In der Algebra ist synthetische Abteilung eine Methode, polynomische lange Abteilung, mit weniger Schreiben und weniger Berechnungen durchzuführen. Es wird größtenteils für die Abteilung durch Binome der Form unterrichtet

:

aber die Methode verallgemeinert zur Abteilung durch jedes monic Polynom.

Die nützlichsten Aspekte der synthetischen Abteilung sind, dass sie erlaubt zu rechnen, ohne Variablen zu schreiben, und weniger Berechnungen verwendet. Ebenso braucht man bedeutsam weniger Raum als lange Abteilung. Am wichtigsten werden die Subtraktionen in der langen Abteilung zu Hinzufügungen durch die Schaltung der Zeichen am wirklichen Anfang umgewandelt, Zeichen-Fehler verhindernd.

Die synthetische Abteilung für geradlinige Nenner wird auch Abteilung durch die Regierung von Ruffini genannt.

Regelmäßige synthetische Abteilung

Das erste Beispiel ist synthetische Abteilung mit nur einem monic geradlinigen Nenner.

:

Schreiben Sie die Koeffizienten des Polynoms, das oben zu teilen ist (die Null ist für den ungesehenen 0x).

:

\begin {Reihe} {r} \\\\\end {ordnen }\

&

\begin {Reihe} rrrr}

1 &-12 & 0 &-42 \\

& & & \\

\hline

\end {ordnen }\

\end {Reihe} </Mathematik>

Verneinen Sie die Koeffizienten des Teilers.

:

- 1x & + 3

\end {Reihe} </Mathematik>

Schreiben Sie in jedem Koeffizienten des Teilers, aber des ersten links.

:

\begin {Reihe} {r} \\3 \\\end {ordnen }\

& \begin {Reihe} rrrr} 1 &-12 & 0 &-42 \\ & & & \\ \hline \end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Bemerken Sie die Änderung des Zeichens von &minus;3 bis 3. "Lassen Sie" den ersten Koeffizienten nach der Bar zur letzten Reihe "Fallen".

:

\begin {Reihe} {r} \\3 \\\\\end {ordnen }\

&

\begin {Reihe} rrrr}

1 &-12 & 0 &-42 \\ & & & \\ \hline

1 & & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Multiplizieren Sie die fallen gelassene Zahl mit der Zahl vor der Bar, und legen Sie es in die folgende Säule.

: \begin {Reihe} {r} \\3 \\\\\end {ordnen }\ & \begin {Reihe} rrrr} 1 &-12 & 0 &-42 \\

& 3 & & \\

\hline 1 & & & \\ \end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Führen Sie eine Hinzufügung in der folgenden Säule durch.

:

\begin {Reihe} {c} \\3 \\\\\end {ordnen }\

& \begin {Reihe} rrrr} 1 &-12 & 0 &-42 \\ & 3 & & \\ \hline

1 &-9 & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Wiederholen Sie die vorherigen zwei Schritte, und der folgende wird erhalten:

: \begin {Reihe} {c} \\3 \\\\\end {ordnen }\ & \begin {Reihe} rrrr}

1 &-12 & 0 &-42 \\

& 3 &-27 &-81 \\

\hline

1 &-9 &-27 &-123

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Zählen Sie die Begriffe links von der Bar auf. Da es nur einen gibt, hat der Rest Grad-Null. Kennzeichnen Sie die Trennung mit einer vertikalen Bar.

:

1 &-9 &-27 &-123

\end {Reihe} </Mathematik>

Die Begriffe werden mit dem zunehmenden Grad vom Recht bis linken Anfang mit der Grad-Null sowohl für den Rest als auch für das Ergebnis geschrieben.

:

1x^2 &-9x &-27 &-123

\end {Reihe} </Mathematik>

Das Ergebnis unserer Abteilung ist:

:

Ausgebreitete synthetische Abteilung

Diese Methode arbeitet für größere Teiler mit nur einer geringen Modifizierung mit Änderungen im kühnen. Mit denselben Schritten wie zuvor, wollen wir versuchen, die folgende Abteilung durchzuführen:

:

Wir beschäftigen uns nur mit den Koeffizienten.

Schreiben Sie die Koeffizienten des oben zu teilenden Polynoms.

:

1 & \text {-} 12 & 0 & \text {-} 42

\end {Reihe} </Mathematik>

Verneinen Sie die Koeffizienten des Teilers.

:

\text {-} 1x^2 &-1x

&+3 \end {Reihe} </Mathematik>

Schreiben Sie in jedem Koeffizienten, aber der erste links in einer nach oben gerichteten richtigen Diagonale (sieh folgendes Diagramm).

:

\begin {Reihe} {rr} \\&3 \\\text {-} 1& \\\end {ordnen }\

& \begin {Reihe} rrrr}

1 & \text {-} 12 & 0 & \text {-} 42 \\

& & & \\ & & & \\ \hline \end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Bemerken Sie die Änderung des Zeichens von 1 bis &minus;1 und von &minus;3 bis 3. "Lassen Sie" den ersten Koeffizienten nach der Bar zur letzten Reihe "Fallen".

:

\begin {Reihe} {rr} \\&3 \\\text {-} 1& \\\\\end {ordnen }\

& \begin {Reihe} rrrr} 1 & \text {-} 12 & 0 & \text {-} 42 \\ & & & \\ & & & \\ \hline

1 & & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Multiplizieren Sie die fallen gelassene Zahl mit der Diagonale vor der Bar, und legen Sie die resultierenden Einträge diagonal nach rechts vom fallen gelassenen Zugang.

: \begin {Reihe} {rr} \\&3 \\\text {-} 1& \\\\\end {ordnen }\ & \begin {Reihe} rrrr} 1 & \text {-} 12 & 0 & \text {-} 42 \\

& & 3 & \\

& \text {-} 1 & & \\

\hline 1 & & & \\ \end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>Führen Sie eine Hinzufügung in der folgenden Säule durch.: \begin {Reihe} {rr} \\&3 \\\text {-} 1& \\\\\end {ordnen }\ & \begin {Reihe} rrrr} 1 & \text {-} 12 & 0 & \text {-} 42 \\ & & 3 & \\ & \text {-} 1 & & \\ \hline

1 & \text {-} 13 & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Wiederholen Sie die vorherigen zwei Schritte, bis Sie vorbei an den Einträgen oben mit der folgenden Diagonale gehen würden.

: \begin {Reihe} {rr} \\&3 \\\text {-} 1& \\\\\end {ordnen }\ & \begin {Reihe} rrrr}

1 & \text {-} 12 & 0 & \text {-} 42 \\

& & 3 & \text {-} 39 \\

& \text {-} 1 & 13 & \\

\hline

1 & \text {-} 13 & 16 & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Dann einfach zählen Sie irgendwelche restlichen Säulen zusammen.

: \begin {Reihe} {rr} \\&3 \\\text {-} 1& \\\\\end {ordnen }\ & \begin {Reihe} rrrr} 1 & \text {-} 12 & 0 & \text {-} 42 \\ & & 3 & \text {-} 39 \\ & \text {-} 1 & 13 & \\ \hline

1 & \text {-} 13 & 16 & \text {-} 81 \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Zählen Sie die Begriffe links von der Bar auf. Da es zwei gibt, hat der Rest Grad ein. Kennzeichnen Sie die Trennung mit einer vertikalen Bar.

:

1 & \text {-} 13 & 16 & \text {-} 81

\end {Reihe} </Mathematik>Die Begriffe werden mit dem zunehmenden Grad vom Recht bis linken Anfang mit der Grad-Null sowohl für den Rest als auch für das Ergebnis geschrieben.:

1x & \text {-} 13 & 16x & \text {-} 81

\end {Reihe} </Mathematik>Das Ergebnis unserer Abteilung ist::

Jedoch wird das diagonale Format oben weniger raumeffizient, wenn der Grad des Teilers Hälfte des Grads der Dividende überschreitet. Es ist leicht zu sehen, dass wir ganze Freiheit haben, jedes Produkt in jeder Reihe zu schreiben, so lange es in der richtigen Säule ist. So kann der Algorithmus compactified durch eine gierige Strategie, wie illustriert, in der Abteilung unten sein.

::

\begin {Reihe} {rrrr} \\\\\\\\ordne ich &j & k & l \\\\\end {}\

&

\begin {Reihe} rrrrrrrr}

& & & & pi& & & \\

& & & oi& oj &pj & & \\

& & ni& nj & nk & ok & pk & \\

& mi & mj & mk & ml & nl & ol & pl \\

a & b & c & d & e & f & g & h \\

\hline

M & n & o & p & | ~~ q & r & s & t \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Für non-monic Teiler

Mit ein bisschen Stechen kann die ausgebreitete Technik noch weiter verallgemeinert werden, um für jedes Polynom, nicht nur monics zu arbeiten. Die übliche Weise, das zu tun, würde sein sich zu teilen der Teiler mit seinem Hauptkoeffizienten (nennen Sie sie a):

:

dann mit der synthetischen Abteilung mit als der Teiler, und dann den Quotienten durch teilend, um den Quotienten der ursprünglichen Abteilung zu bekommen (bleibt der Rest dasselbe). Aber das erzeugt häufig unansehnliche Bruchteile, die später entfernt werden, und so für den Fehler anfälliger sind. Es ist möglich, es ohne das erste Teilen der Koeffizienten durch a zu tun.

Wie von der ersten leistenden langen Abteilung mit solch einem non-monic Teiler beobachtet werden kann, werden die Koeffizienten dessen durch den Hauptkoeffizienten nach "dem Fallen", und vor dem Multiplizieren geteilt.

Wollen wir illustrieren, indem Sie die folgende Abteilung durchführen:

:

Ein ein bisschen modifizierter Tisch wird verwendet:

:

\begin {Reihe} {rrr} \\&1& \\2&& \\\\&&/3 \\\end {ordnen }\

\begin {Reihe} rrrr}

6 & 5 & 0 & \text {-} 7 \\

& & & \\

& & & \\

\hline

& & & \\

& & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Bemerken Sie die Extrareihe am Boden. Das wird verwendet, um gefundene Werte durch das Teilen der "fallen gelassenen" Werte durch den Hauptkoeffizienten dessen zu schreiben (in diesem Fall, angezeigt durch den/3; bemerken Sie, dass, verschieden vom Rest der Koeffizienten, das Zeichen dieser Zahl nicht geändert wird).

Dann ist der erste Koeffizient dessen wie gewöhnlich fallen gelassen:

: \begin {Reihe} {rrr} \\&1& \\2&& \\\\&&/3 \\\end {ordnen }\ \begin {Reihe} rrrr} 6 & 5 & 0 & \text {-} 7 \\ & & & \\ & & & \\ \hline

6 & & & \\

& & & \\ \end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

und dann wird der fallen gelassene Wert durch 3 geteilt und in die Reihe unten gelegt:

: \begin {Reihe} {rrr} \\&1& \\2&& \\\\&&/3 \\\end {ordnen }\ \begin {Reihe} rrrr} 6 & 5 & 0 & \text {-} 7 \\ & & & \\ & & & \\ \hline 6 & & & \\

2 & & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Dann wird der neue (geteilte) Wert verwendet, um die Spitzenreihen mit Vielfachen 2 und 1, als in der ausgebreiteten Technik zu füllen:

: \begin {Reihe} {rrr} \\&1& \\2&& \\\\&&/3 \\\end {ordnen }\ \begin {Reihe} rrrr} 6 & 5 & 0 & \text {-} 7 \\

& & 2 & \\

& 4 & & \\

\hline 6 & & & \\ 2 & & & \\ \end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Die 5 sind als nächstes, mit dem Pflichthinzufügen der 4 darunter fallen gelassen, und die Antwort wird wieder geteilt:

: \begin {Reihe} {rrr} \\&1& \\2&& \\\\&&/3 \\\end {ordnen }\ \begin {Reihe} rrrr} 6 & 5 & 0 & \text {-} 7 \\ & & 2 & \\ & 4 & & \\ \hline

6 & 9 & & \\

2 & 3 & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Dann werden die 3 verwendet, um die Spitzenreihen zu füllen:

: \begin {Reihe} {rrr} \\&1& \\2&& \\\\&&/3 \\\end {ordnen }\ \begin {Reihe} rrrr} 6 & 5 & 0 & \text {-} 7 \\

& & 2 & 3 \\

& 4 & 6 & \\

\hline

6 & 9 & & \\

2 & 3 & & \\

\end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

An diesem Punkt, wenn, nach dem Bekommen der dritten Summe, wir versuchen sollten, es zu verwenden, um die Spitzenreihen zu füllen, würden wir die richtige Seite "zurückgehen", so ist die dritte Summe der erste Koeffizient des Rests, als in der regelmäßigen synthetischen Abteilung. Aber die Werte des Rests werden durch den Hauptkoeffizienten des Teilers nicht geteilt:

: \begin {Reihe} {rrr} \\&1& \\2&& \\\\&&/3 \\\end {ordnen }\ \begin {Reihe} rrrr} 6 & 5 & 0 & \text {-} 7 \\ & & 2 & 3 \\ & 4 & 6 & \\ \hline

6 & 9 & 8 & \text {-} 4 \\

2 & 3 & & \\ \end {ordnen }\\end {Reihe} </Mathematik>

Jetzt können wir von den Koeffizienten der Antwort lesen. Als in der ausgebreiteten synthetischen Abteilung sind die letzten zwei Werte (2 ist der Grad des Teilers), die Koeffizienten des Rests, und die restlichen Werte sind die Koeffizienten des Quotienten:

:

2x & +3 & 8x & \text {-} 4

\end {Reihe} </Mathematik>

und das Ergebnis ist

:

Siehe auch

• Polynomischer Rest-Lehrsatz
• Euklidisches Gebiet
• Basis von Gröbner
• Größter allgemeiner Teiler von zwei Polynomen
• Schema von Horner