Integration ist ein wichtiges Konzept in der Mathematik und, zusammen mit seinem Gegenteil, Unterscheidung, ist eine der zwei Hauptoperationen in der Rechnung. In Anbetracht einer Funktion f einer echten Variable x und eines Zwischenraums der echten Linie, des bestimmten integrierten

:

wird informell definiert, um das Gebiet des Gebiets im xy-plane zu sein, der durch den Graphen von f, der X-Achse und den vertikalen Linien begrenzt ist, und, solch, dass Gebiete über der Achse zur Summe beitragen, und das Gebiet unter der x Achse von der Summe Abstriche machen.

Der integrierte Begriff kann sich auch auf den Begriff der Antiableitung, eine Funktion F beziehen, dessen Ableitung die gegebene Funktion f ist. In diesem Fall wird es ein unbestimmtes Integral genannt und wird geschrieben:

:

Die in diesem Artikel besprochenen Integrale werden bestimmte Integrale genannt.

Die Grundsätze der Integration wurden unabhängig von Isaac Newton und Gottfried Leibniz gegen Ende des 17. Jahrhunderts formuliert. Durch den Hauptsatz der Rechnung, die sie unabhängig entwickelt haben, wird Integration mit der Unterscheidung verbunden: Wenn f eine dauernde reellwertige auf einem geschlossenen Zwischenraum definierte Funktion ist, dann, sobald eine Antiableitung F f bekannt ist, wird das bestimmte Integral von f über diesen Zwischenraum durch gegeben

:

Integrale und Ableitungen sind die grundlegenden Werkzeuge der Rechnung, mit zahlreichen Anwendungen in der Wissenschaft und Technik geworden. Die Gründer der Rechnung haben an das Integral als eine unendliche Summe von Rechtecken der unendlich kleinen Breite gedacht. Eine strenge mathematische Definition des Integrals wurde von Bernhard Riemann gegeben. Es basiert auf einem Begrenzungsverfahren, das dem Gebiet eines krummlinigen Gebiets durch das Brechen des Gebiets in dünne vertikale Platten näher kommt. Als sie im neunzehnten Jahrhundert begonnen haben, haben hoch entwickeltere Begriffe von Integralen begonnen zu erscheinen, wo der Typ der Funktion sowie des Gebiets, über das die Integration durchgeführt wird, verallgemeinert worden ist. Eine integrierte Linie wird für Funktionen von zwei oder drei Variablen definiert, und der Zwischenraum der Integration wird durch eine bestimmte Kurve ersetzt, die zwei Punkte auf dem Flugzeug oder im Raum verbindet. In einem Oberflächenintegral wird die Kurve durch ein Stück einer Oberfläche im dreidimensionalen Raum ersetzt.

Integrale von Differenzialformen spielen eine grundsätzliche Rolle in der modernen Differenzialgeometrie. Diese Generalisationen von Integralen sind zuerst aus den Bedürfnissen nach der Physik entstanden, und sie spielen eine wichtige Rolle in der Formulierung von vielen physischen Gesetzen, namentlich diejenigen der Elektrodynamik. Es gibt viele moderne Konzepte der Integration, unter diesen, das allgemeinste basiert auf der abstrakten mathematischen Theorie, die als Integration von Lebesgue bekannt ist, die von Henri Lebesgue entwickelt ist.

Geschichte

Vorrechnungsintegration

Integration kann schon zu Lebzeiten von das alte Ägypten ca verfolgt werden. 1800 v. Chr., mit Moskau Mathematische Papyrus-Demonstrieren-Kenntnisse einer Formel für das Volumen eines pyramidalen frustum. Die erste dokumentierte systematische Technik, die dazu fähig ist, Integrale zu bestimmen, ist die Methode der Erschöpfung des alten griechischen Astronomen Eudoxus (ca. 370 v. Chr.), der sich bemüht hat, Gebiete und Volumina dadurch zu finden, sie in eine unendliche Zahl von Gestalten zu zerbrechen, für die das Gebiet oder Volumen bekannt waren. Diese Methode wurde weiter entwickelt und von Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr. verwendet und verwendet, um Gebiete für Parabeln und eine Annäherung an das Gebiet eines Kreises zu berechnen. Ähnliche Methoden wurden in China um das 3. Jahrhundert n.Chr. von Liu Hui unabhängig entwickelt, der es verwendet hat, um das Gebiet des Kreises zu finden. Diese Methode wurde später im 5. Jahrhundert von chinesischen Mathematikern des Vaters-Und-Sohnes Zu Chongzhi und Zu Geng verwendet, um das Volumen eines Bereichs zu finden.

Der folgende Hauptschritt in der Integralrechnung ist aus Abbasid Kalifat gekommen, als der Mathematiker des 11. Jahrhunderts Ibn al-Haytham (bekannt als Alhazen in Europa) ausgedacht hat, was jetzt als das "Problem von Alhazen" bekannt ist, das zu einer Gleichung des vierten Grads in seinem Buch der Optik führt. Während er dieses Problem behoben hat, hat er mathematische Induktion angewandt, um die Formel für Summen der vierten Mächte durch eine Methode zu finden, die zu Summen von willkürlichen natürlichen Mächten verallgemeinert werden kann; dann hat er diese Formel verwendet, um das Volumen eines paraboloid zu finden (in der modernen Fachsprache, er hat ein Polynom des Grads 4 integriert). Einige Ideen von der Integralrechnung werden auch in Siddhanta Shiromani, einem Astronomie-Text des 12. Jahrhunderts vom Indianermathematiker Bhāskara II gefunden.

Die folgenden bedeutenden Fortschritte in der Integralrechnung haben nicht begonnen, bis zum 16. Jahrhundert zu erscheinen. In dieser Zeit haben die Arbeit von Cavalieri mit seiner Methode von indivisibles und Arbeit von Fermat, begonnen, die Fundamente der modernen Rechnung mit Cavalieri zu legen, der die Integrale von x bis zum Grad in der Quadratur-Formel von Cavalieri schätzt. Weitere Schritte wurden am Anfang des 17. Jahrhunderts durch die Handkarre und Torricelli gemacht, der die ersten Hinweise einer Verbindung zwischen Integration und Unterscheidung zur Verfügung gestellt hat. Handkarre hat den ersten Beweis des Hauptsatzes der Rechnung zur Verfügung gestellt. Wallis hat die Methode von Cavalieri, Rechenintegrale von x zu einer allgemeinen Macht, einschließlich negativer Mächte und Bruchmächte verallgemeinert.

Um dieselbe Zeit gab es auch sehr viel Arbeit, die durch japanische Mathematiker besonders durch Seki Kōwa wird tut. Er hat mehrere Beiträge nämlich in Methoden geleistet, Gebiete von Zahlen zu bestimmen, die Integrale verwenden, die Methode der Erschöpfung erweiternd.

Newton und Leibniz

Der Hauptfortschritt in der Integration ist im 17. Jahrhundert mit der unabhängigen Entdeckung des Hauptsatzes der Rechnung durch Newton und Leibniz gekommen. Der Lehrsatz demonstriert eine Verbindung zwischen Integration und Unterscheidung. Diese Verbindung, die mit der vergleichenden Bequemlichkeit der Unterscheidung verbunden ist, kann ausgenutzt werden, um Integrale zu berechnen. Insbesondere der Hauptsatz der Rechnung erlaubt, eine viel breitere Klasse von Problemen zu lösen. Gleich in der Wichtigkeit ist das umfassende mathematische Fachwerk, das sowohl Newton als auch Leibniz entwickelt haben. In Anbetracht des Namens unendlich kleine Rechnung hat es genaue Analyse von Funktionen innerhalb von dauernden Gebieten berücksichtigt. Dieses Fachwerk ist schließlich moderne Rechnung geworden, deren Notation für Integrale direkt von der Arbeit von Leibniz gezogen wird.

Das Formalisieren von Integralen

Während Newton und Leibniz eine systematische Annäherung an die Integration zur Verfügung gestellt haben, hat ihre Arbeit an einem Grad der Härte Mangel gehabt. Bischof Berkeley hat denkwürdig die verschwindende von Newton verwendete Zunahme angegriffen, sie "Geister von verstorbenen Mengen" nennend. Rechnung hat einen festeren Stand mit der Entwicklung von Grenzen erworben. Integration wurde zuerst mit Grenzen von Riemann streng formalisiert. Obwohl alle gesprungen sind, sind piecewise dauernde Funktionen Riemann integrable auf einem begrenzten Zwischenraum, nachher allgemeinere Funktionen wurden - besonders im Zusammenhang der Analyse von Fourier betrachtet - für den die Definition von Riemann nicht gilt, und Lebesgue eine verschiedene Definition des Integrals formuliert hat, das in der Maß-Theorie (ein Teilfeld der echten Analyse) gegründet ist. Andere Definitionen der Annäherungen des integrierten, sich ausstreckenden Riemanns und Lebesgues, wurden vorgeschlagen. Diese auf dem System der reellen Zahl gestützten Annäherungen sind diejenigen am üblichsten heute, aber alternative Annäherungen bestehen wie eine Definition des Integrals als der Standardteil einer unendlichen Summe von Riemann, die auf dem System der hyperreellen Zahl gestützt ist.

Historische Notation

Isaac Newton hat eine kleine vertikale Bar über einer Variable verwendet, um Integration anzuzeigen, oder hat die Variable innerhalb eines Kastens gelegt. Die vertikale Bar war mit leicht verwirrt oder, der Newton gepflegt hat, Unterscheidung anzuzeigen, und die Kasten-Notation für Drucker schwierig war sich zu vermehren, so wurden diese Notationen nicht weit angenommen.

Die moderne Notation für das unbestimmte Integral wurde von Gottfried Leibniz 1675 eingeführt . Er hat das integrierte Symbol, , aus dem Brief ſ (langer s) angepasst, summa eintretend (schriftlich als ſumma; Latein für "die Summe" oder "ganz"). Die moderne Notation für das bestimmte Integral, mit Grenzen oben und unter dem integrierten Zeichen, wurde zuerst von Joseph Fourier in Mémoires der französischen Akademie ungefähr 1819-20 verwendet, in seinem Buch von 1822 nachgedruckt .

Fachsprache und Notation

Der einfachste Fall, das Integral über x einer reellwertigen Funktion f (x), wird als geschrieben

:

Das integrierte Zeichen  vertritt Integration. Der dx zeigt an, dass wir über x integrieren; dx wird die Variable der Integration genannt. In der richtigen mathematischen Typografie wird der dx vom integrand durch einen Raum (wie gezeigt) getrennt. Einige Autoren verwenden einen aufrechten d (d. h. dx statt dx). Innerhalb des ... ist dx Ausdruck, um, genannt den integrand zu integrieren. In diesem Fall ist der integrand die Funktion f (x). Weil es kein angegebenes Gebiet gibt, wird das Integral ein unbestimmtes Integral genannt.

Wenn

wir über ein angegebenes Gebiet integrieren, sprechen wir von einem bestimmten Integral. Wenn man über ein Gebiet integriert, wird D als geschrieben

: oder wenn das Gebiet ein Zwischenraum [a, b] x ist;

Das Gebiet D oder der Zwischenraum [a, b] werden das Gebiet der Integration genannt.

Wenn eine Funktion ein Integral hat, wie man sagt, ist sie integrable. Im Allgemeinen kann der integrand eine Funktion von mehr als einer Variable sein, und das Gebiet der Integration kann ein Gebiet, Volumen, ein höheres dimensionales Gebiet oder sogar ein abstrakter Raum sein, der keine geometrische Struktur in keinem üblichen Sinn (wie ein Beispielraum in der Wahrscheinlichkeitstheorie) hat.

In der modernen arabischen mathematischen Notation, die auf Voruniversitätsniveaus der Ausbildung in der arabischen Welt zielt und vom Recht bis linken geschrieben wird, wird ein widerspiegeltes integriertes Symbol verwendet.

Die Variable der Integration dx hat verschiedene Interpretationen abhängig von der Theorie, die wird verwendet. Es kann als ausschließlich eine Notation gesehen werden, die anzeigt, dass x eine Platzhaltervariable der Integration ist; wenn das Integral als eine Summe von Riemann gesehen wird, ist dx ein Nachdenken der Gewichte oder Breiten d der Zwischenräume von x; in der Integration von Lebesgue und seinen Erweiterungen ist dx ein Maß; in der Sonderanalyse ist es ein unendlich kleiner; oder es kann als eine unabhängige mathematische Menge, eine Differenzialform gesehen werden. Mehr komplizierte Fälle können die Notation ein bisschen ändern. In der Notation von Leibniz wird dx eine unendlich kleine Änderung in x interpretiert, aber seine Interpretation hat an Härte schließlich Mangel. Dennoch ist die Notation von Leibniz die allgemeinste heute; und weil wenige Menschen im Bedürfnis nach der vollen Härte sind, wird sogar seine Interpretation noch in vielen Einstellungen verwendet.

Einführung

Integrale erscheinen in vielen praktischen Situationen. Wenn ein Schwimmbad mit einem flachen Boden rechteckig ist, dann von seiner Länge, Breite und Tiefe können wir das Volumen von Wasser leicht bestimmen, das es enthalten kann (um es zu füllen), das Gebiet seiner Oberfläche (um es zu bedecken), und die Länge seines Randes (zum Tau es). Aber wenn es mit einem rund gemachten Boden, allen diesen Mengen Aufruf nach Integralen oval ist. Praktische Annäherungen können für solche trivialen Beispiele genügen, aber Feinwerktechnik (jeder Disziplin) verlangt genaue und strenge Werte für diese Elemente.

Um anzufangen, denken Sie die Kurve zwischen und mit. Wir fragen:

:What ist das Gebiet unter der Funktion f, im Zwischenraum von 0 bis 1?

und nennen Sie das (noch unbekannt) Gebiet das Integral von f. Die Notation für dieses Integral wird sein

:

Als eine erste Annäherung, schauen Sie auf das Einheitsquadrat, das von den Seiten gegeben ist und und. Sein Gebiet ist genau 1. Da es ist, muss der wahre Wert des Integrals etwas weniger sein. Das Verringern der Breite der Annäherungsrechtecke soll ein besseres Ergebnis geben; so durchqueren Sie den Zwischenraum in fünf Schritten, das Verwenden der Annäherung weist 0, 1/5, 2/5, und so weiter zu 1 hin. Passen Sie einen Kasten für jeden Schritt mit der richtigen Endhöhe jedes Kurve-Stückes, so  (15),  (25), und so weiter dazu. Die Gebiete dieser Rechtecke summierend, bekommen wir eine bessere Annäherung für das gesuchte Integral, nämlich

:

Bemerken Sie, dass wir eine Summe von begrenzt vielen Funktionswerten von f nehmen, der mit den Unterschieden von zwei nachfolgenden Annäherungspunkten multipliziert ist. Wir können leicht sehen, dass die Annäherung noch zu groß ist. Das Verwenden von mehr Schritten erzeugt eine nähere Annäherung, aber wird nie genau sein: Die 5 Subzwischenräume durch zwölf, wie gezeichnet, ersetzend, werden wir einen ungefähren Wert für das Gebiet 0.6203 bekommen, der zu klein ist. Die Schlüsselidee ist der Übergang davon, begrenzt hinzuzufügen, dass viele Unterschiede von mit ihrer jeweiligen Funktion multiplizierten Annäherungspunkten zum Verwenden ungeheuer von vielen feine oder unendlich kleine Schritte schätzen.

Bezüglich der wirklichen Berechnung von Integralen ist der Hauptsatz der Rechnung, wegen Newtons und Leibniz, die grundsätzliche Verbindung zwischen den Operationen des Unterscheidens und der Integrierung. Angewandt auf die Quadratwurzel-Kurve, f (x) = x, sagt es, auf die Antiableitung zu schauen, und einfach F (1) &minus zu nehmen; F (0), wo 0 und 1 die Grenzen des Zwischenraums [0,1] sind. So wird der genaue Wert des Gebiets unter der Kurve formell als geschätzt

:

(Das ist ein Fall einer allgemeinen Regel, dass für, mit, die zusammenhängende Funktion, die so genannte Antiableitung ist)

Die Notation

:

stellt sich das Integral als eine belastete Summe vor, die durch den verlängerten s, von Funktionswerten, f (x) angezeigt ist, multipliziert mit unendlich kleinen Schritt-Breiten, den so genannten Differenzialen, die durch dx angezeigt sind. Das Multiplikationszeichen wird gewöhnlich weggelassen.

Historisch, nach dem Misserfolg von frühen Anstrengungen, infinitesimals streng zu interpretieren, hat Riemann formell Integrale als eine Grenze von belasteten Summen definiert, so dass der dx die Grenze eines Unterschieds (nämlich, die Zwischenraum-Breite) angedeutet hat. Mängel der Abhängigkeit von Riemann von Zwischenräumen und Kontinuität haben neuere Definitionen, besonders integrierter Lebesgue motiviert, der auf einer Fähigkeit gegründet wird, die Idee vom "Maß" auf viel flexiblere Weisen zu erweitern. So die Notation

:

bezieht sich auf eine belastete Summe, in der die Funktionswerte mit μ verteilt werden, der das jedem Wert zuzuteilende Gewicht misst. Hier zeigt A das Gebiet der Integration an.

Differenzialgeometrie, mit seiner "Rechnung auf Sammelleitungen" gibt die vertraute Notation noch eine andere Interpretation. Jetzt werden f (x) und dx eine Differenzialform, ein neuer Differenzialoperator d, bekannt, weil die Außenableitung eingeführt wird, und der Hauptsatz Lehrsatz von mehr General Stokes, wird

:

von dem der Lehrsatz von Green, der Abschweifungslehrsatz und der Hauptsatz der Rechnung folgen.

Mehr kürzlich sind infinitesimals mit der Strenge durch moderne Neuerungen wie Sonderanalyse wieder erschienen. Nicht nur verteidigen diese Methoden die Intuitionen der Pioniere; sie führen auch zu neuer Mathematik.

Obwohl es Unterschiede zwischen diesen Vorstellungen des Integrals gibt, gibt es beträchtliches Übergreifen. So kann das Gebiet der Oberfläche des ovalen Schwimmbades als eine geometrische Ellipse, eine Summe von infinitesimals, ein Riemann integriert, Lebesgue integriert, oder als eine Sammelleitung mit einer Differenzialform behandelt werden. Das berechnete Ergebnis wird dasselbe für alle sein.

Formelle Definitionen

Es gibt viele Wege, formell ein Integral, nicht zu definieren, von denen alle gleichwertig sind. Die Unterschiede bestehen größtenteils, um sich mit sich unterscheidenden speziellen Fällen zu befassen, die integrable laut anderer Definitionen, sondern auch gelegentlich aus pädagogischen Gründen nicht sein können. Die meistens verwendeten Definitionen des Integrals sind Integrale von Riemann und Integrale von Lebesgue.

Integrierter Riemann

Der integrierte Riemann wird in Bezug auf Summen von Riemann von Funktionen in Bezug auf markierte Teilungen eines Zwischenraums definiert. Lassen Sie [a, b], ein geschlossener Zwischenraum der echten Linie zu sein; dann ist eine markierte Teilung [a, b] eine begrenzte Folge

:

Das verteilt den Zwischenraum [a, b] in n von mir mit einem Inhaltsverzeichnis versehene Subzwischenräume, von denen jeder mit einem ausgezeichneten Punkt "markiert" wird. Eine Summe von Riemann einer Funktion f in Bezug auf solch eine markierte Teilung wird als definiert

:

so ist jeder Begriff der Summe das Gebiet eines Rechtecks mit der Höhe, die dem Funktionswert am ausgezeichneten Punkt des gegebenen Subzwischenraums und der Breite dasselbe als die Subzwischenraum-Breite gleich ist. Lassen Sie, die Breite des Subzwischenraums i zu sein; dann ist das Ineinandergreifen solch einer markierten Teilung die Breite des größten durch die Teilung gebildeten Subzwischenraums. Der Riemann, der einer Funktion f über den Zwischenraum [a, b] integriert ist, ist S wenn gleich:

:For bestehen alle dort solch dass, für jede markierte Teilung [a, b] mit dem Ineinandergreifen weniger als δ wir haben

::

Wenn die gewählten Anhängsel das Maximum (beziehungsweise, Minimum) Wert jedes Zwischenraums geben, wird die Summe von Riemann ein oberer (beziehungsweise, tiefer) Summe von Darboux, die nahe Verbindung zwischen dem Riemann integriert und integriertem Darboux andeutend.

Integrierter Lebesgue

Der integrierte Riemann wird für eine breite Reihe von Funktionen und Situationen nicht definiert, die in Anwendungen wichtig sind (und in der Theorie von Interesse sind). Zum Beispiel kann der integrierte Riemann Dichte leicht integrieren, um die Masse eines Stahlbalkens zu finden, aber kann keinen Stahlball anpassen, der darauf ruht. Das motiviert andere Definitionen, laut deren eine breitere Zusammenstellung von Funktionen integrable sind. Das Lebesgue Integral erreicht insbesondere große Flexibilität durch das Lenken der Aufmerksamkeit zu den Gewichten in der belasteten Summe.

Die Definition von Lebesgue integriert beginnt so mit einem Maß, μ. Im einfachsten Fall messen Lebesgue μ (A) eines Zwischenraums ist seine Breite, b − a, so dass integrierter Lebesgue mit dem (richtigen) integrierten Riemann zustimmt, wenn beide bestehen. In mehr komplizierten Fällen können die Sätze, die messen werden, ohne Kontinuität und keine Ähnlichkeit mit Zwischenräumen hoch gebrochen werden.

Um diese Flexibilität auszunutzen, kehren Integrale von Lebesgue die Annäherung an die belastete Summe um. Wie es stellt, ", Um den Riemann zu schätzen, der von f, Teilungen das Gebiet [a, b] in Subzwischenräume", während in integriertem Lebesgue integriert ist, "verteilt man tatsächlich die Reihe von f".

Eine einheitliche Methode definiert zuerst das Integral der Anzeigefunktion einer messbaren Menge durch:

:.

Das streckt sich durch die Linearität bis zu eine messbare einfache Funktion s aus, der nur eine begrenzte Zahl, n von verschiedenen nichtnegativen Werten erreicht:

:

\int s \, d\mu & {} = \int \left (\sum_ {i=1} ^ {n} a_i 1_ {A_i }\\Recht) \, d\mu \\

& {} = \sum_ {i=1} ^ {n} a_i\int 1_ {A_i} \, d\mu \\

& {} = \sum_ {i=1} ^ {n} a_i \mu (A_i)

\end {richten} </Mathematik> {aus}

(wo das Image unter der einfachen Funktion s der unveränderliche Wert a ist). So, wenn E eine messbare Menge ist, definiert man

:

Dann für jede nichtnegative messbare Funktion f definiert man

:

d. h. das Integral von f wird veranlasst, das Supremum aller Integrale von einfachen Funktionen zu sein, die weniger sind als oder gleich f.

Eine allgemeine messbare Funktion f wird in seine positiven und negativen Werte durch das Definieren gespalten

:

f^ + (x) &= \max (\{f (x), 0\}) &=& \begin {Fälle }\

f (x), & \text {wenn} f (x)> 0, \\

0, & \text {sonst, }\

\end {Fälle }\\\

F^-(x) &= \max (\{-f (x), 0\}) &=& \begin {Fälle }\

- f (x), & \text {wenn} f (x)

Schließlich ist f Lebesgue integrable wenn

:

und dann wird das Integral durch definiert

:

Wenn der Maß-Raum, auf dem die Funktionen definiert werden, auch ein lokal kompakter topologischer Raum ist (wie mit den reellen Zahlen R der Fall ist), Maßnahmen, die mit der Topologie in einem passenden Sinn vereinbar sind (Maßnahmen von Radon, von denen das Maß von Lebesgue ein Beispiel ist) und integriert in Bezug auf sie verschieden definiert werden kann, von den Integralen von dauernden Funktionen mit der Kompaktunterstützung anfangend. Genauer bilden die kompakt unterstützten Funktionen einen Vektorraum, der eine natürliche Topologie, und (Radon) trägt, kann Maß als irgendwelcher dauernd geradlinig funktionell auf diesem Raum definiert werden; der Wert eines Maßes an einer kompakt unterstützten Funktion ist dann auch definitionsgemäß das Integral der Funktion. Man fährt dann fort, das Maß (das Integral) zu allgemeineren Funktionen durch die Kontinuität auszubreiten, und definiert das Maß eines Satzes als das Integral seiner Anzeigefunktion. Das ist die Annäherung, die von und eine bestimmte Anzahl anderer Autoren genommen ist. Weil Details Maßnahmen von Radon sehen.

Andere Integrale

Obwohl die Integrale von Riemann und Lebesgue die am weitesten verwendeten Definitionen des Integrals sind, mehrere bestehen andere, einschließlich:

• Der Riemann-Stieltjes integriert, eine Erweiterung des integrierten Riemanns.
• Das Lebesgue-Stieltjes Integral, das weiter von Johann Radon entwickelt ist, der die Integrale von Riemann-Stieltjes und Lebesgue verallgemeinert.
• Das Daniell Integral, das Lebesgue integriertes und Lebesgue-Stieltjes Integral ohne die Abhängigkeit von Maßnahmen unterordnet.
• Der Haar, der integriert, für die Integration auf lokal kompakten topologischen Gruppen verwendet ist, die von Alfréd Haar 1933 vorgestellt sind.
• Das Henstock-Kurzweil Integral, das verschiedenartig von Arnaud Denjoy, Oskar Perron, und (am elegantesten als das Maß definiert ist, integriert) Jaroslav Kurzweil, und entwickelt von Ralph Henstock.
• Das Itō Integral und integrierter Stratonovich, die Integration in Bezug auf Halbmartingale wie Brownsche Bewegung definieren.
• Das Junge Integral, das eine Art in Bezug auf bestimmte Funktionen der unbegrenzten Schwankung integrierter Riemann-Stieltjes ist.
• Der raue Pfad integriert definiert für Funktionen, die mit einem zusätzlichen "rauen Pfad" Struktur ausgestattet sind, stochastische Integration sowohl gegen Halbmartingale als auch gegen Prozesse wie die unbedeutende Brownsche Bewegung verallgemeinernd.
• Die Transportfunktion

Eigenschaften

Linearität

• Die Sammlung von Riemann integrable Funktionen auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] bildet einen Vektorraum unter den Operationen der pointwise Hinzufügung und Multiplikation durch einen Skalar, und der Operation der Integration

::

:is ein geradliniger funktioneller auf diesem Vektorraum. So, erstens, wird die Sammlung von Integrable-Funktionen unter der Einnahme geradliniger Kombinationen geschlossen; und, zweitens, ist das Integral einer geradlinigen Kombination die geradlinige Kombination der Integrale,

::

• Ähnlich wird der Satz von reellwertigen Funktionen von Lebesgue integrable auf einem gegebenen Maß-Raum E mit dem Maß μ unter der Einnahme geradliniger Kombinationen geschlossen, und bilden Sie folglich einen Vektorraum und Lebesgue integrierter

::

:is ein geradliniger funktioneller auf diesem Vektorraum, so dass

::

• Denken Sie mehr allgemein den Vektorraum aller messbaren Funktionen auf einem Maß-Raum (E, μ), Werte in einem lokal kompakten ganzen topologischen Vektorraum V über ein lokal kompaktes topologisches Feld K, f nehmend: E  V. Dann kann man ein abstraktes Integrationskarte-Zuweisen jeder Funktion f ein Element V oder das Symbol , definieren

::

:that ist mit geradlinigen Kombinationen vereinbar. In dieser Situation hält die Linearität für den Subraum von Funktionen, deren integriert ein Element V (d. h. "begrenzt") ist. Die wichtigsten speziellen Fälle entstehen, wenn K R, C ist, oder eine begrenzte Erweiterung Feldes Q von p-adic Zahlen, und V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über K ist, und wenn K=C und V ein komplizierter Raum von Hilbert ist.

Linearität, zusammen mit einigen natürlichen Kontinuitätseigenschaften und Normalisierung für eine bestimmte Klasse von "einfachen" Funktionen, kann verwendet werden, um eine alternative Definition des Integrals zu geben. Das ist die Annäherung von Daniell für den Fall von reellwertigen Funktionen auf einem Satz X, verallgemeinert von Nicolas Bourbaki zu Funktionen mit Werten in einem lokal kompakten topologischen Vektorraum. Sieh für eine axiomatische Charakterisierung des Integrals.

Ungleichheit für Integrale

Mehrere allgemeine Ungleichheit hält für Funktionen von Riemann-Integrable definiert auf einem geschlossenen und begrenzten Zwischenraum [a, b] und kann zu anderen Begriffen von integrierten (Lebesgue und Daniell) verallgemeinert werden.

• Obere und niedrigere Grenzen. Eine Integrable-Funktion f auf [a, b], wird auf diesem Zwischenraum notwendigerweise begrenzt. So gibt es reelle Zahlen M und M so dass M  f&thinsp; (x)  M für den ganzen x in [a, b]. Da die niedrigeren und oberen Summen von f über [a, b] deshalb durch, beziehungsweise, M begrenzt werden (b &minus; a) und M (b &minus; a), hieraus folgt dass

::

• Ungleichheit zwischen Funktionen. Wenn f (x)  g (x) für jeden x in [a b] dann jede der oberen und niedrigeren Summen von f oben durch die oberen und niedrigeren Summen beziehungsweise g begrenzt wird. So

::

:This ist eine Generalisation der obengenannten Ungleichheit als M (b &minus; a) ist das Integral der unveränderlichen Funktion mit dem Wert M über [a, b].

:In-Hinzufügung, wenn die Ungleichheit zwischen Funktionen streng ist, dann ist die Ungleichheit zwischen Integralen auch streng. D. h. wenn f (x)

• Subzwischenräume. Wenn [c, d] ein Subzwischenraum [a, b] ist und f (x) für den ganzen x, dann nichtnegativ

ist::

• Produkte und absolute Werte von Funktionen. Wenn f und g zwei Funktionen dann sind, können wir ihre pointwise Produkte und Mächte und absolute Werte denken:

::

(fg) (x) = f (x) g (x), \; F^2 (x) = (f (x)) ^2, \; |f | (x) = |f (x) |. \, </math>

:If f ist Riemann-Integrable auf [a, b] dann dasselbe ist für |f und wahr

::

:Moreover, wenn f und g sowohl Riemann-Integrable dann f, g, als auch fg sind, sind auch Riemann-Integrable und

::

:This-Ungleichheit, die als die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz bekannt ist, spielt eine prominente Rolle in der Raumtheorie von Hilbert, wo die linke Seite als das Skalarprodukt von zwei Quadrat-Integrable-Funktionen f und g auf dem Zwischenraum [a, b] interpretiert wird.

• Die Ungleichheit von Hölder. Nehmen Sie an, dass p und q zwei reelle Zahlen, 1  p, q   mit 1/p + 1/q = 1 sind, und f und g zwei Funktionen von Riemann-Integrable sind. Dann sind die Funktionen f und g auch integrable, und die Ungleichheit von folgendem Hölder hält:

:

\left (\int \left|f (x) \right |^p \, dx \right) ^ {1/p} \left (\int\left|g (x) \right |^q \, dx\right) ^ {1/q}. </Mathematik>

:For p = q = 2, die Ungleichheit von Hölder wird die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz.

• Ungleichheit von Minkowski. Nehmen Sie an, dass p  1 eine reelle Zahl und f ist und g Funktionen von Riemann-Integrable sind. Dann sind f, g und f + g auch Riemann integrable, und die folgende Ungleichheit von Minkowski hält:

:

\left (\int \left|f (x) \right |^p \, dx \right) ^ {1/p} +

\left (\int \left|g (x) \right |^p \, dx \right) ^ {1/p}. </Mathematik>

: Eine Entsprechung dieser Ungleichheit für integrierten Lebesgue wird im Aufbau von L Räumen verwendet.

Vereinbarung

In diesem Abschnitt f ist eine reellwertige Funktion von Riemann-Integrable. Der integrierte

:

über einen Zwischenraum [a, b] wird wenn &lt definiert; b. Das bedeutet, dass die oberen und niedrigeren Summen der Funktion f auf einer Teilung bewertet werden, deren Werte x zunehmen. Geometrisch bedeutet das, dass Integration "verlassen zum Recht" stattfindet, f innerhalb von Zwischenräumen [x&thinsp bewertend; x] wo ein Zwischenraum mit einem höheren Index rechts von einem mit einem niedrigeren Index liegt. Die Werte a und b, die Endpunkte des Zwischenraums, werden die Grenzen der Integration von f genannt. Integrale können auch wenn definiert werden:

• Das Umkehren von Grenzen der Integration. Wenn dann definieren

::

Das, damit, bezieht ein:

• Integrale über Zwischenräume der Länge-Null. Wenn einer reellen Zahl dann zu sein

::

Die erste Tagung ist in Anbetracht der Einnahme von Integralen über Subzwischenräume dessen notwendig; das zweite sagt, dass ein Integral übernommen ein degenerierter Zwischenraum oder ein Punkt, Null sein sollte. Ein Grund für die erste Tagung besteht darin, dass der integrability von f auf einem Zwischenraum andeutet, dass f integrable auf jedem Subzwischenraum ist, aber in besonderen Integralen haben das Eigentum dass:

• Additivität der Integration auf Zwischenräumen. Wenn c ein Element [a, b], dann ist

::

Mit der ersten Tagung die resultierende Beziehung

:

\int_a^c f (x) \, dx & {} = \int_a^b f (x) \, dx - \int_c^b f (x) \, dx \\

& {} = \int_a^b f (x) \, dx + \int_b^c f (x) \, dx

\end {richten} </Mathematik> {aus}ist

dann für jede zyklische Versetzung von a, b, und c bestimmt.

Anstatt den obengenannten als Vereinbarung anzusehen, kann man auch den Gesichtspunkt annehmen, dass Integration von Differenzialformen auf orientierten Sammelleitungen nur durchgeführt wird. Wenn M solch eine orientierte M dimensionale Sammelleitung ist, und M dieselbe Sammelleitung mit der gegensätzlichen Orientierung ist und ω eine M Form ist, dann hat man:

:

Diese Vereinbarung entspricht Interpretation des integrand als eine Differenzialform, die über eine Kette integriert ist. In der Maß-Theorie, im Vergleich, interpretiert man den integrand als eine Funktion f in Bezug auf ein Maß und integriert über eine Teilmenge A ohne jeden Begriff der Orientierung; man schreibt, um Integration über eine Teilmenge A anzuzeigen. Das ist eine geringe Unterscheidung in einer Dimension, aber wird feiner auf höheren dimensionalen Sammelleitungen; sieh Differenzialform: Beziehung mit Maßnahmen für Details.

Hauptsatz der Rechnung

Der Hauptsatz der Rechnung ist die Behauptung, dass Unterscheidung und Integration inverse Betriebe sind: Wenn eine dauernde Funktion zuerst integriert und dann unterschieden wird, wird die ursprüngliche Funktion wiederbekommen. Eine wichtige Folge, manchmal genannt den zweiten Hauptsatz der Rechnung, erlaubt, Integrale durch das Verwenden einer Antiableitung der Funktion zu schätzen, integriert zu werden.

Behauptungen von Lehrsätzen

• Hauptsatz der Rechnung. Lassen Sie f eine dauernde reellwertige Funktion sein, die auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] definiert ist. Lassen Sie F die Funktion definiert, für den ganzen x in [a, b] durch sein

:

Dann ist F auf [a, b], differentiable auf dem offenen Zwischenraum und dauernd

:

für den ganzen x in (a, b).

• Der zweite Hauptsatz der Rechnung. Lassen Sie f eine reellwertige Funktion sein, die auf einem geschlossenen Zwischenraum [a, b] definiert ist, der eine Antiableitung g darauf zulässt. D. h. f und g sind Funktionen solch das für den ganzen x in,

:

Wenn f integrable auf dann ist

:

Erweiterungen

Unpassende Integrale

Ein "richtiger" integrierter Riemann nimmt an, dass der integrand definiert und auf einem geschlossenen und begrenzten Zwischenraum begrenzt wird, der durch die Grenzen der Integration eingeklammert ist. Ein unpassendes Integral kommt vor, wenn ein oder mehr von diesen Bedingungen nicht zufrieden ist. In einigen Fällen können solche Integrale durch das Betrachten der Grenze einer Folge von richtigen Integralen von Riemann auf progressiv größeren Zwischenräumen definiert werden.

Wenn der Zwischenraum zum Beispiel an seinem oberen Ende unbegrenzt ist, dann ist das unpassende Integral die Grenze, als dieser Endpunkt zur Unendlichkeit geht.

:

Wenn der integrand nur definiert oder auf einem halb offenen Zwischenraum zum Beispiel begrenzt wird (a, b], andererseits kann eine Grenze ein begrenztes Ergebnis zur Verfügung stellen.

:

D. h. das unpassende Integral ist die Grenze von richtigen Integralen, weil sich ein Endpunkt des Zwischenraums der Integration entweder einer angegebenen reellen Zahl oder , oder &minus; nähert. In mehr komplizierten Fällen sind Grenzen an beiden Endpunkten, oder an Innenpunkten erforderlich.

Betrachten Sie zum Beispiel, die Funktion als integriert von 0 bis  (gezeigt Recht). An tiefer bestimmtem weil geht x zu 0 die Funktion geht zu , und das gebundene obere ist selbst , obwohl die Funktion zu 0 geht. So ist das ein doppelt unpassendes Integral. Integriert, sagen wir, von 1 bis 3 genügt eine gewöhnliche Summe von Riemann, um ein Ergebnis &pi;/6 zu erzeugen. Um von 1 bis  zu integrieren, ist eine Summe von Riemann nicht möglich. Jedoch gibt irgendwelcher begrenzt ober bestimmt, sagen t (damit), ein bestimmtes Ergebnis. Das hat eine begrenzte Grenze, als t zur Unendlichkeit, nämlich &pi;/2 geht. Ähnlich erlaubt das Integral von 1/3 bis 1 eine Summe von Riemann ebenso, zusammenfallend wieder &pi;/6 erzeugend. Das Ersetzen 1/3 durch einen willkürlichen positiven Wert s (damit) ist ebenso sicher, gebend. Das hat auch eine begrenzte Grenze, als s zur Null, nämlich &pi;/2 geht. Die Grenzen der zwei Bruchstücke verbindend, ist das Ergebnis dieses unpassenden Integrals

:

\int_ {0} ^ {\\infty} \frac {dx} {(x+1) \sqrt {x}} & {} = \lim_ {s \to 0} \int_ {s} ^ {1} \frac {dx} {(x+1) \sqrt {x} }\

+ \lim_ {t \to \infty} \int_ {1} ^ {t} \frac {dx} {(x+1) \sqrt {x}} \\

& {} = \lim_ {s \to 0} \left (\frac {\\Pi} {2} - 2 \arctan {\\sqrt {s}} \right)

+ \lim_ {t \to \infty} \left (2 \arctan {\\sqrt {t}} - \frac {\\Pi} {2} \right) \\

& {} = \frac {\\Pi} {2} + \left (\pi - \frac {\\Pi} {2} \right) \\

& {} = \frac {\\Pi} {2} + \frac {\\Pi} {2} \\

& {} = \pi.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Dieser Prozess versichert Erfolg nicht; eine Grenze kann scheitern zu bestehen oder kann unbegrenzt sein. Zum Beispiel über den begrenzten Zwischenraum 0 bis 1 läuft das Integral von 1/x nicht zusammen; und über den unbegrenzten Zwischenraum 1 zu  läuft das Integral dessen nicht zusammen.

Es kann auch geschehen, dass ein integrand an einem Innenpunkt unbegrenzt ist, in welchem Fall das Integral an diesem Punkt gespalten werden muss, und die Grenze-Integrale an beiden Seiten bestehen müssen und begrenzt werden müssen. So

:

\int_ {-1} ^ {1} \frac {dx} {\\sqrt [3] {x^2}} & {} = \lim_ {s \to 0} \int_ {-1} ^ {-s} \frac {dx} {\\sqrt [3] {x^2} }\

+ \lim_ {t \to 0} \int_ {t} ^ {1} \frac {dx} {\\sqrt [3] {x^2}} \\

& {} = \lim_ {s \to 0} 3 (1-\sqrt [3] {s}) + \lim_ {t \to 0} 3 (1-\sqrt [3] {t}) \\

& {} = 3 + 3 \\

& {} = 6.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Aber der ähnliche integrierte

:

kann ein Wert auf diese Weise nicht zugeteilt werden, weil die Integrale oben und unter Null nicht unabhängig zusammenlaufen. (Sieh jedoch Hauptwert von Cauchy.)

Vielfache Integration

Integrale können Gebiete außer Zwischenräumen übernommen werden. Im Allgemeinen wird ein Integral über einen Satz E einer Funktion f geschrieben:

:

Hier braucht x keine reelle Zahl zu sein, aber kann eine andere passende Menge zum Beispiel sein, ein Vektor im Lehrsatz von R. Fubini zeigt, dass solche Integrale als ein wiederholtes Integral umgeschrieben werden können. Mit anderen Worten kann das Integral durch die Integrierung einer Koordinate auf einmal berechnet werden.

Da das bestimmte Integral einer positiven Funktion einer Variable das Gebiet des Gebiets zwischen dem Graphen der Funktion und der X-Achse vertritt, vertritt das doppelte Integral einer positiven Funktion von zwei Variablen das Volumen des Gebiets zwischen der Oberfläche, die durch die Funktion und dem Flugzeug definiert ist, das sein Gebiet enthält. (Dasselbe Volumen kann über das dreifache Integral - das Integral einer Funktion in drei Variablen - der unveränderlichen Funktion f (x, y, z) = 1 über das obengenannte erwähnte Gebiet zwischen der Oberfläche und dem Flugzeug erhalten werden.), Wenn die Zahl von Variablen höher ist, dann vertritt das Integral ein Hypervolumen, ein Volumen eines Festkörpers von mehr als drei Dimensionen, die nicht grafisch dargestellt werden können.

Zum Beispiel, das Volumen des cuboid von Seiten 4 &times; 6 &times; 5 kann auf zwei Weisen erhalten werden:

• Durch den doppelten integrierten

::

: der Funktion f (x, y) = 5 hat in Gebiet D im xy-plane gerechnet, der die Basis des cuboid ist. Zum Beispiel, wenn eine rechteckige Basis solch eines cuboid über die xy Ungleichheit 3  x  7, 4  y  10 gegeben wird, liest unser über dem doppelten Integral jetzt

::

:From hier, Integration wird entweder in Bezug auf x oder in Bezug auf y zuerst geführt; in diesem Beispiel wird Integration zuerst in Bezug auf x getan, weil der Zwischenraum entsprechend x das innere Integral ist. Sobald die erste Integration über die Methode oder sonst vollendet wird, wird das Ergebnis wieder in Bezug auf die andere Variable integriert. Das Ergebnis wird zum Volumen unter der Oberfläche entsprechen.

• Durch den dreifachen integrierten

::

:of die unveränderliche Funktion 1 hat mit dem cuboid selbst gerechnet.

Linienintegrale

Das Konzept eines Integrals kann zu allgemeineren Gebieten der Integration, wie gebogene Linien und Oberflächen erweitert werden. Solche Integrale sind als Linienintegrale und Oberflächenintegrale beziehungsweise bekannt. Diese haben wichtige Anwendungen in der Physik, als wenn, sich mit Vektorfeldern befassend.

Eine Linie integriert (hat manchmal einen Pfad integriert genannt), ist ein Integral, wo die Funktion, integriert zu werden, entlang einer Kurve bewertet wird. Verschiedene verschiedene Linienintegrale sind im Gebrauch. Im Fall von einer geschlossenen Kurve wird es auch eine integrierte Kontur genannt.

Die Funktion, integriert zu werden, kann ein Skalarfeld oder ein Vektorfeld sein. Der Wert der integrierten Linie ist die Summe von Werten des Feldes an allen Punkten auf der Kurve, die durch etwas Skalarfunktion auf der Kurve (allgemein Kreisbogen-Länge oder, für ein Vektorfeld, das Skalarprodukt des Vektorfeldes mit einem Differenzialvektoren in der Kurve) beschwert ist. Diese Gewichtung unterscheidet die Linie, die von einfacheren auf Zwischenräumen definierten Integralen integriert ist. Viele einfache Formeln in der Physik haben natürliche dauernde Analoga in Bezug auf Linienintegrale; zum Beispiel kann die Tatsache, dass Arbeit der Kraft, F, multipliziert mit der Versetzung, s gleich ist, (in Bezug auf Vektor-Mengen) als ausgedrückt werden:

:

Für einen Gegenstand, der ein Pfad in einem Vektorfeld wie ein elektrisches Feld- oder Schwerefeld vorankommt, wird die ganze geleistete Arbeit durch das Feld auf dem Gegenstand durch das Summieren der unterschiedlichen geleisteten Arbeit im Bewegen von dazu erhalten. Das gibt der Linie integrierten

:

Oberflächenintegrale

Ein Oberflächenintegral ist ein bestimmtes Integral übernommen eine Oberfläche (der ein gekrümmter Satz im Raum sein kann); davon kann als das doppelte integrierte Analogon der integrierten Linie gedacht werden. Die Funktion, integriert zu werden, kann ein Skalarfeld oder ein Vektorfeld sein. Der Wert des Oberflächenintegrals ist die Summe des Feldes an allen Punkten auf der Oberfläche. Das kann durch das Aufspalten der Oberfläche in Oberflächenelemente erreicht werden, die das Verteilen für Summen von Riemann zur Verfügung stellen.

Für ein Beispiel von Anwendungen von Oberflächenintegralen, denken Sie ein Vektorfeld v auf einer Oberfläche S; d. h. für jeden Punkt x in S, v (x) ist ein Vektor. Stellen Sie sich vor, dass wir eine Flüssigkeit haben, die S, solch fließt, dass v (x) die Geschwindigkeit der Flüssigkeit an x bestimmt. Der Fluss wird als die Menge von Flüssigkeit definiert, die S in der Einheitszeitdauer fließt. Um den Fluss zu finden, müssen wir das Punktprodukt von v mit der Einheitsoberfläche nehmen, die zu S an jedem Punkt normal ist, der uns ein Skalarfeld geben wird, das wir über die Oberfläche integrieren:

:

Der flüssige Fluss in diesem Beispiel kann von einer physischen Flüssigkeit wie Wasser oder Luft, oder vom elektrischen oder magnetischen Fluss sein. So haben Oberflächenintegrale Anwendungen in der Physik besonders mit der klassischen Theorie des Elektromagnetismus.

Integrale von Differenzialformen

Eine Differenzialform ist ein mathematisches Konzept in den Feldern der mehrvariablen Rechnung, der Differenzialtopologie und des Tensor. Die moderne Notation für die Differenzialform, sowie die Idee von den Differenzialformen als seiend die Keil-Produkte von Außenableitungen, die eine Außenalgebra bilden, wurde von Élie Cartan eingeführt.

Wir arbeiten am Anfang in einem offenen Satz in R.

Ein 0-Formen-wird definiert, um eine glatte Funktion f zu sein.

Wenn wir eine Funktion f mehr als eine M dimensionaler Subraum S von R integrieren, schreiben wir es als

:

(Die Exponenten sind Indizes, nicht Hochzahlen.) Wir können denken, dass dx durch dx formelle Gegenstände selbst, aber nicht Anhängsel ist, die angehangen sind, um Integrale wie Summen von Riemann aussehen zu lassen. Wechselweise können wir sie als covectors, und so ein Maß "der Dichte" (folglich integrable in einem allgemeinen Sinn) ansehen. Wir nennen den dx, …, dx grundlegende 1 Formen.

Wir definieren das Keil-Produkt, "", ein bilinearer "Multiplikations"-Maschinenbediener auf diesen Elementen, mit dem Wechseleigentum das

:

für alle Indizes a. Bemerken Sie, dass der Wechsel zusammen mit der Linearität und associativity einbezieht. Das stellt auch sicher, dass das Ergebnis des Keil-Produktes eine Orientierung hat.

Wir definieren den Satz aller dieser Produkte, um grundlegende 2 Formen zu sein, und ähnlich definieren wir den Satz von Produkten der Form dxdxdx, um grundlegende 3 Formen zu sein. Eine allgemeine K-Form ist dann eine belastete Summe von grundlegenden K-Formen, wo die Gewichte die glatten Funktionen f sind. Zusammen bilden diese einen Vektorraum mit grundlegenden K-Formen als die Basisvektoren und 0 Formen (glatte Funktionen) als das Feld von Skalaren. Das Keil-Produkt streckt sich dann bis zu K-Formen auf die natürliche Weise aus. Über R am grössten Teil von n kann covectors so linear unabhängig sein eine K-Form damit wird immer Null durch das Wechseleigentum sein.

Zusätzlich zum Keil-Produkt gibt es auch den abgeleiteten Außenmaschinenbediener d. Dieser Maschinenbediener stellt K-Formen zu (k+1) - Formen kartografisch dar. Für eine K-Form ω = f dx über R definieren wir die Handlung von d durch:

:

mit der Erweiterung auf allgemeine K-Formen, die geradlinig vorkommen.

Diese allgemeinere Annäherung berücksichtigt eine natürlichere koordinatenfreie Annäherung an die Integration auf Sammelleitungen. Es berücksichtigt auch eine natürliche Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Rechnung, genannt den Lehrsatz von Stokes, den wir als festsetzen können

:

wo ω eine allgemeine K-Form ist, und  Ω die Grenze des Gebiets Ω anzeigt. So, im Fall, dass ω ein 0-Formen- und Ω ist, ist ein geschlossener Zwischenraum der echten Linie, das nimmt zum Hauptsatz der Rechnung ab. Im Fall, dass ω eine 1 Form und Ω ist, ist ein zweidimensionales Gebiet im Flugzeug, der Lehrsatz nimmt zum Lehrsatz von Green ab. Ähnlich verwendende 2 Formen, und 3 Formen und Dualität von Hodge, wir können den Lehrsatz von Stokes und den Abschweifungslehrsatz erreichen. Auf diese Weise können wir sehen, dass Differenzialformen eine starke Vereinheitlichen-Ansicht von der Integration zur Verfügung stellen.

Summierungen

Die getrennte Entsprechung von der Integration ist Summierung. Summierungen und Integrale können auf dieselben Fundamente mit der Theorie von Integralen von Lebesgue oder Rechnung des zeitlichen Rahmens gestellt werden.

Methoden

Rechenintegrale

Die grundlegendste Technik, um bestimmte Integrale einer echter Variable zu schätzen, basiert auf dem Hauptsatz der Rechnung. Lassen Sie f (x) die Funktion von x sein, der über einen gegebenen Zwischenraum [a, b] zu integrieren ist. Dann finden Sie eine Antiableitung von f; d. h. eine Funktion F solch dass F' = f auf dem Zwischenraum. Vorausgesetzt dass die integrand und integriert keine Eigenartigkeiten auf dem Pfad der Integration, durch den Hauptsatz der Rechnung, haben

Das Integral ist nicht wirklich die Antiableitung, aber der Hauptsatz stellt eine Weise zur Verfügung, Antiableitungen zu verwenden, um bestimmte Integrale zu bewerten.

Der schwierigste Schritt ist gewöhnlich, die Antiableitung von f zu finden. Es ist selten möglich, auf eine Funktion flüchtig zu blicken und seine Antiableitung niederzuschreiben. Öfter ist es notwendig, eine der vielen Techniken zu verwenden, die entwickelt worden sind, um Integrale zu bewerten. Die meisten dieser Techniken schreiben ein Integral als ein verschiedenes um, das hoffentlich lenksamer ist. Techniken schließen ein:

• Integration durch den Ersatz
• Integration durch Teile
• Das Ändern der Ordnung der Integration
• Integration durch den trigonometrischen Ersatz
• Integration durch teilweise Bruchteile
• Integration durch Verminderungsformeln
• Integration mit parametrischen Ableitungen
• Integration mit der Formel von Euler
• Unterscheidung unter dem integrierten Zeichen
• Kontur-Integration

Abwechselnde Methoden bestehen, um kompliziertere Integrale zu schätzen. Viele nichtelementare Integrale können in einer Reihe von Taylor ausgebreitet werden und haben Begriff durch den Begriff integriert. Gelegentlich kann die resultierende unendliche Reihe analytisch summiert werden. Die Methode der Gehirnwindung mit G-Funktionen von Meijer kann auch verwendet werden, annehmend, dass der integrand als ein Produkt von G-Funktionen von Meijer geschrieben werden kann. Es gibt auch viele weniger allgemeine Weisen, bestimmte Integrale zu berechnen; zum Beispiel kann die Identität von Parseval verwendet werden, um ein Integral über ein rechteckiges Gebiet in eine unendliche Summe umzugestalten. Gelegentlich kann ein Integral durch einen Trick bewertet werden; für ein Beispiel davon, sieh integrierten Gaussian.

Die Berechnung von Volumina von Festkörpern der Revolution kann gewöhnlich mit der Plattenintegration oder Schale-Integration getan werden.

Spezifische Ergebnisse, die durch verschiedene Techniken ausgearbeitet worden sind, werden in der Liste von Integralen gesammelt.

Symbolische Algorithmen

Viele Probleme in der Mathematik, Physik und Technik schließen Integration ein, wo eine ausführliche Formel für das Integral gewünscht wird. Umfassende Tische von Integralen sind kompiliert und im Laufe der Jahre für diesen Zweck veröffentlicht worden. Mit der Ausbreitung von Computern haben sich viele Fachleuten, Pädagogen und Studenten Computeralgebra-Systemen zugewandt, die spezifisch entworfen werden, um schwierige oder langweilige Aufgaben einschließlich der Integration durchzuführen. Symbolische Integration ist eine der Motivationen für die Entwicklung der ersten derartigen Systeme wie Macsyma gewesen.

Eine mathematische Hauptschwierigkeit in der symbolischen Integration besteht darin, dass in vielen Fällen eine geschlossene Formel für die Antiableitung einer ziemlich einfach aussehenden Funktion nicht besteht. Zum Beispiel ist es bekannt, dass die Antiableitungen der Funktionen exp (x), x und in der geschlossenen Form nicht ausgedrückt werden können, die nur vernünftige und Exponentialfunktionen, Logarithmus, trigonometrische und umgekehrte trigonometrische Funktionen und die Operationen der Multiplikation und Zusammensetzung einschließt; mit anderen Worten ist keine der drei gegebenen Funktionen integrable in Elementarfunktionen, die die Funktionen sind, die von vernünftigen Funktionen, Wurzeln eines Polynoms, Logarithmus und Exponentialfunktionen gebaut werden können. Der Risch Algorithmus stellt ein allgemeines Kriterium zur Verfügung, um zu bestimmen, ob die Antiableitung einer Elementarfunktion elementar ist, und, wenn es ist, um es zu schätzen. Leider stellt es sich heraus, dass Funktionen mit geschlossenen Ausdrücken von Antiableitungen die Ausnahme aber nicht die Regel sind. Folglich haben computerisierte Algebra-Systeme keine Hoffnung auf das im Stande Sein, eine Antiableitung für eine zufällig gebaute Elementarfunktion zu finden. Auf der positiven Seite, wenn die 'Bausteine' für Antiableitungen im Voraus befestigt werden, kann es noch sein, möglich sein, zu entscheiden, ob die Antiableitung einer gegebenen Funktion mit diesen Blöcken und Operationen der Multiplikation und Zusammensetzung ausgedrückt werden kann, und die symbolische Antwort zu finden, wann auch immer es besteht. Der Risch Algorithmus, der in Mathematica und anderen Computeralgebra-Systemen durchgeführt ist, tut gerade, der für Funktionen und Antiableitungen von vernünftigen Funktionen, Radikalen, Logarithmus und Exponentialfunktionen gebaut hat.

Einige spezielle integrands kommen häufig genug vor, um spezielle Studie zu bevollmächtigen. Insbesondere es kann nützlich sein, im Satz von Antiableitungen, den speziellen Funktionen der Physik zu haben (wie die Funktionen von Legendre, die hypergeometrische Funktion, die Gammafunktion, die Unvollständige Gammafunktion und so weiter - sieh Symbolische Integration für mehr Details). Das Verlängern des Algorithmus von Risch, um solche Funktionen einzuschließen, ist möglich, aber schwierig und ist ein aktives Forschungsthema gewesen.

Mehr kürzlich ist eine neue Annäherung mit der D-finite Funktion erschienen, die die Lösungen von linearen Differenzialgleichungen mit polynomischen Koeffizienten sind. Die meisten elementaren und speziellen Funktionen sind D-finite, und das Integral einer D-Finite-Funktion ist auch eine D-Finite-Funktion. Das stellt einen Algorithmus zur Verfügung, um die Antiableitung einer D-Finite-Funktion als die Lösung einer Differenzialgleichung auszudrücken.

Diese Theorie erlaubt auch, bestimmte Integrale einer D-Funktion als die Summe einer Reihe zu schätzen, die durch die ersten Koeffizienten und einen Algorithmus gegeben ist, um jeden Koeffizienten zu schätzen.

Numerische Quadratur

Die in einem grundlegenden Rechnungskurs gestoßenen Integrale werden für die Einfachheit absichtlich gewählt; diejenigen, die in echten Anwendungen gefunden sind, stellen sich nicht immer so ein. Einige Integrale können genau nicht gefunden werden, einige verlangen spezielle Funktionen, die selbst eine Herausforderung sind zu rechnen, und andere so kompliziert sind, dass die Entdeckung der genauen Antwort zu langsam ist. Das motiviert die Studie und Anwendung numerischer Methoden, um Integralen näher zu kommen, die heute Fließkommaarithmetik auf elektronischen Digitalcomputern verwenden. Viele der Ideen sind viel früher für Handberechnungen entstanden; aber die Geschwindigkeit von Mehrzweckcomputern wie der ENIAC hat ein Bedürfnis nach Verbesserungen geschaffen.

Die Absichten der numerischen Integration sind Genauigkeit, Zuverlässigkeit, Leistungsfähigkeit und Allgemeinheit. Hoch entwickelte Methoden können eine naive Methode um alle vier Maßnahmen gewaltig überbieten ., Denken Sie zum Beispiel, den integrierten

:

der die genaue Antwort hat. (In der gewöhnlichen Praxis ist die Antwort im Voraus nicht bekannt, so ist eine wichtige Aufgabe — nicht erforscht hier — zu entscheiden, wenn eine Annäherung gut genug ist.) Teilt eine "Rechnung" Buchannäherung die Integrationsreihe in, sagen wir, 16 gleiche Stücke, und schätzt Funktionswerte.

:

Mit dem linken Ende jedes Stückes summiert die Rechteck-Methode 16 Funktionswerte und multipliziert durch die Schritt-Breite, h, hier 0.25, um einen ungefähren Wert von 3.94325 für das Integral zu bekommen. Die Genauigkeit ist nicht eindrucksvoll, aber Rechnung verwendet formell Stücke der unendlich kleinen Breite, so am Anfang kann das wenig Grund zu Sorge scheinen. Tatsächlich wiederholt erzeugt die Verdoppelung der Zahl von Schritten schließlich eine Annäherung 3.76001. Jedoch sind 2 Stücke, ein großer rechenbetonter Aufwand für so wenig Genauigkeit erforderlich; und eine Reichweite für die größere Genauigkeit kann so kleine Schritte zwingen, dass arithmetische Präzision ein Hindernis wird.

Eine bessere Annäherung ersetzt die horizontalen Spitzen der Rechtecke mit abgeschrägten Spitzen, die die Funktion an den Enden jedes Stückes berühren. Diese Trapez-Regel ist fast als leicht zu rechnen; es summiert alle 17 Funktionswerte, aber beschwert vor allen Dingen durch eine Hälfte, und multipliziert wieder durch die Schritt-Breite. Das verbessert sofort die Annäherung an 3.76925, der merklich genauer ist. Außerdem sind nur 2 Stücke erforderlich, um 3.76000, wesentlich weniger Berechnung zu erreichen, als die Rechteck-Methode für die vergleichbare Genauigkeit.

Die Methode von Romberg baut auf die Trapezoid-Methode zur großen Wirkung. Erstens werden die Schritt-Längen zusätzlich halbiert, Trapezoid-Annäherungen gebend, die durch T (h), T (h) und so weiter angezeigt sind, wo h Hälfte von h ist. Für jede neue Schritt-Größe muss nur Hälfte der neuen Funktionswerte geschätzt werden; andere tragen von der vorherigen Größe (wie gezeigt, im Tisch oben) vor. Aber die wirklich starke Idee ist, ein Polynom durch die Annäherungen zu interpolieren, und zu T (0) zu extrapolieren. Mit dieser Methode verlangt eine numerisch genaue Antwort hier nur vier Stücke (fünf Funktionswerte)! Das Lagrange Polynom interpolierend} ist, den extrapolierten Wert 3.76 daran erzeugend.

Quadratur von Gaussian verlangt häufig merklich weniger Arbeit für die höhere Genauigkeit. In diesem Beispiel kann es die Funktionswerte auf gerade zwei x Positionen, ±2  3 schätzen, dann jeden Wert verdoppeln und resümieren, um die numerisch genaue Antwort zu bekommen. Die Erklärung für diesen dramatischen Erfolg liegt in der Fehleranalyse und ein bisschen Glück. Ein N-Punkt Methode von Gaussian ist für Polynome des Grads bis zu 2n1 genau. Die Funktion in diesem Beispiel ist ein Grad 3 Polynom plus ein Begriff, der annulliert, weil die gewählten Endpunkte um die Null symmetrisch sind. (Annullierung nützt auch der Methode von Romberg.)

Die Verschiebung der Reihe ist etwas abgereist, so ist das Integral von 2.25 bis 1.75, entfernt die Symmetrie. Dennoch ist die Trapezoid-Methode ziemlich langsam, die polynomische Interpolationsmethode von Romberg ist annehmbar, und die Methode von Gaussian verlangt kleinste Arbeit — wenn die Zahl von Punkten im Voraus bekannt ist. Ebenso kann vernünftige Interpolation dieselben Trapezoid-Einschätzungen wie die Methode von Romberg zur größeren Wirkung verwenden.

:

In der Praxis muss jede Methode Extraeinschätzungen verwenden, um sicherzustellen, dass ein Fehler zu einer unbekannten Funktion gebunden hat; das neigt dazu, etwas vom Vorteil der reinen Methode von Gaussian auszugleichen, und motiviert die populären Quadratur-Formeln von Gauss-Kronrod. Symmetrie kann noch durch das Aufspalten dieses Integrals in zwei Reihen, von 2.25 bis 1.75 (keine Symmetrie), und von 1.75 bis 1.75 (Symmetrie) ausgenutzt werden. Weit gehender verteilt anpassungsfähige Quadratur eine Reihe in auf Funktionseigenschaften gestützte Stücke, so dass Datenpunkte konzentriert werden, wo sie am meisten erforderlich sind.

Die Regierung von Simpson, die für Thomas Simpson (1710-1761) genannt ist, verwendet eine parabolische Kurve, um Integralen näher zu kommen. In vielen Fällen ist es genauer als die trapezoide Regel und andere. Die Regel setzt das fest

:

mit einem Fehler von

:

Die Berechnung von hoch-dimensionalen Integralen (zum Beispiel, Volumen-Berechnungen) macht wichtigen Gebrauch solcher Alternativen als Integration von Monte Carlo.

Ein Rechnungstext ist nicht wechseln die numerische Analyse, aber Auch das Gegenteil trifft zu aus. Sogar der beste anpassungsfähige numerische Code verlangt manchmal, dass ein Benutzer mit den anspruchsvolleren Integralen hilft. Zum Beispiel können unpassende Integrale eine Änderung der Variable oder Methoden verlangen, die unendliche Funktionswerte vermeiden können, und bekannte Eigenschaften wie Symmetrie und Periodizität kritischen Einfluss zur Verfügung stellen können.

Praktische Anwendungen

Das Gebiet unter der Kurve (hat AUC abgekürzt), wird oft in pharmacokinetics für Funktionen verwendet, wo die X-Achse Zeit vertritt und die Y-Achse Rauschgift-Konzentration vertritt. Für solche Funktionen entspricht das Gebiet unter der Kurve gewöhnlich ziemlich gut der Gesamtwirkung auf den Körper, den das Rauschgift haben wird. Im Standardgebrauch wird AUC als auch definiert:

• AUC, das Integral nach einer einzelnen Dosis mit einer hypothetischen unendlichen X-Achse
• AUCτ, das Integral im Zeitabstand zwischen Dosen gegeben regelmäßig, und unveränderlichen Staat erreicht.

Siehe auch

• Listen von Integralen - Integrale der allgemeinsten Funktionen
• Vielfacher integrierter
• Numerische Integration
• Integralgleichung

Integration durch Teile

• Riemann integrierter
• Riemann-Stieltjes integrierter
• Henstock-Kurzweil integrierter
• Integration von Lebesgue
• Darboux integrierter
• Summe von Riemann
• Symbolische Integration
• Antiableitung

Referenzen

• . In besonderen Kapiteln III und IV.
• (Ursprünglich veröffentlicht von der Universität von Cambridge Presse, 1897, gestützt auf der griechischen Version von J. L. Heiberg.)
• .

Links

• Summe von Riemann durch die Wolfram-Forschung
• Einführung in bestimmte Integrale durch die Khan-Akademie

Online-Bücher

• Keisler, H. Jerome, elementare Rechnung: Eine Annäherung mit Infinitesimals, Universität von Wisconsin
• Stroyan, K.D. eine kurze Einführung in die unendlich kleine Rechnung, Universität Iowas
• Mauch, Sean, das Angewandte Mathebuch von Sean, CIT, ein Online-Lehrbuch, das eine ganze Einführung in die Rechnung einschließt
• Crowell, Benjamin, Rechnung, Universität von Fullerton, ein Online-Lehrbuch
• Garrett, Paul, Zeichen auf der erst-jährigen Rechnung
• Hussain, Faraz, Rechnung, ein Online-Lehrbuch Verstehend
• Kowalk, W.P. Integrationstheorie, Universität von Oldenburg. Ein neues Konzept zu einem alten Problem. Online-Lehrbuch
• Sloughter, Dan, Unterschied-Gleichungen zu Differenzialgleichungen, eine Einführung in die Rechnung
• Numerische Methoden der Integration am holistischen numerischen Methode-Institut
• P.S. Wang, Einschätzung von Bestimmten Integralen durch die Symbolische Manipulation (1972) - ein Kochbuch von bestimmten integrierten Techniken