In der Mathematik, die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz (auch bekannt als die Ungleichheit von Bunyakovsky, die Ungleichheit von Schwarz, oder die Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz Ungleichheit), ist eine nützliche Ungleichheit, die in vielen verschiedenen Einstellungen, wie geradlinige Algebra, Analyse, Wahrscheinlichkeitstheorie und andere Gebiete gestoßen ist. Wie man betrachtet, ist es eine der wichtigsten Ungleichheit in der ganzen Mathematik. Es hat mehrere Generalisationen, unter ihnen die Ungleichheit von Hölder.

Die Ungleichheit für Summen wurde dadurch veröffentlicht, während die entsprechende Ungleichheit für Integrale zuerst durch festgesetzt wurde

und wieder entdeckt dadurch.

Behauptung der Ungleichheit

Die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz stellt fest, dass für alle Vektoren x und y eines Skalarprodukt-Raums es das wahr

ist:

wo das Skalarprodukt ist. Gleichwertig, durch die Einnahme der Quadratwurzel von beiden Seiten und das Verweisen auf die Normen der Vektoren, wird die Ungleichheit als geschrieben

:

Außerdem sind die zwei Seiten gleich, wenn, und nur wenn x und y linear abhängig sind (oder, in einem geometrischen Sinn, sind sie parallel oder einer der Vektoren der Null gleich ist).

Wenn und irgendwelche komplexen Zahlen sind und das Skalarprodukt das Standardskalarprodukt dann ist, kann die Ungleichheit auf eine ausführlichere Weise wie folgt neu formuliert werden:

:

Wenn angesehen, auf diese Weise sind die Zahlen x..., x, und y..., y die Bestandteile von x und y in Bezug auf eine orthonormale Basis V.

Noch kompakter geschrieben:

:

Gleichheit hält, ob, und nur wenn x und y linear abhängig sind, d. h. man ein Skalarvielfache vom anderen ist (der den Fall einschließt, wenn ein oder beide Null sind).

Der endlich-dimensionale Fall dieser Ungleichheit für echte Vektoren wurde von Cauchy 1821 bewiesen, und 1859 hat der Student von Cauchy Bunyakovsky bemerkt, dass, indem man Grenzen nimmt, man eine integrierte Form der Ungleichheit von Cauchy erhalten kann. Das allgemeine Ergebnis für einen Skalarprodukt-Raum wurde von Schwarz das Jahr 1885 erhalten.

Beweis

Lassen Sie u, v willkürliche Vektoren in einem Vektorraum V über F mit einem Skalarprodukt sein, wo F das Feld von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen ist. Wir beweisen die Ungleichheit

:

\leq \left \| u\right \| \left \| v\right \|. \, </Mathematik>

Diese Ungleichheit ist im Fall trivial, so können wir von hier annehmen, auf dem v Nichtnull ist. Lassen Sie

:

Dann

:

d. h. z ist ein Vektor, der zum Vektoren v orthogonal ist (Tatsächlich, z ist der Vorsprung von u auf das Flugzeug, das zu v. orthogonal ist), Wir können so den Pythagoreischen Lehrsatz auf anwenden

:

der gibt

:

</Mathematik>

Die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz beweist, dass diese Definition durch die Vertretung vernünftig ist, dass die rechte Seite im Zwischenraum [&minus;1, 1] liegt, und den Begriff rechtfertigt, dass (echte) Räume von Hilbert einfach Generalisationen des Euklidischen Raums sind.

Es kann auch verwendet werden, um einen Winkel in komplizierten Skalarprodukt-Räumen, durch die Einnahme des absoluten Werts der rechten Seite zu definieren, wie getan wird, wenn man einen metrischen aus der Quant-Treue herauszieht.

Der Cauchy-Schwarz wird verwendet, um zu beweisen, dass das Skalarprodukt eine dauernde Funktion in Bezug auf die Topologie ist, die durch das Skalarprodukt selbst veranlasst ist.

Die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz wird gewöhnlich verwendet, um die Ungleichheit von Bessel zu zeigen.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Für den multivariate Fall,

Für den univariate Fall, Tatsächlich, für zufällige Variablen X und Y, ist die Erwartung ihres Produktes ein Skalarprodukt. Das, ist

:

und so, durch die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz,

:

Außerdem, wenn μ = E (X) und ν = E (Y), dann

:

| \operatorname {Cov} (X, Y) | ^2

&= | \operatorname {E} ((X - \mu) (Y - \nu)) | ^2 = | \langle X - \mu, Y - \nu \rangle | ^2 \\

&\\leq \langle X - \mu, X - \mu \rangle \langle Y - \nu, Y - \nu \rangle \\

& = \operatorname {E} ((X-\mu) ^2) \operatorname {E} ((Y-\nu) ^2) \\

& = \operatorname {Var} (X) \operatorname {Var} (Y).

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo Var Abweichung anzeigt und Cov Kovarianz anzeigt.

Generalisationen

Verschiedene Generalisationen der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz bestehen im Zusammenhang der Maschinenbediener-Theorie, z.B für mit dem Maschinenbediener konvexe Funktionen und Maschinenbediener-Algebra, wo das Gebiet und/oder die Reihe von φ durch C*-algebra oder W*-algebra ersetzt werden.

Diese Abteilung verzeichnet einige von solcher Ungleichheit von der Maschinenbediener-Algebra-Einstellung, um einen Geschmack nach Ergebnissen dieses Typs zu geben.

Positiver functionals auf c*- und W*-algebras

Man kann Skalarprodukte als positiver functionals besprechen. In Anbetracht eines Raums von Hilbert L (m), M ein begrenztes Maß, das Skalarprodukt zu sein

:

Seitdem

:

der sich wortwörtlich bis zu positiven functionals auf C*-algebras ausstreckt.

Wir geben jetzt einem Maschinenbediener theoretischen Beweis für die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz, die zur C*-algebra Einstellung geht. Man kann vom Beweis sehen, dass die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz eine Folge des positivity und der Antisymmetrie-Skalarprodukt-Axiome ist.

Denken Sie die positive Matrix

:

M =

\begin {bmatrix }\

f^* \\

g^ *

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

f & g

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

f^*f & f^* g \\

g^*f & g^*g

\end {bmatrix}.

</Mathematik>

Da φ eine positive geradlinige Karte ist, deren Reihe, die komplexen Zahlen C, ein auswechselbarer C*-algebra ist, ist φ völlig positiv. Deshalb

:

M' = (I_2 \otimes \phi) (M) =

\begin {bmatrix }\

\phi (f^*f) & \phi (f^* g) \\

\phi (g^*f) & \phi (g^*g)

\end {bmatrix }\</Mathematik>

ist positive 2 &times; 2 Skalarmatrix, die es einbezieht, hat positive Determinante:

:

\phi (F^*f) \phi (g^*g) - | \phi (g^*f) | ^2 \geq 0 \quad \text {i.e.} \quad \phi (F^*f) \phi (G^*g) \geq | \phi (g^*f) | ^2. \,

</Mathematik>

Das ist genau die Ungleichheit von Cauchy-Schwarz. Wenn &fnof; und g sind Elemente C*-algebra, f*, und g* zeigen ihren jeweiligen adjoints an.

Wir können auch vom obengenannten ableiten, dass jeder positive geradlinige funktionelle entsprechend der Tatsache begrenzt wird, dass das Skalarprodukt gemeinsam dauernd ist.

Positive Karten

Positive functionals sind spezielle Fälle von positiven Karten. Wie man sagt, ist eine geradlinige Karte Φ zwischen C*-algebras eine positive Karte, wenn ein  0 Φ (a)  0 einbezieht. Es ist natürlich zu fragen, ob die Ungleichheit des Schwarz-Typs für positive Karten besteht. In dieser allgemeineren Einstellung sind gewöhnlich zusätzliche Annahmen erforderlich, um solche Ergebnisse zu erhalten.

Ungleichheit von Kadison-Schwarz

Der folgende Lehrsatz wird nach Richard Kadison genannt.

Lehrsatz. Wenn Φ eine unital positive Karte ist, dann für jedes normale Element in seinem Gebiet haben wir Φ (a*a)  Φ (*)Φ (a) und Φ (a*a)  Φ (a) Φ (*).

Das erweitert die Tatsache φ (a*a) · 1  φ (a) *φ (a) = | φ (a) |, wenn φ ein geradliniger funktioneller ist.

Der Fall wenn selbst adjungiert, d. h. = * zu sein, ist manchmal als die Ungleichheit von Kadison bekannt.

2-positive Karten

Wenn Φ, eine stärkere Annahme 2-positiv ist als bloß positiv, hat man etwas, was sehr ähnlich der ursprünglichen Ungleichheit von Cauchy-Schwarz aussieht:

Lehrsatz (Modifizierte Ungleichheit von Schwarz für 2-positive Karten) Für eine 2-positive Karte Φ zwischen C*-algebras, für den ganzen a, b in seinem Gebiet,

Ein einfaches Argument für (2) ist wie folgt. Denken Sie die positive Matrix

:

M =

\begin {bmatrix }\

a^* & 0 \\

b^* & 0

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

a & b \\

0 & 0

\end {bmatrix }\\begin {bmatrix }\

a^*a & a^* b \\

b^*a & b^*b

\end {bmatrix}.</Mathematik>

Durch 2-positivity von Φ,

:

(I_2 \otimes \Phi) M =

\begin {bmatrix }\

\Phi (a^*a) & \Phi (a^* b) \\

\Phi (b^*a) & \Phi (b^*b)

\end {bmatrix }\</Mathematik>ist

positiv. Die gewünschte Ungleichheit folgt dann aus den Eigenschaften von positiven 2 &times; 2 (Maschinenbediener) matrices.

Teil (1) ist analog. Man kann die Matrix durch ersetzen

Physik

Die allgemeine Formulierung des Unklarheitsgrundsatzes von Heisenberg wird mit der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz im Raum von Hilbert des Quants observables abgeleitet.

Siehe auch

• Die Ungleichheit von Hölder
• Ungleichheit von Minkowski
• Die Ungleichheit von Jensen

Referenzen

• .

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Links

• Frühster Gebrauch: Der Zugang auf der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz hat etwas historische Information.
• Beispiel der Anwendung der Ungleichheit von Cauchy-Schwarz, um Linear unabhängige Vektoren Interaktives und Tutorprogramm zu bestimmen.