Differenzialgleichungen entstehen in vielen Problemen in der Physik, der Technik und den anderen Wissenschaften. Die folgenden Beispiele zeigen, wie man Differenzialgleichungen in einigen einfachen Fällen löst, wenn eine genaue Lösung besteht.

Trennbare erste Ordnung gewöhnliche Differenzialgleichungen

Gleichungen in der Form werden trennbar und gelöst durch und so genannt

. Vor dem Teilen durch muss man überprüfen, ob dort (auch genannt Gleichgewicht) stationär

sind

Lösungszufriedenheit.

Trennbare (homogene) erste Ordnung geradlinige gewöhnliche Differenzialgleichungen

Eine trennbare geradlinige gewöhnliche Differenzialgleichung der ersten Ordnung

muss homogen sein und hat die allgemeine Form

:

wo etwas bekannte Funktion ist. Wir können das durch die Trennung von Variablen lösen (die Y-Begriffe zu einer Seite und die T-Begriffe auf die andere Seite bewegend),

:

Da die Trennung von Variablen in diesem Fall das Teilen durch y einschließt, müssen wir überprüfen, ob die unveränderliche Funktion y=0 eine Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Trivial, wenn y=0 dann y' =0, so ist y=0 wirklich eine Lösung der ursprünglichen Gleichung. Wir bemerken, dass y=0 in der umgestalteten Gleichung nicht erlaubt wird.

Wir lösen die umgestaltete Gleichung mit den bereits getrennten Variablen, indem wir, Integrieren

:

wo C eine willkürliche Konstante ist. Dann, durch exponentiation, erhalten wir

:.

Hier, so. Aber wir haben unabhängig überprüft, dass y=0 auch eine Lösung der ursprünglichen Gleichung, so ist

:.

mit einem willkürlichen unveränderlichen A, der alle Fälle bedeckt. Es ist leicht zu bestätigen, dass das eine Lösung durch das Einstecken davon in die ursprüngliche Differenzialgleichung ist:

:

Etwas Weiterentwicklung ist weil &fnof erforderlich; (t) könnte nicht integrable sogar sein. Man muss auch etwas über die Gebiete der beteiligten Funktionen annehmen, bevor die Gleichung völlig definiert wird. Die Lösung nimmt oben den echten Fall an.

Wenn eine Konstante ist, ist die Lösung besonders einfach, und, beschreibt z.B, wenn, der Exponentialzerfall des radioaktiven Materials am makroskopischen Niveau. Wenn der Wert dessen a priori nicht bekannt ist, kann er von zwei Maßen der Lösung bestimmt werden. Zum Beispiel,

:

gibt und.

Nichttrennbare (nichthomogene) erste Ordnung geradlinige gewöhnliche Differenzialgleichungen

Erste Ordnung geradlinige nichthomogene ODEN (gewöhnliche Differenzialgleichungen) ist nicht trennbar. Sie können durch die folgende Annäherung gelöst werden, die als eine Integrierungsfaktor-Methode bekannt ist. Betrachten Sie erste Ordnung als geradlinige ODEN der allgemeinen Form:

:

Die Methode, um diese Gleichung zu lösen, verlässt sich auf einen speziellen Integrierungsfaktor, μ:

:

Wir wählen diesen Integrierungsfaktor, weil er das spezielle Eigentum hat, dass seine Ableitung selbst Zeiten die Funktion ist, die wir integrieren, der ist:

:

Multiplizieren Sie beide Seiten der ursprünglichen Differenzialgleichung durch μ zu kommen:

:

Wegen des speziellen μ wir haben aufgepickt, wir können dμ/dx &mu vertreten; p (x), die Gleichung vereinfachend, zu:

:

Das Verwenden des Produktes herrscht rückwärts, wir kommen:

:

Integrierung beider Seiten:

:

Schließlich, um für y zu lösen, teilen wir beide Seiten durch:

:

Seitdem μ ist eine Funktion von x, wir können noch weiter direkt nicht vereinfachen.

Zweite Ordnung geradlinige gewöhnliche Differenzialgleichungen

Ein einfaches Beispiel

Nehmen Sie an, dass eine Masse einem Frühling beigefügt wird, der eine attraktive Kraft auf die zur Erweiterung/Kompression des Frühlings proportionale Masse ausübt. Für jetzt können wir irgendwelche anderen Kräfte (Ernst, Reibung, usw.) ignorieren. Wir werden die Erweiterung des Frühlings auf einmal t als x (t) schreiben. Jetzt mit dem zweiten Gesetz von Newton können wir (das Verwenden günstiger Einheiten) schreiben:

:

wo M die Masse ist und k die Frühlingskonstante ist, die ein Maß der Frühlingssteifkeit vertritt. Lassen Sie uns für die Einfachheit m=k als ein Beispiel nehmen.

Wenn wir nach Lösungen suchen, die die Form haben, wo C eine Konstante ist, entdecken wir die Beziehung, und müssen so eine der komplexen Zahlen sein oder. So mit dem Lehrsatz von Euler können wir sagen, dass die Lösung der Form sein muss:

:

Sieh eine Lösung durch WolframAlpha.

Um die unbekannten Konstanten A und B zu bestimmen, brauchen wir anfängliche Bedingungen, d. h. Gleichheiten, die den Staat des Systems zu einem festgelegten Zeitpunkt (gewöhnlich t = 0) angeben.

Zum Beispiel, wenn wir an t = 0 denken, ist die Erweiterung eine Einheitsentfernung (x = 1), und die Partikel bewegt sich (dx/dt = 0) nicht. Wir haben

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und so = 1.

:

und so B = 0.

Deshalb x (t) = weil t. Das ist ein Beispiel der einfachen harmonischen Bewegung.

Sieh eine Lösung durch WolframAlpha.

Ein mehr kompliziertes Modell

Das obengenannte Modell einer schwingenden Masse auf einem Frühling ist plausibel, aber nicht sehr realistisch: In der Praxis wird Reibung dazu neigen, die Masse zu verlangsamen und Umfang zu haben, der zu seiner Geschwindigkeit (d. h. dx/dt) proportional ist. Unsere neue Differenzialgleichung, das Ausgleichen der Beschleunigung und der Kräfte ausdrückend, ist

:

wo die mitwirkende Dämpfungsdarstellen-Reibung ist. Wieder nach Lösungen der Form suchend, finden wir das

:

Das ist eine quadratische Gleichung, die wir lösen können. Wenn

:

Lassen Sie uns für die Einfachheit dann nehmen

Die Gleichung kann auch im MATLAB symbolischen Werkzeugkasten als gelöst werden

x = dsolve ('D2x+c*Dx+k*x=0', 'x (0) =1', 'Dx (0) =0')

</Quelle>

obwohl die Lösung ziemlich hässlich, aussieht

x = (c + (c^2 - 4*k) ^ (1/2)) / (2*exp (t * (c/2 - (c^2 - 4*k) ^ (1/2)/2)) * (c^2 - 4*k) ^ (1/2)) -

(c - (c^2 - 4*k) ^ (1/2)) / (2*exp (t * (c/2 + (c^2 - 4*k) ^ (1/2)/2)) * (c^2 - 4*k) ^ (1/2))

</Quelle>

Das ist ein Modell des gedämpften Oszillators. Der Anschlag der Versetzung gegen die Zeit würde wie das aussehen:

:

der wirklich ähnelt, wie man annehmen würde, dass sich ein vibrierender Frühling benimmt, weil Reibung die Energie vom System entfernt hat.

Geradlinige Systeme von ODEN

Das folgende Beispiel einer ersten Ordnung geradlinige Systeme von ODEN

::

kann leicht symbolisch sein

gelöster

in WolframAlpha.

Siehe auch

• Genaue Form
• Gewöhnliche Differenzialgleichung
• Differenzialgleichung von Bernoulli

Bibliografie

• A. D. Polyanin und V. F. Zaitsev, Handbuch von Genauen Lösungen für Gewöhnliche Differenzialgleichungen, 2. Edition, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003; internationale Standardbuchnummer 1-58488-297-2.

Links

• Gewöhnliche Differenzialgleichungen an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.