In der Mathematik ist die Funktion von Cantor, genannt nach Georg Cantor, ein Beispiel einer Funktion, die dauernd, aber nicht absolut dauernd ist. Es wird auch die Treppe des Teufels genannt.

Definition

Sieh Zahl. Formell, die Kantor-Funktion c: [0,1] wird  [0,1] wie folgt definiert:

1. Drücken Sie x in der Basis 3 aus.
2. Wenn x 1 enthält, ersetzen Sie jede Ziffer nach dem ersten 1 durch 0.
3. Ersetzen Sie alle 2s durch 1s.
4. Interpretieren Sie das Ergebnis als eine Binärzahl. Das Ergebnis ist c (x).

Zum Beispiel:

• 1/4 wird 0.02020202... Basis 3; es gibt Nr. 1s, so ist die folgende Bühne noch 0.02020202...; das wird als 0.01010101 umgeschrieben...; wenn gelesen, in der Basis 2 ist das 1/3 so c (1/4) = 1/3.
• 1/5 wird 0.01210121... Basis 3; die Ziffern nach dem ersten 1 werden durch 0s ersetzt, um 0.01000000 zu erzeugen...; das wird nicht umgeschrieben, da es Nr. 2s gibt; wenn gelesen, in der Basis 2 ist das 1/4 so c (1/5) = 1/4.
• 200/243 wird 0.21102 (oder 0.211012222...) stützen 3; die Ziffern nach dem ersten 1 werden durch 0s ersetzt, um 0.21 zu erzeugen; das wird als 0.11 umgeschrieben; wenn gelesen, in der Basis 2 ist das 3/4 so c (200/243) = 3/4.

Eigenschaften

Die Kantor-Funktion fordert naive Intuitionen über die Kontinuität und das Maß heraus; obwohl es überall dauernd ist und Nullableitung fast überall hat, geht c von 0 bis 1, als x von 0 bis 1 geht, und jeden Wert zwischen übernimmt. Die Kantor-Funktion ist das am häufigsten zitierte Beispiel einer echten Funktion, die gleichförmig dauernd (und folglich auch dauernd), aber nicht absolut dauernd ist. Es ist auf Zwischenräumen der Form (0.xxx... x022222..., 0.xxx... x200000...) unveränderlich, und jeder Punkt nicht im Kantor-Satz ist in einem dieser Zwischenräume, so ist seine Ableitung 0 Außenseite des Kantor-Satzes. Andererseits hat es keine Ableitung an jedem Punkt in einer unzählbaren Teilmenge des Kantor-Satzes, der die Zwischenraum-Endpunkte enthält, die oben beschrieben sind.

Erweitert nach links mit dem Wert 0 und nach rechts mit dem Wert 1 ist es die kumulative Wahrscheinlichkeitsvertriebsfunktion einer zufälligen Variable, die auf dem Kantor-Satz gleichförmig verteilt wird. Dieser Vertrieb, genannt den Kantor-Vertrieb, hat keinen getrennten Teil. D. h. das entsprechende Maß ist atomless. Das ist, warum es keine Sprung-Diskontinuitäten in der Funktion gibt; jeder solcher Sprung würde einem Atom im Maß entsprechen.

Jedoch kann kein nichtunveränderlicher Teil der Kantor-Funktion als ein Integral einer Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion vertreten werden; wenn sie jede vermeintliche Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion integrieren wird, die nicht fast überall ist, wird die Null über jeden Zwischenraum positive Wahrscheinlichkeit einem Zwischenraum geben, dem dieser Vertrieb Wahrscheinlichkeitsnull zuteilt.

Die Kantor-Funktion ist das Standardbeispiel einer einzigartigen Funktion.

Die Kantor-Funktion ist Eintönigkeitserhöhung, und so insbesondere sein Graph eine korrigierbare Kurve definiert. Die Kreisbogen-Länge des Graphen ist 2.

Alternative Definitionen

Wiederholender Aufbau

Unten definieren wir eine Folge {ƒ} Funktionen auf dem Einheitszwischenraum, der zur Kantor-Funktion zusammenläuft.

Lassen Sie ƒ (x) = x.

Dann, für jede ganze Zahl, die folgende Funktion ƒ (x) wird in Bezug auf &fnof definiert; (x) wie folgt:

Lassen Sie ƒ (x) =, wenn;

Lassen Sie ƒ (x) = 0.5, wenn;

Lassen Sie ƒ (x) =, wenn.

Die drei Definitionen sind an den Endpunkten 1/3 und 2/3, weil &fnof vereinbar; (0) = 0 und ƒ (1) = 1 für jeden n, durch die Induktion. Man kann das &fnof überprüfen; läuft pointwise zur Kantor-Funktion zusammen, die oben definiert ist. Außerdem ist die Konvergenz gleichförmig. Tatsächlich, sich in drei Fälle, gemäß der Definition &fnof trennend; man sieht das

:

Wenn ƒ zeigt die Grenze-Funktion, hieraus folgt dass, für jeden n &ge an; 0,

:

Bemerken Sie auch, dass die Wahl der Startfunktion, zur Verfügung gestellt &fnof nicht wirklich von Bedeutung ist; (0) = 0, ƒ (1) = 1 und ƒ wird begrenzt.

Volumen von Fractal

Die Kantor-Funktion ist nah mit dem Kantor-Satz verbunden. Der Kantor ist untergegangen C kann als der Satz jener Zahlen im Zwischenraum [0, 1] definiert werden, die die Ziffer 1 in ihrer Basis 3 (triadische) Vergrößerung nicht enthalten, außer, wenn 1 von Nullen gefolgt wird nur (in welchem Fall der Schwanz 1000 durch 0222 ersetzt werden kann, um jeden 1 loszuwerden). Es stellt sich heraus, dass der Kantor-Satz ein fractal mit (unzählbar) ungeheuer vielen Punkten (nulldimensionales Volumen), aber Nulllänge (eindimensionales Volumen) ist. Nur das D-dimensional Volumen (im Sinne eines Hausdorff-Maßes) nimmt einen begrenzten Wert, wo die fractal Dimension von C ist. Wir können die Kantor-Funktion wechselweise definieren, weil das D-dimensional Volumen von Abteilungen des Kantoren gesetzt

hat

:

f (x) =H_D (C \cap (0, x)).

</Mathematik>

Generalisationen

Lassen Sie

:

seien Sie die dyadische (binäre) Vergrößerung der reellen Zahl 0  y  1 in Bezug auf binäre Ziffern b = {0,1}. Dann denken Sie die Funktion

:

Für z = 1/3 ist das Gegenteil der Funktion x = (2/3) C (y) die Kantor-Funktion. D. h. y = y (x) ist die Kantor-Funktion. Im Allgemeinen, für jeden z &lt; 1/2, C (y) sieht aus, dass die Kantor-Funktion seine Seite mit der Breite der Schritte angemacht hat, die breiter werden, weil sich z Null nähert.

Das Fragezeichen von Minkowski fungiert visuell lose ähnelt der Kantor-Funktion, das allgemeine Äußere einer "weggeräumten" Kantor-Funktion habend, und kann durch den Übergang von einer fortlaufenden Bruchteil-Vergrößerung bis eine Binärentwicklung gebaut werden, gerade als die Kantor-Funktion durch den Übergang von einer dreifältigen Vergrößerung bis eine Binärentwicklung gebaut werden kann. Die Fragezeichen-Funktion hat das interessante Eigentum, verschwindende Ableitungen an allen rationalen Zahlen zu haben.

• Kantor-Satz und Funktion an der Knoten-Kürzung
• Die Hausdorff Dimension des Nondifferentiability Satzes der Kantor-Funktion von Verhandlungen des AMS

Links

• Kantor-Funktion durch Douglas Rivers, das Wolfram-Demonstrationsprojekt.