In der mathematischen Physik, dem Raum von Minkowski oder der Raum-Zeit von Minkowski (genannt nach dem Mathematiker Hermann Minkowski) ist die mathematische Einstellung, in der die Theorie von Einstein der speziellen Relativität am günstigsten formuliert wird. In dieser Einstellung werden die drei gewöhnlichen Dimensionen des Raums mit einer einzelnen Dimension der Zeit verbunden, um eine vierdimensionale Sammelleitung zu bilden, für eine Raum-Zeit zu vertreten.

In der theoretischen Physik wird Raum von Minkowski häufig mit dem Euklidischen Raum gegenübergestellt. Während ein Euklidischer Raum nur Raummäßigdimensionen hat, hat ein Raum von Minkowski auch eine Zeitmäßigdimension. Deshalb ist die Symmetrie-Gruppe eines Euklidischen Raums die Euklidische Gruppe, und für einen Raum von Minkowski ist es die Gruppe von Poincaré.

Der Raum-Zeit-Zwischenraum zwischen zwei Ereignissen im Raum von Minkowski ist auch:

1. raumähnlich,
2. einem Licht ähnliche ('Null') oder
3. zeitähnlich.

Geschichte

In 1905-6 wurde es von Henri Poincaré bemerkt, dass, indem sie Zeit in Anspruch genommen wird, um der imaginäre Teil der vierten Raum-Zeit-Koordinate  ct zu sein, die Transformation von Lorentz als eine Folge in einem vierdimensionalen Euklidischen Raum mit drei echten Koordinaten betrachtet werden kann, die Raum und eine imaginäre Koordinate vertreten, Zeit als die vierte Dimension vertretend.

Diese Idee wurde von Hermann Minkowski sorgfältig ausgearbeitet, der sie verwendet hat, um die Gleichungen von Maxwell in vier Dimensionen neu zu formulieren, die direkt ihren invariance unter der Transformation von Lorentz zeigen. Er hat weiter in vier Dimensionen die dann neue Theorie der speziellen Relativität von Einstein wiederformuliert. Davon hat er beschlossen, dass Zeit und Raum ebenso behandelt werden sollte und so sein Konzept von Ereignissen entstanden ist, die in einem vereinigten vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum stattfinden. In einer weiteren Entwicklung hat er eine alternative Formulierung dieser Idee gegeben, die die imaginäre Zeitkoordinate nicht verwendet hat, aber die vier Variablen (x, y, z, t) der Zeit und Raums in der Koordinatenform in einem vier dimensionalen affine Raum vertreten hat. Punkte in diesem Raum entsprechen Ereignissen in der Raumzeit. In diesem Raum dort wird der mit jedem Punkt vereinigte leichte Kegel definiert (sieh Diagramm oben), und Ereignisse nicht auf dem leichten Kegel werden durch ihre Beziehung zur Spitze als raumähnlich oder zeitähnlich klassifiziert. Es ist hauptsächlich diese Ansicht von der Raum-Zeit, die heutzutage aktuell ist, obwohl die ältere Ansicht, die mit imaginärer Zeit verbunden ist, auch spezielle Relativität beeinflusst hat. Minkowski, der der grundsätzlichen Neuformulierung der Theorie bewusst ist, die er gemacht hatte, hat gesagt:

Weil weitere historische Information Verweisungen Galison (1979), Corry (1997), Walter (1999) sieht

Struktur

Formell ist Raum von Minkowski ein vierdimensionaler echter Vektorraum, der mit einer nichtdegenerierten, symmetrischen bilinearen Form mit der Unterschrift ausgestattet ist (Einige können auch die alternative Unterschrift bevorzugen; im Allgemeinen bevorzugen Mathematiker und allgemeine Relativisten den ersteren, während Partikel-Physiker dazu neigen, die Letzteren zu verwenden.) Mit anderen Worten ist Raum von Minkowski ein pseudoeuklidischer Raum mit und (in einer breiteren Definition, die irgendwelchem erlaubt wird). Elemente des Raums von Minkowski werden Ereignisse oder vier Vektoren genannt. Raum von Minkowski wird häufig R angezeigt, um die Unterschrift zu betonen, obwohl es auch angezeigte M oder einfach M ist. Es ist vielleicht das einfachste Beispiel einer Pseudo-Riemannian-Sammelleitung.

Das Skalarprodukt von Minkowski

Dieses Skalarprodukt ist dem üblichen, Euklidischen, Skalarprodukt ähnlich, aber wird verwendet, um eine verschiedene Geometrie zu beschreiben; die Geometrie wird gewöhnlich mit der Relativität vereinigt. Lassen Sie M ein 4-dimensionaler echter Vektorraum sein. Das Skalarprodukt von Minkowski ist eine Karte (d. h. gegeben irgendwelche zwei Vektoren v, w in der M definieren wir η (v, w) als eine reelle Zahl), der Eigenschaften (1), (2), (3) verzeichnet hier, sowie Eigentum (4) gegeben unten befriedigt:

:

Bemerken Sie, dass das nicht ein Skalarprodukt im üblichen Sinn ist, da es nicht positiv-bestimmt ist, d. h. die quadratische Form || v = η (v, v) nicht positiv zu sein braucht. Die positiv-bestimmte Bedingung ist durch die schwächere Bedingung der Nichtentartung ersetzt worden (jede positiv-bestimmte Form ist nichtdegeneriert, aber nicht umgekehrt). Wie man sagt, ist das Skalarprodukt unbestimmt. Diese falschen Bezeichnungen, "Skalarprodukt von Minkowski" und "Minkowski metrischer" Konflikt mit den Standardbedeutungen des Skalarprodukts und metrisch in der reinen Mathematik; als mit vielen anderen falschen Bezeichnungen ist der Gebrauch dieser Begriffe wegen der Ähnlichkeit zur mathematischen Struktur.

Ebenso im Euklidischen Raum, wie man sagt, sind zwei Vektoren v und w wenn η (v, w) = 0 orthogonal. Aber Raum von Minkowski unterscheidet sich durch das Umfassen hyperbelorthogonaler Ereignisse, im Falle dass v und w ein Flugzeug abmessen, wo η negative Werte nimmt. Dieser Unterschied wird durch das Vergleichen der Euklidischen Struktur des gewöhnlichen Flugzeugs der komplexen Zahl zur Struktur des Flugzeugs von komplexen Zahlen des Spalts geklärt. Die Norm von Minkowski eines Vektoren v wird durch definiert

:

Das ist nicht eine Norm im üblichen Sinn (er scheitert, subzusätzlich zu sein), aber er definiert wirklich eine nützliche Generalisation des Begriffs der Länge zum Raum von Minkowski. Insbesondere ein Vektor v wird einen Einheitsvektor wenn || v = 1 (d. h.,) genannt. Eine Basis für die M, die aus gegenseitig orthogonalen Einheitsvektoren besteht, wird eine orthonormale Basis genannt.

Durch den Prozess des Gramms-Schmidt hat jeder Skalarprodukt-Raum befriedigende Bedingungen 1 bis 3 oben immer eine orthonormale Basis. Außerdem ist die Zahl von positiven und negativen Einheitsvektoren in jeder solcher Basis ein festes Paar von Zahlen, die der Unterschrift des Skalarprodukts gleich sind. Das ist das Gesetz von Sylvester der Trägheit.

Dann kann die vierte Bedingung auf η festgesetzt werden:

:

Welche Unterschrift verwendet wird, ist eine Sache der Tagung. Beide sind ziemlich üblich. Sieh Zeichen-Tagung.

Standardbasis

Eine Standardbasis für den Raum von Minkowski ist eine Reihe vier gegenseitig orthogonale Vektoren {e, e, e, e} solch dass

:− (e) = (e) = (e) = (e) = 1

Diese Bedingungen können kompakt in der folgenden Form geschrieben werden:

:

wo μ und ν die Werte durchgehen (0, 1, 2, 3) und die Matrix η durch gegeben wird

:

Dieser Tensor wird oft den "Tensor von Minkowski" genannt. Hinsichtlich einer Standardbasis werden die Bestandteile eines Vektoren v geschrieben (v, v, v, v), und wir verwenden die Notation von Einstein, um v = ve zu schreiben. Der Bestandteil v wird den Zeitmäßigbestandteil von v genannt, während die anderen drei Bestandteile die Raumbestandteile genannt werden.

In Bezug auf Bestandteile, das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren v und w wird durch gegeben

:

und der Norm-karierte von einem Vektoren v ist

:v = η vv = − (v) + (v) + (v) + (v)

Alternative Definition

Die Abteilung definiert oben Raum von Minkowski als ein Vektorraum. Es gibt eine alternative Definition des Raums von Minkowski als ein affine Raum, der Raum von Minkowski als ein homogener Raum der Gruppe von Poincaré mit der Gruppe von Lorentz als der Ausgleicher ansieht. Sieh Erlangen Programm.

Bemerken Sie auch, dass der Begriff "Raum von Minkowski" auch für Entsprechungen in jeder Dimension gebraucht wird: Wenn n2, n-dimensional Raum von Minkowski ein Vektorraum oder affine Raum der echten Dimension n ist, auf dem es ein Skalarprodukt oder pseudo-Riemannian metrisch der Unterschrift (n1,1), d. h., in der obengenannten Fachsprache, n1 "pluses" und ein "minus" gibt.

Transformationen von Lorentz

Alle vier Vektoren, d. h. Vektoren im Raum von Minkowski, verwandeln sich auf dieselbe Weise. In den Standardsätzen von Trägheitsrahmen, wie gezeigt, durch den Graphen,

:

\begin {bmatrix }\

U' _0 \\U' _1 \\U' _2 \\U' _3

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

\gamma&-\beta \gamma&0&0 \\

- \beta \gamma&\gamma&0&0 \\

0&0&1&0 \\

0&0&0&1 \\

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

U_0 \\U_1 \\U_2 \\U_3

\end {bmatrix }\\.

</Mathematik>wo:und:

Symmetries

Einer der symmetries des Raums von Minkowski wird eine "Zunahme von Lorentz" genannt. Diese Symmetrie wird häufig mit einem Diagramm von Minkowski illustriert.

Die Poincaré Gruppe ist die Gruppe von Isometrien der Raum-Zeit von Minkowski.

Kausale Struktur

Vektoren werden gemäß dem Zeichen von η (v, v) klassifiziert. Wenn die Standardunterschrift (&minus;,+,+,+) verwendet wird, ist ein Vektor v:

:

Diese Fachsprache kommt aus dem Gebrauch des Raums von Minkowski in der Relativitätstheorie. Der Satz aller ungültigen Vektoren an einem Ereignis des Raums von Minkowski setzt den leichten Kegel dieses Ereignisses ein. Bemerken Sie, dass alle diese Begriffe des Bezugssystems unabhängig sind. In Anbetracht eines Zeitmäßigvektoren v gibt es einen worldline der unveränderlichen damit vereinigten Geschwindigkeit. Der Satz {w: η (w, v) = entspricht 0\dem gleichzeitigen Hyperflugzeug am Ursprung dieses worldline. Raum von Minkowski stellt Relativität der Gleichzeitigkeit aus, da dieses Hyperflugzeug von v abhängt. Im Flugzeug, das durch v und solch einen w im Hyperflugzeug abgemessen ist, ist die Beziehung von w zu v hyperbelorthogonal.

Sobald eine Richtung der Zeit gewählt wird, können ungültige und Zeitmäßigvektoren weiter in verschiedene Klassen zersetzt werden. Für Zeitmäßigvektoren haben wir

1. Zukunft hat Zeitmäßigvektoren geleitet, deren erster Bestandteil, und positiv

ist

1. vorbei an geleiteten Zeitmäßigvektoren, deren erster Bestandteil negativ ist.

Ungültige Vektoren fallen in drei Klassen:

1. der Nullvektor, dessen Bestandteile in jeder Basis, sind
2. Zukunft hat ungültige Vektoren geleitet, deren erster Bestandteil, und positiv

ist

1. vorbei an geleiteten ungültigen Vektoren, deren erster Bestandteil negativ ist.

Zusammen mit Raummäßigvektoren gibt es 6 Klassen insgesamt.

Eine orthonormale Basis für den Raum von Minkowski besteht notwendigerweise aus einem zeitmäßigem und drei Raummäßigeinheitsvektoren. Wenn man mit nichtorthonormalen Basen arbeiten möchte, ist es möglich, andere Kombinationen von Vektoren zu haben. Zum Beispiel kann man eine (nichtorthonormale) Basis leicht bauen, die völlig aus ungültigen Vektoren, genannt eine ungültige Basis besteht. Über den reals, wenn zwei ungültige Vektoren (Nullskalarprodukt) orthogonal sind, dann müssen sie proportional sein. Jedoch, komplexe Zahlen erlaubend, kann man eine ungültige Vierbiteinheit erhalten, die eine Basis ist, die aus ungültigen Vektoren besteht, von denen einige zu einander orthogonal sind.

Vektorfelder werden zeitmäßig, raummäßig oder ungültig genannt, wenn die verbundenen Vektoren zeitmäßig, raummäßig oder an jedem Punkt ungültig sind, wo das Feld definiert wird.

Kausalitätsbeziehungen

Lassen Sie x, y  M. Wir sagen das

1. x geht chronologisch y wenn y &minus voran; x ist Zukunft geleitet zeitmäßig.
2. x geht kausal y wenn y &minus voran; x ist geleiteter ungültiger der Zukunft

Umgekehrte Dreieck-Ungleichheit

Wenn v und w zwei ebenso geleitete Zeitmäßigvier Vektoren, dann sind

:wo:

Lokal flache Raum-Zeit

Genau genommen gilt der Gebrauch des Raums von Minkowski, um physische Systeme über begrenzte Entfernungen zu beschreiben, nur in der Newtonischen Grenze von Systemen ohne bedeutende Schwerkraft. Im Fall von der bedeutenden Schwerkraft wird Raum-Zeit gekrümmt, und man muss spezielle Relativität für die volle Theorie der allgemeinen Relativität aufgeben.

Dennoch, sogar in solchen Fällen, ist Raum von Minkowski noch eine gute Beschreibung in einem unendlich klein kleinen Gebiet, das jeden Punkt umgibt (Gravitationseigenartigkeiten verriegelnd). Abstrakter sagen wir, dass in Gegenwart von der Ernst-Raum-Zeit durch eine gekrümmte 4-dimensionale Sammelleitung beschrieben wird, für die der Tangente-Raum zu jedem Punkt ein 4-dimensionaler Raum von Minkowski ist. So ist die Struktur des Raums von Minkowski noch in der Beschreibung der allgemeinen Relativität notwendig.

Im Bereich des schwachen Ernstes wird Raum-Zeit flach und schaut allgemein nicht nur lokal wie Raum von Minkowski. Aus diesem Grund wird Raum von Minkowski häufig flache Raum-Zeit genannt.

Siehe auch

• Kausale Struktur
• Elektromagnetischer Tensor
• Programm von Erlangen
• Euklidischer Raum
• Vier Vektor
• Modell von Hyperboloid
• Hyperbelraum
• Einführung in die Mathematik der allgemeinen Relativität
• Lorentzian vervielfältigen
• Metrischer Tensor
• Diagramm von Minkowski
• Relativistische Hitzeleitung
• Georg Bernhard Riemann
• Raum-Zeit
• Geschwindigkeit des Lichtes
• Weltlinie
• Galison P L: Die Raum-Zeit von Minkowski: vom Sehdenken bis die absolute Welt, den Historischen Studien in den Physischen Wissenschaften (R McCormach u. a. Hrsg.) Johns Hopkins Univ., Drücken Sie vol.10 1979 85-121
• Corry L: Hermann Minkowski und das Postulat der Relativität, Archs. Hist. Genauer Sci. 51 1997 273-314
• Francesco Catoni, Dino Boccaletti, & Roberto Cannata (2008) Mathematik des Raums von Minkowski, Birkhäuser Verlag, Basel.

Links

• Zeichentrickfilm-Büroklammer, die sich Raum von Minkowski im Zusammenhang der speziellen Relativität vergegenwärtigt.