Der weiße Punkt an s = 1 ist der Pol der Zeta-Funktion; die Gefahrenstellen auf der negativen echten Achse und auf der kritischen Linie Re (s) = 1/2 sind seine Nullen. Werte mit Argumenten in der Nähe von der Null einschließlich positiven reals auf der echten Halblinie werden im Rot präsentiert.]]

Der Riemann zeta Funktion oder Euler-Riemann zeta Funktion, ζ (s), ist eine Funktion einer komplizierten Variable s, der analytisch die Summe der unendlichen Reihe fortsetzt, die zusammenläuft, wenn der echte Teil von s größer ist als 1. Allgemeinere Darstellungen von ζ (s) für den ganzen s werden unten gegeben. Der Riemann zeta Funktion spielt eine Angelrolle in der analytischen Zahlentheorie und hat Anwendungen in der Physik, Wahrscheinlichkeitstheorie und angewandte Statistik.

Diese Funktion als eine Funktion eines echten Arguments wurde eingeführt und von Leonhard Euler in der ersten Hälfte des achtzehnten Jahrhunderts studiert, ohne komplizierte Analyse zu verwenden, die damals nicht verfügbar war. Bernhard Riemann in seiner Biografie "Auf der Zahl der Blüte hat Weniger als ein Gegebene Umfang" veröffentlicht 1859 die Definition von Euler zu einer komplizierten Variable erweitert, hat seine meromorphic Verlängerung und funktionelle Gleichung bewiesen und hat eine Beziehung zwischen seinen Nullen und dem Vertrieb von Primzahlen gegründet.

Die Werte vom Riemann zeta Funktion an sogar positiven ganzen Zahlen wurden von Euler geschätzt. Der erste von ihnen, ζ (2), stellt eine Lösung des Baseler Problems zur Verfügung. 1979 hat Apéry die Unvernunft von ζ (3) bewiesen. Die Werte an negativen Punkten der ganzen Zahl, die auch von Euler gefunden sind, sind rationale Zahlen und spielen eine wichtige Rolle in der Theorie von Modulformen. Viele Generalisationen des Riemanns zeta Funktion, wie Reihe von Dirichlet, Dirichlet L-Funktionen und L-Funktionen, sind bekannt.

Definition

Der Riemann zeta Funktion ζ (s) ist eine Funktion einer komplizierten Variable s = σ + es (hier, s, σ und t sind traditionelle Notationen, die mit der Studie des ζ-function vereinigt sind). Die folgende unendliche Reihe läuft für alle komplexen Zahlen s mit dem echten Teil zusammen, der größer ist als 1, und definiert ζ (s) in diesem Fall:

:

\zeta (s) =

\sum_ {n=1} ^\\infty N^ {-s} =

\frac {1} {1^s} + \frac {1} {2^s} + \frac {1} {3^s} + \cdots \; \; \; \; \; \; \; \sigma = \mathfrak {R} (s)> 1.

\! </Mathematik>

Der Riemann zeta Funktion wird als die analytische Verlängerung der Funktion definiert, die für σ> 1 durch die Summe der vorhergehenden Reihe definiert ist.

Leonhard Euler hat die obengenannte Reihe 1740 für positive Werte der ganzen Zahl von s gedacht, und später hat Tschebyscheff die Definition zu echtem s> 1 erweitert.

Die obengenannte Reihe ist eine archetypische Reihe von Dirichlet, die absolut zu einer analytischen Funktion für solchen s zusammenläuft, dass und für alle anderen Werte von s abweicht. Riemann hat gezeigt, dass die Funktion, die durch die Reihe auf dem Halbflugzeug der Konvergenz definiert ist, analytisch zu allen komplizierten Werten fortgesetzt werden kann. Für s = 1 ist die Reihe die harmonische Reihe, die zu + , und abweicht

:

So ist der Riemann zeta Funktion eine Meromorphic-Funktion auf dem ganzen Komplex s-plane, der holomorphic überall abgesehen von einem einfachen Pol an s = 1 mit dem Rückstand 1 ist.

Spezifische Werte

Für jede positive gerade Zahl 2n,

:

wo B eine Zahl von Bernoulli ist; für negative ganze Zahlen hat man

:

dafür, so in besonderem ζ verschwindet an den negativen gleichen ganzen Zahlen weil B = 0 für die ganze sonderbare M außer 1. Kein solcher einfacher Ausdruck ist für sonderbare positive ganze Zahlen bekannt.

Die Werte der bei integrierten Argumenten erhaltenen Zeta-Funktion werden zeta Konstanten genannt. Der folgende ist die meistens verwendeten Werte vom Riemann zeta Funktion.

::

:: das ist die harmonische Reihe.

:

:: das wird im Rechnen der kritischen Temperatur für ein Kondensat von Bose-Einstein in einem Kasten mit periodischen Grenzbedingungen, und für die Drehungswelle-Physik in magnetischen Systemen verwendet.

:

:: die Demonstration dieser Gleichheit ist als das Baseler Problem bekannt. Das Gegenstück dieser Summe antwortet auf die Frage: Wie ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen ausgewählt aufs Geratewohl relativ erst sind?

:

:: das wird die Konstante von Apéry genannt.

:

:: Das erscheint, wenn es das Gesetz von Planck integriert, um das Gesetz von Stefan-Boltzmann in der Physik abzuleiten.

Produktformel von Euler

Die Verbindung zwischen der Zeta-Funktion und den Primzahlen wurde von Leonhard Euler entdeckt, der die Identität bewiesen

hat:

wo, definitionsgemäß, die linke Seite ζ (s) ist und sich das unendliche Produkt auf der rechten Seite über alle Primzahlen p ausstreckt (solche Ausdrücke werden Produkte von Euler genannt):

:

Beide Seiten der Produktformel von Euler laufen für Re (s)> 1 zusammen. Der Beweis der Identität von Euler verwendet nur die Formel für die geometrische Reihe und den Hauptsatz der Arithmetik. Da die harmonische Reihe, erhalten wenn s = 1, die Formel von Euler abweicht (der wird), deutet an, dass es ungeheuer viele Blüte gibt.

Die Euler Produktformel kann verwendet werden, um die asymptotische Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass s zufällig ganze Zahlen ausgewählt hat, sind mit dem Satz kluger coprime. Intuitiv ist die Wahrscheinlichkeit, dass jede einzelne Zahl durch eine Blüte (oder jede ganze Zahl), p teilbar ist, 1/p. Folglich ist die Wahrscheinlichkeit, dass s Zahlen alle durch diese Blüte teilbar sind, 1/p, und die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein von ihnen nicht sind, ist. Jetzt, für die verschiedene Blüte, sind diese Teilbarkeitsereignisse gegenseitig unabhängig, weil die Kandidat-Teiler coprime sind (eine Zahl ist durch coprime Teiler n und M teilbar, wenn, und nur wenn es durch nm, ein Ereignis teilbar ist, das mit der Wahrscheinlichkeit 1 / (nm) vorkommt.) So wird die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass s Zahlen coprime sind, durch ein Produkt über die ganze Blüte, gegeben

:

(Mehr Arbeit ist erforderlich, dieses Ergebnis formell abzuleiten.)

Die funktionelle Gleichung

Der Riemann zeta Funktion befriedigt die funktionelle Gleichung (hat auch den Riemann ('s) funktionelle Gleichung) genannt

:

\zeta (s) = 2^s\pi^ {s-1 }\\\sin\left (\frac {\\Pi s} {2 }\\Recht) \\Gamma (1-s) \\zeta (1-s)

\! </Mathematik>

wo Γ (s) die Gammafunktion ist, die eine Gleichheit von auf dem ganzen komplizierten Flugzeug gültigen Meromorphic-Funktionen ist. Diese Gleichung verbindet Werte vom Riemann zeta Funktion an den Punkten s und. Die funktionelle Gleichung (infolge der Eigenschaften der Sünde) bezieht das &zeta ein; (s) hat eine einfache Null an jeder gleichen negativen ganzen Zahl s = &minus; 2n - sind diese als die trivialen Nullen &zeta bekannt; (s). Für s eine gleiche positive ganze Zahl, die Produktsünde (&pi;s/2) &Gamma; (1&minus;s) ist regelmäßig, und die funktionelle Gleichung verbindet die Werte vom Riemann zeta Funktion an sonderbaren negativen ganzen Zahlen und sogar positiven ganzen Zahlen.

Die funktionelle Gleichung wurde von Riemann in seiner 1859-Zeitung Auf der Zahl der Blüte Weniger als ein Gegebene Umfang gegründet und verwendet, um die analytische Verlängerung an erster Stelle zu bauen. Eine gleichwertige Beziehung war von Euler mehr als hundert Jahre früher, 1749, für die Funktion von Dirichlet eta vermutet worden (zeta Funktion abwechselnd)

,:

\eta (s) = \sum_ {n=1} ^\\infty \frac {(-1) ^ {n+1}} {n^s} = (1-{2^ {1-s}}) \zeta (s).

</Mathematik>

Beiläufig ist diese Beziehung auch interessant, weil sie wirklich &zeta ausstellt; (s) als eine Reihe von Dirichlet (&eta;-function), der (obgleich nichtabsolut) im größeren Halbflugzeug &sigma konvergent ist;> 0 (nicht nur &sigma;> 1), bis zu einem elementaren Faktor.

Riemann hat auch eine symmetrische Version der funktionellen Gleichung gefunden, die durch das erste Definieren gegeben ist

:

Die funktionelle Gleichung wird dann durch gegeben

:

(Riemann hat eine ähnliche, aber verschiedene Funktion definiert, die er ξ (t) genannt hat.)

Nullen, die kritische Linie und die Hypothese von Riemann

Die funktionelle Gleichung zeigt, dass der Riemann zeta Funktion Nullen daran hat... Diese werden die trivialen Nullen genannt. Sie sind im Sinn trivial, dass ihre Existenz relativ leicht ist, zum Beispiel, von der Sünde (πs/2) zu beweisen, 0 in der funktionellen Gleichung zu sein. Die nichttrivialen Nullen haben viel mehr Aufmerksamkeit gewonnen, weil ihr Vertrieb nicht nur viel weniger verstanden wird, aber, was noch wichtiger ist, gibt ihre Studie eindrucksvolle Ergebnisse bezüglich Primzahlen und verwandter Gegenstände in der Zahlentheorie nach. Es ist bekannt, dass jede nichttriviale Null im offenen Streifen {s  C liegt: 0 hat ungeheuer viele echte Nullen.

Lassen Sie, die Gesamtzahl von echten Nullen zu sein, die Gesamtzahl von Nullen der sonderbaren Ordnung der Funktion zu sein, auf dem Zwischenraum liegend

.

Die folgenden zwei Vermutungen von Hardy und John Edensor Littlewood auf der Entfernung zwischen echten Nullen und auf der Dichte von Nullen auf den Zwischenräumen für den genug großen, und mit so weniger wie möglich Wert, wo eine willkürlich kleine Zahl ist, öffnen zwei neue Richtungen in der Untersuchung des Riemanns zeta Funktion:

1. für irgendwelchen dort besteht solch, dass für und der Zwischenraum eine Null der sonderbaren Ordnung der Funktion enthält.

2. für irgendwelchen dort bestehen und, solch, dass für und die Ungleichheit wahr ist.

Die Selberg-Vermutung

1942 hat Atle Selberg das Problem von Zähen-Littlewood 2 untersucht und hat bewiesen, dass für irgendwelchen dort solch und, solch besteht, dass für und die Ungleichheit wahr ist.

In seiner Umdrehung fordern Selberg eine Vermutung, für die es möglich ist, den Wert der Hochzahl zu vermindern.

1984 hat Anatolii Alexeevitch Karatsuba das für eine feste Zufriedenheit der Bedingung bewiesen

Die Schätzungen von Atle Selberg und Karatsuba können in der Rücksicht auf die Ordnung des Wachstums als nicht verbessert werden.

1992 hat sich A.A. Karatsuba erwiesen, dass ein Analogon der Vermutung von Selberg für "fast alle" Zwischenräume hält, wo eine willkürlich kleine feste positive Zahl ist. Die Methode von Karatsuba erlaubt, Nullen der Zeta-Funktion von Riemann auf "superkurzen" Zwischenräumen der kritischen Linie, d. h. auf den Zwischenräumen zu untersuchen, von denen die Länge langsamer wächst als irgendwelcher, sogar willkürlich kleiner Grad. Insbesondere er hat das für irgendwelche gegebenen Zahlen bewiesen, die Bedingungen befriedigend

Andere Ergebnisse

Die Position des Riemanns zeta die Nullen der Funktion ist in der Theorie von Zahlen von großer Bedeutung. Der Primzahl-Lehrsatz ist zur Tatsache gleichwertig, dass es keine Nullen der Zeta-Funktion auf Re (s) = 1 Linie gibt. Ein besseres Ergebnis besteht dass  0 wann auch immer | t |  3 und darin

:

Das stärkste Ergebnis dieses freundlichen kann darauf hoffen ist die Wahrheit der Hypothese von Riemann, die viele tiefe Folgen in der Theorie von Zahlen haben würde.

Es ist bekannt, dass es ungeheuer viele Nullen auf der kritischen Linie gibt. Littlewood hat das gezeigt, wenn die Folge (γ) die imaginären Teile aller Nullen im oberen in aufsteigender Reihenfolge Halbflugzeug, dann enthält

:

Der kritische Linienlehrsatz behauptet, dass ein positiver Prozentsatz der nichttrivialen Nullen auf der kritischen Linie liegt.

Im kritischen Streifen ist die Null mit dem kleinsten nichtnegativen imaginären Teil... Direkt von der funktionellen Gleichung sieht man, dass die nichttrivialen Nullen über die Achse Re (s) = 1/2 symmetrisch sind. Außerdem, die Tatsache dass ζ (s) = ζ (s *)* für den ganzen Komplex (* das Anzeigen komplizierter Konjugation) deutet an, dass die Nullen des Riemanns zeta Funktion über die echte Achse symmetrisch sind.

Die Statistiken des Riemanns zeta Nullen sind ein Thema von Interesse Mathematikern wegen ihrer Verbindung zu großen Problemen wie die Hypothese von Riemann, der Vertrieb von Primzahlen, usw. die Durchschaltungen mit der zufälligen Matrixtheorie und Quant-Verwirrung, die Bitte ist noch breiter. Die fractal Struktur des Riemanns zeta Nullvertrieb ist mit der wiedererkletterten Reihe-Analyse studiert worden. Die Selbstähnlichkeit des Nullvertriebs ist ziemlich bemerkenswert, und wird durch eine große fractal Dimension 1.9 charakterisiert. Diese ziemlich große fractal Dimension wird über Nullen gefunden, die mindestens fünfzehn Größenordnungen, und auch für die Nullen anderer L-Funktionen bedecken.

Verschiedene Eigenschaften

Für Summen, die die Zeta-Funktion an der ganzen Zahl und den Werten der halbganzen Zahl einschließen, sieh vernünftige zeta Reihe.

Gegenseitig

Das Gegenstück der Zeta-Funktion kann als eine Reihe von Dirichlet über die Funktion von Möbius μ (n) ausgedrückt werden:

:

\frac {1} {\\zeta (s)} = \sum_ {n=1} ^ {\\infty} \frac {\\mu (n)} {n^s }\

\! </Mathematik>

für jede komplexe Zahl s mit dem echten Teil> 1. Es gibt mehrere ähnliche Beziehungen, die verschiedene wohl bekannte Multiplicative-Funktionen einschließen; diese werden im Artikel über die Reihe von Dirichlet gegeben.

Die Hypothese von Riemann ist zum Anspruch gleichwertig, dass dieser Ausdruck gültig ist, wenn der echte Teil von s größer ist als 1/2.

Allgemeinheit

Der kritische Streifen des Riemanns zeta Funktion hat das bemerkenswerte Eigentum der Allgemeinheit. Diese Zeta-Funktionsallgemeinheit stellt fest, dass dort eine Position auf dem kritischen Streifen besteht, der jeder Holomorphic-Funktion willkürlich gut näher kommt. Seitdem holomorphic Funktionen sind sehr allgemein, dieses Eigentum ist ziemlich bemerkenswert.

Schätzungen des Maximums des Moduls der Zeta-Funktion

Lassen Sie die Funktionen und werden Sie durch die Gleichheiten definiert

:

Hier ist eine genug große positive Zahl,

Der Fall wurde von Ramachandra studiert; der Fall

> c </Mathematik>, wo eine genug große Konstante ist, ist trivial.

Karatsuba, hat insbesondere das bewiesen, wenn die Werte und bestimmte genug kleine Konstanten, dann die Schätzungen überschreiten

halten Sie, wo bestimmte absolute Konstanten sind.

Das Argument der Zeta-Funktion von Riemann

Die Funktion wird das Argument des Riemanns zeta Funktion genannt.

Hier ist die Zunahme eines willkürlichen dauernden Zweigs entlang der gebrochenen Linie, die sich den Punkten und dem anschließt

Es gibt einige Lehrsätze auf Eigenschaften der Funktion. Unter jenen Ergebnissen sind die Mittelwertlehrsätze für und sein erstes Integral auf Zwischenräumen der echten Linie und auch der Lehrsatz behauptend, dass jeder Zwischenraum dafür mindestens enthält

:

Punkte, wo die Funktion Zeichen ändert. Früher wurden ähnliche Ergebnisse von Atle Selberg für den Fall erhalten

.

Darstellungen

Mellin verwandeln sich

Die Mellin verwandeln sich von einer Funktion (x) ƒ werden als definiert

:

im Gebiet, wo das Integral definiert wird. Es gibt verschiedene Ausdrücke für die Zeta-Funktion, weil sich Mellin verwandelt. Wenn der echte Teil von s größer ist als einer, haben wir

:

wo Γ die Gammafunktion anzeigt. Indem er die Kontur modifiziert hat, hat Riemann dem gezeigt

:

für den ganzen s, wo die Kontur C Anfänge und Enden an +  und Kreise der Ursprung einmal.

Wir können auch Ausdrücke finden, die sich auf Primzahlen und den Primzahl-Lehrsatz beziehen. Wenn π (x) die Haupt-Zählfunktion, dann ist

:

für Werte damit.

Ähnlicher Mellin verwandelt sich schließt die Hauptzählen-Funktion von Riemann J (x) ein, der Hauptmächte p mit einem Gewicht von 1/n, so dass aufzählt

:

Jetzt haben wir

:

Diese Ausdrücke können verwendet werden, um zu beweisen, dass sich der Primzahl-Lehrsatz mittels umgekehrten Mellin verwandelt. Die Haupt-Zählfunktion von Riemann ist leichter, mit zu arbeiten, und π (x) kann davon durch die Inversion von Möbius wieder erlangt werden.

Funktionen von Theta

Dem Riemann zeta Funktion kann formell von auseinander gehendem Mellin gegeben werden gestalten um

:

in Bezug auf den theta von Jacobi fungieren

:

Jedoch läuft dieses Integral für keinen Wert von s zusammen und muss so normalisiert werden: Das gibt den folgenden Ausdruck für die Zeta-Funktion:

:

+ \frac {1} {2 }\\int_1^\\infty (\theta (es)-1) t^ {s/2-1 }\\, dt. </math>

Reihe von Laurent

Der Riemann zeta Funktion ist meromorphic mit einem einzelnen Pol der Ordnung ein an

s =1. Es kann deshalb als eine Reihe von Laurent über s = 1 ausgebreitet werden;

die Reihe-Entwicklung ist dann

:

Die Konstanten γ hier werden die Konstanten von Stieltjes genannt und können definiert werden

durch die Grenze

:

{\\hat (\left (\sum_ {k = 1} ^m \frac {(\log k) ^n} {k }\\Recht) - \frac {(\log m) ^ {n+1}} {n+1 }\\Recht)} verlassen. </Mathematik>

Der unveränderliche Begriff γ ist die Euler-Mascheroni Konstante.

Integriert

Für die ganze integrierte Beziehung

:

hält für wahr, der für eine numerische Einschätzung der Zeta-Funktion verwendet werden kann.

Das Steigen factorial

Eine andere Reihe-Entwicklung mit dem Steigen factorial gültig für das komplette komplizierte Flugzeug ist

:

Das kann rekursiv verwendet werden, um die Reihe-Definition von Dirichlet zu allen komplexen Zahlen zu erweitern.

Der Riemann zeta Funktion erscheint auch in einer Mellin ähnlichen Form verwandeln sich in einem Integral über den Maschinenbediener von Gauss-Kuzmin-Wirsing, der x folgt; dieser Zusammenhang verursacht eine Reihenentwicklung in Bezug auf das Fallen factorial.

Produkt von Hadamard

Auf der Grundlage vom factorization Lehrsatz von Weierstrass hat Hadamard die unendliche Produktvergrößerung gegeben

:

wo das Produkt über die nichttrivialen Nullen ρ von ζ ist und der Brief γ wieder die Euler-Mascheroni Konstante anzeigt. Eine einfachere unendliche Produktvergrößerung ist

:

Diese Form zeigt klar den einfachen Pol an s = 1, die trivialen Nullen an 2, 4... wegen des Gammafunktionsbegriffes im Nenner und der nichttrivialen Nullen an s = ρ.

Logarithmische Ableitung auf dem kritischen Streifen

:

{\\Pi \frac {dN} {dx} (x) = \frac {1} {2i }\\frac {d} {dx }\\bigl (\log (\zeta (1/2 + ix)) - \log (\zeta (1/2 - ix)) \bigr) - \frac {2} {1+4x^2} - \sum_ {n=0} ^\\infty \frac {2n + 1/2} {(2n + 1/2) ^2 +x^2} }\

</Mathematik>

wo die Dichte von Nullen von ζ auf dem kritischen Streifen 0 ist

\sum_ {n=0} ^\\infty \frac {1} {2^ {n+1} }\

\sum_ {k=0} ^n (-1) ^k {n \choose k} (k+1) ^ {-s}. \! </math>

Die Reihe ist nur in einem Anhang zum Papier von Hasse erschienen, und ist allgemein bekannt nicht geworden, bis es mehr als 60 Jahre später wieder entdeckt wurde (sieh Sondow, 1994).

Peter Borwein hat eine sehr schnell konvergente Reihe gezeigt, die für die hohe Präzision numerische Berechnungen passend ist. Der Algorithmus, von Polynomen von Tschebyscheff Gebrauch zu machen, wird im Artikel über die Funktion von Dirichlet eta beschrieben.

Anwendungen

Die Zeta-Funktion kommt in der angewandten Statistik vor (sieh das Gesetz von Zipf und Zipf-Mandelbrot Gesetz).

Funktion von Zeta regularization wird als ein mögliches Mittel von regularization der auseinander gehenden Reihe in der Quant-Feldtheorie verwendet. In einem bemerkenswertem Beispiel, der Riemann

Zeta-Funktion taucht ausführlich in der Berechnung der Wirkung von Casimir auf. Die Zeta-Funktion ist auch für die Analyse von dynamischen Systemen nützlich, sieh.

Generalisationen

Es gibt mehrere zusammenhängende Zeta-Funktionen, die, wie man betrachten kann, Generalisationen des Riemanns zeta Funktion sind. Diese schließen die Funktion von Hurwitz zeta ein

:

(die konvergente Reihe-Darstellung wurde von Helmut Hasse 1930 vgl gegeben. Funktion von Hurwitz zeta), der mit dem Riemann zeta Funktion zusammenfällt, wenn q = 1 (bemerken, dass die niedrigere Grenze der Summierung in der Funktion von Hurwitz zeta 0, nicht 1 ist), die Dirichlet L-Funktionen und die Zeta-Funktion von Dedekind. Weil andere zusammenhängende Funktionen die Artikel Zeta sehen fungieren und L-Funktion.

Der Polylogarithmus wird durch gegeben

:

der mit dem Riemann zeta Funktion wenn z = 1 zusammenfällt.

Das Lerch transzendente wird durch gegeben

:

\frac {z^k} {(k+q) ^s }\\! </Mathematik>

der mit dem Riemann zeta Funktion zusammenfällt, wenn z = 1 und q = 1 (bemerken, dass die niedrigere Grenze der Summierung in transzendentem Lerch 0, nicht 1 ist).

Die Funktionskl. von Clausen (θ), der als der echte oder imaginäre Teil von Li (e) gewählt werden kann.

Die vielfachen Zeta-Funktionen werden durch definiert

:

Man kann diese Funktionen zum n-dimensional komplizierten Raum analytisch fortsetzen. Die speziellen Werte dieser Funktionen werden vielfache Zeta-Werte von Zahl-Theoretikern genannt und sind mit vielen verschiedenen Zweigen in der Mathematik und Physik verbunden worden.

Siehe auch

• Verallgemeinerte Hypothese von Riemann
• Riemann-Siegel theta fungiert
• Erste zeta fungieren
• 1 + 2 + 3 + 4 +

···

• Arithmetik zeta fungiert

Referenzen

• . In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), nachgedruckt durch Dover, New York (1953).

• (Allgemein konvergenter Reihe-Ausdruck.)
• E. T. Whittaker und G. N. Watson (1927). Ein Kurs in der Modernen Analyse, der vierten Ausgabe, Universitätspresse von Cambridge (Kapitel XIII).

• Kapitel 10.

• Kapitel 6.

Links

• Riemann Zeta Function, im Wolfram Mathworld — eine Erklärung mit einer mathematischeren Annäherung
• Tische von ausgewählten Nullen
• Primzahlen Werden Eine allgemeine, nicht technische Beschreibung der Bedeutung der Zeta-Funktion in Bezug auf Primzahlen Festgemacht.
• Der Röntgenstrahl der Zeta-Funktion hat Visuell Untersuchung dessen orientiert, wo zeta echt oder rein imaginär ist.
• Formeln und Identität für den Riemann Zeta fungieren functions.wolfram.com
• Riemann Zeta Function und Andere Summen von Gegenseitigen Mächten, Abschnitt 23.2 von Abramowitz und Stegun
• Die Hypothese von Riemann - Eine Seherforschung — eine Seherforschung der Hypothese- und Zeta-Funktion von Riemann