In der Kategorie-Theorie und seinen Anwendungen auf die Mathematik ist bereicherte Kategorie eine Generalisation der Kategorie, die den Satz von morphisms (Hom-Satz) abstrahiert, der mit jedem Paar von Gegenständen zu einem undurchsichtigen Gegenstand in einigen vereinigt ist, hat monoidal Kategorie von "Hom-Gegenständen" befestigt und definiert dann Zusammensetzung und Identität allein in Bezug auf morphisms in der Hom-Gegenstand-Kategorie. Bereicherte Kategorie-Theorie umfasst so innerhalb desselben Fachwerks ein großes Angebot an Strukturen einschließlich

• gewöhnliche Kategorien, in denen der Hom-Satz zusätzliche Struktur trägt außer, ein Satz, Operationen auf oder Eigenschaften von morphisms zu sein, der durch die Zusammensetzung (z.B, die Existenz von 2 Zellen zwischen morphisms und horizontaler Zusammensetzung davon in einem 2-Kategorien-, oder die Hinzufügungsoperation auf morphisms in einer abelian Kategorie) respektiert werden muss
• einer Kategorie ähnliche Entitäten, die keinen Begriff von individuellem morphism selbst haben, aber dessen Hom-Gegenstände ähnliche compositional Aspekte haben (z.B stellen Vorordnungen, wo die Zusammensetzungsregel transitivity oder die metrischen Räume von Lawvere sichert, wo die Hom-Gegenstände numerische Entfernungen und die Zusammensetzungsregel sind, die Dreieck-Ungleichheit zur Verfügung).

Im Fall, wo die Hom-Gegenstand-Kategorie zufällig die monoidal Kategorie von Sätzen und Funktionen mit dem üblichen kartesianischen Produkt, den Definitionen der bereicherten Kategorie ist, hat functor usw. bereichert.. nehmen Sie zu den ursprünglichen Definitionen aus der gewöhnlichen Kategorie-Theorie ab.

Bereicherte Kategorien sind auch bekannt als V-Kategorien, diese Fachsprache, die in einigen einflussreichen Texten wie MacLane wird verwendet; hier V zeigt die monoidal Kategorie von Hom-Gegenständen an.

Definition

Lassen Sie (M, , ich,), eine monoidal Kategorie zu sein. Dann eine bereicherte Kategorie C (wechselweise, in Situationen, wo die Wahl der monoidal Kategorie, eine Kategorie ausführlich sein muss, die über die 'M oder M Kategorie bereichert ist), besteht aus

• eine Klasse ob (C) Gegenstände von C,
• ein Gegenstand C (a, b) der M für jedes Paar von Gegenständen a, b in C,
• ein Pfeil: Ich  C (a, a) in der M Kennzeichnung einer Identität für jeden Gegenstand in C und
• ein Pfeil: C (b, c) C (a, b)  C (a, c) in der M Kennzeichnung einer Zusammensetzung für jeden verdreifachen sich Gegenstände a, b, c in C,

solch, dass die folgenden drei Diagramme pendeln:

:

Das erste Diagramm drückt den associativity der Zusammensetzung aus.

Wenn es der Fall ist, dass M eine Kategorie von Sätzen und Funktionen ist und die übliche monoidal Struktur ist (kartesianisches Produkt, Satz des einzelnen Punkts, usw.), würde jeder C (a, b) dann ein Satz sein, von dessen Elementen am besten als "individueller morphisms" von C gedacht wird, während °, jetzt eine Funktion, definiert, wie aufeinander folgend solche morphisms dichten. In diesem Fall entspricht jeder Pfad, der C (a, d) im ersten Diagramm führt, einer der zwei Weisen, drei aufeinander folgende individuelle morphisms aus einem  b  c  d von C (a, b), C (b, c) und C (c, d) zusammenzusetzen. Commutativity des Diagramms ist dann bloß die Behauptung, dass beide Ordnungen der Zusammensetzung dasselbe Ergebnis, genau wie erforderlich, für gewöhnliche Kategorien geben.

Was neu ist, ist hier, dass wir diese Voraussetzung ohne jede ausführliche Verweisung auf individuellen morphisms in C - wieder ausgedrückt haben, sind diese Diagramme von morphisms in der M, nicht C - so das Bilden des Konzepts von associativity der im allgemeineren Fall bedeutungsvollen Zusammensetzung, wo die Hom-Gegenstände C (a, b) abstrakt sind und C selbst keinen Begriff von individuellem morphism sogar zu haben braucht.

Ähnlich drücken die zweiten und dritten Diagramme die entsprechenden Identitätsregeln aus:

Wenn wir wieder uns zum Fall einschränken, wo M eine monoidal Kategorie von Sätzen und Funktionen ist, werden die morphisms Funktionen vom Satz des eines Punkts I, und dann muss für jeden gegebenen Gegenstand a, ein besonderes Element jedes Satzes C (a, a), etwas identifizieren, woran wir dann als die "Identität morphism für in C" denken können. Commutativity der letzten zwei Diagramme ist dann die Behauptung, dass Zusammensetzungen (wie definiert, durch die Funktionen °), diese einschließend, unterschieden haben, individuelle "Identität morphisms in C" benehmen sich genau laut der Identitätsregeln für gewöhnliche Kategorien.

Man sollte darauf achten, die verschiedenen Begriffe "der Identität" zu unterscheiden, die hier, z.B, Verweise wird anbringt

• die monoidal Identität bin ich ein Gegenstand der M, eine Identität für  nur im monoid-theoretischen Sinn, und sogar dann nur bis zum kanonischen Isomorphismus (λ, ρ) seiend.
• die Identität morphisms, die wirklicher morphisms sind, den M für jeden seiner Gegenstände auf Grund davon hat (mindestens) eine gewöhnliche Kategorie seiend.

von den morphisms, die den Begriff der Identität für Gegenstände in der bereicherten Kategorie C definieren, ob, wie man betrachten kann, C individuellen morphisms seines eigenen hat.

Beispiele von bereicherten Kategorien

• Gewöhnliche Kategorien sind Kategorien, die darüber bereichert sind (Satz, ×, {\·}), die Kategorie von Sätzen mit dem Kartesianischen Produkt als die monoidal Operation, wie bemerkt, oben.
• 2 Kategorien sind Kategorien, die über Cat, die Kategorie von (kleinen) Kategorien und functors mit der monoidal Struktur bereichert sind, die durch das kartesianische Produkt wird gibt. In diesem Fall entsprechen die 2 Zellen zwischen morphisms ein  b und der Regel der vertikalen Zusammensetzung, die sie verbindet, dem morphisms der gewöhnlichen Kategorie C (a, b) und seine eigene Zusammensetzungsregel.
• Lokal kleine Kategorien sind Kategorien, die über (SmSet, ×), die Kategorie von kleinen Sätzen mit dem Kartesianischen Produkt als die monoidal Operation bereichert sind. (Eine lokal kleine Kategorie ist diejenige, deren Hom-Gegenstände kleine Sätze sind.)
• Lokal begrenzte Kategorien sind analog Kategorien, die über (FinSet, ×), die Kategorie von begrenzten Sätzen mit dem Kartesianischen Produkt als die monoidal Operation bereichert sind.
• Vorbestellte Sätze sind Kategorien, die über eine bestimmte monoidal Kategorie, 2 bereichert sind, aus zwei Gegenständen und einem einzelnen Nichtidentitätspfeil zwischen ihnen bestehend, dass wir als FALSCHER  STIMMT, Verbindung als die monoid Operation, und WAHR als seine monoidal Identität schreiben können. Die Hom-Gegenstände 2 (a, b) bestreiten dann einfach oder versichern eine besondere binäre Beziehung auf dem gegebenen Paar von Gegenständen (a, b); wegen, vertrautere Notation zu haben, können wir diese Beziehung als ab schreiben. Die Existenz der Zusammensetzungen und für eine Kategorie erforderlichen Identität hat bereichert mehr als 2 übersetzen sofort zu den folgenden Axiomen beziehungsweise

b  c und ein  b  ein  c (transitivity)

WAHRER  ein  (reflexivity)

die niemand anderer sind als die Axiome für , der eine Vorordnung ist. Und da alle Diagramme in 2 pendeln, ist das der alleinige Inhalt der bereicherten Kategorie-Axiome für Kategorien bereichert mehr als 2.

• Die verallgemeinerten metrischen Räume von William Lawvere, auch bekannt als pseudoquasimetric Räume, sind über die nichtnegativen verlängerten reellen Zahlen bereicherte Kategorien, wo dem Letzteren gewöhnliche Kategorie-Struktur über das Gegenteil seiner üblichen Einrichtung gegeben wird (d. h., dort besteht ein morphism r  s iff r  s), und eine monoidal Struktur über die Hinzufügung (+) und Null (0). Die Hom-Gegenstände sind im Wesentlichen Entfernungen d (a, b), und die Existenz der Zusammensetzung und Identität übersetzt zu

d (b, c) + d (a, b)  d (a, c) (Dreieck-Ungleichheit)

0  d (a, a)

• Kategorien mit der Null morphisms sind Kategorien, die über (Satz *, ), die Kategorie von spitzen Sätzen mit dem Zerkrachen-Produkt als die monoidal Operation bereichert sind; der spezielle Punkt eines Hom-Gegenstands entspricht Hom (A, B) der Null morphism von bis B.
• Vorzusätzliche Kategorien sind Kategorien, die über (Ab, ), die Kategorie von abelian Gruppen mit dem Tensor-Produkt als die monoidal Operation bereichert sind.

Beziehung mit monoidal functors

Wenn es einen monoidal functor von einer monoidal Kategorie M zu einer monoidal Kategorie N gibt, dann kann jede über die M bereicherte Kategorie als eine über N bereicherte Kategorie wiederinterpretiert werden.

Jede monoidal Kategorie-M hat einen monoidal functor M (ich,-) zur Kategorie von Sätzen, so hat jede bereicherte Kategorie eine zu Grunde liegende gewöhnliche Kategorie. In vielen Beispielen (wie diejenigen oben) ist dieser functor treu, so kann eine über die M bereicherte Kategorie als eine gewöhnliche Kategorie mit der bestimmten zusätzlichen Struktur oder den Eigenschaften beschrieben werden.

Bereicherter functors

Ein bereicherter functor ist die passende Generalisation des Begriffs eines functor zu bereicherten Kategorien. Bereicherte functors sind dann Karten zwischen bereicherten Kategorien, die die bereicherte Struktur respektieren.

Wenn C und D M Kategorien (d. h. Kategorien sind, die über die monoidal Kategorie M bereichert sind), ein M-bereicherter functor T: C  ist D eine Karte, die jedem Gegenstand von C zuteilt, den ein Gegenstand von D und für jedes Paar von Gegenständen a und b in C einem morphism in der M T zur Verfügung stellt: C (a, b)  D (T (a), T (b)) zwischen den Hom-Gegenständen von C und D (die Gegenstände in M sind), bereicherte Versionen der Axiome eines functor, nämlich Bewahrung der Identität und Zusammensetzung befriedigend.

Weil die Hom-Gegenstände Sätze in einer bereicherten Kategorie nicht zu sein brauchen, kann man nicht von einem besonderen morphism sprechen. Es gibt nicht mehr jeden Begriff einer Identität morphism, noch einer besonderen Zusammensetzung von zwei morphisms. Statt dessen sollte von morphisms von der Einheit bis einen Hom-Gegenstand gedacht werden von so dem Auswählen einer Identität und morphisms vom monoidal Produkt sollte gedacht werden wie Zusammensetzung. Die üblichen functorial Axiome werden durch entsprechende Ersatzdiagramme ersetzt, die diese morphisms einschließen.

Im Detail hat man das das Diagramm

(im Bild sollte es statt lesen)

pendelt, der sich auf die Gleichung beläuft

:

wo ich der Einheitsgegenstand der M bin. Das ist der Regel F (id) = id für gewöhnlichen functors analog. Zusätzlich fordert man dass das Diagramm

pendeln Sie, der der Regel F (fg) =F (f) F (g) für gewöhnlichen functors analog ist.

1. Kelly, G.M. "Grundlegende Konzepte der Bereicherten Kategorie-Theorie", London Mathematische Gesellschaftsvortrag-Zeichen-Reihe Nr. 64 (C.U.P. 1982)

1. (Band 5 in den Reihe-Absolvententexten in der Mathematik)
2. Lawvere, F.W. "Metrische Räume, Verallgemeinerte Logik und Geschlossene Kategorien", Nachdrücke in der Theorie und den Anwendungen von Kategorien, Nr. 1, 2002, Seiten 1-37.