In der Mathematik wird eine Funktion f definiert auf einem Satz X mit echten oder komplizierten Werten begrenzt genannt, wenn der Satz seiner Werte begrenzt wird. Mit anderen Worten, dort besteht eine reelle Zahl M

für den ganzen x in X.

Manchmal, wenn für den ganzen x in X, dann, wie man sagt, wird die Funktion oben durch A begrenzt. Andererseits, wenn für den ganzen x in X, dann, wie man sagt, wird die Funktion unten durch B begrenzt.

Das Konzept sollte mit diesem eines begrenzten Maschinenbedieners nicht verwirrt sein.

Ein wichtiger spezieller Fall ist eine begrenzte Folge, wo X genommen wird, um der Satz N von natürlichen Zahlen zu sein. So eine Folge f =

(

a,

a...)

wird begrenzt, wenn dort eine reelle Zahl M  M besteht

für jede natürliche Zahl n. Der Satz aller begrenzten Folgen, die mit einer Vektorraum-Struktur ausgestattet sind, bildet einen Folge-Raum.

Diese Definition kann zu Funktionen erweitert werden, die Werte in einem metrischen Raum Y nehmen. Solch eine Funktion f definiert auf einem Satz X wird begrenzt genannt, wenn für einige in Y dort eine reelle Zahl M besteht

für den ganzen x in X.

Wenn das der Fall ist, gibt es auch solch eine M für einander a durch die Dreieck-Ungleichheit.

Beispiele

• Die Funktion f:R  R definiert durch f (x) = Sünde x wird begrenzt. Die Sinusfunktion wird nicht mehr begrenzt, wenn sie über den Satz aller komplexen Zahlen definiert wird
• Die Funktion

::

definiert für den ganzen echten x abgesehen von −1 und 1 ist unbegrenzt. Da x näher an −1 oder an 1 wird, werden die Werte dieser Funktion größer und größer im Umfang. Diese Funktion kann begrenzt gemacht werden, wenn man denkt, dass sein Gebiet, zum Beispiel, ist

definiert für den ganzen echten x wird begrenzt.

• Jede dauernde Funktion f: [0,1] wird  R begrenzt. Das ist wirklich ein spezieller Fall einer allgemeineren Tatsache: Jede dauernde Funktion von einem Kompaktraum in einen metrischen Raum wird begrenzt.
• Die Funktion f, der den Wert 0 für die x rationale Zahl und 1 für die x irrationale Zahl nimmt, wird begrenzt. So braucht eine Funktion nicht "nett" zu sein, um begrenzt zu werden. Der Satz aller begrenzten Funktionen, die auf [0,1] definiert sind, ist viel größer als der Satz von dauernden Funktionen auf diesem Zwischenraum.