Der Algorithmus von Rader (1968) ist ein Algorithmus des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT), der den getrennten Fourier verwandelt sich (DFT) von Hauptgrößen durch das Wiederausdrücken des DFT als eine zyklische Gehirnwindung schätzt. (Der andere Algorithmus für FFTs von Hauptgrößen, der Algorithmus von Bluestein, arbeitet auch durch das Neuschreiben des DFT als eine Gehirnwindung.)

Sich da der Algorithmus von Rader nur von der Periodizität des DFT Kerns abhängt, ist es auf irgendwelchen anderer direkt anwendbar, verwandelten (von der Hauptordnung) mit einem ähnlichen Eigentum, solcher, weil sich ein mit der Zahl theoretischer verwandelt oder der getrennte Hartley verwandeln.

Der Algorithmus kann modifiziert werden, um einen Faktor von zwei Ersparnissen für den Fall von DFTs von echten Daten mit einem ein bisschen modifizierten re-indexing/permutation zu gewinnen, um zwei zyklische Halbgrößengehirnwindungen von echten Daten (Chu & Burrus, 1982) zu erhalten; eine alternative Anpassung für DFTs von echten Daten, mit dem getrennten Hartley verwandelt sich, wurde von Johnson & Frigo (2007) beschrieben.

Winograd hat den Algorithmus von Rader erweitert, um Hauptmacht DFT Größen einzuschließen (Winograd 1976; Winograd 1978), und heute wird der Algorithmus von Rader manchmal als ein spezieller Fall des FFT Algorithmus von Winograd beschrieben, auch genannt den multiplicative Fourier gestalten Algorithmus um (Tolimieri u. a. 1997), der für eine noch größere Klasse von Größen gilt. Jedoch, für zerlegbare Größen wie Hauptmächte, ist der Cooley-Tukey FFT Algorithmus viel einfacher und praktischer, um durchzuführen, so wird der Algorithmus von Rader normalerweise nur für Groß-Hauptgrundfälle der rekursiven Zergliederung von Cooley-Tukey des DFT (Frigo und Johnson, 2005) verwendet.

Algorithmus

Rufen Sie zurück, dass der DFT durch die Formel definiert wird

:

\qquad

k = 0, \dots, n-1. </Mathematik>

Wenn N eine Primzahl ist, dann bildet der Satz von Nichtnullindizes n = 1..., n-1 eine Gruppe unter der Multiplikation modulo N. Eine Folge der Zahlentheorie solcher Gruppen ist, dass dort ein Generator der Gruppe besteht (manchmal hat eine primitive Wurzel genannt), eine ganze Zahl g solch dass n = g (mod N) für jeden Nichtnullindex n und für einen einzigartigen q in 0..., n-2 (das Formen einer Bijektion von q bis Nichtnull n). Ähnlich k = g (mod N) für jeden Nichtnullindex k und für einen einzigartigen p in 0..., n-2, wo die negative Hochzahl das multiplicative Gegenteil von g modulo N anzeigt. Das bedeutet, dass wir den DFT umschreiben können, der diese neuen Indizes p und q als verwendet:

p = 0, \dots, n-2. </Mathematik>

(Rufen Sie zurück, dass x und X in N und auch dem e=1 implizit periodisch sind. So werden alle Indizes und Hochzahlen modulo N, wie erforderlich, durch die Gruppenarithmetik genommen.)

Die Endsummierung ist oben genau eine zyklische Gehirnwindung der zwei Folgen a und b der Länge n-1 (q = 0..., n-2) definiert durch:

Das Auswerten der Gehirnwindung

Da n-1 zerlegbar ist, kann diese Gehirnwindung direkt über den Gehirnwindungslehrsatz und die herkömmlicheren FFT Algorithmen durchgeführt werden. Jedoch kann das nicht effizient sein, wenn n-1 selbst große Hauptfaktoren hat, rekursiven Gebrauch des Algorithmus von Rader verlangend. Statt dessen kann man eine Länge - (n-1) zyklische Gehirnwindung genau durch das Nullpolstern es zu einer Länge von mindestens 2 (n-1)-1 schätzen, einer Macht zwei sagen, der dann in O bewertet werden kann (N, loggen N) die Zeit ohne die rekursive Anwendung des Algorithmus von Rader.

Dieser Algorithmus verlangt dann O (N) Hinzufügungen plus O (N loggen N) die Zeit für die Gehirnwindung. In der Praxis kann der O (N) Hinzufügungen häufig durch das Vereinigen der Hinzufügungen in die Gehirnwindung durchgeführt werden: Wenn die Gehirnwindung von einem Paar von FFTs durchgeführt wird, dann wird die Summe von x durch den Gleichstrom (0th) Produktion des FFT plus x gegeben, und x kann zu allen Produktionen durch das Hinzufügen davon zum Gleichstrom-Begriff der Gehirnwindung vor dem umgekehrten FFT hinzugefügt werden. Und doch, dieser Algorithmus verlangt wirklich mehr Operationen als FFTs nahe gelegener zerlegbarer Größen, und nimmt normalerweise 3-10mal so lange in der Praxis.

Wenn der Algorithmus von Rader durch das Verwenden von FFTs der Größe n-1 durchgeführt wird, um die Gehirnwindung, aber nicht durch das Nullpolstern wie oben erwähnt zu schätzen, hängt die Leistungsfähigkeit stark auf N und die Zahl von Zeiten ab, dass der Algorithmus von Rader rekursiv angewandt werden muss. Der Grenzfall würde sein, wenn n-1 2N wären, wo N, mit n-1 = 2N erst ist, wo N und so weiter erst ist. In solchen Fällen, angenommen, dass die Kette der Blüte verlängert den ganzen Weg unten zu einem begrenzten Wert, die rekursive Anwendung des Algorithmus von Rader wirklich O (N) Zeit verlangen würde. Solche N werden Blüte von Sophie Germain genannt, und solch eine Folge von ihnen wird eine Kette von Cunningham der ersten Art genannt. Wie man beobachtet, wachsen die Längen von Ketten von Cunningham jedoch langsamer als Klotz (N), so ist der Algorithmus von Rader angewandt auf diese Weise wahrscheinlich nicht &Omega; (N), obwohl es vielleicht schlechter ist als O (N loggen N), für die Grenzfälle. Glücklich kann eine Garantie von O (N loggen N), Kompliziertheit durch das Nullpolstern erreicht werden.

• C. M. Rader, "Verwandelt sich getrennter Fourier, wenn die Zahl von Datenproben," Proc erst ist. IEEE 56, 1107-1108 (1968).
• S. Chu und C. Burrus, "Hat ein Hauptfaktor FTT sic Algorithmus damit Arithmetik," IEEE Transaktionen auf der Akustik, der Rede und dem Signal verteilt, das 30 (2), 217-227 (1982) In einer Prozession geht.
• Matteo Frigo und Steven G. Johnson, "Das Design und die Durchführung von FFTW3," Verhandlungen des IEEE 93 (2), 216-231 (2005).
• S. Winograd, "Bei der Computerwissenschaft des Getrennten Fouriers Verwandeln Sich", Proc. Nationale Akademie von Wissenschaften die USA, 73 (4), 1005-1006 (1976).
• S. Winograd, "Bei der Computerwissenschaft des Getrennten Fouriers Verwandeln Sich", Mathematik der Berechnung, 32 (141), 175-199 (1978).
• R. Tolimieri, M., und C.Lu, "Verwandeln Sich Algorithmen für Getrennten Fourier und Gehirnwindung," Springer-Verlag, 2. Hrsg., 1997.