Der FFT Algorithmus von Bluestein (1968), allgemein genannt das Zwitschern z-transform Algorithmus (1969), ist ein Algorithmus des schnellen Fouriers verwandelt sich (FFT), der den getrennten Fourier verwandelt sich (DFT) willkürlicher Größen (einschließlich Hauptgrößen) durch das Wiederausdrücken des DFT als eine Gehirnwindung schätzt. (Der andere Algorithmus für FFTs von Hauptgrößen, der Algorithmus von Rader, arbeitet auch durch das Neuschreiben des DFT als eine Gehirnwindung.)

Tatsächlich kann der Algorithmus von Bluestein verwendet werden, um allgemeiner zu rechnen, verwandelt sich als der DFT, der auf dem (einseitigen) z-transform gestützt ist (Rabiner u. a. 1969).

Algorithmus

Rufen Sie zurück, dass der DFT durch die Formel definiert wird:\qquadk = 0, \dots, n-1. </Mathematik>

Wenn wir das Produkt nk in der Hochzahl durch die Identität nk = - (k-n)/2 + n/2 + k/2 ersetzen, herrschen wir so vor:

:\qquadk = 0, \dots, n-1. </Mathematik>

Diese Summierung ist genau eine Gehirnwindung der zwei Folgen a und b der Länge N (n = 0..., n-1) definiert durch:

::

mit der Produktion der Gehirnwindung, die mit N Phase-Faktoren b multipliziert ist. Das ist:

:

Diese Gehirnwindung kann abwechselnd mit einem Paar von FFTs (plus der vorgeschätzte FFT von b) über den Gehirnwindungslehrsatz durchgeführt werden. Der Stichpunkt ist, dass diese FFTs nicht derselben Länge N sind: Solch eine Gehirnwindung kann genau von FFTs nur durch das Nullpolstern es zu einer Länge größer oder gleich 2N-1 geschätzt werden. Insbesondere man kann zu einer Macht zwei oder eine andere hoch zerlegbare Größe auspolstern, für die der FFT durch z.B den Cooley-Tukey Algorithmus in O effizient durchgeführt werden kann (N, loggen N) Zeit. So stellt der Algorithmus von Bluestein einen O zur Verfügung (N loggen N) Weise, Hauptgröße DFTs, obgleich mehrere Male langsamer zu schätzen, als der Cooley-Tukey Algorithmus für zerlegbare Größen.

Der Gebrauch des Nullpolsterns für die Gehirnwindung im Algorithmus von Bluestein verdient eine zusätzliche Anmerkung. Nehmen Sie uns Nullpolster zu einer Länge M &ge an; 2N-1. Das bedeutet dass verlängert zu einer Reihe der Länge M, wo = für 0 &le zu sein; n &lt; N und = 0 sonst - die übliche Bedeutung "des Nullpolsterns". Jedoch, wegen des B-Begriffes in der Gehirnwindung, sind sowohl positive als auch negative Werte von n für b (Anmerkung dass b = b) erforderlich. Die periodischen durch den DFT der nullgepolsterten Reihe einbezogenen Grenzen bedeuten, dass-n zu M-n gleichwertig ist. So wird b zu einer Reihe B der Länge M, wo B = b, B = B = b für 0 &lt erweitert; n &lt; N, und B = 0 sonst. A und B sind dann FFTed, hat pointwise und umgekehrten FFTed multipliziert, um die Gehirnwindung von a und b gemäß dem üblichen Gehirnwindungslehrsatz zu erhalten.

Lassen Sie uns auch darüber genauer sein, welche Gehirnwindung im Algorithmus von Bluestein für den DFT erforderlich ist. Wenn die Folge b in n mit der Periode N periodisch wäre, dann würde es eine zyklische Gehirnwindung der Länge N sein, und das Nullpolstern würde für die rechenbetonte Bequemlichkeit nur sein. Jedoch ist das nicht allgemein der Fall:

:

Deshalb für N ist sogar die Gehirnwindung zyklisch, aber in diesem Fall ist N zerlegbar, und man würde normalerweise einen effizienteren FFT Algorithmus wie Cooley-Tukey verwenden. Für den N seltsam, jedoch, dann ist b antiperiodisch, und wir haben technisch eine negacyclic Gehirnwindung der Länge N. Solche Unterscheidungen verschwinden wenn Nullpolster zu einer Länge mindestens 2N&minus;1, wie beschrieben, oben jedoch. Es ist vielleicht deshalb am leichtesten, daran als eine Teilmenge der Produktionen einer einfachen geradlinigen Gehirnwindung (d. h. keine Begriffs"Erweiterungen" der Daten, periodisch oder sonst) zu denken.

z-Transforms

Der Algorithmus von Bluestein kann auch verwendet werden, um zu rechnen, ein allgemeinerer verwandeln sich gestützt auf dem (einseitigen) z-transform (Rabiner u. a. 1969). Insbesondere es kann rechnen irgendwelcher verwandelt sich der Form:

:\qquad

k = 0, \dots, m-1, </Mathematik>

für eine willkürliche komplexe Zahl z und für sich unterscheidende Zahlen N und M von Eingängen und Produktionen. In Anbetracht des Algorithmus von Bluestein, solch ein sich verwandeln kann zum Beispiel verwendet werden, um eine feiner Interpolation unter Drogeneinfluss von einem Teil des Spektrums zu erhalten (obwohl die Frequenzentschlossenheit noch durch die ausfallende Gesamtzeit beschränkt wird), erhöhen Sie willkürliche Pole in Übertragungsfunktionsanalysen et cetera.

Der Algorithmus wurde das Zwitschern z-transform Algorithmus synchronisiert, weil, für den Fourier-umgestalten Fall (|z = 1), die Folge b von oben ein Komplex sinusoid von der geradlinig zunehmenden Frequenz ist, die ein (geradliniges) Zwitschern in Radarsystemen genannt wird.

• Leo I. Bluestein "Verwandelt sich eine geradlinige durchscheinende Annäherung an die Berechnung des getrennten Fouriers," Forschung von Northeast Electronics und Techniktreffen-Aufzeichnung 10, 218-219 (1968).
• Lawrence R. Rabiner, Ronald W. Schafer und Charles M. Rader, "Das Zwitschern z-transform Algorithmus und seine Anwendung," Glockensystem-Technologie. J. 48, 1249-1292 (1969). Auch veröffentlicht in: Rabiner, Shafer und Rader, "Das Zwitschern z-transform Algorithmus," IEEE Trans. Audioelectroacoustics 17 (2), 86-92 (1969).
• D. H. Bailey und P. N. Swarztrauber, "Verwandelt sich der unbedeutende Fourier und Anwendungen," SIAM-Rezension 33, 389-404 (1991). (Bemerken Sie, dass diese Fachsprache für den z-transform umgangssprachlich ist: Ein unbedeutender Fourier verwandelt sich herkömmlich bezieht sich auf einen völlig verschiedenen, dauernde verwandeln sich.)
• Lawrence Rabiner, "Das Zwitschern z-transform Lehre des Algorithmus-a im Spürsinn," in einer Prozession gehende IEEE-Signalzeitschrift 21, 118-119 (März 2004). (Historischer Kommentar.)