In der Vektor-Rechnung ist der Anstieg eines Skalarfeldes ein Vektorfeld, das in der Richtung auf die größte Rate der Zunahme des Skalarfeldes hinweist, und dessen Umfang diese Rate der Zunahme ist.

Eine Generalisation des Anstiegs für Funktionen auf einem Euklidischen Raum, die Werte in einem anderen Euklidischen Raum haben, ist Jacobian. Eine weitere Generalisation für eine Funktion von einem Banachraum bis einen anderen ist die Ableitung von Fréchet.

Interpretationen

Denken Sie ein Zimmer, in dem die Temperatur durch ein Skalarfeld, so an jedem Punkt gegeben wird

die Temperatur ist. (Wir werden annehmen, dass sich die Temperatur mit der Zeit nicht ändert.) An jedem Punkt im Zimmer wird der Anstieg an diesem Punkt die Richtung zeigen die Temperatur erhebt sich am schnellsten. Der Umfang des Anstiegs wird bestimmen, wie schnell sich die Temperatur in dieser Richtung erhebt.

Denken Sie eine Oberfläche, deren Höhe über dem Meeresspiegel an einem Punkt ist. Der Anstieg an einem Punkt ist ein Vektor, der in der Richtung auf den steilsten Hang oder Rang an diesem Punkt hinweist. Die Steilheit des Hangs an diesem Punkt wird durch den Umfang des Anstieg-Vektoren gegeben.

Der Anstieg kann auch verwendet werden, um zu messen, wie sich ein Skalarfeld in anderen Richtungen, aber nicht gerade der Richtung der größten Änderung, durch die Einnahme eines Punktproduktes ändert. Nehmen Sie an, dass der steilste Hang auf einem Hügel 40 % ist. Wenn eine Straße direkt der Hügel geht, dann wird der steilste Hang auf der Straße auch 40 % sein. Wenn statt dessen die Straße um den Hügel in einem Winkel geht, dann wird es einen seichteren Hang haben. Zum Beispiel, wenn der Winkel zwischen der Straße und der harten Richtung, die auf die Horizontalebene geplant ist, 60 ° ist, dann wird der steilste Hang die Straße entlang 20 % sein, der 40-%-Zeiten der Kosinus von 60 ° ist.

Diese Beobachtung kann wie folgt mathematisch festgesetzt werden. Wenn die Hügel-Höhe-Funktion differentiable ist, dann gibt der Anstieg von punktierten mit einem Einheitsvektor den Hang des Hügels in der Richtung auf den Vektoren. Genauer, wenn differentiable ist, ist das Punktprodukt des Anstiegs mit einem gegebenen Einheitsvektor der Richtungsableitung in der Richtung auf diesen Einheitsvektor gleich.

Definition

Der Anstieg (oder Anstieg-Vektorfeld) einer Skalarfunktion wird angezeigt, oder wo (das nabla Symbol) den Vektor-Differenzialoperatoren, del anzeigt. Die Notation wird auch für den Anstieg allgemein verwendet. Der Anstieg von f wird als das einzigartige Vektorfeld definiert, dessen Punktprodukt mit jedem Einheitsvektor v an jedem Punkt x die Richtungsableitung von f entlang v ist. Das, ist

:

In einem rechteckigen Koordinatensystem ist der Anstieg das Vektorfeld, dessen Bestandteile die partiellen Ableitungen von f sind:

:

wo die e die orthogonalen Einheitsvektoren sind, die in den Koordinatenrichtungen hinweisen. Wenn eine Funktion auch von einem Parameter wie Zeit abhängt, bezieht sich der Anstieg häufig einfach auf den Vektoren seiner Raumableitungen nur.

Im dreidimensionalen Kartesianischen Koordinatensystem wird das durch gegeben

:

\frac {\\teilweise f\{\\teilweise y\\mathbf {j} +

\frac {\\teilweise f\{\\teilweise z\\mathbf {k} </Mathematik>

wo die Standardeinheitsvektoren sind. Zum Beispiel, der Anstieg der Funktion

:

ist:

:

\frac {\\teilweise f\{\\teilweise x\\mathbf {ich} +

\frac {\\teilweise f\{\\teilweise y\\mathbf {j} +

\frac {\\teilweise f\{\\teilweise z\\mathbf {k }\

= 2\mathbf {ich} + 6y\mathbf {j}-\cos (z) \mathbf {k}.

</Mathematik>

In einigen Anwendungen ist es üblich, um den Anstieg als ein Zeilenvektor oder Spaltenvektor seiner Bestandteile in einem rechteckigen Koordinatensystem zu vertreten.

Anstieg und die Ableitung oder das Differenzial

Geradlinige Annäherung an eine Funktion

Der Anstieg einer Funktion vom Euklidischen Raum bis an jedem besonderen Punkt x darin charakterisiert die beste geradlinige Annäherung an f an x. Die Annäherung ist wie folgt:

weil in der Nähe von, wo der Anstieg von f ist, der darauf geschätzt ist, und der Punkt das Punktprodukt darauf anzeigt. Diese Gleichung ist zu den ersten zwei Begriffen in der Mehrvariable Reihenentwicklung von Taylor von f an x gleichwertig.

Unterschiedliche oder (äußerliche) Ableitung

Die beste geradlinige Annäherung an eine Funktion an einem Punkt darin ist eine geradlinige Karte davon, zu dem häufig dadurch angezeigt oder und die unterschiedliche oder (ganze) Ableitung daran genannt wird. Der Anstieg ist deshalb mit dem Differenzial durch die Formel verbunden

für irgendwelchen. Die Funktion, die dazu kartografisch darstellt, wird die Differenzial- oder Außenableitung dessen genannt und ist ein Beispiel einer unterschiedlichen 1 Form.

Wenn als der Raum (der Länge) Spaltenvektoren angesehen wird (reeller Zahlen), dann kann man als der Zeilenvektor betrachten

:

so dass durch die Matrixmultiplikation gegeben wird. Der Anstieg ist dann der entsprechende Spaltenvektor, d. h..

Anstieg als eine Ableitung

Lassen Sie U ein offener Satz in R sein. Wenn die Funktion f:U  R differentiable ist, dann ist das Differenzial von f die (Fréchet) Ableitung von f. So ist eine Funktion von U bis den Raum R solch dass

:

wo · ist das Punktprodukt.

Demzufolge halten die üblichen Eigenschaften der Ableitung für den Anstieg:

Linearität

Der Anstieg ist im Sinn geradlinig, dass, wenn f und g zwei reellwertige Funktionen sind, differentiable am Punkt aR, und α und β zwei Konstanten sind, dann ist αf +βg differentiable an a, und außerdem

:

Produktregel

Wenn f und g reellwertige Funktionen differentiable an einem Punkt aR sind, dann behauptet die Produktregel, dass das Produkt (fg) (x) = f (x) g (x) der Funktionen f und g differentiable an a und ist

:

Kettenregel

Nehmen Sie an, dass f:AR eine reellwertige Funktion ist, die auf einer Teilmenge von R definiert ist, und dass f differentiable an einem Punkt a ist. Es gibt zwei Formen der Kettenregel, die für den Anstieg gilt. Nehmen Sie erstens an, dass die Funktion g eine parametrische Kurve ist; d. h. eine Funktion g: Ich  R stelle eine Teilmenge I  R in R kartografisch dar. Wenn g differentiable an einem Punkt c  I solch dass g (c) = a, dann ist

:

wo der Zusammensetzungsmaschinenbediener ist.

Mehr allgemein, wenn stattdessen IR, dann hält der folgende:

:

wo (Dg) die umstellen Matrix von Jacobian anzeigt.

Für die zweite Form der Kettenregel, nehmen Sie dass h an: Ich  R ist eine echte geschätzte Funktion auf einer Teilmenge I von R, und dass h differentiable am Punkt c = f (a)  I ist. Dann

:

Weitere Eigenschaften und Anwendungen

Niveau-Sätze

Wenn die partiellen Ableitungen von f dauernd sind, dann gibt das Punktprodukt des Anstiegs an einem Punkt x mit einem Vektoren v die Richtungsableitung von f an x in der Richtung v. Hieraus folgt dass in diesem Fall der Anstieg von f zu den Niveau-Sätzen von f orthogonal ist. Zum Beispiel wird eine Niveau-Oberfläche im dreidimensionalen Raum durch eine Gleichung der Form F (x, y, z) = c definiert. Der Anstieg von F ist dann zur Oberfläche normal.

Mehr allgemein kann jede eingebettete Hyperoberfläche in einer Sammelleitung von Riemannian durch eine Gleichung der Form F (P) = 0 solches ausgeschnitten werden, dass dF nirgends Null ist. Der Anstieg von F ist dann zur Hyperoberfläche normal.

Lassen Sie uns eine Funktion f an einem Punkt P denken. Wenn wir eine Oberfläche durch diesen Punkt P ziehen und die Funktion denselben Wert an allen Punkten auf dieser Oberfläche hat, dann wird diese Oberfläche eine 'Niveau-Oberfläche' genannt.

Konservative Vektorfelder und der Anstieg-Lehrsatz

Der Anstieg einer Funktion wird ein Anstieg-Feld genannt. Ein (dauerndes) Anstieg-Feld ist immer ein konservatives Vektorfeld: Seine entlang jedem Pfad integrierte Linie hängt nur von den Endpunkten des Pfads ab, und kann durch den Anstieg-Lehrsatz (der Hauptsatz der Rechnung für Linienintegrale) bewertet werden. Umgekehrt ist ein (dauerndes) konservatives Vektorfeld immer der Anstieg einer Funktion.

Sammelleitungen von Riemannian

Für jede glatte Funktion f auf einer Sammelleitung von Riemannian (M, g), ist der Anstieg von f das Vektorfeld solch das für jedes Vektorfeld,

:

wo das Skalarprodukt von Tangente-Vektoren an x anzeigt, der durch den metrischen g und definiert ist

(manchmal angezeigt X (f)) ist die Funktion, die jeden Punkt xM zur Richtungsableitung von f in der Richtung X, bewertet an x nimmt. Durch mit anderen Worten, in einer Koordinatenkarte von einer offenen Teilmenge der M zu einer offenen Teilmenge von R, wird gegeben:

:

wo X den jth Bestandteil X in dieser Koordinatenkarte anzeigt.

Also, die lokale Form des Anstiegs nimmt die Form an:

:

Den Fall M=R verallgemeinernd, ist der Anstieg einer Funktion mit seiner Außenableitung seitdem verbunden. Genauer ist der Anstieg das Vektorfeld, das zur unterschiedlichen 1 Form df vereinigt ist, das Verwenden des Musikisomorphismus (hat "scharf" genannt) definiert durch den metrischen g. Die Beziehung zwischen der Außenableitung und dem Anstieg einer Funktion auf R ist ein spezieller Fall davon, in dem das metrische die Wohnung metrisch gegeben durch das Punktprodukt ist.

Zylindrische und kugelförmige Koordinaten

In zylindrischen Koordinaten wird durch den Anstieg gegeben:

:

\frac {\\teilweise f\{\\teilweiser \rho }\\mathbf {e} _ \rho+

\frac {1} {\\rho }\\frac {\\teilweise f\{\\teilweiser \phi }\\mathbf {e} _ \phi+

\frac {\\teilweise f\{\\teilweiser z }\\mathbf {e} _z

</Mathematik>

wo der scheitelwinklige Winkel ist, ist die axiale Koordinate, und e, e und e sind Einheitsvektoren, die entlang den Koordinatenrichtungen hinweisen.

In kugelförmigen Koordinaten:

:

\frac {\\teilweise f\{\\teilweiser r }\\mathbf {e} _r+

\frac {1} {r }\\frac {\\teilweiser f} {\\teilweiser \theta }\\mathbf {e} _ \theta+

\frac {1} {r \sin\theta }\\frac {\\teilweiser f} {\\teilweiser \phi }\\mathbf {e} _ \phi

</Mathematik>

wo der Azimut-Winkel ist und der Zenit-Winkel ist.

Für den Anstieg in anderen orthogonalen Koordinatensystemen, sieh Orthogonal coordinates#Differential Maschinenbediener in drei Dimensionen.

Anstieg eines Vektoren

In rechteckigen Koordinaten wird der Anstieg eines Vektoren durch definiert

oder die Matrix von Jacobian

.

In krummlinigen Koordinaten schließt der Anstieg Symbole von Christoffel ein.

Siehe auch

• Anstieg-Lehrsatz
• Del
• Abschweifung
• Locke
• Verdrehen Sie Anstieg

..

Links

• Khan-Akademie-Anstieg-Lehre 1