkel (sieh den Lehrsatz von Thales).
• Das Diameter ist der längste Akkord des Kreises.
• Wenn die Kreuzung irgendwelcher zwei Akkorde einen Akkord in Längen a und b teilt und den anderen Akkord in Längen c und d, dann teilt.
• Wenn die Kreuzung irgendwelcher zwei rechtwinkligen Akkorde einen Akkord in Längen a und b teilt und den anderen Akkord in Längen c und d teilt, dann dem Quadrat des Diameters gleichkommt.
• Die Summe der karierten Längen irgendwelcher zwei Akkorde, die sich rechtwinklig an einem gegebenen Punkt schneiden, ist dasselbe als dass von irgendwelchen anderen zwei Akkorden, die sich an demselben Punkt schneiden, und wird durch 8r - 4 Punkte gegeben (wo r der Radius des Kreises ist und p die Entfernung vom Zentrum-Punkt bis den Punkt der Kreuzung ist).
• Die Entfernung von einem Punkt auf dem Kreis zu einem gegebenen Akkord Zeiten das Diameter des Kreises kommt dem Produkt der Entfernungen vom Punkt bis die Enden des Akkords gleich.

Sagitta

• Der sagitta (auch bekannt als der versine) ist ein Liniensegment gezogene Senkrechte zu einem Akkord, zwischen dem Mittelpunkt dieses Akkords und dem Kreisbogen des Kreises.
• In Anbetracht der Länge y eines Akkords und der Länge x des sagitta kann der Pythagoreische Lehrsatz verwendet werden, um den Radius des einzigartigen Kreises zu berechnen, der um die zwei Linien passen wird:

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Ein anderer Beweis dieses Ergebnisses, das sich nur auf zwei Akkord-Eigenschaften verlässt, die oben gegeben sind, ist wie folgt. In Anbetracht eines Akkords der Länge y und mit sagitta der Länge x da schneidet der sagitta den Mittelpunkt des Akkords durch, wir wissen, dass es ein Teil eines Diameters des Kreises ist. Da das Diameter zweimal der Radius ist, ist der "fehlende" Teil des Diameters in der Länge. Mit der Tatsache, dass ein Teil Akkord-Zeiten der andere Teil demselben Produkt gleich ist, das entlang einem Akkord genommen ist, der den ersten Akkord durchschneidet, finden wir das (. Für r lösend, finden wir das erforderliche Ergebnis.

Tangente

• Die Liniensenkrechte, die zu einem Radius durch den Endpunkt des Radius gezogen ist, ist eine Tangente zum Kreis.
• Eine Linie gezogene Senkrechte zu einer Tangente durch den Punkt des Kontakts mit einem Kreis führt das Zentrum des Kreises durch.
• Zwei Tangenten können immer zu einem Kreis von jedem Punkt außerhalb des Kreises gezogen werden, und diese Tangenten sind in der Länge gleich.
• Wenn sich eine Tangente an A und eine Tangente an B am Außenpunkt P schneiden, dann das Zentrum weil anzeigend, sind O, die Winkel BOA und BPA ergänzend.
• Wenn n.Chr. Tangente zum Kreis an A ist, und wenn AQ ein Akkord des Kreises, dann ist.

Lehrsätze

• Der Akkord-Lehrsatz stellt das fest, wenn sich zwei Akkorde, CD und EB, an A, dann schneiden.
• Wenn eine Tangente von einem Außenpunkt D den Kreis an C entspricht und eine Sekante vom Außenpunkt D den Kreis an G und E beziehungsweise, dann entspricht. (Mit der Tangente schneidender Lehrsatz.)
• Wenn zwei Sekanten, DG und DE, auch den Kreis an H und F beziehungsweise, dann schneiden. (Folgeerscheinung des mit der Tangente schneidenden Lehrsatzes.)
• Der Winkel zwischen einer Tangente und Akkord ist einer Hälfte des entgegengesetzten Winkels auf der Gegenseite des Akkords (Tangente-Akkord-Winkel) gleich.
• Wenn der Winkel, der durch den Akkord am Zentrum entgegengesetzt ist, 90 Grade dann ist, wo l die Länge des Akkords ist und r der Radius des Kreises ist.
• Wenn zwei Sekanten im Kreis, wie gezeigt, am Recht eingeschrieben werden, dann ist das Maß des Winkels A einer Hälfte des Unterschieds der Maße der beiliegenden Kreisbogen (DE und v. Chr.) gleich. Das ist der schneidend-schneidende Lehrsatz.

Eingeschriebene Winkel

Ein eingeschriebener Winkel (sind Beispiele die blauen und grünen Winkel in der Zahl), ist genau Hälfte des entsprechenden (roten) Hauptwinkels. Folglich sind alle eingeschriebenen Winkel, die denselben (rosa) Kreisbogen entgegensetzen, gleich. Winkel, die auf dem (braunen) Kreisbogen eingeschrieben sind, sind ergänzend. Insbesondere jeder eingeschriebene Winkel, der ein Diameter entgegensetzt, ist ein richtiger Winkel (da der Hauptwinkel 180 Grade ist).

Kreis von Apollonius

Apollonius von Perga hat gezeigt, dass ein Kreis auch als der Satz von Punkten in einem Flugzeug definiert werden kann, das ein unveränderliches Verhältnis (anders hat als 1) von Entfernungen zu zwei festen Fokussen, A und B. (Der Satz von Punkten, wo die Entfernungen gleich sind, ist die rechtwinklige Halbierungslinie von A und B, einer Linie.), Dass, wie man manchmal sagt, Kreis ungefähr zwei Punkte gezogen wird.

Der Beweis ist in zwei Teilen. Erstens muss man beweisen, dass, in Anbetracht zwei Fokusse A und B und ein Verhältnis von Entfernungen, jeder Punkt P Zufriedenheit des Verhältnisses von Entfernungen auf einem besonderen Kreis fallen muss. Lassen Sie C ein anderer Punkt sein, auch das Verhältnis befriedigend und auf dem Segment AB lügend. Durch den Winkelhalbierungslinie-Lehrsatz wird der Liniensegment-PC den Innenwinkel APB halbieren, da die Segmente ähnlich sind:

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Analog, ein Liniensegment PD durch einen Punkt D auf erweitertem AB halbiert den entsprechenden Außenwinkel BPQ, wo Q auf erweiterter AP ist. Seit der Innen- und Außenwinkelsumme zu 180 Graden der Winkel ist CPD genau 90 Grade, d. h., ein richtiger Winkel. Der Satz von Punkten P solch, dass Winkel CPD ein richtiger Winkel ist, bildet einen Kreis, dessen CD ein Diameter ist.

Sieh zweitens für einen Beweis, dass jeder Punkt auf dem angezeigten Kreis das gegebene Verhältnis befriedigt.

Quer-Verhältnisse

Ein nah zusammenhängendes Eigentum von Kreisen schließt die Geometrie des Quer-Verhältnisses von Punkten im komplizierten Flugzeug ein. Wenn A, B, und C als oben sind, dann ist der Kreis von Apollonius für diese drei Punkte die Sammlung von Punkten P, für den der absolute Wert des Quer-Verhältnisses einem gleich ist:

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Festgesetzt ist ein anderer Weg, P ein Punkt auf dem Kreis von Apollonius wenn und nur wenn das Quer-Verhältnis [A, B; C, ist P] auf dem Einheitskreis im komplizierten Flugzeug.

Verallgemeinerte Kreise

Wenn C der Mittelpunkt des Segmentes AB, dann die Sammlung von Punkten P Zufriedenheit der Bedingung von Apollonius ist

: (1)

ist nicht ein Kreis, aber eher eine Linie.

So, wenn A, B, und C verschiedene Punkte im Flugzeug gegeben werden, dann wird der geometrische Ort von Punkten P Zufriedenheit (1) einen "verallgemeinerten Kreis genannt." Es kann entweder ein wahrer Kreis oder eine Linie sein. In diesem Sinn ist eine Linie ein verallgemeinerter Kreis des unendlichen Radius.

Kreise, die darin eingeschrieben sind oder über andere Zahlen umschrieben sind

In jedem Dreieck kann ein einzigartiger Kreis, genannt den incircle, solch eingeschrieben werden, dass es Tangente zu jeder der drei Seiten des Dreiecks ist.

Über jedes Dreieck kann ein einzigartiger Kreis, genannt den circumcircle, solch umschrieben werden, dass es jeden von drei Scheitelpunkten des Dreiecks durchgeht.

Ein tangentiales Vieleck, wie ein tangentiales Vierseit, ist jedes konvexe Vieleck, innerhalb dessen ein Kreis eingeschrieben werden kann, der Tangente zu jeder Seite des Vielecks ist.

Ein zyklisches Vieleck ist jedes konvexe Vieleck, über das ein Kreis umschrieben werden kann, jeden Scheitelpunkt durchführend. Ein gut studiertes Beispiel ist das zyklische Vierseit.

Ein hypocycloid ist eine Kurve, die in einem gegebenen Kreis durch die Nachforschung eines gehefteten Punkts auf einem kleineren Kreis eingeschrieben wird, der innerhalb und Tangente zum gegebenen Kreis rollt.

Kreis als das Begrenzen des Falls anderer Zahlen

Der Kreis kann als ein Begrenzungsfall von jeder von verschiedenen anderen Zahlen angesehen werden:

• Ein Kartesianisches Oval ist eine Reihe von solchen Punkten, dass eine belastete Summe der Entfernungen von einigen seiner Punkte zu zwei festen Punkten (Fokusse) eine Konstante ist. Eine Ellipse ist der Fall, in dem die Gewichte gleich sind. Ein Kreis ist eine Ellipse mit einer Seltsamkeit der Null, bedeutend, dass die zwei Fokusse mit einander als das Zentrum des Kreises zusammenfallen. Ein Kreis ist auch ein verschiedener spezieller Fall eines Kartesianischen Ovals, in dem der Gewichte Null ist.
• Eine Superellipse hat eine Gleichung der Form für positiven a, b, und n. Ein Superkreis hat. Ein Kreis ist der spezielle Fall eines Superkreises in der.
• Ein Cassini Oval ist eine Reihe von solchen Punkten, dass das Produkt der Entfernungen von einigen seiner Punkte zu zwei festen Punkten eine Konstante ist. Wenn die zwei festen Punkte zusammenfallen, resultiert ein Kreis.
• Eine Kurve der unveränderlichen Breite ist eine Zahl, deren Breite, die als die rechtwinklige Entfernung zwischen zwei verschiedenen parallelen Linien jedes Schneiden seiner Grenze in einem einzelnen Punkt definiert ist, dasselbe unabhängig von der Richtung jener zwei parallelen Linien ist. Der Kreis ist das einfachste Beispiel dieses Typs der Zahl.

Siehe auch

• Bereich von Affine
• Ringrohr (Mathematik)
• Liste von Kreisthemen
• Bereich

Weiterführende Literatur

• "Der Kreis" in Der Geschichte von MacTutor der Mathematik archiviert

Links

• Das interaktive Java applets für die Eigenschaften und elementaren Aufbauten, die mit Kreisen verbunden sind.
• Die interaktive Standardform-Gleichung des Kreisklicks und Ziehen weist hin, um Standardform-Gleichung in der Handlung zu sehen
• Auf Kreisen an der Knoten-Kürzung schmatzend kauend
• Das Gebiet eines Kreises Berechnet die grundlegenden Eigenschaften eines Kreises.
• Der Artikel Circle von MathAce - hat eine gute eingehende Erklärung von Einheitskreisen und das Umwandeln kreisförmiger Gleichungen.