In der Mathematik sind die Polynome von Hermite eine klassische orthogonale polynomische Folge, die in der Wahrscheinlichkeit wie die Reihe von Edgeworth entstehen; in combinatorics, als ein Beispiel einer Folge von Appell, der umbral Rechnung folgend; in der numerischen Analyse als Quadratur von Gaussian; und in der Physik, wo sie den eigenstates des Quants harmonischer Oszillator verursachen. Sie werden auch in der Systemtheorie im Zusammenhang mit nichtlinearen Operationen auf dem Geräusch von Gaussian verwendet. Sie werden nach Charles Hermite (1864) genannt, obwohl sie früher durch und Tschebyscheff (1859) studiert wurden.

Definition

Es gibt zwei verschiedene Standardweisen, Polynome von Hermite zu normalisieren:

:

(die Polynome von Hermite der "probabilist"), und

:

(die Polynome von Hermite der "Physiker"). Diese zwei Definitionen sind nicht genau gleichwertig; irgendein ist ein Wiederschuppen vom anderen, zum Witz

:

Das sind Polynom-Folgen von Hermite von verschiedenen Abweichungen; sieh das Material auf Abweichungen unten.

Die Notation, die Er und H sind, der in den normativen Verweisen und Abramowitz & Stegun verwendet hat.

Die Polynome wird Er manchmal durch H, besonders in der Wahrscheinlichkeitstheorie, weil angezeigt

:

ist die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion für die Normalverteilung mit dem erwarteten Wert 0 und der Standardabweichung 1.

Die Polynome von Hermite der ersten elf probabilist sind:

:::::::::::

und die Polynome von Hermite der ersten elf Physiker sind:

:::::::::::

Eigenschaften

H ist ein Polynom des Grads n. Die Version der probabilist Er hat Hauptkoeffizienten 1, während die Version H der Physiker Hauptkoeffizienten 2 hat.

Orthogonality

H (x) und ist Er (x) Polynome des n-ten Grads für n = 0, 1, 2, 3.... Diese Polynome sind in Bezug auf die Gewicht-Funktion (Maß) orthogonal

: (Er)

oder

: (H)

d. h. wir haben

:

wenn M  n. Außerdem,

: (probabilist)

oder

: (Physiker).

Die probabilist Polynome sind so in Bezug auf die normale Standardwahrscheinlichkeitsdichte-Funktion orthogonal.

Vollständigkeit

Die Hermite Polynome (probabilist oder Physiker) bilden eine orthogonale Basis des Raums von Hilbert von Funktionen, die befriedigen

:

in dem das Skalarprodukt durch das Integral einschließlich der Gewicht-Funktion von Gaussian w (x) definiert in der vorhergehenden Abteilung, gegeben wird

:

Eine orthogonale Basis für L (R, w (x) dx) ist ein ganzes orthogonales System. Für ein orthogonales System ist Vollständigkeit zur Tatsache gleichwertig, dass die 0 Funktion der einzige Funktions-ƒ  L (R, w (x) dx) orthogonal zu allen Funktionen im System ist. Da die geradlinige Spanne von Polynomen von Hermite der Raum aller Polynome ist, muss man (im Physiker-Fall) das zeigen, wenn ƒ befriedigt

:

für jeden n  0, dann ƒ = 0. Eine mögliche Weise, es zu tun, soll dass die komplette Funktion sehen

:

verschwindet identisch. Die Tatsache, dass F (es) = 0 für jeden t echten bedeutet, dass sich der Fourier (x) ƒ exp (−x) verwandelt, ist 0, folglich ist ƒ 0 fast überall. Varianten des obengenannten Vollständigkeitsbeweises gelten für andere Gewichte mit dem Exponentialzerfall. Im Fall von Hermite ist es auch möglich, eine ausführliche Identität zu beweisen, die Vollständigkeit einbezieht (sieh "Vollständigkeitsbeziehung" unten).

Eine gleichwertige Formulierung der Tatsache, dass Polynome von Hermite eine orthogonale Basis für L sind (R, w (x) dx) besteht im Einführen von Funktionen von Hermite (sieh unten), und im Ausspruch, dass die Funktionen von Hermite eine orthonormale Basis für L(R) sind.

Die Differenzialgleichung von Hermite

Die Polynome von Hermite der probabilist sind Lösungen der Differenzialgleichung

:

wo λ eine Konstante mit den Grenzbedingungen ist, dass u an der Unendlichkeit polynomisch begrenzt werden sollte. Mit diesen Grenzbedingungen hat die Gleichung Lösungen nur, wenn λ eine natürliche Zahl, und bis zu einem gesamten Schuppen ist, wird die Lösung durch u (x) = H (x) einzigartig gegeben. Das Neuschreiben der Differenzialgleichung als ein eigenvalue Problem

:

Lösungen sind der eigenfunctions des Differenzialoperatoren L. Dieses eigenvalue Problem wird die Gleichung von Hermite genannt, obwohl der Begriff auch für die nah zusammenhängende Gleichung gebraucht wird

:

wessen Lösungen die Polynome von Hermite der Physiker sind.

Mit allgemeineren Grenzbedingungen können die Polynome von Hermite verallgemeinert werden, um allgemeinere analytische Funktionen H (z) für λ ein komplizierter Index zu erhalten. Eine ausführliche Formel kann in Bezug auf eine integrierte Kontur gegeben werden.

Beziehung von Recursion

Die Folge von Polynomen von Hermite befriedigt auch den recursion

: (probabilist)

: (Physiker)

Die Hermite Polynome setzen eine Folge von Appell ein, d. h. sie sind eine polynomische Folge, die die Identität befriedigt

: (probabilist): (Physiker)

oder gleichwertig,

: (probabilist): (Physiker)

(die Gleichwertigkeit dieser letzten zwei Identität kann nicht offensichtlich sein, aber sein Beweis ist eine alltägliche Übung).

Hieraus folgt dass die Polynome von Hermite auch die Wiederauftreten-Beziehung befriedigen

: (probabilist): (Physiker)

Diese letzten Beziehungen, zusammen mit den anfänglichen Polynomen H (x) und H (x), können in der Praxis verwendet werden, um die Polynome schnell zu schätzen.

Die Ungleichheit von Turán ist

:

Außerdem hält der folgende Multiplikationslehrsatz:

:

Ausführlicher Ausdruck

Die Polynome von Hermite der Physiker können ausführlich als geschrieben werden

:

für sogar Werte von n und

:

für sonderbare Werte von n. Diese zwei Gleichungen können in ein Verwenden der Fußboden-Funktion verbunden werden:

:

Die Polynome von Hermite der probabilist Er hat ähnliche Formeln, die bei diesen durch das Ersetzen erhalten werden können

die Macht 2x mit der entsprechenden Macht (2) x und das Multiplizieren der kompletten Summe durch 2.

Das Erzeugen der Funktion

Die Hermite Polynome werden durch die Exponentialerzeugen-Funktion gegeben

: (probabilist)

: (Physiker).

Diese Gleichheit ist für den ganzen x, t Komplex gültig, und kann durch das Schreiben der Vergrößerung von Taylor an x der kompletten Funktion z  exp (−z) (im Fall des Physikers) erhalten werden.

Man kann auch die Erzeugen-Funktion des (Physikers) ableiten, indem man die Integrierte Formel von Cauchy verwendet, um die Polynome von Hermite als zu schreiben

:

Damit in der Summe kann man das restliche integrierte Verwenden der Rechnung von Rückständen bewerten und die gewünschte Erzeugen-Funktion erreichen.

Erwarteter Wert

Wenn X eine zufällige Variable mit einer Normalverteilung mit der Standardabweichung 1 und erwarteter Wert μ dann ist

: (probabilist)

Asymptotische Vergrößerung

Asymptotisch, wie zur Unendlichkeit, die Vergrößerung neigt

: (Physiker)

hält für wahr.

Für bestimmte Fälle bezüglich einer breiteren Reihe der Einschätzung ist es notwendig, einen Faktor einzuschließen, um Umfang zu ändern

:

Der, mit der Annäherung von Stirling, weiter in der Grenze zu vereinfacht werden kann

:

Diese Vergrößerung ist erforderlich, um die Welle-Funktion eines Quants harmonischer solcher Oszillator aufzulösen, dass es mit der klassischen Annäherung in der Grenze des Ähnlichkeitsgrundsatzes übereinstimmt.

Eine feinere Annäherung, die den unebenen Abstand der Nullen in der Nähe von den Rändern in Betracht zieht, macht vom Ersatz, dafür Gebrauch

:

Ähnliche Annäherungen halten für das Monostärkungsmittel und die Transistorübergangsbereiche. Spezifisch, wenn dafür

:

während für mit dem Komplex und begrenzt dann

:

wo die Luftfunktion der ersten Art ist.

Beziehungen zu anderen Funktionen

Polynome von Laguerre

Die Hermite Polynome können als ein spezieller Fall der Polynome von Laguerre ausgedrückt werden.

: (Physiker): (Physiker)

Beziehung zu zusammenfließenden hypergeometrischen Funktionen

Die Hermite Polynome können als ein spezieller Fall der parabolischen Zylinderfunktionen ausgedrückt werden.

:

2^n \, U\left (-\frac {n} {2}, \frac {1} {2}, x^2\right) </Mathematik> (Physiker)

wo die zusammenfließende hypergeometrische Funktion von Whittaker ist. Ähnlich

:

\_1F_1\left (-n, \frac {1} {2}; x^2\right) </Mathematik> (Physiker)

:

\_1F_1\left (-n, \frac {3} {2}; x^2\right) </Mathematik> (Physiker)

wo die zusammenfließende hypergeometrische Funktion von Kummer ist.

Differenzialoperator-Darstellung

Die Polynome von Hermite der probabilist befriedigen die Identität

:

wo D Unterscheidung in Bezug auf x vertritt, und der Exponential-durch die Erweiterung davon als eine Macht-Reihe interpretiert wird. Es gibt keine feinen Fragen der Konvergenz dieser Reihe, wenn es auf Polynomen funktioniert, da alle außer begrenzt vielen Begriffen verschwinden.

Da die Macht-Reihe-Koeffizienten des Exponential-weithin bekannte und höhere Ordnungsableitungen des Monoms x sind, kann ausführlich niedergeschrieben werden, diese Differenzialoperator-Darstellung verursacht eine konkrete Formel für die Koeffizienten von H, der verwendet werden kann, um diese Polynome schnell zu schätzen.

Seit dem formellen Ausdruck für Weierstrass verwandeln sich W ist e, wir sehen, dass sich Weierstrass von (2) verwandeln, ist Er (x /  2) x.

Im Wesentlichen verwandeln sich Weierstrass so verwandelt eine Reihe von Polynomen von Hermite in eine entsprechende Reihe von Maclaurin.

Die Existenz von einer formellen Macht-Reihe g (D), mit dem unveränderlichen Nichtnullkoeffizienten, solch dass Er (x) = g (D) x, ist eine andere Entsprechung zur Behauptung, dass diese Polynome eine Folge von Appell bilden. Da sie eine Folge von Appell sind, sind sie ein fortiori eine Folge von Sheffer.

Zeichnen Sie von integrierter Darstellung die Umrisse

Die Hermite Polynome haben eine Darstellung in Bezug auf eine Kontur integriert, als

: (probabilist)

: (Physiker)

mit der Kontur, die den Ursprung umgibt.

Generalisationen

Die Polynome von Hermite der (probabilist), die oben definiert sind, sind in Bezug auf den normalen Standardwahrscheinlichkeitsvertrieb orthogonal, dessen Dichte-Funktion ist

:

der Wert 0 und Abweichung 1 erwartet hat. Man kann von Polynomen von Hermite sprechen

:

der Abweichung α, wo α jede positive Zahl ist. Diese sind in Bezug auf den normalen Wahrscheinlichkeitsvertrieb orthogonal, dessen Dichte-Funktion ist

:

Ihnen wird durch gegeben

:

Insbesondere die Polynome von Hermite der Physiker sind

:

Wenn

:

dann die polynomische Folge, deren n-ter Begriff ist

:

ist die umbral Zusammensetzung der zwei polynomischen Folgen, und es kann sein

gezeigt, die Identität zu befriedigen

:

und

:

Die letzte Identität wird durch den Ausspruch ausgedrückt, dass diese parametrisierte Familie von polynomischen Folgen eine Quer-Folge ist.

"Negative Abweichung"

Da polynomische Folgen eine Gruppe unter der Operation der umbral Zusammensetzung bilden, kann man durch anzeigen

:

die Folge, die zu demjenigen ähnlich angezeigt, aber ohne minus das Zeichen umgekehrt ist, und so von Polynomen von Hermite der negativen Abweichung spricht. Für α> 0 die Koeffizienten von ist Ihm (x) gerade die absoluten Werte der entsprechenden Koeffizienten von Ihm (x).

Diese entstehen als Momente des normalen Wahrscheinlichkeitsvertriebs: Der n-te Moment der Normalverteilung mit dem erwarteten Wert μ und Abweichung σ ist

:

wo X eine zufällige Variable mit der angegebenen Normalverteilung ist. Ein spezieller Fall der Quer-Folge-Identität sagt dann das

:

Anwendungen

Funktionen von Hermite

Man kann die Funktionen von Hermite von den Polynomen der Physiker definieren:

:

Da diese Funktionen die Quadratwurzel der Gewicht-Funktion enthalten, und erklettert worden sind

passend sind sie orthonormal:

:

und bilden Sie eine orthonormale Basis von L(R). Diese Tatsache ist zur entsprechenden Behauptung für Polynome von Hermite gleichwertig (sieh oben).

Die Hermite-Funktionen sind nah mit der Funktion von Whittaker (Whittaker und Watson, 1962) verbunden:

:

und dadurch zu anderen parabolischen Zylinderfunktionen. Die Hermite-Funktionen befriedigen die Differenzialgleichung:

:

Diese Gleichung ist zur Gleichung von Schrödinger für einen harmonischen Oszillator in der Quant-Mechanik gleichwertig, so sind diese Funktionen der eigenfunctions.

Beziehung von Recursion

Im Anschluss an recursion Beziehungen von Polynomen von Hermite folgen die Funktionen von Hermite

:

sowie

:

Die Ungleichheit von Cramér

Die Hermite-Funktionen befriedigen das folgende hat wegen Harald Cramérs gebunden

:

für den echten x, wo der unveränderliche K weniger als 1.086435 ist.

Funktionen von Hermite als eigenfunctions des Fouriers verwandeln sich

Die Hermite-Funktionen sind eine Reihe von eigenfunctions des dauernden Fouriers verwandeln sich. Um das zu sehen, nehmen Sie die Version des Physikers des Erzeugens fungieren und multiplizieren durch exp (&minus;x/2). Das gibt

:

Auswahl der einheitlichen Darstellung des Fouriers verwandelt sich, der Fourier verwandeln sich von der linken Seite wird durch gegeben

:

\begin {richten }\aus

\mathcal {F} \{\exp (-x^2/2 + 2xt-t^2) \} (k) & {} =

\frac {1} {\\sqrt {2 \pi} }\\int_ {-\infty} ^\\infty \exp (-ixk) \exp (-x^2/2 + 2xt-t^2) \, \mathrm {d} x \\

& {} = \exp (-k^2/2 - 2kit+t^2) \\

& {} = \sum_ {n=0} ^\\infty \exp (-k^2/2) H_n (k) \frac {(-es) ^n} {n!}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Der Fourier verwandelt sich von der rechten Seite wird durch gegeben

:

Die Gleichstellung wie Mächte von t in den umgestalteten Versionen der nach links und Rechten gibt

:

Die Hermite-Funktionen sind deshalb eine orthonormale Basis von L(R), welcher diagonalizes der Fourier Maschinenbediener umgestaltet. In diesem Fall haben wir gewählt die einheitliche Version des Fouriers verwandeln sich, so sind die eigenvalues (&minus;i).

Kombinatorische Interpretation von Koeffizienten

Im Polynom von Hermite Er (x) der Abweichung 1 ist der absolute Wert des Koeffizienten von x die Zahl von (nicht eingeordneten) Teilungen eines N-Mitglied-Satzes in den k Singleton und (n &minus; k)/2 (nicht eingeordnete) Paare. Die Summe der absoluten Werte der Koeffizienten gibt die Gesamtzahl von Teilungen in den Singleton und die Paare, die so genannten Telefonnummern

:1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496....

Diese Zahlen können auch als ein spezieller Wert der Polynome von Hermite ausgedrückt werden

:

Vollständigkeitsbeziehung

Die Christoffel-Darboux Formel für Polynome von Hermite liest

:

Außerdem hält die folgende Identität im Sinne des Vertriebs

:

wo δ die Delta-Funktion von Dirac, (ψ) die Funktionen von Hermite und der δ ist (x &minus; y) vertritt das Maß von Lebesgue auf der Linie y = x in R, normalisiert, so dass sein Vorsprung auf der horizontalen Achse das übliche Maß von Lebesgue ist. Diese Verteilungsidentität folgt durch das Lassen u  1 in der Formel von Mehler, gültig wenn &minus;1

der häufig gleichwertig als festgesetzt wird

:

Die Funktion (x, y)  E (x, y; u) ist die Dichte für ein Maß von Gaussian auf R, der ist, wenn u 1, sehr konzentriert um die Linie y = x, und sehr ausgedehnt auf dieser Linie nah ist. Hieraus folgt dass

:

wenn ƒ, g dauernd und kompakt unterstützt sind. Das trägt dieser ƒ kann von den Funktionen von Hermite, als Summe einer Reihe von Vektoren in L(R), nämlich ausgedrückt werden

:

Um die Gleichheit oben für E zu beweisen (x, y; u), der Fourier verwandeln sich Funktionen von Gaussian wird mehrere Male, verwendet

:

Das Hermite Polynom wird dann als vertreten

:

Mit dieser Darstellung für H (x) und H (y) sieht man das

:

\begin {richten} E {aus} (x, y; u) &= \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {u^n} {2^n n! \sqrt {\\Pi}} \, H_n (x) H_n (y) \, \mathrm {e} ^ {-(x^2+y^2)/2} \\

& = \frac {\\mathrm {e} ^ {(x^2+y^2)/2}} {4\pi\sqrt {\\Pi} }\\interne Nummer \! \! \int \Bigl (\sum_ {n=0} ^\\infty \frac {1} {2^n n!} (-ust) ^n \Bigr) \, \mathrm {e} ^ {isx+ity - s^2/4 - t^2/4 }\\, \mathrm {d} s \,\mathrm {d} t \\

& = \frac {\\mathrm {e} ^ {(x^2+y^2)/2}} {4\pi\sqrt {\\Pi} }\\interne Nummer \! \! \int \mathrm {e} ^ {-ust/2} \, \mathrm {e} ^ {isx+ity - s^2/4 - t^2/4 }\\, \mathrm {d} s \,\mathrm {d} t, \end {richten }\aus

</Mathematik>

und das deutet an, dass sich das gewünschte Ergebnis, mit wieder den Fourier von Kernen von Gaussian nach dem Durchführen des Ersatzes verwandelt

:

Der Beweis der Vollständigkeit durch die Formel von Mehler ist wegen N.Wiener Der Fourier, der integriert und in seinen Anwendungen Cambridge Univ sicher ist. Drücken Sie 1933 hat Dover 1958 nachgedruckt

Siehe auch

• Kern von Mehler
• Kibble-Slepian Formel
• Die Ungleichheit von Turán

Referenzen

• .
• (Ansehen)

..

• Temme, Nico, Spezielle Funktionen: Eine Einführung in die Klassischen Funktionen von Mathematischer Physik, Wiley, New York, 1996

Links

• Modul für die Hermite polynomische Interpolation durch John H. Mathews