Die Funktion von Liouville, die durch λ (n) angezeigt ist und nach Joseph Liouville genannt ist, ist eine wichtige Funktion in der Zahlentheorie.

Wenn n eine positive ganze Zahl ist, dann wird λ (n) als definiert:

:

wo Ω (n) ist die Zahl von Hauptfaktoren von n, der mit der Vielfältigkeit aufgezählt ist.

λ ist völlig multiplicative, da Ω (n) zusätzlich ist. Die Nummer ein hat keine Hauptfaktoren, so Ω (1) = 0 und deshalb λ (1) = 1. Die Liouville-Funktion befriedigt die Identität:

:

\sum_ {d|n }\\Lambda (d) =

\begin {Fälle }\

1 & \text {wenn} n\text {ein vollkommenes Quadrat,} \\ist

0 & \text {otherwise. }\

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Das Gegenteil von Dirichlet der Liouville Funktion ist der absolute Wert der Funktion von Mobius.

Reihe

Die Dirichlet Reihe für die Funktion von Liouville gibt dem Riemann zeta Funktion als

:

Die Reihe von Lambert für die Funktion von Liouville ist

:

\sum_ {n=1} ^\\infty q^ {n^2} =

\frac {1} {2 }\\ist (\vartheta_3 (q)-1\right), </Mathematik> abgereist

wo die Funktion von Jacobi theta ist.

Vermutungen

Die Vermutung von Pólya ist eine Vermutung, die von George Pólya 1919 gemacht ist. Das Definieren

:

die Vermutung setzt das für n> 1 fest. Das hat sich erwiesen, falsch zu sein. Das kleinste Gegenbeispiel ist n = 906150257, gefunden von Minoru Tanaka 1980. Es ist seitdem gezeigt worden, dass L (n)> 0.0618672n für ungeheuer viele positive ganze Zahlen n, während ihm auch das L (n) gezeigt werden kann

Es war für einige Zeit offen, ob T (n)  0 für genug großen n  n (ist diese "Vermutung" gelegentlich (aber falsch) zugeschrieben Pál Turán). Das wurde dann von Haselgrove 1958 widerlegt (sieh die Verweisung unten), wer gezeigt hat, dass T (n) negative Werte ungeheuer häufig nimmt. Eine Bestätigung dieser Positivity-Vermutung hätte zu einem Beweis der Hypothese von Riemann geführt, wie von Pál Turán gezeigt wurde.

1. Polya, G., Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie. Jahresbericht der deutschen Math.-Vereinigung 28 (1919), 31-40.
2. Haselgrove, C.B. Eine Widerlegung einer Vermutung von Polya. Mathematika 5 (1958), 141-145.
3. Lehman, R., Auf der Funktion von Liouville. Mathematik. Setzer. 14 (1960), 311-320.
4. M. Tanaka, Eine Numerische Untersuchung auf der Kumulativen Summe der Liouville-Funktion. Zeitschrift von Tokio der Mathematik 3, 187-189, (1980).