In der Rechnung, einem antiabgeleiteten, primitiven integrierten oder unbestimmten integrierten

einer Funktion ist f eine Funktion F, dessen Ableitung f, d. h., F  = f gleich ist. Der Prozess des Lösens für Antiableitungen wird Antiunterscheidung genannt (oder unbestimmte Integration), und seine entgegengesetzte Operation wird Unterscheidung genannt, die der Prozess ist, eine Ableitung zu finden. Antiableitungen sind mit bestimmten Integralen durch den Hauptsatz der Rechnung verbunden: Das bestimmte Integral einer Funktion über einen Zwischenraum ist dem Unterschied zwischen den Werten einer an den Endpunkten des Zwischenraums bewerteten Antiableitung gleich.

Die getrennte Entsprechung vom Begriff der Antiableitung ist Antiunterschied.

Beispiel

Die Funktion F (x) = x/3 ist eine Antiableitung von f (x) = x. Da die Ableitung einer Konstante Null ist, wird x eine unendliche Zahl von Antiableitungen haben; solcher als (x/3) + 0, (x/3) + 7, (x/3)  42, (x/3) + 293 usw. So können alle Antiableitungen von x durch das Ändern des Werts von C in F (x) = (x/3) + C erhalten werden; wo C eine willkürliche als die Konstante der Integration bekannte Konstante ist. Im Wesentlichen sind die Graphen von Antiableitungen einer gegebenen Funktion vertikale Übersetzungen von einander; die Position jedes Graphen abhängig von Wert von C.

In der Physik gibt die Integration der Beschleunigung Geschwindigkeit plus eine Konstante nach. Die Konstante ist der anfängliche Geschwindigkeitsbegriff, der nach der Einnahme der Ableitung der Geschwindigkeit verloren würde, weil die Ableitung eines unveränderlichen Begriffes Null ist. Dieses dasselbe Muster gilt für weitere Integrationen und Ableitungen der Bewegung (Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung, und so weiter).

Gebrauch und Eigenschaften

Antiableitungen sind wichtig, weil sie verwendet werden können, um bestimmte Integrale mit dem Hauptsatz der Rechnung zu schätzen: Wenn F eine Antiableitung der Integrable-Funktion f, dann ist:

:

Wegen dessen wird jede der ungeheuer vielen Antiableitungen einer gegebenen Funktion f manchmal das "allgemeine integrierte" oder "unbestimmte Integral" von f genannt und wird mit dem integrierten Symbol ohne Grenzen geschrieben:

:

Wenn F eine Antiableitung von f ist, und die Funktion f auf einem Zwischenraum definiert wird, dann unterscheidet sich jede andere Antiableitung G f von F durch eine Konstante: Dort besteht eine solche Nummer C dass G (x) = F (x) + C für den ganzen x. C wird die willkürliche Konstante der Integration genannt. Wenn das Gebiet von F eine zusammenhanglose Vereinigung von zwei oder mehr Zwischenräumen ist, dann kann eine verschiedene Konstante der Integration für jeden der Zwischenräume gewählt werden. Zum Beispiel

:

ist die allgemeinste Antiableitung auf seinem natürlichen Gebiet

Jede dauernde Funktion f hat eine Antiableitung, und eine Antiableitung F wird durch das bestimmte Integral von f mit der variablen oberen Grenze gegeben:

:

Das Verändern der niedrigeren Grenze erzeugt andere Antiableitungen (aber nicht notwendigerweise alle möglichen Antiableitungen). Das ist eine andere Formulierung des Hauptsatzes der Rechnung.

Es gibt viele Funktionen, deren Antiableitungen, wenn auch sie bestehen, in Bezug auf Elementarfunktionen (wie Polynome, Exponentialfunktionen, Logarithmen, trigonometrische Funktionen, umgekehrte trigonometrische Funktionen und ihre Kombinationen) nicht ausgedrückt werden können. Beispiele von diesen sind

:

Siehe auch Differenzialtheorie von Galois für eine ausführlichere Diskussion.

Techniken der Integration

Entdeckung von Antiableitungen von Elementarfunktionen ist häufig beträchtlich härter als Entdeckung ihrer Ableitungen. Für einige Elementarfunktionen ist es unmöglich, eine Antiableitung in Bezug auf andere Elementarfunktionen zu finden. Sieh den Artikel über Elementarfunktionen für die weitere Information.

Wir verfügen über verschiedene Methoden:

• die Linearität der Integration erlaubt uns, komplizierte Integrale in einfachere zu brechen
• Integration durch den Ersatz, der häufig mit der trigonometrischen Identität oder dem natürlichen Logarithmus verbunden ist
• Integration durch Teile, um Produkte von Funktionen zu integrieren
• die umgekehrte Kette herrscht über Methode, einen speziellen Fall der Integration durch den Ersatz
• die Methode von teilweisen Bruchteilen in der Integration erlaubt uns, alle vernünftigen Funktionen (Bruchteile von zwei Polynomen) zu integrieren
• der Algorithmus von Risch
• Integrale können auch in einem Tisch von Integralen nachgeschlagen werden

wenn

• wir mehrmals integrieren, können wir bestimmte zusätzliche Techniken verwenden, zum Beispiel doppelte Integrale und Polarkoordinaten, Jacobian und den Lehrsatz von Stokes zu sehen
• Computeralgebra-Systeme können verwendet werden, um einige oder die ganze Arbeit zu automatisieren, die an den symbolischen Techniken oben beteiligt ist, der besonders nützlich ist, wenn die algebraischen beteiligten Manipulationen sehr komplizierter oder langer sind
• wenn eine Funktion keine elementare Antiableitung hat (zum Beispiel, exp (-x)), kann seinem bestimmten Integral mit der numerischen Integration näher gekommen werden
• (Zeiten) zu rechnen, hat wiederholt, dass die Antiableitung einer Funktionsformel von Cauchy nützlich ist (vgl. Formel von Cauchy für die wiederholte Integration):

::

Antiableitungen von unterbrochenen Funktionen

Unterbrochene Funktionen können Antiableitungen haben. Während es noch geöffnete Fragen in diesem Gebiet gibt, ist es dass bekannt:

• Einige hoch pathologische Funktionen mit großen Sätzen von Diskontinuitäten können dennoch Antiableitungen haben.
• In einigen Fällen können die Antiableitungen solcher pathologischen Funktionen durch die Integration von Riemann gefunden werden, während in anderen Fällen diese Funktionen nicht Riemann integrable sind.

Das Annehmen, dass die Gebiete der Funktionen offene Zwischenräume sind:

• Ein notwendiger, aber nicht genügend, die Bedingung für eine Funktion f, um eine Antiableitung zu haben, besteht darin, dass f das Zwischenwerteigentum haben. D. h. wenn [a, b] ein Subzwischenraum des Gebiets von f ist und d jede reelle Zahl zwischen f (a) und f (b), dann f (c) = d für einen c zwischen a und b ist. Um das zu sehen, lassen Sie F eine Antiableitung von f sein und die dauernde Funktion g (x) = F (x) &minus zu denken; dx auf dem geschlossenen Zwischenraum [a, b]. Dann muss g entweder ein Maximum oder Minimum c im offenen Zwischenraum (a, b) und so 0 = g  (c) = f (c) &minus haben; d.
• Der Satz von Diskontinuitäten von f muss ein magerer Satz sein. Dieser Satz muss auch ein F-Sigma-Satz sein (da der Satz von Diskontinuitäten jeder Funktion dieses Typs sein muss). Außerdem für jeden mageren F-Sigma-Satz kann man etwas Funktion f bauen eine Antiableitung zu haben, die den gegebenen Satz als sein Satz von Diskontinuitäten hat.
• Wenn f eine Antiableitung hat, auf geschlossenen begrenzten Subzwischenräumen des Gebiets begrenzt wird und eine Reihe von Diskontinuitäten vom Maß von Lebesgue 0 hat, dann kann eine Antiableitung durch die Integration gefunden werden.
• Wenn f eine Antiableitung F auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b], dann für eine Wahl der Teilung hat

::

\begin {richten }\aus

\sum_ {i=1} ^n f (x_i^ *) (x_i-x_ {i-1}) & = \sum_ {i=1} ^n [F (x_i)-F (x_ {i-1})] \\

& = F (x_n)-F (x_0) = F (b)-F (ein)

\end {richten }\aus

</Mathematik>

:However, wenn f unbegrenzt ist, oder wenn f begrenzt wird, aber der Satz von Diskontinuitäten von f lässt positiven Lebesgue, eine verschiedene Wahl von Beispielpunkten messen, kann einen bedeutsam verschiedenen Wert für die Summe von Riemann, egal wie fein die Teilung geben. Sieh Beispiel 4 unten.

Einige Beispiele

:

damit ist daran nicht dauernd, aber hat die Antiableitung

:

damit. Da f auf geschlossenen begrenzten Zwischenräumen begrenzt wird und nur an 0 diskontinuierlich ist, kann die Antiableitung F durch die Integration erhalten werden:.

</li>

:

damit ist daran nicht dauernd, aber hat die Antiableitung

:

damit. Verschieden vom Beispiel 1, f (x) ist in jedem Zwischenraum unbegrenzt, der 0 enthält, so ist der integrierte Riemann unbestimmt.

</li>

:

hat eine Antiableitung

:

Der Satz von Diskontinuitäten von g ist genau der Satz. Da g auf geschlossenen begrenzten Zwischenräumen begrenzt wird und der Satz von Diskontinuitäten Maß 0 hat, kann die Antiableitung G durch die Integration gefunden werden.

</li>:

Ihm kann das gezeigt werden

:

für alle Werte x, wo die Reihe zusammenläuft, und dass der Graph von F (x) vertikale Tangente-Linien an allen anderen Werten von x hat. Insbesondere hat der Graph vertikale Tangente-Linien an allen Punkten im Satz.

Außerdem für den ganzen x, wo die Ableitung definiert wird. Hieraus folgt dass die umgekehrte Funktion differentiable überall und das ist

:

für den ganzen x im Satz, der im Zwischenraum dicht ist. So hat g eine Antiableitung G. Andererseits kann es nicht das wahr

sein:

seitdem für jede Teilung kann man Beispielpunkte für die Summe von Riemann vom Satz wählen, einen Wert von 0 für die Summe gebend. Hieraus folgt dass g eine Reihe von Diskontinuitäten des positiven Maßes von Lebesgue hat. Die Abbildung 1 auf dem Recht zeigt eine Annäherung an den Graphen von g (x), wo und die Reihe zu 8 Begriffen gestutzt ist. Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Annäherung an die Antiableitung G (x), auch gestutzt zu 8 Begriffen. Andererseits, wenn der integrierte Riemann von integriertem Lebesgue ersetzt wird, dann zeigen das Lemma von Fatou oder der beherrschte Konvergenz-Lehrsatz, dass g wirklich den Hauptsatz der Rechnung in diesem Zusammenhang befriedigt.

</li>:

Dann hat einen dichten Satz von Diskontinuitäten an und hat Antiableitung </li>

</ol>

Siehe auch

• Antiableitung (komplizierte Analyse)
• Listen von Integralen
• Symbolische Integration

Zeichen

• Einführung in die Klassische Echte Analyse, durch Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (sieh auch)
• Historischer Aufsatz auf der Kontinuität von Ableitungen, durch Dave L. Renfro;

http://groups.google.com/group/sci.math/msg/814be41b1ea8c024

Links

• Wolfram-Integrator — Gratis online symbolische Integration mit Mathematica
• Der mathematische Helfer im Web — symbolische Berechnung online. Erlaubt, in kleine Schritte zu integrieren (mit Hinweisen für den nächsten Schritt (Integration durch Teile, Ersatz, teilweise Bruchteile, Anwendung von Formeln und anderen), angetrieben durch Maxima
• Funktionsrechenmaschine von WIMS
• Integrierter
• "Das unbestimmte Integral oder antiabgeleitet" an der Khan-Akademie