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In der elementaren Geometrie ist ein Polyeder (Mehrzahlpolyeder oder Polyeder) ein geometrischer Festkörper in drei Dimensionen mit flachen Gesichtern und geraden Rändern. Das Wortpolyeder kommt aus dem Klassischen Griechen , als poly - (Stamm , "viele") +-hedron (Form von έδρα, "Basis", "Sitz" oder "Gesicht").

Ein Polyeder ist ein 3-dimensionales Beispiel des allgemeineren polytope in jeder Zahl von Dimensionen.

Basis für die Definition

Wenn er

ein Polyeder weil definiert, ist ein Festkörper, der durch flache Gesichter und gerade Ränder begrenzt ist, nicht sehr genau und einem modernen Mathematiker, ziemlich unbefriedigend. Grünbaum (1994, p. 43) beobachtet, "Geht die Erbsünde in der Theorie von Polyedern Euklid, und durch Kepler, Poinsot, Cauchy und viele andere... [darin] in jeder Bühne zurück..., haben die Schriftsteller gescheitert zu definieren, was die 'Polyeder' ist...." Seitdem sind strenge Definitionen "des Polyeders" innerhalb von besonderen Zusammenhängen gegeben worden. Jedoch sind solche Definitionen in anderen Zusammenhängen nicht immer vereinbar.

Jedes Polyeder kann von verschiedenen Arten des Elements oder der Entität, jeder aufgebaut werden, der mit einer verschiedenen Zahl von Dimensionen vereinigt ist:

• 3 Dimensionen: Der Körper wird durch die Gesichter begrenzt, und ist gewöhnlich das von ihnen eingeschlossene Volumen.
• 2 Dimensionen: Ein Gesicht ist ein Vieleck, das durch einen Stromkreis von Rändern, und gewöhnlich einschließlich der Wohnung (Flugzeug) Gebiet innerhalb der Grenze begrenzt ist. Diese polygonalen Gesichter setzen zusammen die polyedrische Oberfläche zusammen.
• 1 Dimension: Ein Rand schließt sich einem Scheitelpunkt mit einem anderen und einem Gesicht zu einem anderen an, und ist gewöhnlich ein Liniensegment. Die Ränder setzen zusammen das polyedrische Skelett zusammen.
• 0 Dimensionen: Ein Scheitelpunkt (Mehrzahlscheitelpunkte) ist ein Eckpunkt.
• - 1 Dimension: Der ungültige polytope ist eine Art durch abstrakte Theorien erforderliche Null.

Mehr allgemein in der Mathematik und den anderen Disziplinen wird "Polyeder" verwendet, um sich auf eine Vielfalt von zusammenhängenden Konstruktionen, einige geometrisch und andere rein algebraisch oder abstrakt zu beziehen.

Eigenschaften

Polyedrische Oberfläche

Eine Definieren-Eigenschaft fast aller Arten von Polyedern ist, dass gerade sich zwei Gesichter entlang jedem allgemeinen Rand anschließen. Das stellt sicher, dass die polyedrische Oberfläche unaufhörlich verbunden wird und plötzlich nicht endet oder sich in verschiedenen Richtungen abspalten.

Ränder

Ränder haben zwei wichtige Eigenschaften (wenn das Polyeder nicht kompliziert ist):

• Ein Rand schließt sich gerade zwei Scheitelpunkten an.
• Ein Rand schließt sich gerade zwei Gesichtern an.

Diese zwei Eigenschaften sind zu einander Doppel-.

Eigenschaft von Euler

Die Euler Eigenschaft χ verbindet die Zahl von Scheitelpunkten V, Ränder E, und steht F eines Polyeders gegenüber:

:

Für ein konvexes Polyeder oder mehr allgemein für jedes einfach verbundene Polyeder, dessen Gesichter auch einfach verbunden werden, und dessen Grenze eine Sammelleitung, χ = 2 ist. Für eine ausführliche Diskussion, sieh Beweise und Widerlegungen durch Imre Lakatos.

Orientability

Einige Polyeder, wie alle konvexen Polyeder, haben zwei verschiedene Seiten zu ihrer Oberfläche, zum Beispiel kann eine Seite schwarz und das andere Weiß durchweg gefärbt werden. Wir sagen, dass die Zahl orientable ist.

Aber für einige Polyeder ist das nicht möglich, und, wie man sagt, ist die Zahl non-orientable. Alle Polyeder mit der ungeradzahligen Eigenschaft von Euler sind non-orientable. Eine gegebene Zahl mit sogar χ, dessen Abschweifung identisch 1 ist. Der Abschweifungslehrsatz deutet an, dass das Volumen jedes Gebiets Ω ist

:

\text {Volumen} (\Omega) = \int_\Omega \nabla\cdot\vec F d\Omega = \oint_S \vec F \cdot \hat n dS.

</Mathematik>

Wenn Ω das durch ein Polyeder eingeschlossene Gebiet ist, da die Gesichter eines Polyeders planar sind und piecewise unveränderlichen normals haben, vereinfacht das zu

:

\text {Volumen} = \frac {1} {3 }\\sum_ {\\Text {Gesicht} ich} \vec x_i \cdot \hat n_i A_i

</Mathematik>

wo für das I'Th-Gesicht, jeder Punkt auf dem Gesicht ist, der normale Vektor ist, und Gebiet des Gesichtes ist.

Namen von Polyedern

Polyeder werden häufig gemäß der Zahl von Gesichtern genannt. Das Namengeben-System basiert wieder in Klassischem Griechisch, zum Beispiel Tetraeder (4), pentahedron (5), hexahedron (6), heptahedron (7), triacontahedron (30), und so weiter.

Häufig wird das durch eine Beschreibung der Arten der Gesichtsgegenwart, zum Beispiel das Rhombische Dodekaeder gegen das Fünfeckige Dodekaeder qualifiziert.

Andere gemeinsame Bezeichnungen zeigen an, dass etwas Operation auf einem einfacheren Polyeder durchgeführt worden ist, zum Beispiel sieht der gestutzte Würfel wie ein Würfel mit seinen Ecken abgeschnitten aus, und hat 14 Gesichter (so ist es auch ein Beispiel eines tetrakaidecahedron).

Einige spezielle Polyeder haben ihre eigenen Namen im Laufe der Jahre, wie das Ungeheuer von Miller oder das Polyeder von Szilassi angebaut.

Traditionelle Polyeder

In der Geometrie ist ein Polyeder traditionell eine dreidimensionale Gestalt, die aus einer begrenzten Zahl von polygonalen Gesichtern zusammengesetzt wird, die Teile von Flugzeugen sind; die Gesichter treffen sich in Paaren entlang Rändern, die lineare Segmente sind, und sich die Ränder in Punkten genannt Scheitelpunkte treffen. Würfel, Prismen und Pyramiden sind Beispiele von Polyedern. Das Polyeder umgibt ein begrenztes Volumen im dreidimensionalen Raum; manchmal, wie man betrachtet, ist dieses Innenvolumen ein Teil des Polyeders, manchmal wird nur die Oberfläche, und gelegentlich nur das Skelett von Rändern betrachtet.

Wie man

sagt, ist ein Polyeder konvex, wenn seine Oberfläche (das Enthalten seiner Gesichter, Ränder und Scheitelpunkte) sich nicht durchschneidet und das Liniensegment, das sich irgendwelchen zwei Punkten des Polyeders anschließt, im Interieur oder der Oberfläche enthalten wird.

Symmetrische Polyeder

Viele der am meisten studierten Polyeder sind hoch symmetrisch.

Natürlich ist es leicht, solche Polyeder zu verdrehen, so sind sie nicht mehr symmetrisch. Aber wo ein polyedrischer Name wie icosidodecahedron gegeben wird, wird die am meisten symmetrische Geometrie fast immer, wenn sonst nicht festgesetzt, einbezogen.

Einige von den meisten gemeinsamen Bezeichnungen werden häufig insbesondere mit "dem regelmäßigen" in der Vorderseite verwendet oder haben einbezogen, weil für jeden es verschiedene Typen gibt, die wenig gemeinsam abgesehen davon haben, dieselbe Zahl von Gesichtern zu haben. Das sind die Dreieckspyramide oder das Tetraeder, der Würfel oder hexahedron, das Oktaeder, das Dodekaeder und das Ikosaeder:

:

Polyeder des höchsten symmetries haben ganzes eine Art Element - Gesichter, Ränder und/oder Scheitelpunkte innerhalb einer einzelnen Symmetrie-Bahn. Es gibt verschiedene Klassen solcher Polyeder:

• Isogonal oder Vertex-transitive, wenn alle Scheitelpunkte dasselbe im Sinn sind, dass für irgendwelche zwei Scheitelpunkte dort eine Symmetrie des Polyeders besteht, das das erste isometrisch auf das zweite kartografisch darstellt.
• Isotoxal oder Edge-transitive, wenn alle Ränder dasselbe im Sinn sind, dass für irgendwelche zwei Ränder dort eine Symmetrie des Polyeders besteht, das das erste isometrisch auf das zweite kartografisch darstellt.
• Isohedral oder Face-transitive, wenn alle Gesichter dasselbe im Sinn sind, dass für irgendwelche zwei Gesichter dort eine Symmetrie des Polyeders besteht, das das erste isometrisch auf das zweite kartografisch darstellt.
• Regelmäßig, wenn es mit dem Scheitelpunkt transitiv, mit dem Rand transitiv und gesichtstransitiv ist (deutet das an, dass jedes Gesicht dasselbe regelmäßige Vieleck ist; es deutet auch an, dass jeder Scheitelpunkt regelmäßig ist).
• Quasiregelmäßig, wenn es mit dem Scheitelpunkt transitiv und mit dem Rand transitiv ist (und hat folglich regelmäßige Gesichter), aber nicht gesichtstransitiv. Ein Doppel-Quasistammkunde ist gesichtstransitiv und mit dem Rand transitiv (und folglich ist jeder Scheitelpunkt regelmäßig), aber nicht mit dem Scheitelpunkt transitiv.
• Halbregelmäßig, wenn es mit dem Scheitelpunkt transitiv, aber, und jedes Gesicht nicht mit dem Rand transitiv ist, ist ein regelmäßiges Vieleck. (Das ist eine von mehreren Definitionen des Begriffes abhängig vom Autor. Einige Definitionen überlappen mit der quasiregelmäßigen Klasse). Ein Doppel-Halbstammkunde ist gesichtstransitiv, aber nicht mit dem Scheitelpunkt transitiv, und jeder Scheitelpunkt ist regelmäßig.
• Uniform, wenn es mit dem Scheitelpunkt transitiv ist und jedes Gesicht, ist ein regelmäßiges Vieleck, d. h. es ist regelmäßig, quasiregelmäßig oder halbregelmäßig. Eine Doppel-Uniform ist gesichtstransitiv und hat regelmäßige Scheitelpunkte, aber ist nicht notwendigerweise mit dem Scheitelpunkt transitiv).
• Edel, wenn es gesichtstransitiv und mit dem Scheitelpunkt transitiv (aber nicht notwendigerweise mit dem Rand transitiv ist). Die regelmäßigen Polyeder sind auch edel; sie sind die einzigen edlen gleichförmigen Polyeder.

Ein Polyeder kann derselben gesamten Symmetrie-Gruppe wie eine der höheren Symmetrie gehören, aber wird mehrere Gruppen von Elementen (zum Beispiel Gesichter) in verschiedenen Symmetrie-Bahnen haben.

Gleichförmige Polyeder und ihr duals

Gleichförmige Polyeder sind mit dem Scheitelpunkt transitiv, und jedes Gesicht ist ein regelmäßiges Vieleck.

Sie können regelmäßig, quasiregelmäßig, oder halbregelmäßig sein, und können konvex oder Sternen-sein.

Die Uniform duals ist gesichtstransitiv, und jede Scheitelpunkt-Zahl ist ein regelmäßiges Vieleck.

Das Gesichts-Transitivity eines Polyeders entspricht Scheitelpunkt-transitivity des Doppel- und umgekehrt, und der Rand-transitivity eines Polyeders entspricht Rand-transitivity des Doppel-. Das Doppel-von einem regelmäßigen Polyeder ist auch regelmäßig. Das Doppel-von einem nichtregelmäßigen gleichförmigen Polyeder (hat einen katalanischen Festkörper genannt, wenn konvex) hat unregelmäßige Gesichter.

Jedes gleichförmige Polyeder teilt dieselbe Symmetrie wie sein Doppel-, mit dem symmetries von Gesichtern und Scheitelpunkten einfach getauscht. Wegen dieser eines betrachten Behörden den duals als Uniform auch. Aber diese Idee wird weit nicht gehalten: Ein Polyeder und sein symmetries sind nicht dasselbe Ding.

Die gleichförmigen Polyeder und ihr duals werden gemäß ihrem Grad der Symmetrie traditionell klassifiziert, und ob sie konvex sind oder nicht.

Edle Polyeder

Ein edles Polyeder ist sowohl isohedral (gleich-gesichtig) als auch (gleich-eckiger) isogonal. Außer den regelmäßigen Polyedern gibt es viele andere Beispiele.

Das Doppel-von einem edlen Polyeder ist auch edel.

Symmetrie-Gruppen

Die polyedrischen Symmetrie-Gruppen (Notation von Schoenflies verwendend), sind alle Punkt-Gruppen und schließen ein:

• T - chiral vierflächige Symmetrie; die Folge-Gruppe für ein regelmäßiges Tetraeder; Auftrag 12.
• T - volle vierflächige Symmetrie; die Symmetrie-Gruppe für ein regelmäßiges Tetraeder; Auftrag 24.
• T - Pyritohedral-Symmetrie; Auftrag 24. Die Symmetrie eines pyritohedron.
• O - chiral octahedral Symmetrie; die Folge-Gruppe des Würfels und Oktaeders; Auftrag 24.
• O - volle octahedral Symmetrie; die Symmetrie-Gruppe des Würfels und Oktaeders; Auftrag 48.
• I - chiral icosahedral Symmetrie; die Folge-Gruppe des Ikosaeders und des Dodekaeders; Auftrag 60.
• I - volle icosahedral Symmetrie; die Symmetrie-Gruppe des Ikosaeders und des Dodekaeders; Auftrag 120.
• C - n-fold pyramidale Symmetrie
• D - n-fold prismatische Symmetrie
• D - n-fold antiprismatische Symmetrie.

Diejenigen mit der chiral Symmetrie haben Nachdenken-Symmetrie nicht und haben folglich zwei Enantiomorphous-Formen, die Nachdenken von einander sind. Die stumpfen Polyeder von Archimedean haben dieses Eigentum.

Andere Polyeder mit regelmäßigen Gesichtern

Gleiche regelmäßige Gesichter

Einige Familien von Polyedern, wo jedes Gesicht dieselbe Art des Vielecks ist:

• Deltahedra haben gleichseitige Dreiecke für Gesichter.
• Hinsichtlich Polyeder, deren Gesichter alle Quadrate sind: Wenn Coplanar-Gesichtern nicht erlaubt wird, selbst wenn sie getrennt werden, gibt es nur den Würfel. Sonst gibt es auch das Ergebnis, sechs Würfel zu den Seiten von einer, allen sieben derselben Größe aufzukleben; es hat 30 Quadratgesichter (getrennte Gesichter in demselben Flugzeug wie getrennt aufzählend). Das kann in ein, zwei, oder drei Richtungen erweitert werden: Wir können die Vereinigung von willkürlich vielen Kopien dieser Strukturen betrachten, die durch Übersetzungen erhalten sind (als ausgedrückt in Würfel-Größen) (2,0,0), (0,2,0), und/oder (0,0,2), folglich mit jedem angrenzenden Paar, das einen allgemeinen Würfel hat. Das Ergebnis kann jeder verbundene Satz von Würfeln mit Positionen (a, b, c), mit ganzen Zahlen a, b, c sein, von denen an meisten man gleich ist.
• Es gibt keinen speziellen Namen für Polyeder, deren Gesichter das ganze gleichseitige Pentagon oder Pentagramme sind. Es gibt ungeheuer viele von diesen, aber nur ein sind konvex: das Dodekaeder. Der Rest wird durch (das Aufkleben) von Kombinationen der regelmäßigen Polyeder gesammelt hat früher beschrieben: das Dodekaeder, das kleine stellated Dodekaeder, das große stellated Dodekaeder und das große Ikosaeder.

Dort besteht kein Polyeder, dessen Gesichter alle identisch sind und regelmäßige Vielecke mit sechs oder mehr Seiten sind, weil der Scheitelpunkt von drei regelmäßigen Sechsecken ein Flugzeug definiert. (Sieh unendlich verdrehen Polyeder für Ausnahmen mit zig-zagging Scheitelpunkt-Zahlen.)

Deltahedra

Ein deltahedron (Mehrzahldeltahedra) ist ein Polyeder, dessen Gesichter alle gleichseitigen Dreiecke sind. Es gibt ungeheuer viele deltahedra, aber nur acht von diesen sind konvex:

• 3 regelmäßige konvexe Polyeder (3 der Platonischen Festkörper)
• Tetraeder
• Oktaeder
• Ikosaeder
• 5 ungleichförmige konvexe Polyeder (5 der Festkörper von Johnson)
• Dreieckiger dipyramid
• Fünfeckiger dipyramid
• Brüskieren Sie disphenoid
• Triaugmented Dreiecksprisma
• Der Gyroelongated Square dipyramid.

Festkörper von Johnson

Norman Johnson hat gesucht, welche konvexe ungleichförmige Polyeder regelmäßige Gesichter hatten. 1966 hat er eine Liste von 92 solchen Festkörpern veröffentlicht, hat ihnen Namen und Zahlen gegeben und hat vermutet, dass es keine anderen gab. Victor Zalgaller hat 1969 bewiesen, dass die Liste dieser Festkörper von Johnson abgeschlossen war.

Andere wichtige Familien von Polyedern

Pyramiden

Pyramiden schließen einige der altehrwürdigsten und berühmte von allen Polyedern ein.

Stellations und facettings

Stellation eines Polyeders ist der Prozess, die Gesichter zu erweitern (innerhalb ihrer Flugzeuge), so dass sie sich treffen, um ein neues Polyeder zu bilden.

Es ist das genaue Gegenstück zum Prozess von facetting, der der Prozess von umziehenden Teilen eines Polyeders ist, ohne irgendwelche neuen Scheitelpunkte zu schaffen.

Zonohedra

Ein zonohedron ist ein konvexes Polyeder, wo jedes Gesicht ein Vieleck mit der Inversionssymmetrie oder, gleichwertig, Symmetrie unter Folgen durch 180 ° ist.

Polyeder von Toroidal

Ein toroidal Polyeder ist ein Polyeder mit einer Eigenschaft von Euler 0 oder kleiner, eine Ring-Oberfläche vertretend.

Zusammensetzungen

Polyedrische Zusammensetzungen werden als Zusammensetzungen von zwei oder mehr Polyedern gebildet.

Diese Zusammensetzungen teilen häufig dieselben Scheitelpunkte wie andere Polyeder und werden häufig durch stellation gebildet. Einige werden in der Liste von Polyeder-Modellen von Wenninger verzeichnet.

Orthogonale Polyeder

Ein orthogonales Polyeder ist ein alle treffen sich dessen Gesichter rechtwinklig, und alle sind dessen Ränder zu Äxten eines Kartesianischen Koordinatensystems parallel. Beiseite von einem rechteckigen Kasten sind orthogonale Polyeder nichtkonvex. Sie sind die 3D-Analoga von 2. orthogonalen Vielecken, auch bekannt als geradlinigen Vielecken. Orthogonale Polyeder werden in der rechenbetonten Geometrie verwendet, wo ihre gezwungene Struktur Fortschritte auf Problemen ermöglicht hat, die für willkürliche Polyeder ungelöst sind, zum Beispiel die Oberfläche eines Polyeders zu einem polygonalen Netz entfaltend.

Verallgemeinerungen von Polyedern

Der Name 'Polyeder' ist gekommen, um für eine Vielfalt von Gegenständen verwendet zu werden, die ähnliche Struktureigenschaften zu traditionellen Polyedern haben.

Apeirohedra

Eine klassische polyedrische Oberfläche umfasst begrenzte, begrenzte Flugzeug-Gebiete, hat sich Paaren entlang Rändern angeschlossen. Wenn sich solch eine Oberfläche unbestimmt ausstreckt, wird es einen apeirohedron genannt. Beispiele schließen ein:

• Tilings oder tessellations des Flugzeugs.
• Einem Schwamm ähnliche Strukturen haben unendlich genannt verdrehen Polyeder.

Siehe auch: Apeirogon - unendliches regelmäßiges Vieleck: { }\

Komplizierte Polyeder

Ein kompliziertes Polyeder ist dasjenige, das in kompliziertem 3-Räume-Hilbert gebaut wird. Dieser Raum hat sechs Dimensionen: Drei echte entsprechend dem gewöhnlichen Raum, mit jedem, der durch eine imaginäre Dimension begleitet ist. Sieh zum Beispiel Coxeter (1974).

Gekrümmte Polyeder

Einige Studienfächer erlauben Polyedern, Gesichter und Ränder gebogen zu haben.

Kugelförmige Polyeder

Die Oberfläche eines Bereichs kann durch Liniensegmente in begrenzte Gebiete geteilt werden, um ein kugelförmiges Polyeder zu bilden. Viel von der Theorie von symmetrischen Polyedern wird auf diese Weise am günstigsten abgeleitet.

Kugelförmige Polyeder haben eine lange und anständige Geschichte:

• Die ersten bekannten künstlichen Polyeder sind kugelförmige im Stein geschnitzte Polyeder.
• Poinsot hat kugelförmige Polyeder verwendet, um die vier regelmäßigen Sternpolyeder zu entdecken.
• Coxeter hat sie verwendet, um alle außer einem der gleichförmigen Polyeder aufzuzählen.

Einige Polyeder, wie hosohedra und dihedra, bestehen nur als kugelförmige Polyeder und haben keine geWohnungssehene Entsprechung.

Gebogene spacefilling Polyeder

Zwei wichtige Typen sind:

• Luftblasen im Schaum und Schaum, wie Luftblasen von Weaire-Phelan.
• Formen von Spacefilling in der Architektur verwendet. Sieh zum Beispiel Pearce (1978).

Allgemeine Polyeder

Mehr kürzlich hat Mathematik ein Polyeder als ein Satz in echtem affine (oder Euklidisch) Raum jedes dimensionalen n definiert, der flache Seiten hat. Es kann als die Vereinigung einer begrenzten Zahl von konvexen Polyedern wechselweise definiert werden, wo ein konvexes Polyeder jeder Satz ist, der die Kreuzung einer begrenzten Zahl von Halbräumen ist. Es kann begrenzt oder unbegrenzt werden. In dieser Bedeutung ist ein polytope ein begrenztes Polyeder.

Analytisch wird solch ein konvexes Polyeder als der Lösungssatz für ein System der geradlinigen Ungleichheit ausgedrückt. Das Definieren von Polyedern stellt auf diese Weise eine geometrische Perspektive für Probleme in der Geradlinigen Programmierung zur Verfügung.

Viele traditionelle polyedrische Formen sind allgemeine Polyeder. Andere Beispiele schließen ein:

• Ein Quadrant im Flugzeug. Zum Beispiel, das Gebiet des kartesianischen Flugzeugs, das aus allen Punkten über der horizontalen Achse und rechts von der vertikalen Achse besteht: {(x, y): x  0, y  0\. Seine Seiten sind die zwei positiven Äxte.
• Ein Oktant im Euklidischen 3-Räume-, {(x, y, z): x  0, y  0, z  0\.
• Ein Prisma des unendlichen Ausmaßes. Zum Beispiel hat ein doppelt unendliches Quadratprisma im 3-Räume-, aus einem Quadrat im xy-plane bestehend, entlang der Z-Achse gekehrt: {(x, y, z): 0  x  1, 0  y  1\.
• Jede Zelle in Voronoi tessellation ist ein konvexes Polyeder. In Voronoi tessellation eines Satzes S wird die Zelle entsprechend einem Punkt cS begrenzt (folglich ein traditionelles Polyeder), wenn c im Interieur des konvexen Rumpfs von S, und sonst liegt (wenn c auf der Grenze des konvexen Rumpfs von S liegt) A, ist unbegrenzt.

Höhle-gesehene oder Skelettpolyeder

Es ist nicht notwendig, sich angesichts einer Zahl zu füllen, bevor wir es ein Polyeder nennen können. Zum Beispiel hat Leonardo da Vinci Rahmenmodelle der regelmäßigen Festkörper ausgedacht, die er für das Buch von Pacioli Divina Proportione angezogen hat. In modernen Zeiten hat Branko Grünbaum (1994) eine spezielle Studie dieser Klasse von Polyedern gemacht, in denen er eine frühe Idee von abstrakten Polyedern entwickelt hat. Er hat ein Gesicht als ein zyklisch bestellter Satz von Scheitelpunkten definiert, und hat Gesichtern erlaubt zu sein verdrehen sowie planar.

Nichtgeometrische Polyeder

Wie man

gefunden hat, haben verschiedene mathematische Konstruktionen Eigenschaften gehabt auch präsentieren in traditionellen Polyedern.

Topologische Polyeder

Ein topologischer polytope ist ein topologischer Raum, der zusammen mit einer spezifischen Zergliederung in Gestalten gegeben ist, die zu konvexem polytopes topologisch gleichwertig sind, und die einander auf eine regelmäßige Weise beigefügt werden.

Solch eine Zahl wird simplicial genannt, wenn jedes seiner Gebiete ein Simplex ist, d. h. in einem n-dimensional Raum jedes Gebiet n+1 Scheitelpunkte hat. Der Doppel-von einem simplicial polytope wird einfach genannt. Ähnlich ist eine weit studierte Klasse von polytopes (Polyeder) die von kubischen Polyedern, wenn der grundlegende Baustein ein n-dimensional Würfel ist.

Abstrakte Polyeder

Ein abstraktes Polyeder ist ein teilweise bestellter Satz (poset) von Elementen, deren teilweise Einrichtung bestimmten Regeln folgt. Theorien unterscheiden sich im Detail, aber im Wesentlichen entsprechen die Elemente des Satzes dem Körper, den Gesichtern, den Rändern und den Scheitelpunkten des Polyeders. Der leere Satz entspricht dem ungültigen polytope oder nullitope, der einen dimensionality 1 hat. Diese posets gehören der größeren Familie des Auszugs polytopes in jeder Zahl von Dimensionen.

Polyeder als Graphen

Jedes Polyeder verursacht einen Graphen oder Skelett, mit entsprechenden Scheitelpunkten und Rändern. So können Graph-Fachsprache und Eigenschaften auf Polyeder angewandt werden. Zum Beispiel:

• Wegen des Lehrsatzes von Steinitz sind konvexe Polyeder in der isomorphen Ähnlichkeit mit 3-verbundenen planaren Graphen.
• Das Tetraeder verursacht einen ganzen Graphen (K). Es ist das einzige Polyeder, um so zu tun.
• Das Oktaeder verursacht einen stark regelmäßigen Graphen, weil angrenzende Scheitelpunkte immer zwei allgemeine Nachbarn haben, und nichtangrenzende Scheitelpunkte vier haben.
• Die Archimedean Festkörper verursachen regelmäßige Graphen: 7 der Festkörper von Archimedean sind des Grads 3, 4 des Grads 4, und die restlichen 2 sind chiral Paare des Grads 5.

Geschichte

Vorgeschichte

In Gestalten geschnitzte Steine, den symmetries von verschiedenen Polyedern zeigend, sind in Schottland gefunden worden und können nicht weniger als 4,000 Jahre alt sein. Diese Steine zeigen nicht nur die Form von verschiedenem symmetrischem polyehdra, sondern auch die Beziehungen der Dualität unter einigen von ihnen (d. h. dass die Zentren der Gesichter des Würfels die Scheitelpunkte eines Oktaeders, und so weiter geben). Beispiele dieser Steine sind auf der Anzeige im Zimmer von John Evans des Ashmolean Museums an der Universität Oxford. Es ist unmöglich zu wissen, warum diese Gegenstände gemacht wurden, oder wie der Bildhauer die Inspiration für sie gewonnen hat.

Andere Polyeder haben natürlich ihr Zeichen in der Architektur — Würfel und cuboids gemacht offensichtliche Beispiele mit den frühsten vierseitigen Pyramiden des alten Ägyptens zu sein, das auch von der Steinzeit datiert.

Die Etrusker sind den Griechen in ihrem Bewusstsein mindestens einiger der regelmäßigen Polyeder, wie gezeigt, durch die Entdeckung in der Nähe von Padua (im Nördlichen Italien) gegen Ende des 19. Jahrhunderts eines Dodekaeders vorangegangen, das aus dem Speckstein und Zurückgehen mehr als 2,500 Jahre (Lindemann, 1987) gemacht ist. Kristalle von Pyritohedric werden im nördlichen Italien gefunden.

Griechen

Die frühsten bekannten schriftlichen Aufzeichnungen dieser Gestalten kommen aus Klassischen griechischen Autoren, die auch die erste bekannte mathematische Beschreibung von ihnen gegeben haben. Die früheren Griechen haben sich in erster Linie für die konvexen regelmäßigen Polyeder interessiert, die gekommen sind, um als die Platonischen Festkörper bekannt zu sein. Pythagoras hat mindestens drei über sie und Theaetetus gewusst (um 417 B. C.) hat alle fünf beschrieben. Schließlich hat Euklid ihren Aufbau in seinen Elementen beschrieben. Später hat Archimedes seine Studie zu den konvexen gleichförmigen Polyedern ausgebreitet, die jetzt seinen Namen tragen. Seine ursprüngliche Arbeit wird verloren, und seine Festkörper laufen auf uns durch Pappus hinaus.

Chinesisch

Durch 236 n.Chr., in chinesischem Liu Hui beschrieb das Sezieren des Würfels in sein charakteristisches Tetraeder (orthoscheme) und hat Festkörper mit dem Zusammenbau dieser Festkörper als die Basis verbunden, um Volumina der während Technikausgrabungen zu bewegenden Erde zu berechnen.

Islamisch

Nach dem Ende des Klassischen Zeitalters haben Gelehrte in der islamischen Zivilisation fortgesetzt, die griechischen Kenntnisse vorwärts zu nehmen (sieh Mathematik im mittelalterlichen Islam).

Der Gelehrte des 9. Jahrhunderts Thabit ibn Qurra hat Formeln gegeben, für die Volumina von Polyedern wie gestutzte Pyramiden zu berechnen.

Dann im 10. Jahrhundert hat Abu'l Wafa die konvexen regelmäßigen und quasiregelmäßigen kugelförmigen Polyeder beschrieben.

Renaissance

Als mit anderen Gebieten des griechischen Gedankens, der aufrechterhalten und von islamischen Gelehrten erhöht ist, hat das Westinteresse an Polyedern während der italienischen Renaissance wieder zum Leben erwacht. Künstler haben Skelettpolyeder gebaut, sie vom Leben als ein Teil ihrer Untersuchungen der Perspektive zeichnend. Mehrere erscheinen in Marketerie-Tafeln der Periode. Piero della Francesca hat die erste schriftliche Beschreibung des direkten geometrischen Aufbaus solcher Perspektiveansichten von Polyedern gegeben. Leonardo da Vinci hat Skelettmodelle von mehreren Polyedern gemacht und hat Illustrationen von ihnen für ein Buch durch Pacioli gezogen. Eine Malerei von einem anonymen Künstler von Pacioli und einem pupli zeichnet ein Glas rhombicuboctahedron halbgefüllt mit Wasser.

Als die Renaissanceausbreitung außer Italien, später Künstler wie Wenzel Jamnitzer, haben Dürer und andere auch Polyeder von verschiedenen Arten, viele von ihnen Roman im fantasievollen Ätzen gezeichnet.

Sternpolyeder

Seit fast 2,000 Jahren, dem Konzept eines Polyeders weil war ein konvexer Festkörper, wie entwickelt, durch die alten griechischen Mathematiker geblieben.

Während der Renaissance wurden Sternformen entdeckt. Ein Marmor tarsia im Fußboden der Basilika von St. Markus, Venedigs, zeichnet ein stellated Dodekaeder. Künstler wie Wenzel Jamnitzer haben am Zeichnen neuartiger sternähnlicher Formen der zunehmenden Kompliziertheit Freude gehabt.

Johannes Kepler hat begriffen, dass Sternvielecke, normalerweise Pentagramme, verwendet werden konnten, um Sternpolyeder zu bauen. Einige dieser Sternpolyeder können vor der Zeit von Kepler entdeckt worden sein, aber er war erst, um zu erkennen, dass sie "regelmäßig" betrachtet werden konnten, wenn man die Beschränkung dass regelmäßiger polytopes entfernt hat, konvex sein. Später hat Louis Poinsot begriffen, dass Sternscheitelpunkt erscheint (Stromkreise um jede Ecke) kann auch verwendet werden, und hat die restlichen zwei regelmäßigen Sternpolyeder entdeckt. Cauchy hat die Liste von Poinsot abgeschlossen bewiesen, und Cayley hat ihnen ihre akzeptierten englischen Namen gegeben: (Kepler's) das kleine stellated Dodekaeder und große stellated Dodekaeder, und (Poinsot's) das große Ikosaeder und große Dodekaeder. Insgesamt werden sie die Kepler-Poinsot Polyeder genannt.

Die Kepler-Poinsot Polyeder können von den Platonischen Festkörpern durch genannten stellation eines Prozesses gebaut werden. Die meisten stellations sind nicht regelmäßig. Die Studie von stellations der Platonischen Festkörper wurde ein großer Stoß von H. S. M. Coxeter und anderen 1938, mit dem jetzt berühmten Papier Die 59 icosahedra gegeben. Diese Arbeit ist kürzlich (Coxeter, 1999) neu veröffentlicht worden.

Der gegenseitige Prozess zu stellation wird facetting (oder faceting) genannt. Jeder stellation eines polytope ist Doppel-, oder zu einem facetting des Doppelpolytope gegenseitig. Die regelmäßigen Sternpolyeder können auch durch facetting die Platonischen Festkörper erhalten werden. verzeichnet der einfachere facettings des Dodekaeders, und erwidert sie, um einen stellation des Ikosaeders zu entdecken, das vom berühmten "59" vermisst wurde. Mehr ist seitdem entdeckt worden, und die Geschichte wird noch nicht beendet.

Siehe auch:

• Regelmäßiges Polyeder: Geschichte
• Regelmäßiger polytope: Geschichte der Entdeckung.

Polyeder in der Natur

Für natürliche Ereignisse von regelmäßigen Polyedern, sieh Regelmäßiges Polyeder: Regelmäßige Polyeder in der Natur.

Unregelmäßige Polyeder erscheinen in der Natur als Kristalle.

Siehe auch

• Antiprisma
• Archimedean fester
• Bipyramid
• Polyeder-Notation von Conway (eine Notation, um Aufbau von Polyedern zu beschreiben)

,

• Defekt
• Deltahedron
• Deltohedron
• Escher
• Flexible Polyeder
• Johnson fester
• Kepler-Poinsot Polyeder
• Nahes Fräulein Johnson fester
• Netz (Polyeder)
• Platonischer fester
• Polychoron (4 dimensionale Entsprechungen Polyedern)
• Polyedrische Zusammensetzung
• Polyeder-Modelle
• Prisma
• Halbregelmäßiges Polyeder
• Diagramm von Schlegel
• Spidron
• Tessellation
• Trapezohedron
• Gleichförmiges Polyeder
• Fährmann-Polyeder
• Zonohedron
• Erweiterung eines Polyeders
• Coxeter, H.S.M.; regelmäßiger komplizierter Polytopes, TASSE (1974).
• Cromwell, P.; Polyeder, TASSE hbk (1997), pbk. (1999).
• Grünbaum, B.; Polyeder mit Hohlen Gesichtern, Proc der Konferenz der NATO-ASI für Polytopes... usw. (Toronto 1993), Hrsg. T. Bisztriczky u. a. Kluwer Akademisch (1994) Seiten 43-70.
• Grünbaum, B.; sind Ihre Polyeder dasselbe als meine Polyeder? Getrennt und comput. geom: der Goodman-Pollack festschrift, die Hrsg. Aronov u. a. Springer (2003) Seiten 461-488. (pdf)
• Pearce, P.; die Struktur in der Natur ist eine Strategie für das Design, MIT (1978)

Bücher auf Polyedern

Außenverbindungen

Allgemeine Theorie

• Polyeder-Seiten
• gleichförmige Lösung für gleichförmige Polyeder durch Dr Zvi Har'El
• Symmetrie, Kristalle und Polyeder
• Symmetrohedra: Polyeder vom symmetrischen Stellen von regelmäßigen Vielecken

Listen und Datenbanken von Polyedern

• Die gleichförmigen Polyeder
• Polyeder der virtuellen Realität - die Enzyklopädie von Polyedern
• Polyeder und Pyramiden
• Interaktive 3D-Polyeder in Java
• Elektronische Geometrie-Modelle - Enthalten nachgeprüfte Auswahl eines Gleichen an Polyedern mit ungewöhnlichen Eigenschaften.
• Origami-Polyeder - Modelle, die mit dem Modulorigami gemacht sind
• Polyeder-Sammlung - Verschiedene virtuelle und physische Polyeder-Modelle.
• Polyeder plaited mit Papierstreifen - Polyeder-Modelle ohne Gebrauch von Leim gebaut.
• Drehbare Polyeder-Modelle (verwendet Javascript)
• Drehbare sich selbstschneidende Polyeder (verwendet Java)
• Polyeder-Modelle - Virtuelle Polyeder

• Java Applets, um Sich Polyeder - Systematisch ausführliche gegebene Formeln Zu vergegenwärtigen!

Software

• Einige Polyeder - Eine interaktive und freie Sammlung von Polyedern in Java. Eigenschaften schließen Netze, planare Abteilungen, duals, Stutzungen und stellations von mehr als 300 Polyedern ein.
• Stella: Polyeder-Navigator - Software, um Polyeder zu erforschen und Netze für ihren physischen Aufbau zu drucken. Schließt gleichförmige Polyeder, stellations, Zusammensetzungen, Festkörper von Johnson usw. ein.
• Welt von Polyedern - Umfassende Polyeder im Blitz applet, Scheitelpunkte und Ränder (aber nicht beschattete Gesichter) zeigend
• Hyperraum-Stern Polytope Schneidmaschine - Forscher Java applet, schließt eine Vielfalt von 3. Zuschauer-Optionen ein.
• HEDRON Polyeder-Modellieren-Software
• Gleichförmige Polyeder Java Applets mit Quellen
• openSCAD. Freie Quer-Plattform-Software für Programmierer. Polyeder sind gerade eines der Dinge, die Sie modellieren können. Das openSCAD Benutzerhandbuch ist auch verfügbar.
• OpenVolumeMesh. Eine offene Quellquer-Plattform C ++ Bibliothek, um polyedrisches Ineinandergreifen zu behandeln. Entwickelt von Aachen Computer Graphics Group, RWTH Aachener Universität.

Mittel, um physische Modelle und Modelle zum Verkauf zu machen

• Das Bilden von Polyedern
• Papiermodelle von Polyedern Freie Netze von Polyedern
• Papiermodelle der Uniform (und anderer) Polyeder
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