In der Mathematik, spezifisch auswechselbaren Algebra, stellt der Basislehrsatz von Hilbert fest, dass jedes Ideal im Ring von multivariate Polynomen über einen Ring von Noetherian begrenzt erzeugt wird. Das kann in die algebraische Geometrie wie folgt übersetzt werden: Jeder algebraische Satz über ein Feld kann als der Satz von gemeinsamen Wurzeln von begrenzt vielen polynomischen Gleichungen beschrieben werden. bewiesen der Lehrsatz (für den speziellen Fall von polynomischen Ringen über ein Feld) im Laufe seines Beweises der begrenzten Generation von Ringen von invariants.

Hilbert hat einen innovativen Beweis durch den Widerspruch mit der mathematischen Induktion erzeugt; seine Methode gibt keinen Algorithmus, um die begrenzt vielen Basispolynome für ein gegebenes Ideal zu erzeugen: Es zeigt nur, dass sie bestehen müssen. Man kann Basispolynome mit der Methode von Basen von Gröbner bestimmen.

Beweis

Die folgende allgemeinere Behauptung wird bewiesen.

Lehrsatz. Wenn ein nach links (beziehungsweise Recht-) Ring von Noetherian ist, dann ist der polynomische Ring auch ein nach links (beziehungsweise Recht-) Ring von Noetherian.

Es genügt, um gerade den "Linken" Fall in Betracht zu ziehen.

Beweis (Lehrsatz)

Denken Sie pro Gegenseite, die ein nichtbegrenzt erzeugtes nach links Ideal waren. Dann würde es sein, dass durch recursion (das Axiom der zählbaren Wahl verwendend), dass eine Folge von Polynomen so dass, das Lassen des minimalen Grads gefunden werden konnte. Es ist klar, dass eine nichtabnehmende Folge von naturals ist. Denken Sie jetzt das nach links Ideal wo der Hauptkoeffizienten zu sein. Seitdem ist nach-links-Noetherian, wir haben, der begrenzt erzeugt werden muss; und seit dem Umfassen - Basis, hieraus folgt dass für einen begrenzten Betrag von ihnen, sagen

so des Grads

Ein konstruktiver Beweis (das Axiom der Wahl nicht anrufend), besteht auch. Jedoch muss der Beweis das Lemma von Zorn verwenden, das zum Axiom der Wahl gleichwertig ist.

Beweis (Lehrsatz):

Lassen Sie, ein nach links Ideal zu sein. Lassen Sie, der Satz von Hauptkoeffizienten von Mitgliedern Davon zu sein, ist offensichtlich ein nach links Ideal zu Ende und wird so durch die Hauptkoeffizienten von begrenzt vielen Mitgliedern dessen begrenzt erzeugt sagen Lassen Lassen, der Satz von Hauptkoeffizienten von Mitgliedern zu sein, deren Grad Wie zuvor ist, sind nach links Ideale zu Ende und werden so durch die Hauptkoeffizienten von begrenzt vielen Mitgliedern dessen begrenzt erzeugt sagen mit Graden, die Jetzt gelassen sind, das nach links Ideal zu sein, das dadurch erzeugt ist

Denken Sie pro Gegenseite, die das nicht so war. Dann lassen Sie, des minimalen Grads zu sein, und seinen Hauptkoeffizienten durch anzuzeigen

Fall 1: Unabhängig von dieser Bedingung haben wir auch ist eine nach links geradlinige Kombination der Koeffizienten des Denkens, das denselben Hauptbegriff wie außerdem so des Grads hat

Fall 2:

So hält unser Anspruch, und der begrenzt erzeugt wird.

Bemerken Sie, dass der einzige Grund, den wir in zwei Fälle spalten mussten, war sicherzustellen, dass die Mächte, die Faktoren zu multiplizieren, in den Aufbauten nichtnegativ waren.

Anwendungen

Lassen Sie, Nötherian Ersatzring zu sein. Der Basislehrsatz von Hilbert hat einige unmittelbare Folgeerscheinungen. Erstens durch die Induktion sehen wir, dass das auch Nötherian sein wird. Zweitens, da jede affine Vielfalt über (d. h. eine auf den geometrischen Ort gesetzte von einer Sammlung von Polynomen) als der geometrische Ort eines Ideales und weiter als der geometrische Ort seiner Generatoren geschrieben werden kann, hieraus folgt dass jede affine Vielfalt der geometrische Ort von begrenzt vielen Polynomen — d. h. die Kreuzung von begrenzt vielen Hyperoberflächen ist. Schließlich, wenn ein begrenzt erzeugter - Algebra waren, dann wissen wir dass (d. h. mod-ing durch Beziehungen), wo eine Reihe von Polynomen. Wir können annehmen, dass das ein Ideal ist und so begrenzt erzeugt wird. So würde ein freier - Algebra (auf Generatoren) erzeugt durch begrenzt viele Beziehungen sein.

Mizar System

Das Mizar-Projekt hat völlig formalisiert und automatisch einen Beweis des Basislehrsatzes von Hilbert in der HILBASIS Datei überprüft.

• Steuermann, Wenig, und O'Shea, Ideale, Varianten, und Algorithmen, Springer-Verlag, 1997.