In der Topologie und den verwandten Feldern der Mathematik gibt es mehrere Beschränkungen, die man häufig auf den Arten von topologischen Räumen macht, die man denken möchte. Einige dieser Beschränkungen werden durch die Trennungsaxiome gegeben. Diese werden manchmal Trennungsaxiome von Tychonoff nach Andrey Tychonoff genannt.

Die Trennungsaxiome sind Axiome nur im Sinn, dass, als man den Begriff des topologischen Raums definiert hat, man diese Bedingungen als Extraaxiome hinzufügen konnte, um einen mehr eingeschränkten Begriff dessen zu bekommen, wie ein topologischer Raum ist. Die moderne Annäherung soll ein für allemal den axiomatization des topologischen Raums befestigen und dann von Arten von topologischen Räumen sprechen.

Jedoch hat der Begriff "Trennungs-Axiom" gesteckt. Die Trennungsaxiome werden mit dem Brief "T" nach dem deutschen Trennungsaxiom angezeigt, was "Trennungsaxiom bedeutet."

Die genauen Bedeutungen der mit den Trennungsaxiomen vereinigten Begriffe haben sich mit der Zeit, wie erklärt, in der Geschichte der Trennungsaxiome geändert. Besonders, wenn man ältere Literatur liest, sicher sein, zu veranlassen, dass die Definition der Autoren jeder Bedingung, die erwähnt ist sicherstellt, dass Sie genau wissen, was sie vorhaben.

Einleitende Definitionen

Bevor wir die Trennungsaxiome selbst definieren, geben wir Beton-Bedeutung dem Konzept von getrennten Sätzen (und Punkte) in topologischen Räumen. (Aber getrennte Sätze sind nicht dasselbe als getrennte Räume, die in der folgenden Abteilung definiert sind.)

Die Trennungsaxiome sind über den Gebrauch von den Topologisch-Mitteln, zusammenhanglose Sätze und verschiedene Punkte zu unterscheiden. Es ist nicht genug für Elemente eines topologischen Raums, um verschieden zu sein; wir können wollen, dass sie topologisch unterscheidbar sind. Ähnlich ist es nicht genug für Teilmengen eines topologischen Raums, um zusammenhanglos zu sein; wir können wollen, dass sie (auf einige von verschiedenen Weisen) getrennt werden. Die Trennungsaxiome alle sagen so oder so, dass Punkte oder Sätze, die unterscheidbar oder in einem schwachen Sinn getrennt sind, auch unterscheidbar oder in einem stärkeren Sinn getrennt sein müssen.

Lassen Sie X ein topologischer Raum sein. Dann sind zwei Punkte x und y in X topologisch unterscheidbar, wenn sie genau dieselbe Nachbarschaft nicht haben; d. h. mindestens ein von ihnen haben eine Nachbarschaft, die nicht eine Nachbarschaft vom anderen ist. Wenn x und y topologisch unterscheidbare Punkte sind, dann geht der Singleton {x} unter, und {y} muss zusammenhanglos sein.

Zwei Punkte x und y werden getrennt, wenn jeder von ihnen eine Nachbarschaft hat, die nicht eine Nachbarschaft vom anderen ist; d. h. keiner gehört dem Verschluss eines anderen. Mehr allgemein werden zwei Teilmengen A und B X getrennt, wenn jeder vom Verschluss eines anderen zusammenhanglos ist. (Die Verschlüsse selbst müssen nicht zusammenhanglos sein.) Werden die Punkte x und y getrennt, wenn, und nur wenn ihr Singleton {x} und {y} untergeht, getrennt werden; alle restlichen Bedingungen für Sätze können auch auf Punkte (oder auf einen Punkt und einen Satz) durch das Verwenden von Singleton-Sätzen angewandt werden.

Um weiterzugehen, werden Teilmengen A und B durch die Nachbarschaft getrennt, wenn sie zusammenhanglose Nachbarschaft haben. Sie werden durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt, wenn sie zusammenhanglose geschlossene Nachbarschaft haben. Sie werden durch eine Funktion getrennt, wenn dort eine dauernde Funktion f vom Raum X zur echten Linie R solch besteht, dass das Image f (A) {0} gleich ist und f (B) {1} gleich ist. Schließlich werden sie durch eine Funktion genau getrennt, wenn dort eine dauernde Funktion f von X bis solchen R besteht, dass das Vorimage f ({0}) A gleichkommt und f ({1}) B gleichkommt.

Diese Bedingungen werden in der Größenordnung von der zunehmenden Kraft gegeben:

Irgendwelche zwei topologisch unterscheidbaren Punkte müssen verschieden sein, und irgendwelche zwei getrennten Punkte müssen topologisch unterscheidbar sein. Außerdem müssen irgendwelche zwei getrennten Sätze zusammenhanglos sein, irgendwelche zwei durch die Nachbarschaft getrennten Sätze müssen und so weiter getrennt werden.

Für mehr auf diesen Bedingungen (einschließlich ihres Gebrauches außerhalb der Trennungsaxiome),

sieh die Sätze der Artikel Separated und Topologischen distinguishability.

Hauptdefinitionen

Diese Definitionen der ganze Gebrauch im Wesentlichen die einleitenden Definitionen oben.

Viele dieser Namen haben alternative Bedeutungen in etwas von der mathematischen Literatur, wie erklärt, auf der Geschichte der Trennungsaxiome; zum Beispiel werden die Bedeutungen von "normalen" und "T" manchmal ausgewechselt, ähnlich "regelmäßig" und "T" usw. Viele der Konzepte haben auch mehrere Namen; jedoch hat derjenige Schlagseite gehabt zuerst wird immer mit geringster Wahrscheinlichkeit zweideutig sein.

Die meisten dieser Axiome haben alternative Definitionen mit derselben Bedeutung; die Definitionen gegeben hier lehnen sich an ein konsequentes ein Vorbild an, das die verschiedenen Begriffe der in der vorherigen Abteilung definierten Trennung verbindet. Andere mögliche Definitionen können in den individuellen Artikeln gefunden werden.

In allen folgenden Definitionen, X ist wieder ein topologischer Raum, und alle Funktionen sollen dauernd sein.

• X ist T oder Kolmogorov, wenn irgendwelche zwei verschiedenen Punkte in X topologisch unterscheidbar sind. (Es wird ein allgemeines Thema unter den Trennungsaxiomen sein, um eine Version eines Axioms zu haben, das T und eine Version verlangt, die nicht tut.)
• X ist R, oder symmetrisch, wenn irgendwelche zwei topologisch unterscheidbaren Punkte in X getrennt werden.
• X ist T, oder zugänglich oder Fréchet, wenn irgendwelche zwei verschiedenen Punkte in X getrennt werden. So, X ist T, wenn, und nur wenn es sowohl T als auch R. ist (Obwohl Sie solche Dinge wie "T Raum" sagen können, "Topologie von Fréchet", und "Nehmen an, dass der topologische Raum X Fréchet ist", vermeiden, "Raum von Fréchet" in diesem Zusammenhang, da zu sagen, es einen anderen völlig verschiedenen Begriff des Raums von Fréchet in der Funktionsanalyse gibt.)
• X ist R, oder vorregelmäßig, wenn irgendwelche zwei topologisch unterscheidbaren Punkte in X durch die Nachbarschaft getrennt werden. Ein R Raum muss auch R sein.
• X ist Hausdorff oder T oder getrennt, wenn irgendwelche zwei verschiedenen Punkte in X durch die Nachbarschaft getrennt werden. So, X ist Hausdorff, wenn, und nur wenn es sowohl T als auch R ist. Ein Hausdorff Raum muss auch T sein.
• X ist T oder Urysohn, wenn irgendwelche zwei verschiedenen Punkte in X durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt werden. Ein T Raum muss auch Hausdorff sein.
• X ist völlig Hausdorff, oder völlig T, wenn irgendwelche zwei verschiedenen Punkte in X durch eine Funktion getrennt werden. Völlig muss Raum von Hausdorff auch T sein.
• X ist regelmäßig, wenn, in Anbetracht eines Punkts x und geschlossen F in X setzt, wenn x F nicht gehört, dann werden sie durch die Nachbarschaft getrennt. (Tatsächlich, in einem regelmäßigen Raum, werden jeder solcher x und F auch durch die geschlossene Nachbarschaft getrennt.) Ein regelmäßiger Raum muss auch R sein.
• X ist regelmäßiger Hausdorff oder T, wenn es sowohl T als auch regelmäßig ist. Ein regelmäßiger Raum von Hausdorff muss auch T sein.
• X ist völlig regelmäßig, wenn, in Anbetracht eines Punkts x und geschlossen F in X setzt, wenn x F nicht gehört, dann werden sie durch eine Funktion getrennt. Ein völlig regelmäßiger Raum muss auch regelmäßig sein.
• X ist Tychonoff, oder T, völlig T, oder völlig regelmäßiger Hausdorff, wenn es sowohl T als auch völlig regelmäßig ist. Ein Raum von Tychonoff muss auch sowohl regelmäßiger Hausdorff als auch völlig Hausdorff sein.
• X ist normal, wenn irgendwelche zwei zusammenhanglosen geschlossenen Teilmengen X durch die Nachbarschaft getrennt werden. (Tatsächlich, in einem normalen Raum, werden irgendwelche zwei zusammenhanglosen geschlossenen Sätze auch durch eine Funktion getrennt; das ist das Lemma von Urysohn.)
• X ist normaler Hausdorff oder T, wenn es sowohl T als auch normal ist. Ein normaler Raum von Hausdorff muss auch sowohl Tychonoff als auch normaler Stammkunde sein.
• X ist völlig normal, wenn irgendwelche zwei getrennten Sätze durch die Nachbarschaft getrennt werden. Ein völlig normaler Raum muss auch normal sein.
• X ist völlig normaler Hausdorff oder T oder völlig T, wenn es sowohl völlig normal ist als auch T. Ein völlig normaler Raum von Hausdorff muss auch normaler Hausdorff sein.
• X ist vollkommen normal, wenn irgendwelche zwei zusammenhanglosen geschlossenen Sätze durch eine Funktion genau getrennt werden. Ein vollkommen normaler Raum muss auch völlig normal sein.
• X ist vollkommen normaler Hausdorff oder T oder vollkommen T, wenn es sowohl vollkommen normal ist als auch T. Ein vollkommen normaler Raum von Hausdorff muss auch völlig normaler Hausdorff sein.

Beziehungen zwischen den Axiomen

Das T Axiom ist darin speziell es kann zu einem Eigentum nicht nur hinzugefügt werden (so dass völlig regelmäßig plus T Tychonoff ist), sondern auch abgezogen von einem Eigentum (so dass Hausdorff minus T R ist), in einem ziemlich genauen Sinn; sieh Quotienten von Kolmogorov für mehr Information. Wenn angewandt, auf die Trennungsaxiome führt das zu den Beziehungen im Tisch unten:

In diesem Tisch gehen Sie von der richtigen Seite bis die linke Seite, indem Sie die Voraussetzung von T hinzufügen, und Sie gehen von der linken Seite bis die richtige Seite, indem Sie diese Voraussetzung entfernen, die Quotient-Operation von Kolmogorov verwendend. (Die Namen in auf der linken Seite dieses Tisches gegebenen Parenthesen sind allgemein zweideutig oder mindestens weniger weithin bekannt; aber sie werden im Diagramm unten verwendet.)

Anders als die Einschließung oder der Ausschluss von T werden die Beziehungen zwischen den Trennungsaxiomen im folgenden Diagramm angezeigt:

In diesem Diagramm ist die non-T Version einer Bedingung auf der linken Seite des Hiebs, und die T Version ist rechts. Briefe werden für die Abkürzung wie folgt verwendet:

"P" = "vollkommen", "C" = "völlig", "N" = "normal", und "R" (ohne eine Subschrift) = "regelmäßig".

Eine Kugel zeigt an, dass es keinen speziellen Namen für einen Raum an diesem Punkt gibt. Die Spur am Boden zeigt keine Bedingung an.

Sie können zwei Eigenschaften mit diesem Diagramm durch den folgenden das Diagramm aufwärts verbinden, bis sich beide Zweige treffen. Zum Beispiel, wenn ein Raum ("CN") als auch völlig Hausdorff ("CT") sowohl völlig normal ist, dann beiden Zweigen folgend, finden Sie den Punkt "·/T".

Da völlig Räume von Hausdorff T sind (wenn auch völlig normale Räume nicht sein können), nehmen Sie die T Seite des Hiebs, so ein völlig normaler völlig ist Raum von Hausdorff dasselbe als ein T Raum (weniger zweideutig bekannt als ein völlig normaler Raum von Hausdorff, wie Sie im Tisch oben sehen können).

Wie Sie aus dem Diagramm, normal sehen können und R zusammen andeuten, dass ein Gastgeber anderer Eigenschaften, seit dem Kombinieren der zwei Eigenschaften Sie dazu bringt, einem Pfad durch die vielen Knoten auf dem rightside Zweig zu folgen. Da Regelmäßigkeit von diesen am weithin bekanntsten ist, werden Räume, die sowohl normal sind als auch R, normalerweise "normale regelmäßige Räume" genannt. Auf eine etwas ähnliche Mode werden Räume, die sowohl normal sind als auch T, häufig "normale Räume von Hausdorff" von Leuten genannt, die die zweideutige "T" Notation vermeiden möchten. Diese Vereinbarung kann zu anderen regelmäßigen Räumen und Räumen von Hausdorff verallgemeinert werden.

Andere Trennungsaxiome

Es gibt einige andere Bedingungen auf topologischen Räumen, die manchmal mit den Trennungsaxiomen klassifiziert werden, aber diese fügen mit den üblichen Trennungsaxiomen als völlig nicht ein. Anders als ihre Definitionen werden sie hier nicht besprochen; sieh ihre individuellen Artikel.

• X ist halbregelmäßig, wenn die regelmäßigen offenen Sätze eine Basis für die offenen Sätze X bilden. Jeder regelmäßige Raum muss auch halbregelmäßig sein.
• X ist wenn für jeden nichtleeren offenen Satz G quasiregelmäßig, es gibt einen nichtleeren offenen Satz H solch, dass der Verschluss von H in G enthalten wird.
• X ist völlig normal, wenn jeder offene Deckel eine offene Sternverbesserung hat. X ist völlig T, oder völlig normaler Hausdorff, wenn es sowohl T als auch völlig normal ist. Jeder völlig normale Raum ist normal, und jeder völlig T Raum ist T. Außerdem kann man zeigen, dass jeder völlig T Raum parakompakt ist. Tatsächlich haben völlig normale Räume wirklich mehr, um mit der Parakompaktheit zu tun, als mit den üblichen Trennungsaxiomen.
• X ist nüchtern, wenn für jeden geschlossenen Satz C, der nicht (vielleicht nichtzusammenhanglos) Vereinigung von zwei kleineren geschlossenen Sätzen ist, es einen einzigartigen Punkt p solch gibt, dass der Verschluss von {p} C gleichkommt. Kürzer hat jeder nicht zu vereinfachende geschlossene Satz einen einzigartigen allgemeinen Punkt. Jeder Hausdorff Raum muss nüchtern sein, und jeder nüchterne Raum muss T sein.

Quellen

• hat R Axiome (unter anderen)
• Stephen Willard, Allgemeine Topologie, Addison-Wesley, 1970. Nachgedruckt durch Veröffentlichungen von Dover, New York, 2004. Internationale Standardbuchnummer 0-486-43479-6 (Ausgabe von Dover).
• hat alle non-R Axiome, die in diesem Artikel, mit diesen Definitionen erwähnt sind
• Es gibt mehrere andere gute Bücher auf der allgemeinen Topologie, aber hütet sich vor diesem etwas Gebrauch ein bisschen verschiedene Definitionen.

Außenverbindungen

• Trennungsaxiome an ProvenMath
• Tisch der Trennung und metrisability Axiome von Schechter