Ein begrenzter fortlaufender Bruchteil, wo eine natürliche Zahl ist, ist eine ganze Zahl, und ist eine positive ganze Zahl, für =1, ….

In der Mathematik ist ein fortlaufender Bruchteil ein Ausdruck, der durch einen wiederholenden Prozess erhalten ist, eine Zahl als die Summe seines Teils der ganzen Zahl und das Gegenstück einer anderen Zahl zu vertreten, dann diese andere Zahl als die Summe seines Teils der ganzen Zahl und eines anderen Gegenstücks und so weiter schreibend. In einem begrenzten fortlaufenden Bruchteil (oder begrenzt hat Bruchteil fortgesetzt), wird der iteration/recursion danach begrenzt viele Schritte durch das Verwenden einer ganzen Zahl anstatt eines anderen fortlaufenden Bruchteils begrenzt. Im Gegensatz ist ein unendlicher fortlaufender Bruchteil ein unendlicher Ausdruck. In jedem Fall müssen alle ganzen Zahlen in der Folge, außer dem ersten, positiv sein. Die ganzen Zahlen werden die Koeffizienten oder Begriffe des fortlaufenden Bruchteils genannt.

Fortlaufende Bruchteile ließen mehrere bemerkenswerte Eigenschaften mit dem Euklidischen Algorithmus für ganze Zahlen oder reelle Zahlen verbinden. Jede rationale Zahl / hat zwei nah zusammenhängende Ausdrücke als ein begrenzter fortlaufender Bruchteil, dessen Koeffizienten durch die Verwendung des Euklidischen Algorithmus darauf bestimmt werden können. Der numerische Wert eines unendlichen fortlaufenden Bruchteils wird vernunftwidrig sein; es wird von seiner unendlichen Folge von ganzen Zahlen als die Grenze einer Folge von Werten für begrenzte fortlaufende Bruchteile definiert. Jeder begrenzte fortlaufende Bruchteil der Folge wird durch das Verwenden eines begrenzten Präfixes der Definieren-Folge des unendlichen fortlaufenden Bruchteils von ganzen Zahlen erhalten. Außerdem ist jede irrationale Zahl α der Wert eines einzigartigen unendlichen fortlaufenden Bruchteils, dessen Koeffizienten mit der nichtendenden Version des Euklidischen Algorithmus gefunden werden können, der auf die nicht vergleichbaren Werte α und 1 angewandt ist. Diese Weise, reelle Zahlen (vernünftig und vernunftwidrig) auszudrücken, wird ihre fortlaufende Bruchteil-Darstellung genannt.

Wenn willkürliche Werte und/oder Funktionen im Platz ein oder mehr von den Zählern oder den ganzen Zahlen in den Nennern verwendet werden, ist der resultierende Ausdruck ein verallgemeinerter fortlaufender Bruchteil. Wenn es notwendig ist, die erste Form von verallgemeinerten fortlaufenden Bruchteilen zu unterscheiden, kann der erstere einen einfachen oder regelmäßigen fortlaufenden Bruchteil genannt oder gesagt werden, in der kanonischen Form zu sein.

Der Begriff hat weitergegangen Bruchteil kann sich auch auf Darstellungen von vernünftigen Funktionen beziehen, in ihrer analytischen Theorie entstehend. Weil dieser Gebrauch des Begriffes Annäherung von Padé und Tschebyscheff vernünftige Funktionen sieht.

Motivation und Notation

Denken Sie eine typische rationale Zahl 415/93, der ungefähr 4.4624 ist. Als eine erste Annäherung, fangen Sie mit 4 an, der der Teil der ganzen Zahl ist;. bemerken Sie, dass der Bruchteil das Gegenstück von 93/43 ist, der ungefähr 2.1628 ist. Verwenden Sie den Teil der ganzen Zahl, 2, als eine Annäherung für das Gegenstück, um eine zweite Annäherung dessen zu bekommen;. der Bruchteil von 93/43 ist das Gegenstück von 43/7, der ungefähr 6.1429 ist. Verwenden Sie 6 als eine Annäherung dafür, um als eine Annäherung für 93/43 und, ungefähr 4.4615 als die dritte Annäherung zu kommen;. schließlich ist der Bruchteil von 43/7 das Gegenstück 7, so ist seine Annäherung in diesem Schema, 7, (7/1 = 7 + 0/1) genau und erzeugt den genauen Ausdruck für 415/93. Dieser Ausdruck wird die fortlaufende Bruchteil-Darstellung der Zahl genannt. Das Fallen von einigen der weniger wesentlichen Teile des Ausdrucks gibt die abgekürzte Notation 415/93 = [4; 2,6,7]. Bemerken Sie, dass es üblich ist, um nur das erste Komma durch einen Strichpunkt zu ersetzen. Einige ältere Lehrbücher verwenden alle Kommas in (+1) - Tupel, z.B [4,2,6,7].

Wenn die Startzahl dann vernünftig ist, passt dieser Prozess genau dem Euklidischen Algorithmus an. Insbesondere es muss begrenzen und eine begrenzte fortlaufende Bruchteil-Darstellung der Zahl erzeugen. Wenn die Startzahl dann vernunftwidrig ist, geht der Prozess unbestimmt weiter. Das erzeugt eine Folge von Annäherungen, von denen alle rationale Zahlen sind, und diese laufen zur Startzahl als eine Grenze zusammen. Das ist die (unendliche) fortlaufende Bruchteil-Darstellung der Zahl. Beispiele von fortlaufenden Bruchteil-Darstellungen von irrationalen Zahlen sind:

• . Das Muster wiederholt sich unbestimmt mit einer Periode 6.

• . Das Muster wiederholt sich unbestimmt mit einer Periode 3, außer dass 2 zu einem der Begriffe in jedem Zyklus hinzugefügt wird.

• . Die Begriffe in dieser Darstellung sind anscheinend zufällig.

Fortlaufende Bruchteile, sind in mancher Hinsicht, mehr "mathematisch natürliche" Darstellungen der reellen Zahl als andere Darstellungen wie Dezimaldarstellungen, und sie haben mehrere wünschenswerte Eigenschaften:

• Die fortlaufende Bruchteil-Darstellung für eine rationale Zahl ist begrenzt, und nur rationale Zahlen haben begrenzte Darstellungen. Im Gegensatz kann die Dezimaldarstellung einer rationalen Zahl zum Beispiel begrenzt, oder mit einem sich wiederholenden Zyklus zum Beispiel unendlich sein.
• Jede rationale Zahl hat eine im Wesentlichen einzigartige fortlaufende Bruchteil-Darstellung. Jeder vernünftig kann auf genau zwei Weisen, seitdem [vertreten werden; …,] = [; …, (1), 1]. Gewöhnlich wird der erste, kürzere als die kanonische Darstellung gewählt.
• Die fortlaufende Bruchteil-Darstellung einer irrationalen Zahl ist einzigartig.
• Die reellen Zahlen, deren fortlaufender Bruchteil schließlich Wiederholungen genau die quadratischen Irrationalzahlen ist. Zum Beispiel hat das Wiederholen Bruchteil [1 fortgesetzt; 1,1,1, …] ist das goldene Verhältnis, und das Wiederholen hat Bruchteil [1 fortgesetzt; 2,2,2, …] ist die Quadratwurzel 2. Im Gegensatz sind die Dezimaldarstellungen von quadratischen Irrationalzahlen anscheinend zufällig.
• Die aufeinander folgenden Annäherungen, die in der Entdeckung der fortlaufenden Bruchteil-Darstellung einer Zahl, d. h. durch das Beschneiden der fortlaufenden Bruchteil-Darstellung erzeugt sind, sind im gewissen Sinne (beschrieben unten) das "bestmögliche".

Grundlegende Formeln

Ein begrenzter fortlaufender Bruchteil ist ein Ausdruck der Form

:

wo eine ganze Zahl ist, sind alle anderer positive ganze Zahlen, und ist eine natürliche Zahl.

So illustriert der ganze folgende gültige begrenzte fortlaufende Bruchteile:

Ein unendlicher fortlaufender Bruchteil kann als geschrieben werden

:

mit denselben Einschränkungen auf wie im begrenzten Fall.

Das Rechnen hat Bruchteil-Darstellungen fortgesetzt

Denken Sie eine reelle Zahl.

Lassen Sie, der Teil der ganzen Zahl und der Bruchteil dessen zu sein.

Dann ist die fortlaufende Bruchteil-Darstellung dessen [; …], wo [; …] ist die fortlaufende Bruchteil-Darstellung von 1/.

Um eine fortlaufende Bruchteil-Darstellung einer Zahl zu berechnen, schreiben Sie den Teil der ganzen Zahl (technisch der Fußboden) davon nieder. Ziehen Sie diesen Teil der ganzen Zahl davon ab. Wenn der Unterschied 0 ist, halten Sie an; finden Sie sonst das Gegenstück des Unterschieds und der Wiederholung. Das Verfahren wird hinken, wenn, und nur wenn vernünftig ist.

:

Die Nummer 3.245 kann auch durch die fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung [3 vertreten werden; 4,12,3,1]; beziehen Sie sich auf Begrenzte fortlaufende Bruchteile unten.

Notationen für fortlaufende Bruchteile

Die ganzen Zahlen werden usw. die Quotienten des fortlaufenden Bruchteils genannt. Man kann einen fortlaufenden Bruchteil als abkürzen

:

oder, in der Notation von Pringsheim, als

:

Hier ist eine andere zusammenhängende Notation:

:

Manchmal werden Winkelklammern, wie das verwendet:

:

Der Strichpunkt in den Quadrat- und Winkelklammer-Notationen wird manchmal durch ein Komma ersetzt.

Man kann auch unendliche einfache fortlaufende Bruchteile als Grenzen definieren:

:

Diese Grenze besteht für jede Wahl von a und positiven ganzen Zahlen a, a....

Begrenzte fortlaufende Bruchteile

Jeder begrenzte fortlaufende Bruchteil vertritt eine rationale Zahl, und jede rationale Zahl kann auf genau zwei verschiedene Weisen als ein begrenzter fortlaufender Bruchteil vertreten werden. Diese zwei Darstellungen stimmen außer in ihren Endbegriffen zu. In der längeren Darstellung ist der Endbegriff im fortlaufenden Bruchteil 1; die kürzere Darstellung lässt endgültigen 1 fallen, aber vergrößert den neuen Endbegriff um 1. Das Endelement in der kurzen Darstellung ist deshalb immer größer als 1, wenn anwesend. In Symbolen:

::

Zum Beispiel,

::

Fortlaufende Bruchteile von Gegenstücken

Die fortlaufenden Bruchteil-Darstellungen einer positiven rationalen Zahl und seines Gegenstücks sind abgesehen von einer Verschiebung ein Platz verlassen oder direkt je nachdem identisch, ob die Zahl weniger ist als oder größer als eine beziehungsweise. Mit anderen Worten sind die Zahlen, die dadurch vertreten sind, und Gegenstücke. Das ist weil, wenn eine ganze Zahl dann wenn ist

Zum Beispiel,::

Unendliche fortlaufende Bruchteile

Jeder unendliche fortlaufende Bruchteil ist vernunftwidrig, und jede irrationale Zahl kann auf genau eine Weise als ein unendlicher fortlaufender Bruchteil vertreten werden.

Eine unendliche fortlaufende Bruchteil-Darstellung für eine irrationale Zahl ist hauptsächlich nützlich, weil seine anfänglichen Segmente ausgezeichnete vernünftige Annäherungen an die Zahl zur Verfügung stellen. Diese rationalen Zahlen werden den convergents des fortlaufenden Bruchteils genannt. Sogar numerierte convergents sind kleiner als die ursprüngliche Zahl, während ungeradzahlige größer sind.

Für einen fortlaufenden Bruchteil [; …] sind die ersten vier convergents (hat 0 bis 3 numeriert)

:

\frac {a_0} {1}, \qquad

\frac {a_1a_0 + 1} {a_1}, \qquad

\frac {a_2 (a_1a_0+1) +a_0} {a_2a_1+1}, \qquad

\frac {a_3 (a_2 (a_1a_0+1) +a_0) + (a_1a_0+1)} {a_3 (a_2a_1+1) +a_1}.

</Mathematik>

In Wörtern wird der Zähler des dritten konvergenten durch das Multiplizieren des Zählers des zweiten konvergenten durch den dritten Quotienten und das Hinzufügen des Zählers des ersten konvergenten gebildet. Die Nenner werden ähnlich gebildet. Deshalb kann jeder konvergent ausführlich in Bezug auf den fortlaufenden Bruchteil als das Verhältnis von bestimmten multivariate Polynomen genannt Dauerlaute ausgedrückt werden.

Wenn aufeinander folgend, werden convergents, mit Zählern h, h... und Nennern k, k gefunden... dann ist die relevante rekursive Beziehung:

h_n=a_nh_ {n-1} +h_ {n-2}, \qquad

k_n=a_nk_ {n-1} +k_ {n-2}. </Mathematik>

Die aufeinander folgenden convergents werden durch die Formel gegeben

:

\frac {h_n} {k_n} =

\frac {a_nh_ {n-1} +h_ {n-2}} {a_nk_ {n-1} +k_ {n-2}}.

</Mathematik>

Um so einen neuen Begriff in eine vernünftige Annäherung zu vereinigen, sind nur die zwei vorherigen convergents notwendig. Die Initiale "convergents" (erforderlich für die ersten zwei Begriffe) ist  und . Zum Beispiel ist hier der convergents für [0; 1,5,2,2].

:Als

er die babylonische Methode verwendet hat, aufeinander folgende Annäherungen an die Quadratwurzel einer ganzen Zahl zu erzeugen, wenn man mit der niedrigsten ganzen Zahl als der erste approximant anfängt, hat der rationals erzeugt alle erscheinen in der Liste von convergents für den fortlaufenden Bruchteil. Spezifisch wird der approximants auf der Convergents-Liste in Positionen Zum Beispiel erscheinen, die fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung dafür ist [1; 1,2,1,2,1,2,1,2, …]. Das Vergleichen des convergents mit dem approximants ist auf die babylonische Methode zurückzuführen gewesen:

:::::

Einige nützliche Lehrsätze

Wenn, … eine unendliche Folge von positiven ganzen Zahlen ist, definieren Sie die Folgen und rekursiv:

Lehrsatz 1

Für jeden positiven

:

\left [a_0; a_1, \, \dots, a_ {n-1}, x \right] =

\frac {x h_ {n-1} +h_ {n-2} }\

{x k_ {n-1} +k_ {n-2}}. </Mathematik>

Lehrsatz 2

Der convergents [; …] werden durch gegeben

:

\left [a_0; a_1, \, \dots, a_n\right] =

\frac {h_n }\

{k_n}. </Mathematik>

Lehrsatz 3

Wenn das th konvergente zu einem fortlaufenden Bruchteil, dann ist

:

k_nh_ {n-1}-k_ {n-1} h_n = (-1) ^n. \,

</Mathematik>

Folgeerscheinung 1: Jeder konvergent ist in seinen niedrigsten Begriffen (dafür, wenn und einen nichttrivialen allgemeinen Teiler hätte, würde er sich teilen, der unmöglich ist).

Folgeerscheinung 2: Der Unterschied zwischen aufeinander folgendem convergents ist ein Bruchteil, dessen Zähler Einheit ist:

:

\frac {h_n} {k_n}-\frac {h_ {n-1}} {k_ {n-1}} =

\frac {h_nk_ {n-1}-k_nh_ {n-1}} {k_nk_ {n-1}} =

\frac {-(-1) ^n} {k_nk_ {n-1}}.

</Mathematik>

Folgeerscheinung 3: Der fortlaufende Bruchteil ist zu einer Reihe gleichwertig, Begriffe abwechseln zu lassen:

:

a_0 + \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {(-1) ^ {n}} {k_ {n+1} k_ {n}}.

</Mathematik>

Folgeerscheinung 4: Die Matrix

:

h_n & h_ {n-1} \\

k_n & k_ {n-1 }\

\end {bmatrix} </Mathematik>

hat Determinante plus oder minus eine, und gehört so der Gruppe 2×2 unimodular matrices.

Lehrsatz 4

Jeder (sth) konvergent ist zu einem nachfolgenden (th) konvergenten näher, als jedes Vorangehen (th) konvergent ist. In Symbolen, wenn das th konvergente genommen wird, um, dann zu sein

:

für alle.

Folgeerscheinung 1: Sogar convergents (vor dem th) nehmen ständig zu, aber sind immer weniger als.

Folgeerscheinung 2: Die sonderbaren convergents (vor dem th) nehmen ständig ab, aber sind immer größer als.

Lehrsatz 5

:

\frac {1} {k_n (k_ {n+1} +k_n)}

Folgeerscheinung 1: Irgendwelcher konvergent ist zum fortlaufenden Bruchteil näher als jeder andere Bruchteil, dessen Nenner weniger ist als dieser der konvergenten

Folgeerscheinung 2: Irgendwelcher konvergent, der sofort einem großen Quotienten vorangeht, ist eine nahe Annäherung an den fortlaufenden Bruchteil.

Semiconvergents

Wenn

:

sind aufeinander folgender convergents, dann jeder Bruchteil der Form

:

wo einer natürlichen Zahl und der Zähler und Nenner zu sein, zwischen und + ist, werden 1 Begriffe einschließlich semiconvergents, sekundären convergents oder Zwischenbruchteile genannt. Häufig wird der Begriff genommen, um zu bedeuten, dass ein halbkonvergenter zu sein, die Möglichkeit ausschließt, ein konvergenter zu sein, aber nicht dass ein konvergenter eine Art halbkonvergentes ist.

Die semiconvergents zur fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung einer reellen Zahl x schließen alle vernünftigen Annäherungen ein, die besser sind als jede Annäherung mit einem kleineren Nenner. Ein anderes nützliches Eigentum besteht darin, dass aufeinander folgender semiconvergents a/b und c/d dass Anzeige &minus solch sind; bc = ±1.

Am besten vernünftige Annäherungen

Eine beste vernünftige Annäherung an eine reelle Zahl x ist eine rationale Zahl n/d, d> 0, der an x näher ist als jede Annäherung mit einem kleineren Nenner. Der einfache fortlaufende Bruchteil für x erzeugt alle besten vernünftigen Annäherungen für x gemäß drei Regeln:

1. Stutzen Sie den fortlaufenden Bruchteil, und vielleicht die Verminderung sein letzter Begriff.
2. Der Decremented-Begriff kann weniger als Hälfte seines ursprünglichen Werts nicht haben.
3. Wenn der Endbegriff sogar ist, ist Hälfte seines Werts nur zulässig, wenn das halbkonvergente Entsprechen besser ist als das vorherige konvergente. (Sieh unten.)

Zum Beispiel, 0.84375 hat Bruchteil [0 fortgesetzt; 1,5,2,2]. Hier sind alle seine besten vernünftigen Annäherungen.

:

Die ausschließlich monotonische Zunahme in den Nennern als zusätzliche Begriffe wird eingeschlossen erlaubt einem Algorithmus, eine Grenze, entweder auf der Größe des Nenners oder auf Nähe der Annäherung festzusetzen.

Die "Hälfte der Regel, die" oben erwähnt ist, ist dass, wenn sogar zu sein, der halbierte Begriff a/2 zulässig ist, wenn, und nur wenn Das gleichwertig ist zu:

:

Die convergents zu x sind beste Annäherungen in einem noch stärkeren Sinn: N/d ist ein konvergenter für x wenn und nur wenn |dx &minus; n ist der am wenigsten Verhältnisfehler unter allen Annäherungen m/c mit c  d; d. h. wir haben |dx &minus; n x &minus; n  0 als k  .)

Am besten vernünftig innerhalb eines Zwischenraums

Ein vernünftiger, der innerhalb des Zwischenraums, dafür fällt

:

x &= [a_0; a_1, a_2, \ldots, a_ {k-1}, a_k, a_ {k+1}, \ldots] \\

y &= [a_0; a_1, a_2, \ldots, a_ {k-1}, b_k, b_ {k+1}, \ldots]

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo und identische fortlaufende Bruchteil-Vergrößerungen durch haben, wird ein vernünftiger, der innerhalb des Zwischenraums fällt, durch den begrenzten fortlaufenden Bruchteil, gegeben

:

Das vernünftig wird darin am besten sein keiner anderer, der darin vernünftig ist, wird einen kleineren Zähler oder einen kleineren Nenner haben.

Wenn vernünftig ist, wird es zwei fortlaufende Bruchteil-Darstellungen haben, die begrenzt sind, und, und ähnlich ein vernünftiger zwei Darstellungen haben wird, und. Die Koeffizienten außer dem letzten in einigen dieser Darstellungen sollten als +  interpretiert werden; und das beste vernünftige wird einer sein, oder.

Zum Beispiel konnte die Dezimaldarstellung 3.1416 von jeder Zahl im Zwischenraum rund gemacht werden. Die fortlaufenden Bruchteil-Darstellungen 3.14155 und 3.14165 sind

:

3.14155 &= [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2] \\

3.14165 &= [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4] \,

\end {richten} </Mathematik> {aus}

und das beste vernünftige zwischen diesen zwei ist

:

So, in einem Sinn, ist 355/113 die beste rationale Zahl entsprechend der rund gemachten Dezimalzahl 3.1416.

Zwischenraum für einen konvergenten

Eine rationale Zahl, die als begrenzter fortlaufender Bruchteil auf zwei Weisen, ausgedrückt werden kann

:

wird einer der convergents für die fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung einer Zahl sein, wenn, und nur wenn die Zahl ausschließlich zwischen ist

:

x& = [a_0; a_1, \ldots, a_ {k-1}, a_ {k}, 2] \mathrm {~and }\\\

y & = [a_0; a_1, \ldots, a_ {k-1}, a_ {k} + 2] \.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Bemerken Sie, dass die Zahlen und durch das Erhöhen des letzten Koeffizienten in den zwei Darstellungen für, und dass gebildet werden

Zum Beispiel hat die Nummer 355/113 die fortlaufenden Bruchteil-Darstellungen

:

und so ist 355/113 eine konvergente von jeder Zahl ausschließlich zwischen

:

\[3; 7, 15, 2] &= \frac {688} {219} \approx 3.1415525\mathrm {~and }\\\

\[3; 7, 17] &= \frac {377} {120} \approx 3.1416667 \.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Vergleich von fortlaufenden Bruchteilen

Denken Sie x = [a; a...] und y = [b; b...]. Wenn k der kleinste Index für der ist ungleich b dann x &lt zu sein; y wenn (&minus;1) (&minus; b); a..., a] und y = [b; b..., b, b...] mit = b für 0  i  n, dann x &lt; y, wenn n sogar und y &lt ist; x, wenn n seltsam ist.

Fortlaufende Bruchteil-Vergrößerungen von π

Um den convergents des Pis zu berechnen, können wir setzen, definieren und, und. Wie das weitermachend, kann man den unendlichen fortlaufenden Bruchteil von π als bestimmen

: [3; 7,15,1,292,1,1, …].

Der dritte konvergente von π ist [3; 7,15,1] = 355/113 = 3.14159292035..., manchmal genannt Milü, der ziemlich dem wahren Wert von π nah ist.

Lassen Sie uns annehmen, dass die gefundenen Quotienten, als oben, [3 sind; 7,15,1]. Der folgende ist eine Regel, durch die wir sofort die konvergenten Bruchteile niederschreiben können, die sich aus diesen Quotienten ergeben, ohne den fortlaufenden Bruchteil zu entwickeln.

Der erste Quotient, angenommen geteilt durch die Einheit, wird den ersten Bruchteil geben, der, nämlich, 3/1 zu klein sein wird. Dann, den Zähler und Nenner dieses Bruchteils durch den zweiten Quotienten multiplizierend und Einheit zum Zähler hinzufügend, werden wir den zweiten Bruchteil, 22/7 haben, der zu groß sein wird. Wenn wir auf die ähnliche Weise den Zähler und Nenner dieses Bruchteils durch den dritten Quotienten multiplizieren werden, und zum Zähler den Zähler des vorhergehenden Bruchteils, und zum Nenner der Nenner des vorhergehenden Bruchteils hinzufügen werden, werden wir den dritten Bruchteil haben, der zu klein sein wird. So, der dritte Quotient, der 15 ist, haben wir für unseren Zähler, und für unseren Nenner. Das dritte konvergente ist deshalb 333/106. Wir gehen auf dieselbe Weise für das vierte konvergente weiter. Der vierte Quotient, der 1 ist, wir sagen 333mal 1 ist 333, und das plus 22, der Zähler des Bruchteil-Vorangehens, ist 355; ähnlich 106mal 1 ist 106, und das plus 7 ist 113.

Auf diese Weise, durch die Beschäftigung der vier Quotienten [3; 7,15,1] erhalten wir die vier Bruchteile:

:

Diese convergents sind abwechselnd kleiner und größer als der wahre Wert von π, und nähern sich näher und näher zu π. Der Unterschied zwischen einem gegebenen konvergenten und π ist weniger als das Gegenstück des Produktes der Nenner davon konvergent und das folgende konvergente. Zum Beispiel ist der Bruchteil 22/7 größer als π, aber ist weniger als, der 1/742 ist (tatsächlich, ist gerade weniger als 1/790).

Die Demonstration der vorhergehenden Eigenschaften wird aus der Tatsache abgeleitet, dass, wenn wir den Unterschied zwischen einem der konvergenten Bruchteile und dem folgenden daneben suchen, wir einen Bruchteil erhalten werden, dessen der Zähler immer Einheit und der Nenner das Produkt der zwei Nenner ist. So ist der Unterschied zwischen 22/7 und 3/1 1/7 im Übermaß; zwischen 333/106 und 22/7, 1/742, im Defizit; zwischen 355/113 und 333/106, 1/11978, im Übermaß; und so weiter. Ergebnis zu sein, dass, indem wir diese Reihe von Unterschieden verwenden, wir auf eine andere und sehr einfache Weise die Bruchteile ausdrücken können, mit denen wir hier mittels einer zweiten Reihe von Bruchteilen betroffen werden, von denen die Zähler die ganze Einheit und die Nenner sind, nacheinander das Produkt aller zwei angrenzenden Nenner sein. Statt der Bruchteile, die oben geschrieben sind, haben wir so die Reihe:

:

Der erste Begriff, wie wir sehen, ist der erste Bruchteil; das erste und zweite geben zusammen den zweiten Bruchteil, 22/7; das erste, das zweite und das dritte geben den dritten Bruchteil 333/106 und so weiter mit dem Rest; das Ergebnis, das ist, dass die komplette Reihe zum ursprünglichen Wert gleichwertig ist.

Verallgemeinert hat Bruchteil fortgesetzt

Ein verallgemeinerter fortlaufender Bruchteil ist ein Ausdruck der Form

:

wo (n &gt; 0) sind die teilweisen Zähler, die b sind die teilweisen Nenner, und der Hauptbegriff b wird den Teil der ganzen Zahl des fortlaufenden Bruchteils genannt.

Um den Gebrauch von verallgemeinerten fortlaufenden Bruchteilen zu illustrieren, denken Sie das folgende Beispiel. Die Folge von teilweisen Nennern des einfachen fortlaufenden Bruchteils von π zeigt kein offensichtliches Muster:

:

\pi = [3; 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1, \ldots] \, \!

</Mathematik>oder:

\pi=3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}}}

</Mathematik>

Jedoch haben mehrere verallgemeinerte fortlaufende Bruchteile für π eine vollkommen regelmäßige Struktur wie:

:

\pi =\cfrac {4} {1 +\cfrac {1^2} {2 +\cfrac {3^2} {2 +\cfrac {5^2} {2 +\cfrac {7^2} {2 +\cfrac {9^2} {2 +\ddots}}}}} }\

\cfrac {4} {1 +\cfrac {1^2} {3 +\cfrac {2^2} {5 +\cfrac {3^2} {7 +\cfrac {4^2} {9 +\ddots}}}} }\

3 +\cfrac {1^2} {6 +\cfrac {3^2} {6 +\cfrac {5^2} {6 +\cfrac {7^2} {6 +\cfrac {9^2} {6 +\ddots}}}} }\

</Mathematik>

Die ersten zwei von diesen sind spezielle Fälle der Arctangent-Funktion mit = 4arctan  1.

Andere fortlaufende Bruchteil-Vergrößerungen

Periodische fortlaufende Bruchteile

Die Zahlen mit der periodischen fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung sind genau die vernunftwidrigen Lösungen quadratischer Gleichungen mit vernünftigen Koeffizienten (vernünftige Lösungen haben begrenzte fortlaufende Bruchteil-Vergrößerungen, wie vorher festgesetzt). Die einfachsten Beispiele sind das goldene Verhältnis φ = [1; 1,1,1,1,1, …] und = [1; 2,2,2,2, …]; während = [3; 1,2,1,6,1,2,1,6 …] und = [6; 2,12,2,12,2,12 …]. Alle vernunftwidrigen Quadratwurzeln von ganzen Zahlen haben eine spezielle Form für die Periode; eine symmetrische Schnur, wie die leere Schnur (für) oder 1,2,1 (für), gefolgt von der doppelten von der führenden ganzen Zahl.

Ein Eigentum des goldenen Verhältnisses &phi;

Weil die fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung für &phi; verwendet keine ganzen Zahlen, die größer sind als 1, φ ist eine der "schwierigsten" reellen Zahlen, um mit rationalen Zahlen näher zu kommen. Der Lehrsatz von Hurwitz stellt fest, dass jeder reellen Zahl k durch ungeheuer viele vernünftige m/n mit näher gekommen werden kann

:

Während eigentlich alle reellen Zahlen k schließlich ungeheuer viele convergents m/n haben werden, dessen Entfernung von k bedeutsam kleiner ist als diese Grenze, der convergents für φ (d. h., die Nummern 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, usw.) durchweg "Zehe die Grenze", eine Entfernung fast genau weg von φ behaltend, so nie eine Annäherung fast so eindrucksvoll erzeugend, wie, zum Beispiel, 355/113 für π. Es kann auch gezeigt werden, dass jede reelle Zahl gegen die Form (+ bφ) / (c + dφ) - wo a, b, c, und d solche ganze Zahlen dass Anzeige &minus sind; bc = ±1 - teilt dieses Eigentum mit dem goldenen Verhältnis φ; und dass allen anderen reellen Zahlen näher näher gekommen werden kann.

Regelmäßige Muster in fortlaufenden Bruchteilen

Während es kein erkennbares Muster in der einfachen fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung von π gibt, gibt es ein für e, die Basis des natürlichen Logarithmus:

:

der ein spezieller Fall dieses allgemeinen Ausdrucks für die positive ganze Zahl n ist:

:

Ein anderer erscheint komplizierteres Muster in dieser fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung für positiven sonderbaren n:

:

mit einem speziellen Fall für n = 1:

:

Andere fortlaufende Bruchteile dieser Sorte sind

:

wo n eine positive ganze Zahl ist; auch, für integrierten n:

:

mit einem speziellen Fall für n = 1:

:

Wenn ich (x) die modifizierte oder hyperbolische, Funktion von Bessel der ersten Art bin, können wir eine Funktion auf dem rationals p/q durch definieren

:

der für alle rationalen Zahlen, mit p und q in niedrigsten Begriffen definiert wird. Dann für den ganzen nichtnegativen rationals haben wir

:

mit ähnlichen Formeln für negativen rationals; insbesondere haben wir

:

Viele der Formeln können mit dem fortlaufenden Bruchteil von Gauss bewiesen werden.

Typische fortlaufende Bruchteile

Die meisten irrationalen Zahlen haben kein periodisches oder regelmäßiges Verhalten in ihrer fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung. Dennoch hat Khinchin bewiesen, dass für fast alle reellen Zahlen x, (weil ich = 1, 2, 3...) ein erstaunliches Eigentum haben: Ihr geometrisches Mittel ist eine Konstante (bekannt als die Konstante von Khinchin, K  2.6854520010...) unabhängig des Werts von x. Paul Lévy hat gezeigt, dass sich die n-te Wurzel des Nenners der n-ten konvergenten von der fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung fast aller reellen Zahlen einer asymptotischen Grenze nähert, die als die Konstante von Lévy bekannt ist. Der Lehrsatz von Lochs stellt fest, dass n-t konvergent der fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung fast aller reellen Zahlen die Zahl zu einer durchschnittlichen Genauigkeit gerade über n dezimale Plätze bestimmt.

Die Gleichung von Pell

Fortlaufende Bruchteile spielen eine wesentliche Rolle in der Lösung der Gleichung von Pell. Zum Beispiel, für positive ganze Zahlen p und q, p &minus; 2q = ±1 nur, wenn p/q ein konvergente davon ist.

Fortlaufende Bruchteile und Verwirrung

Fortlaufende Bruchteile spielen auch eine Rolle in der Studie der Verwirrung, wo sie zusammen die Bruchteile von Farey binden, die im Satz von Mandelbrot mit der Fragezeichen-Funktion von Minkowski und dem Modulgruppengamma gesehen werden.

Umgekehrt ist der Verschiebungsmaschinenbediener für fortlaufende Bruchteile die Karte genannt die Karte von Gauss, die Ziffern einer fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung abhaut:. Der Übertragungsmaschinenbediener dieser Karte wird den Maschinenbediener von Gauss-Kuzmin-Wirsing genannt. Der Vertrieb der Ziffern in fortlaufenden Bruchteilen wird durch den zero'th Eigenvektoren dieses Maschinenbedieners gegeben, und wird den Vertrieb von Gauss-Kuzmin genannt.

Eigenvalues und Eigenvektoren

Der Lanczos Algorithmus verwendet eine fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung, um dem eigenvalues und den Eigenvektoren einer großen spärlichen Matrix wiederholend näher zu kommen.

Geschichte von fortlaufenden Bruchteilen

• 300 v. Chr. enthalten die Elemente von Euklid einen Algorithmus für den größten allgemeinen Teiler, der einen fortlaufenden Bruchteil als ein Nebenprodukt erzeugt
• 499 enthält Der Aryabhatiya die Lösung unbestimmter Gleichungen damit hat Bruchteile fortgesetzt

Rafael

• 1579-Bombelli, L'Algebra Opera - Methode für die Förderung von Quadratwurzeln, die mit fortlaufenden Bruchteilen verbunden ist
• 1613 Pietro Cataldi, Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri - die erste Notation für fortlaufende Bruchteile

:Cataldi hat einen fortlaufenden Bruchteil als & & & mit den Punkten vertreten, die anzeigen, wohin die folgenden Bruchteile gegangen sind.

• 1695 John Wallis, Oper Mathematica - Einführung des Begriffes "fortlaufender Bruchteil"

Leonhard

• 1737-Euler, Delaware fractionibus continuis dissertatio - Zur Verfügung gestellt die erste dann umfassende Rechnung der Eigenschaften von fortlaufenden Bruchteilen, und eingeschlossen der erste Beweis, dass die Nummer e vernunftwidrig ist.
• 1748 Euler, Introductio in analysin infinitorum. Vol. Ich hat Kapitel 18 - die Gleichwertigkeit einer bestimmten Form des fortlaufenden Bruchteils und einer verallgemeinerten unendlichen Reihe bewiesen, hat bewiesen, dass jede rationale Zahl als ein begrenzter fortlaufender Bruchteil geschrieben werden kann und bewiesen hat, dass der fortlaufende Bruchteil einer irrationalen Zahl unendlich ist.
• 1761 Johann Lambert - hat den ersten Beweis der Unvernunft von π mit einem fortlaufenden Bruchteil für die Lohe (x) gegeben.
• 1768, den Joseph Louis Lagrange - der allgemeinen Lösung der Gleichung von Pell damit zur Verfügung gestellt hat, hat dem von Bombelli ähnliche Bruchteile fortgesetzt
• 1770 Lagrange - haben bewiesen, dass quadratische Irrationalzahlen eine periodische fortlaufende Bruchteil-Vergrößerung haben
• 1813 Carl Friedrich Gauss, Werke, Vol. 3 haben Seiten 134-138 - abgestammt ein Komplex-geschätzter sehr allgemeiner hat Bruchteil über eine kluge Identität fortgesetzt, die die hypergeometrische Funktion einschließt
• 1892 Henri Padé hat Padé approximant definiert
• 1972 Bill Gosper - Zuerst genaue Algorithmen für die fortlaufende Bruchteil-Arithmetik.

Siehe auch

• Strenger-Brocot Baum
• Die Computerwissenschaft hat Bruchteile von Quadratwurzeln fortgesetzt
• Ganzer Quotient
• Vergrößerung von Engel
• Verallgemeinert hat Bruchteil fortgesetzt
• Mathematische Konstanten (sortiert durch die fortlaufende Bruchteil-Darstellung)
• Eingeschränkte teilweise Quotienten
• Unendliche Reihe
• Unendliches Produkt
• Wiederholte binäre Operation
• Die fortlaufende Bruchteil-Formel von Euler
• Śleszyński-Pringsheim-Lehrsatz
• Unendliche Zusammensetzungen von analytischen Funktionen

Referenzen

• Oskar Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen, Chelsea Publishing Company, New York, New York 1950.
• H. S. Wall, Analytische Theorie von Fortlaufenden Bruchteilen, D. Van Nostrand Company, Inc., 1948 internationale Standardbuchnummer 0-8284-0207-8
• A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland, W.B. Jones, Handbuch von Fortlaufenden Bruchteilen für Spezielle Funktionen, Springer Verlag, 2008 internationale Standardbuchnummer 978-1-4020-6948-2
• Rieger, G. J. Eine neue Annäherung an die reellen Zahlen (motiviert durch fortlaufende Bruchteile). Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 33 (1982), 205-217

Links

• Eine Einführung in den fortlaufenden Bruchteil
• Linas Vepstas Continued Fractions und Lücken (2004) Rezensionen chaotische Strukturen in fortlaufenden Bruchteilen.
• Fortlaufende Bruchteile auf dem Strengen-Brocot Baum an der Knoten-Kürzung
• Der Antikythera Mechanism I: Übersetzungsverhältnisse und haben Bruchteile fortgesetzt
• Fortlaufender Bruchteil das erste fortlaufende Bruchteil-Papier des arithmetischen Gospers, unveröffentlicht. Versteckt auf der Wayback Maschine des Archivs des Internets
• Fortlaufende Bruchteile durch Stephen Wolfram und fortgesetzte Bruchteil-Annäherungen der Tangente-Funktion durch Michael Trott, Demonstrationsprojekt von Wolfram.
• Genauer fortlaufender Bruchteil für das Pi
• Fortlaufende Bruchteile und Dauerlaute an sputsoft.com
• eine Ansicht in die "Bruchinterpolation" eines fortlaufenden Bruchteils {1; 1,1,1...}