In der Mathematik ist eine periodische Funktion eine Funktion, die seine Werte in regelmäßigen Zwischenräumen oder Perioden wiederholt. Die wichtigsten Beispiele sind die trigonometrischen Funktionen, die sich über Zwischenräume der Länge 2&pi wiederholen; radians. Periodische Funktionen werden überall in der Wissenschaft verwendet, um Schwingungen, Wellen und andere Phänomene diese Ausstellungsstück-Periodizität zu beschreiben. Jede Funktion, die nicht periodisch ist, wird aperiodisch genannt.

Definition

Wie man

sagt, ist eine Funktion f mit der Periode P periodisch, wenn (für einen unveränderlichen NichtnullP) wir haben

:

für alle Werte von x. Wenn dort ein am wenigsten positiver besteht

unveränderlicher P mit diesem Eigentum, es wird die Hauptperiode genannt. Eine Funktion mit der Periode P wird sich auf Zwischenräumen der Länge P und diesen Zwischenräumen wiederholen

werden manchmal auch Perioden genannt.

Geometrisch kann eine periodische Funktion als eine Funktion definiert werden, deren Graph Übersetzungssymmetrie ausstellt. Spezifisch ist eine Funktion f mit der Periode P periodisch, wenn der Graph von f invariant laut der Übersetzung in der X-Richtung durch eine Entfernung von P ist. Diese Definition von periodischen kann zu anderen geometrischen Gestalten und Mustern wie periodischer tessellations des Flugzeugs erweitert werden.

Eine Funktion, die nicht periodisch ist, wird aperiodisch genannt.

Beispiele

Zum Beispiel ist die Sinusfunktion mit der Periode 2&pi periodisch; seitdem

:

für alle Werte von x. Diese Funktion wiederholt sich auf Zwischenräumen der Länge 2π (sieh den Graphen nach rechts).

Tägliche Beispiele werden gesehen, wenn die Variable Zeit ist; zum Beispiel die Hände einer Uhr oder die Phasen der Mondshow periodisches Verhalten. Periodische Bewegung ist Bewegung, in der die Position (En) des Systems expressible als periodische Funktionen, alle mit derselben Periode sind.

Für eine Funktion auf den reellen Zahlen oder auf den ganzen Zahlen, der bedeutet, dass der komplette Graph aus Kopien eines besonderen Teils, wiederholt regelmäßig gebildet werden kann.

Ein einfaches Beispiel einer periodischen Funktion ist die Funktion f, der den "Bruchteil" seines Arguments gibt. Seine Periode ist 1. In der besonderen Einzelheit,

: f (0.5) = f (1.5) = f (2.5) =... = 0.5.

Der Graph der Funktion f ist die Sägezahnwelle.

Der trigonometrische Funktionssinus und Kosinus sind allgemeine periodische Funktionen, mit der Periode 2π (sieh die Zahl rechts). Das Thema der Reihe von Fourier untersucht die Idee, dass eine 'willkürliche' periodische Funktion eine Summe von trigonometrischen Funktionen mit dem Zusammenbringen von Perioden ist.

Gemäß der Definition oben sind einige exotische Funktionen, zum Beispiel die Funktion von Dirichlet, auch periodisch; im Fall von der Funktion von Dirichlet ist jede rationale Nichtnullzahl eine Periode.

Eigenschaften

Wenn eine Funktion f mit der Periode P, dann für den ganzen x im Gebiet von f und allen ganzen Zahlen n, periodisch

ist

: f (x + nP) = f (x).

Wenn f (x) eine Funktion mit der Periode P ist, dann ist f (ax+b), wo einer positiven Konstante zu sein, mit der Periode P/a periodisch. Zum Beispiel f (x) hat =sinx Periode 2π, sündigen Sie deshalb (5x) wird Periode 2π/5 haben.

Doppelt-periodische Funktionen

Eine Funktion, deren Gebiet die komplexen Zahlen ist, kann zwei unvereinbare Perioden haben, ohne unveränderlich zu sein. Die elliptischen Funktionen sind solche Funktionen.

("Unvereinbar" in diesem Zusammenhang bedeutet nicht echte Vielfachen von einander.)

Kompliziertes Beispiel

Mit komplizierten Variablen haben wir die allgemeine Periode-Funktion:

:

Wie Sie sehen können, da der Kosinus und die Sinusfunktionen periodisch sind, und der Komplex, der oben Exponential-ist, aus Wellen des Kosinus/Sinus zusammengesetzt wird, dann hat das obengenannte (wirklich die Formel von Euler) das folgende Eigentum. Wenn L die Periode der Funktion dann ist:

:

Generalisationen

Antiperiodische Funktionen

Eine allgemeine Generalisation von periodischen Funktionen ist die von antiperiodischen Funktionen. Das ist eine Funktion f solch, dass f (x + P) = −f (x) für alle x. (So eine P-Antiperiodic-Funktion eine 2P-Periodic-Funktion ist.)

Bloch-periodische Funktionen

Eine weitere Generalisation erscheint im Zusammenhang von Wellen von Bloch und Theorie von Floquet, die die Lösung verschiedener periodischer Differenzialgleichungen regeln. In diesem Zusammenhang ist die Lösung (in einer Dimension) normalerweise eine Funktion der Form:

:

wo k eine reelle Zahl oder komplexe Zahl (der Bloch wavevector oder die Hochzahl von Floquet) ist. Funktionen dieser Form werden manchmal Bloch-periodisch in diesem Zusammenhang genannt. Eine periodische Funktion ist der spezielle Fall k = 0, und eine antiperiodische Funktion ist der spezielle Fall k = π/P.

Quotient-Räume als Gebiet

Im Signal, das Sie bearbeitet, stoßen auf das Problem, dass Reihen von Fourier periodische Funktionen vertreten

und dass Reihen von Fourier Gehirnwindungslehrsätze befriedigen

(d. h. die Gehirnwindung der Reihe von Fourier entspricht Multiplikation der vertretenen periodischen Funktion und umgekehrt),

aber periodische Funktionen können nicht convolved mit der üblichen Definition, sein

da die beteiligten Integrale abweichen.

Ein möglicher Ausweg soll eine periodische Funktion auf einem begrenzten, aber periodischen Gebiet definieren.

Zu diesem Ende können Sie den Begriff eines Quotient-Raums verwenden:

:

= \{x +\mathbb {Z}: x\in\mathbb {R }\\}\

= \{\\{y: Y\in\mathbb {R }\\landen y-x\in\mathbb {Z }\\}: x\in\mathbb {R }\\} </Mathematik>.

D. h. jedes Element darin ist eine Gleichwertigkeitsklasse

reeller Zahlen, die denselben Bruchteil teilen.

So eine Funktion wie

ist eine Darstellung einer 1-periodischen Funktion.

Siehe auch

• Periodische Folge
• Fast periodische Funktion
• Umfang
• Bestimmter Wurf
• Doppelt periodische Funktion
• Theorie von Floquet
• Frequenz
• Schwingung
• Quasiperiodische Funktion
• Wellenlänge
• Periodische Summierung

Links

• Periodische Funktionen an MathWorld