In der Mathematik ist der absolute Wert (oder Modul) | einer reellen Zahl der numerische Wert ohne Rücksicht auf sein Zeichen. Also, zum Beispiel ist der absolute Wert von 3 3, und der absolute Wert von-3 ist auch 3. Vom absoluten Wert einer Zahl kann als seine Entfernung von der Null gedacht werden.

Generalisationen des absoluten Werts für reelle Zahlen kommen in einem großen Angebot an mathematischen Einstellungen vor. Zum Beispiel wird ein absoluter Wert auch für die komplexen Zahlen, den quaternions, die bestellten Ringe, die Felder und die Vektorräume definiert. Der absolute Wert ist nah mit den Begriffen des Umfangs, der Entfernung und der Norm in verschiedenen mathematischen und physischen Zusammenhängen verbunden.

Fachsprache und Notation

Jean-Robert Argand hat den Begriff "Modul" 'Einheit des Maßes' in Französisch 1806 spezifisch für den komplizierten absoluten Wert eingeführt, und es wurde ins Englisch 1866 als das lateinische gleichwertige "Modul" geliehen. Der Begriff "absoluter Wert" ist in diesem Sinn seitdem mindestens 1806 in Französisch und 1857 in Englisch gebraucht worden. Die Notation | a | wurde von Karl Weierstrass 1841 eingeführt. Andere Namen für den absoluten Wert schließen "den numerischen Wert" und "den Umfang" ein.

Dieselbe Notation wird mit Sätzen verwendet, um cardinality anzuzeigen; die Bedeutung hängt von Zusammenhang ab.

Definition und Eigenschaften

Reelle Zahlen

Für jede reelle Zahl der absolute Wert oder das Modul, angezeigt durch | a | (eine vertikale Bar auf jeder Seite der Menge) zu sein, und wird als definiert

:

Wie aus der obengenannten Definition, dem absoluten Wert gesehen werden kann, immer entweder positiv oder Null, aber nie negativ zu sein.

Aus einem analytischen Geometrie-Gesichtspunkt besteht der absolute Wert einer reellen Zahl darin, dass die Entfernung der Zahl von der Null entlang der Linie der reellen Zahl, und mehr allgemein der absolute Wert des Unterschieds von zwei reellen Zahlen die Entfernung zwischen ihnen sind. Tatsächlich, wie man sehen kann, ist der Begriff einer abstrakten Entfernungsfunktion in der Mathematik eine Generalisation des absoluten Werts des Unterschieds (sieh "Entfernung" unten).

Da die Quadratwurzel-Notation ohne Zeichen die positive Quadratwurzel, hieraus folgt dass vertritt

:

der manchmal als eine Definition des absoluten Werts verwendet wird.

Der absolute Wert hat die folgenden vier grundsätzlichen Eigenschaften:

:

Andere wichtige Eigenschaften des absoluten Werts schließen ein:

:

Wenn b> 0, zwei andere nützliche Eigenschaften bezüglich der Ungleichheit sind:

::

Diese Beziehungen können verwendet werden, um Ungleichheit zu lösen, die absolute Werte einschließt. Zum Beispiel:

:

Absoluter Wert wird verwendet, um den absoluten Unterschied, der auf den reellen Zahlen metrische Standard zu definieren.

Komplexe Zahlen

Da die komplexen Zahlen nicht bestellt werden, kann die Definition, die oben für den echten absoluten Wert gegeben ist, nicht für eine komplexe Zahl direkt verallgemeinert werden. Jedoch die Identität, die in der Gleichung (1) oben gegeben ist:

:

kann als das Motivieren der folgenden Definition gesehen werden.

Für jede komplexe Zahl

:

wo x und y reelle Zahlen sind, werden der absolute Wert oder das Modul von z |z angezeigt und werden als definiert

:

Hieraus folgt dass der absolute Wert einer reellen Zahl x seinem absoluten Wert betrachtet als eine komplexe Zahl seitdem gleich ist:

:

Ähnlich der geometrischen Interpretation des absoluten Werts für reelle Zahlen folgt es aus dem Pythagoreischen Lehrsatz, dass der absolute Wert einer komplexen Zahl die Entfernung im komplizierten Flugzeug dieser komplexen Zahl vom Ursprung, und mehr allgemein ist, dass der absolute Wert des Unterschieds von zwei komplexen Zahlen der Entfernung zwischen jenen zwei komplexen Zahlen gleich ist.

Der komplizierte absolute Wert teilt alle Eigenschaften des echten absoluten Werts, der in (2) - (10) oben gegeben ist. Außerdem, Wenn

:

und

:

ist der von z verbundene Komplex, dann wird es das leicht gesehen

:und:

mit der letzten Formel, die die komplizierte Entsprechung der Gleichung (1) erwähnt oben im echten Fall ist.

Das absolute Quadrat von z wird als definiert

:

Da die positiven reals eine Untergruppe der komplexen Zahlen unter der Multiplikation bilden, können wir an absoluten Wert als ein Endomorphismus der multiplicative Gruppe der komplexen Zahlen denken.

Absolute Wertfunktion

Die echte absolute Wertfunktion ist überall dauernd. Es ist differentiable überall abgesehen von x = 0. Es ist monotonically, der auf dem Zwischenraum und monotonically abnimmt, der auf dem Zwischenraum zunimmt. Da eine reelle Zahl und seine Verneinung denselben absoluten Wert haben, ist es sogar Funktion, und ist folglich nicht invertible.

Sowohl die echten als auch komplizierten Funktionen sind idempotent.

Es ist eine nichtlineare konvexe Funktion.

Ableitung

Die Ableitung der echten absoluten Wertfunktion wird durch gegeben

:

Das Subdifferenzial daran ist der Zwischenraum [-1,1].

Die komplizierte absolute Wertfunktion ist überall dauernd, aber Komplex differentiable nirgends, weil es die Gleichungen von Cauchy-Riemann verletzt.

Wie aus der Kettenregel, für eine reellwertige Funktion einer echten Variable, gezeigt werden kann

:.

Die zweite Ableitung von |x in Bezug auf x ist Null überall außer der Null, wo es unbestimmt ist.

Antiableitung

Die Antiableitung (unbestimmtes Integral) der absoluten Wertfunktion ist

:

wo C eine willkürliche Konstante der Integration, wie gezeigt, durch das folgende (das Verwenden der Integration durch Teile und die Tatsache dass x = |x) ist:

:

Mehr allgemein, für eine reellwertige Funktion f (x),

:

wo die Konstanten der Integration für die Kürze fallen gelassen gewesen sind.

Beziehung zu anderen Funktionen

Wohin die absolute Wertfunktion einer reellen Zahl einen Wert ohne Rücksicht auf sein Zeichen zurückgibt, gibt die Signum-Funktion ein Zeichen einer Zahl ohne Rücksicht auf seinen Wert zurück. Die folgenden Gleichungen zeigen die Beziehung zwischen diesen zwei Funktionen:

::

Die echte absolute Wertfunktion ist auch mit einer Form der Schritt-Funktion von Heaviside verbunden, die in der Signalverarbeitung verwendet ist, definiert als:

:

\begin {Fälle} 0, & x

\end {Fälle }\

</Mathematik>

wo der Wert der Funktion von Heaviside an der Null herkömmlich ist. So für die ganze Nichtnull weist auf der Linie der reellen Zahl, hin

:

Entfernung

Der absolute Wert ist nah mit der Idee von der Entfernung verbunden. Wie bemerkt, oben ist der absolute Wert einer reellen Zahl oder komplexer Zahl die Entfernung von dieser Zahl bis den Ursprung, entlang der Linie der reellen Zahl, für reelle Zahlen, oder im komplizierten Flugzeug, für komplexe Zahlen, und mehr allgemein, der absolute Wert des Unterschieds von zwei reellen Zahlen oder komplexen Zahlen ist die Entfernung zwischen ihnen.

Die Euklidische Standardentfernung zwischen zwei Punkten

:und:

im Euklidischen N-Raum wird als definiert:

:Wie man

sehen kann, ist das eine Generalisation | a  b | seitdem, wenn a und b, dann durch die Gleichung (1), echt

sind:

Während wenn

:und:

sind komplexe Zahlen, dann

:

Die obengenannten Shows dass der "absolute Wert" Entfernung für die reellen Zahlen oder die komplexen Zahlen, stimmen mit der Euklidischen Standardentfernung überein, die sie infolge des Betrachtens von ihnen als derjenige und zweidimensionale Euklidische Räume beziehungsweise erben.

Die Eigenschaften des absoluten Werts des Unterschieds von zwei reellen Zahlen oder komplexen Zahlen: Wie man sehen kann, motivieren Nichtnegativität, Identität von indiscernibles, Symmetrie und der Dreieck-Ungleichheit, die oben gegeben ist, den allgemeineren Begriff einer Entfernungsfunktion wie folgt:

Eine echte geschätzte Funktion d auf einem Satz X × X werden eine Entfernungsfunktion (oder ein metrischer) auf X genannt, wenn sie die folgenden vier Axiome befriedigt:

:

Generalisationen

Bestellte Ringe

Die Definition des absoluten Werts, der für reelle Zahlen oben gegeben ist, kann zu jedem bestellten Ring leicht erweitert werden. D. h. wenn eines Elements eines bestellten Rings R zu sein, dann wird der absolute Wert von a, der durch | a | angezeigt ist, definiert, um zu sein:

:

wo a das zusätzliche Gegenteil von a ist, und 0 das zusätzliche Identitätselement ist.

Felder

Die grundsätzlichen Eigenschaften des absoluten Werts für reelle Zahlen, die in (2) - (5) oben gegeben sind, können verwendet werden, um den Begriff des absoluten Werts zu einem willkürlichen Feld wie folgt zu verallgemeinern.

Eine reellwertige Funktion v auf Feld F wird einen absoluten Wert genannt (auch ein Modul, Umfang, Wert oder Schätzung), wenn es die folgenden vier Axiome befriedigt:

:

Wo 0 das zusätzliche Identitätselement von F anzeigt. Es folgt aus positiver Bestimmtheit und multiplicativeness, dass v (1) = 1, wo 1 das multiplicative Identitätselement von F anzeigt. Die echten und komplizierten absoluten Werte, die oben definiert sind, sind Beispiele von absoluten Werten für ein willkürliches Feld.

Wenn v ein absoluter Wert auf F ist, dann ist die Funktion d auf F × F, definiert durch d (a, b) = v (ein  b), ist ein metrischer und der folgende, gleichwertig:

• d befriedigt die ultrametrische Ungleichheit für den ganzen x, y, z in F.

• wird in R begrenzt.

Wie man

sagt, ist ein absoluter Wert, der irgendwelchen (folglich alle) von den obengenannten Bedingungen befriedigt, non-Archimedean, sonst, wie man sagt, ist es Archimedean.

Vektorräume

Wieder können die grundsätzlichen Eigenschaften des absoluten Werts für reelle Zahlen mit einer geringen Modifizierung verwendet werden, um den Begriff zu einem willkürlichen Vektorraum zu verallgemeinern.

Eine reellwertige Funktion auf einem Vektorraum V über Feld F, vertreten als || V, wird einen absoluten Wert genannt (oder mehr gewöhnlich eine Norm), wenn sie die folgenden Axiome befriedigt:

Für alle in F und v, u in V,

:

Die Norm eines Vektoren wird auch seine Länge oder Umfang genannt.

Im Fall vom Euklidischen Raum R die Funktion durch definiert

:

ist eine Norm genannt die Euklidische Norm. Wenn die reellen Zahlen R als der eindimensionale Vektorraum R betrachtet werden, ist der absolute Wert eine Norm, und ist die P-Norm für jeden p. Tatsächlich ist der absolute Wert die "einzige" Norm auf R, im Sinn dass, für jede Norm || · || auf R, || x || = || 1 || · | x |. Der komplizierte absolute Wert ist ein spezieller Fall der Norm in einem Skalarprodukt-Raum. Es ist zur Euklidischen Norm identisch, wenn das komplizierte Flugzeug mit dem Euklidischen Flugzeug R identifiziert wird.

Glatte Annäherung

Manchmal ist eine Annäherung, die in der Nachbarschaft von x=0 glatt ist, erforderlich. Durch eine solche Annäherung für echten x wird gegeben:

:

wo k> 0, der sich als k Zunahmen verbessert. Der Verhältnisfehler der Annäherung wird durch gegeben

:.

Jedoch hat der Verhältnisfehler eine unveränderliche Grenze an x=0:

:

wenn auch der durchschnittliche Verhältnisfehler über die echte Linie nullgeschätzt wird:

:

\lim_ {k y \to \infty} \tfrac {\\Pi k y - 2 k y \arctan\left (k y\right) + \log\left (1+k^2 y^2\right)} {\\Pi k y\=

1 + \lim_ {\\chi \to \infty} \left (\tfrac {\\log\left (1 +\chi^2\right)} {\\Pi \chi} - \tfrac {2\arctan\left (\chi\right)} {\\Pi }\\Recht) = 0

</Mathematik>.

Unendliche Reihe

Die absolute Wertfunktion kann als verschiedene unendliche für-1 konvergente Reihe geschrieben werden

• wo die Polynome von Tschebyscheff der ersten Art sind.

• wo die Polynome von Legendre sind.

• wo die Polynome von Hermite sind.

Bemerken Sie, dass der factorial und die Gammafunktionen beziehungsweise sind.

Siehe auch

• Absoluter Wert (Algebra)
• Schätzung (Algebra)

Referenzen

• Bartle; Sorbett; Einführung in die echte Analyse (4. Hrsg.), John Wiley & Sons, 2011 internationale Standardbuchnummer 978-0471433316.
• Nahin, Paul J.; ein Imaginäres Märchen; Universität von Princeton Presse; (gebundene Ausgabe, 1998). Internationale Standardbuchnummer 0-691-02795-1.
• Die Mac Lane, Saunders, Garrett Birkhoff, Algebra, amerikanischer Mathematischer Soc. 1999. Internationale Standardbuchnummer 9780821816462.
• Mendelson, Elliott, der Umriss von Schaum der Beginnenden Rechnung, des McGraw-Hügel-Fachmannes, 2008. Internationale Standardbuchnummer 9780071487542.
• O'Connor, J.J. und Robertson, E.F.; "Jean Robert Argand".
• Schechter, Eric; Handbuch der Analyse und Seiner Fundamente, Seiten 259-263, "Absolute Werte", Akademische Presse (1997) internationale Standardbuchnummer 0-12-622760-8.

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