In der Mathematik ist eine geometrische Reihe eine Reihe mit einem unveränderlichen Verhältnis zwischen aufeinander folgenden Begriffen. Zum Beispiel, die Reihe

:ist

geometrisch, weil jeder aufeinander folgende Begriff durch das Multiplizieren des vorherigen Begriffes durch 1 / 2 erhalten werden kann.

Geometrische Reihen sind eines der einfachsten Beispiele der unendlichen Reihe mit begrenzten Summen, obwohl nicht sie alle dieses Eigentum haben. Historisch hat geometrische Reihe eine wichtige Rolle in der frühen Entwicklung der Rechnung gespielt, und sie setzen fort, in der Studie der Konvergenz der Reihe zentral zu sein. Geometrische Reihen werden überall in der Mathematik verwendet, und sie haben wichtige Anwendungen in Physik, Technik, Biologie, Volkswirtschaft, Informatik, queueing Theorie und Finanz.

Allgemeines Verhältnis

Die Begriffe einer geometrischen Reihe bilden einen geometrischen Fortschritt, bedeutend, dass das Verhältnis von aufeinander folgenden Begriffen in der Reihe unveränderlich ist. Der folgende Tisch zeigt mehrere geometrische Reihen mit verschiedenen allgemeinen Verhältnissen:

Das Verhalten der Begriffe hängt vom allgemeinen Verhältnis r ab:

:If r ist zwischen −1 und +1, die Begriffe der Reihe werden kleiner und kleiner, sich Null in der Grenze nähernd, und die Reihe läuft zu einer Summe zusammen. Im Fall oben, wo r eine Hälfte ist, hat die Reihe die Summe ein.

:If r ist größer als ein oder weniger als minus ein die Begriffe der Reihe werden größer und größer im Umfang. Die Summe der Begriffe wird auch größer und größer, und die Reihe hat keine Summe. (Die Reihe weicht ab.)

:If r ist einem gleich, alle Begriffe der Reihe sind dasselbe. Die Reihe weicht ab.

:If r ist minus ein die Begriffe nehmen zwei Werte abwechselnd (z.B 2, −2, 2, −2, 2...). Die Summe der Begriffe schwingt zwischen zwei Werten (z.B 2, 0, 2, 0, 2...). Das ist ein verschiedener Typ der Abschweifung, und wieder hat die Reihe keine Summe. Sieh zum Beispiel die Reihe von Grandi: 1 − 1 + 1 − 1 + ···.

Summe

Die Summe einer geometrischen Reihe ist begrenzt, so lange sich die Begriffe Null nähern; als die Zahlen in der Nähe von der Null werden sie unbedeutend klein, einer Summe erlaubend, trotz der Reihe berechnet zu werden, die unendlich ist. Die Summe kann mit der Selbstähnlichkeit der Reihe geschätzt werden.

Beispiel

Denken Sie die Summe der folgenden geometrischen Reihe:

:

Diese Reihe hat allgemeines Verhältnis 2/3. Wenn wir durch durch dieses allgemeine Verhältnis multiplizieren, dann wird anfänglicher 1 ein 2/3, der 2/3 wird ein 4/9 und so weiter:

:

Diese neue Reihe ist dasselbe als das Original, außer dass der erste Begriff vermisst wird. Die neue Reihe (2/3) s von der ursprünglichen Reihe Abstriche zu machen, annulliert jeden Begriff im Original, aber dem ersten:

:

Eine ähnliche Technik kann verwendet werden, um jeden selbstähnlichen Ausdruck zu bewerten.

Formel

Da die Summe der ersten n Begriffe einer geometrischen Reihe ist:

:

wo des ersten Begriffes der Reihe und r zu sein, das allgemeine Verhältnis ist. Wir können diese Formel wie folgt ableiten:

:\begin {richten }\aus

&\\Text {Lassen} s = + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + Ar^ {n-1}. \\[4pt]

&\\Text {Dann} rs = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots + Ar^ {n} \\[4pt]

&\\Text {Dann} s - rs = a-ar^ {n} \\[4pt]

&\\Text {Dann} s (1-r) = (1-r^ {n}), \text {so} s = ein \frac {1-r^ {n}} {1-r}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die Formel folgt durch das Multiplizieren durch durch a.

Als n zur Unendlichkeit geht, muss der absolute Wert von r weniger als ein für die Reihe sein, um zusammenzulaufen. Die Summe wird dann

:

Wenn das vereinfacht zu:

:

die linke Seite, die eine geometrische Reihe mit dem allgemeinen Verhältnis r ist. Wir können diese Formel ableiten:

:\begin {richten }\aus

&\\Text {Lassen} s = 1 + r + r^2 + r^3 + \cdots. \\[4pt]

&\\Text {Dann} rs = r + r^2 + r^3 + \cdots. \\[4pt]

&\\Text {Dann} s - rs = 1, \text {so} s (1 - r) = 1, \text {und so} s = \frac {1} {1-r}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die allgemeine Formel folgt, wenn wir durch durch a multiplizieren.

Diese Formel ist nur für die konvergente Reihe gültig (d. h., wenn der Umfang von r weniger als ein ist). Zum Beispiel ist die Summe unbestimmt, wenn, wenn auch die Formel gibt.

Dieses Denken ist auch mit denselben Beschränkungen für den komplizierten Fall gültig.

Beweis der Konvergenz

Wir können beweisen, dass die geometrische Reihe mit der Summe-Formel für einen geometrischen Fortschritt zusammenläuft:

:

&1 \, + \, r \, + \, r^2 \, + \, r^3 \, + \, \cdots \\[3pt]

&= \; \lim_ {n\rightarrow\infty} \left (1 \, + \, r \, + \, r^2 \, + \, \cdots \, + \, r^n\right) \\

&= \; \lim_ {n\rightarrow\infty} \frac {1-r^ {n+1}} {1-r }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Seitdem (1 + r + r +... + r) (1&minus;r) = 1&minus;r und für | r | &lt; 1 ist die Grenze.

Anwendungen

Das Wiederholen von Dezimalzahlen

Von einer sich wiederholenden Dezimalzahl kann als eine geometrische Reihe gedacht werden, deren allgemeines Verhältnis eine Macht von 1/10 ist. Zum Beispiel:

:

Die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe kann verwendet werden, um die Dezimalzahl zu einem Bruchteil umzuwandeln:

:

Die Formel arbeitet nicht nur für eine einzelne sich wiederholende Zahl, sondern auch für eine sich wiederholende Gruppe von Zahlen. Zum Beispiel:

:

Bemerken Sie, dass jede Reihe, Konsekutivdezimalzahlen zu wiederholen, mit dem folgenden günstig vereinfacht werden kann:

:::

Die Quadratur von Archimedes der Parabel

Archimedes hat die Summe einer geometrischen Reihe verwendet, um das Gebiet zu schätzen, das durch eine Parabel und eine Gerade eingeschlossen ist. Seine Methode war, das Gebiet in eine unendliche Zahl von Dreiecken zu analysieren.

Der Lehrsatz von Archimedes stellt fest, dass das Gesamtgebiet unter der Parabel 4/3 des Gebiets des blauen Dreiecks ist.

Archimedes hat beschlossen, dass jedes grüne Dreieck 1/8 das Gebiet des blauen Dreiecks hat, hat jedes gelbe Dreieck 1/8 das Gebiet eines grünen Dreiecks und so weiter.

Annehmend, dass das blaue Dreieck Gebiet 1 hat, ist das Gesamtgebiet eine unendliche Summe:

:

Der erste Begriff vertritt das Gebiet des blauen Dreiecks, der zweite Begriff die Gebiete der zwei grünen Dreiecke, der dritte Begriff die Gebiete der vier gelben Dreiecke und so weiter. Vereinfachung der Bruchteile gibt

:

Das ist eine geometrische Reihe mit dem allgemeinen Verhältnis, und der Bruchteil ist gleich

Die Summe ist

: Q.E.D.

Diese Berechnung verwendet die Methode der Erschöpfung, eine frühe Version der Integration. In der modernen Rechnung konnte der gemeinsame Bereich mit einem bestimmten Integral gefunden werden.

Geometrie von Fractal

In der Studie von fractals entstehen geometrische Reihen häufig als der Umfang, das Gebiet oder das Volumen einer selbstähnlichen Zahl.

Zum Beispiel kann das Gebiet innerhalb der Schneeflocke von Koch als die Vereinigung von ungeheuer vielen gleichseitigen Dreiecken beschrieben werden (sieh Zahl). Jede Seite des grünen Dreiecks ist genau 1/3 die Größe einer Seite des großen blauen Dreiecks, und hat deshalb genau 1/9 das Gebiet. Ähnlich hat jedes gelbe Dreieck 1/9 das Gebiet eines grünen Dreiecks und so weiter. Das blaue Dreieck als eine Einheit des Gebiets nehmend, ist das Gesamtgebiet der Schneeflocke

:

Der erste Begriff dieser Reihe vertritt das Gebiet des blauen Dreiecks, der zweite Begriff das Gesamtgebiet der drei grünen Dreiecke, der dritte Begriff das Gesamtgebiet der zwölf gelben Dreiecke und so weiter. Anfänglichen 1 ausschließend, ist diese Reihe mit dem unveränderlichen Verhältnis r = 4/9 geometrisch. Der erste Begriff der geometrischen Reihe ist = 3 (1/9) = 1/3, so ist die Summe

:

So hat die Schneeflocke von Koch 8/5 des Gebiets des Grunddreiecks.

Die Paradoxe von Zeno

Die Konvergenz einer geometrischen Reihe offenbart, dass eine Summe, die eine unendliche Zahl von summands einschließt, tatsächlich begrenzt sein kann, und so erlaubt, viele Paradoxe von Zeno aufzulösen. Zum Beispiel erhält das Zweiteilungsparadox von Zeno diese Bewegung aufrecht ist unmöglich, weil man jeden begrenzten Pfad in eine unendliche Zahl von Schritten teilen kann, worin jeder Schritt gemacht wird, um Hälfte der restlichen Entfernung zu sein. Der Fehler von Zeno ist in der Annahme, dass die Summe einer unendlichen Zahl von begrenzten Schritten nicht begrenzt sein kann. Das ist natürlich, wie gezeigt, durch die Konvergenz der geometrischen Reihe damit nicht wahr.

Euklid

Buch IX, Vorschlag 35 der Elemente von Euklid drückt die teilweise Summe einer geometrischen Reihe in Bezug auf Mitglieder der Reihe aus. Es ist zur modernen Formel gleichwertig.

Volkswirtschaft

In der Volkswirtschaft werden geometrische Reihen verwendet, um den aktuellen Wert einer Jahresrente (ein Geldbetrag zu vertreten, der in regelmäßigen Zwischenräumen zu bezahlen ist).

Nehmen Sie zum Beispiel an, dass eine Zahlung von 100 $ dem Eigentümer der Jahresrente einmal pro Jahr (am Ende des Jahres) auf ewig gemacht wird. Empfang von 100 $ pro Jahr ist von jetzt an weniger als ein unmittelbaren 100 $ wert, weil man das Geld nicht investieren kann, bis man es erhält. Insbesondere der aktuelle Wert von 100 $ ein Jahr in der Zukunft ist $ 100 / (1 +), wo der jährliche Zinssatz ist.

Ähnlich eine Zahlung von 100 $ zwei Jahre in der Zukunft haben einen aktuellen Wert von $ 100 / (1 +) (quadratisch gemacht, weil der Wert von Interesse von zwei Jahren verloren wird, indem er das Geld in diesem Augenblick nicht erhalten wird). Deshalb ist der aktuelle Wert, 100 $ zu erhalten, pro Jahr auf ewig

:

der die unendliche Reihe ist:

:

Das ist eine geometrische Reihe mit dem allgemeinen Verhältnis 1 / (1 +). Die Summe ist der erste Begriff, der durch (ein minus das allgemeine Verhältnis) geteilt ist:

:

Zum Beispiel, wenn der jährliche Zinssatz 10 % ist (= 0.10), dann hat die komplette Jahresrente einen aktuellen Wert von $ 100/0.10 = 1000 $.

Diese Sorte der Berechnung wird verwendet, um den APR eines Darlehens (wie ein Hypothekendarlehen) zu schätzen. Es kann auch verwendet werden, um den aktuellen Wert von erwarteten Aktiendividenden oder den Endwert einer Sicherheit zu schätzen.

Geometrische Macht-Reihe

Die Formel für eine geometrische Reihe

:

kann als eine Macht-Reihe im Lehrsatz-Sinn von Taylor interpretiert werden, wo zusammenlaufend

:

Siehe auch

• Asymptote
• Reihe (Mathematik)
• geometrischer Fortschritt
• Verhältnis-Test
• wurzeln Sie ein prüfen
• auseinander gehende geometrische Reihe
• Reihe von Neumann
• Turm Hanois
• 0.999...

Spezifische geometrische Reihe

• Die Reihe von Grandi: 1  1 + 1  1 +

···

• 1 + 2 + 4 + 8 +

···

• 1  2 + 4  8 +

···

• 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +

···

• 1/2  1/4 + 1/8  1/16 +

···

• 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 +

···

• James Stewart (2002). Rechnung, 5. Hrsg., Brooks Cole. Internationale Standardbuchnummer 978-0534393397
• Larson, Hostetler und Edwards (2005). Rechnung mit der Analytischen Geometrie, 8. Hrsg., Houghton Mifflin Company. Internationale Standardbuchnummer 978-0618502981
• Roger B. Nelsen (1997). Beweise ohne Wörter: Übungen im Sehdenken, Der Mathematischen Vereinigung Amerikas. Internationale Standardbuchnummer 978-0883857007

Geschichte und Philosophie

• C. H. Edwards der Jüngere. (1994). Die Historische Entwicklung der Rechnung, 3. Hrsg., Springers. Internationale Standardbuchnummer 978-0387943138.
• Eli Maor (1991). Zur Unendlichkeit und Darüber hinaus: Eine Kulturelle Geschichte der Unendlichen, Universität von Princeton Presse. Internationale Standardbuchnummer 978-0691025117
• Morr Lazerowitz (2000). Die Struktur der Metaphysik (Internationale Bibliothek der Philosophie), Routledge. Internationale Standardbuchnummer 978-0415225267

Volkswirtschaft

• Carl P. Simon und Lawrence Blume (1994). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, W. W. Norton & Company. Internationale Standardbuchnummer 978-0393957334
• Mike Rosser (2003). Grundlegende Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, 2. Hrsg., Routledge. Internationale Standardbuchnummer 978-0415267847

Biologie

• Edward Batschelet (1992). Einführung in die Mathematik für Lebenswissenschaftler, 3. Hrsg., Springer. Internationale Standardbuchnummer 978-0387096483
• Richard F. Burton (1998). Biologie durch Zahlen: Eine Aufmunterung zum Quantitativen Denken, Universität von Cambridge Presse. Internationale Standardbuchnummer 978-0521576987

Informatik

• John Rast Hubbard (2000). Der Umriss von Schaum der Theorie und Probleme von Datenstrukturen Mit Java, McGraw-Hügel. Internationale Standardbuchnummer 978-0071378703

Links

• "Geometrische Reihe" durch Michael Schreiber, Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.