Eine geradlinige Gleichung ist eine algebraische Gleichung, in der jeder Begriff entweder eine Konstante oder das Produkt einer Konstante und (die erste Macht) eine einzelne Variable ist.

Geradlinige Gleichungen können eine oder mehr Variablen haben. Geradlinige Gleichungen kommen mit der großen Regelmäßigkeit in der angewandten Mathematik vor. Während sie ganz natürlich entstehen, wenn sie viele Phänomene modellieren, sind sie besonders nützlich, da viele nichtlineare Gleichungen auf geradlinige Gleichungen durch das Annehmen reduziert werden können, dass sich Mengen von Interesse in nur einem kleinen Ausmaß von einem "Hintergrund"-Staat ändern. Geradlinige Gleichungen schließen Hochzahlen nicht ein.

Geradlinige Gleichungen in zwei Variablen

Eine Standardform einer geradlinigen Gleichung in den zwei Variablen x und y ist

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wo M und b Konstanten benennen. Der Ursprung des "geradlinigen" Namens kommt aus der Tatsache, dass der Satz von Lösungen solch einer Gleichung eine Gerade im Flugzeug bildet. In dieser besonderen Gleichung bestimmt die unveränderliche M den Hang oder Anstieg dieser Linie, und der unveränderliche Begriff "b" bestimmt den Punkt, an dem die Linie die Y-Achse durchquert, die sonst als der Y-Abschnitt bekannt ist.

Da Begriffe von geradlinigen Gleichungen Produkte von verschiedenen oder gleichen Variablen, noch jede Macht (anders nicht enthalten als 1) oder andere Funktion einer Variable, Gleichungen, die Begriffe wie xy, x, y einschließen, und (x) sündigen können, sind nichtlinear.

Formen für 2. geradlinige Gleichungen

Geradlinige Gleichungen können mit den Gesetzen der elementaren Algebra in mehrere verschiedene Formen umgeschrieben werden. Diese Gleichungen werden häufig die "Gleichungen der Gerade genannt." Worin, x, y, t folgt, und θ Variablen sind; andere Briefe vertreten Konstanten (festgelegte Zahlen).

Allgemeine Form

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:where A und B sind der Null nicht beide gleich. Die Gleichung wird gewöhnlich so dass Ein  0, durch die Tagung geschrieben. Der Graph der Gleichung ist eine Gerade, und jede Gerade kann durch eine Gleichung in der obengenannten Form vertreten werden. Wenn A Nichtnull ist, dann ist der X-Abschnitt, d. h. die X-Koordinate des Punkts, wo der Graph die X-Achse durchquert (wo y Null ist), −C/A. Wenn B Nichtnull ist, dann ist der Y-Abschnitt, der die Y-Koordinate des Punkts ist, wo der Graph die Y-Achse durchquert (wo x Null ist), −C/B, und der Hang der Linie ist

−A/B.

Standardform

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:where A und B sind der Null, A, B nicht sowohl gleich, als auch C sind coprime ganze Zahlen, und A ist nichtnegativ (wenn Null, B positiv sein muss). Die Standardform kann zur allgemeinen Form, aber nicht immer zu allen anderen Formen umgewandelt werden, wenn A oder B Null sind. Es lohnt sich zu bemerken, dass, während der Begriff oft im Schulniveau Algebra-Lehrbücher der Vereinigten Staaten vorkommt, die meisten Linien durch solche Gleichungen nicht beschrieben werden können. Zum Beispiel kann die Linie x + y =  nicht durch eine geradlinige Gleichung mit Koeffizienten der ganzen Zahl beschrieben werden, da  vernunftwidrig ist.

Steigungsabschnitt-Form

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:where M ist der Hang der Linie und b, ist der Y-Abschnitt, der die Y-Koordinate der Position ist, wo Linie die y Achse durchquert. Das kann durch das Lassen x = 0 gesehen werden, der sofort y = b gibt. Es kann nützlich sein, daran in Bezug auf y = b + mx zu denken; wo die Linie an (0, b) entsteht und sich äußer an einem Hang der M ausstreckt. Vertikale Linien, unbestimmten Hang habend, können durch diese Form nicht vertreten werden.

Mit dem Punktsteigungsform

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:where M ist der Hang der Linie und (x, y) ist jeder Punkt auf der Linie.

:The-Form des Punkt-Hangs drückt die Tatsache aus, dass der Unterschied in der Y-Koordinate zwischen zwei Punkten auf einer Linie (d. h.) zum Unterschied in der X-Koordinate proportional ist (d. h.). Die unveränderliche Proportionalität ist M (der Hang der Linie).

Zwei-Punkte-Form

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:where und sind zwei Punkte auf der Linie mit . Das ist zur mit dem Punktsteigungsform oben gleichwertig, wo der Hang als ausführlich gegeben wird.

Abschnitt-Form

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: wo a und b Nichtnull sein müssen. Der Graph der Gleichung hat X-Abschnitt a und Y-Abschnitt b. Die Abschnitt-Form kann zur Standardform durch das Setzen = 1/a, B = 1/b und C = 1 umgewandelt werden.

Parametrische Form

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: und

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:Two gleichzeitige Gleichungen in Bezug auf einen variablen Parameter t, mit der SteigungsM = V / T, X-Abschnitt (VU−WT) / V und Y-Abschnitt (WT−VU) / T.

:This kann auch mit der Zwei-Punkte-Form, wo T = p−h, U = h, V = q−k, und W = k verbunden sein:

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:and

::

:In dieser Fall t ändert sich von 0 am Punkt (h, k) zu 1 am Punkt (p, q), mit Werten von t zwischen 0 und 1 Versorgungsinterpolation und anderen Werten von t Versorgung der Extrapolation.

Polare Form

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:where M ist der Hang der Linie und b, ist der Y-Abschnitt. Wenn θ = 0 der Graph unbestimmt sein wird. Die Gleichung kann umgeschrieben werden, um Diskontinuitäten zu beseitigen:

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Normale Form

Für eine gegebene Linie normaler:The wird definiert, um das kürzeste Segment zwischen der Linie und dem Ursprung zu sein. Durch die normale Form der Gleichung einer Gerade wird gegeben:

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: wo θ der Winkel der Neigung des normalen ist, und p die Länge des normalen ist. Die normale Form kann aus allgemeiner Form durch das Teilen von allen Koeffizienten durch abgeleitet werden

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:This-Form wird auch die Standardform von Hesse nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse genannt.

2. bestimmende Vektor-Form

Die Gleichung einer Linie kann auch als die Determinante von zwei Vektoren geschrieben werden. Wenn und einzigartige Punkte auf der Linie sind, auch dann ein Punkt auf der Linie sein wird, wenn der folgende wahr ist:

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:One-Weise, diese Formel zu verstehen, soll die Tatsache verwenden, dass die Determinante von zwei Vektoren auf dem Flugzeug das Gebiet des Parallelogramms geben wird, das sie bilden. Deshalb, wenn das bestimmte Null dann gleichkommt, hat das Parallelogramm kein Gebiet, und das wird geschehen, wenn zu Vektoren auf derselben Linie sind.

Um uns darauf auszubreiten, können wir das sagen, und. So und dann wird die obengenannte Gleichung:

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So,

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Ergo,

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Dann würde das Teilen beider Seite dadurch auf die "Zwei-Punkte-Form hinauslaufen, die" oben gezeigt ist, aber das Verlassen davon hier erlaubt der Gleichung, noch wenn gültig zu sein.

Spezielle Fälle

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: Das ist ein spezieller Fall der Standardform, wo sich = 0 und B = 1, oder des Steigungsabschnitts wo die SteigungsM = 0 formen. Der Graph ist eine horizontale Linie mit dem b gleichen Y-Abschnitt. Es gibt keinen X-Abschnitt, wenn b = 0, in welchem Fall der Graph der Linie die X-Achse ist, und so ist jede reelle Zahl ein X-Abschnitt.

::

: Das ist ein spezieller Fall der Standardform wo = 1 und B = 0. Der Graph ist eine vertikale Linie mit dem a gleichen X-Abschnitt. Der Hang ist unbestimmt. Es gibt keinen Y-Abschnitt, wenn = 0, in welchem Fall der Graph der Linie die Y-Achse ist, und so ist jede reelle Zahl ein Y-Abschnitt.

:: und

: In diesem Fall haben sich alle Variablen und Konstanten aufgehoben, eine trivial wahre Behauptung verlassend. Die ursprüngliche Gleichung würde deshalb eine Identität genannt, und man würde seinen Graphen nicht normalerweise denken (es würde der komplette xy-plane sein). Ein Beispiel ist 2x + 4y = 2 (x + 2y). Die zwei Ausdrücke auf beiden Seiten des gleichen Zeichens sind immer gleich, egal was Werte für x und y verwendet werden.

::

:In-Situationen, wo algebraische Manipulation zu einer Behauptung solcher als 1 = 0, dann die ursprüngliche Gleichung führt, werden inkonsequent genannt, bedeutend, dass es für irgendwelche Werte von x und y untreu ist (d. h. sein Graph würde der leere Satz sein). Ein Beispiel würde 3x + 2 = 3x &minus sein; 5.

Verbindung mit geradlinigen Funktionen

Eine geradlinige Gleichung, die in der Form y = f (x) geschrieben ist, dessen sich Graph durch den Ursprung trifft, ist dieser, wessen Y-Abschnitt 0 ist, hat die folgenden Eigenschaften:

:

und

:

wo jedes Skalars zu sein. Eine Funktion, die diese Eigenschaften befriedigt, wird eine geradlinige Funktion (oder geradlinigen Maschinenbediener, oder mehr allgemein eine geradlinige Karte) genannt. Jedoch werden geradlinige Gleichungen, die NichtnullY-Abschnitte haben, kein Eigentum oben haben und sind folglich nicht geradlinige Funktionen in diesem Sinn.

Geradlinige Gleichungen in mehr als zwei Variablen

Eine geradlinige Gleichung kann mehr als zwei Variablen einschließen. Die allgemeine geradlinige Gleichung in n Variablen ist:

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In dieser Form, a, a, …, der Koeffizienten, x, x, …, x zu sein, ist die Variablen, und b ist die Konstante. Wenn, sich mit drei oder weniger Variablen befassend, es üblich ist, x durch gerade x, x mit y und x mit z, als passend zu ersetzen.

Solch eine Gleichung wird (n-1) - dimensionales Hyperflugzeug im n-dimensional Euklidischen Raum (zum Beispiel, ein Flugzeug im 3-Räume-) vertreten.

In der Vektor-Notation kann das als ausgedrückt werden:

:

wo ein zum Flugzeug normaler Vektor ist, die Koordinaten jedes Punkts auf dem Flugzeug sind, und die Koordinaten des Ursprungs des Flugzeugs sind.

Siehe auch

• Linie (Geometrie)
• Quadratische Gleichung
• Kubische Gleichung
• Gleichung von Quartic
• Gleichung von Quintic
• Geradlinige Ungleichheit
• Geradlinige Glaube-Funktion

Außenverbindungen

• Algebraische Gleichungen an EqWorld: Die Welt von mathematischen Gleichungen.
• http://video.google.com/videoplay?docid=-5991926520926012350# Videotutorenkurs beim Lösen eines Schritts, Gleichungen mehrzugehen
• Geradlinige Gleichungen und Ungleichheit Offenes Elementares Algebra-Lehrbuch-Kapitel über geradlinige Gleichungen und Ungleichheit.