In der Mathematik wurde das zweite Problem von Hilbert von David Hilbert 1900 als eines seiner 23 Probleme aufgeworfen. Es bittet um einen Beweis, dass Arithmetik - frei von irgendwelchen inneren Widersprüchen entspricht.

In den 1930er Jahren haben Kurt Gödel und Gerhard Gentzen Ergebnisse bewiesen, die neues Licht auf das Problem werfen. Ein Gefühl, dass diese Ergebnisse das Problem aufgelöst haben, während andere finden, dass das Problem noch offen ist.

Das Problem von Hilbert und seine Interpretation

In einer englischer Übersetzung fragt Hilbert:

"Wenn wir mit dem Nachforschen der Fundamente einer Wissenschaft beschäftigt sind, müssen wir ein System von Axiomen aufstellen, das eine genaue und ganze Beschreibung der Beziehungen enthält, die zwischen den elementaren Ideen von dieser Wissenschaft existieren...., Aber vor allem möchte ich das folgende als das wichtigste unter den zahlreichen Fragen benennen, die hinsichtlich der Axiome gefragt werden können: Zu beweisen, dass sie nicht widersprechend sind, d. h. dass eine bestimmte Zahl von logischen auf ihnen gestützten Schritten zu widersprechenden Ergebnissen nie führen kann. In der Geometrie kann der Beweis der Vereinbarkeit der Axiome durch das Konstruieren eines passenden Feldes von Zahlen, solch bewirkt werden, dass analoge Beziehungen zwischen den Zahlen dieses Feldes den geometrischen Axiomen entsprechen. … Andererseits ist eine direkte Methode für den Beweis der Vereinbarkeit der arithmetischen Axiome erforderlich."

Es ist jetzt üblich, die zweite Frage von Hilbert als das Bitten um einen Beweis zu interpretieren, dass Arithmetik von Peano entspricht (Franzen 2005:p. 39).

Es gibt viele bekannte Beweise, dass Arithmetik von Peano entspricht, der in starken Systemen wie Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ausgeführt werden kann. Diese stellen keine Entschlossenheit gegenüber der zweiten Frage von Hilbert jedoch zur Verfügung, weil jemand, der die Konsistenz der Arithmetik von Peano bezweifelt, kaum die Axiome der Mengenlehre akzeptieren wird (der viel stärker ist), seine Konsistenz zu beweisen. So muss eine befriedigende Antwort auf das Problem von Hilbert mit Grundsätzen ausgeführt werden, die für jemanden annehmbar sein würden, der nicht bereits glaubt, dass PAPA entspricht. Solche Grundsätze werden häufig finitistic genannt, weil sie völlig konstruktiv sind und keine vollendete Unendlichkeit von natürlichen Zahlen voraussetzen. Der Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel legt eine strenge Grenze darauf, wie schwach ein finitistic System sein kann, während es noch die Konsistenz der Arithmetik von Peano beweist.

Der Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel

Der zweite Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel zeigt, dass es für jeden Beweis nicht möglich ist, dass Peano Arithmetik entspricht, um innerhalb der Arithmetik von Peano selbst ausgeführt zu werden. Dieser Lehrsatz zeigt, dass, wenn die einzigen annehmbaren Probeverfahren diejenigen sind, die innerhalb der Arithmetik dann formalisiert werden können, auf den Aufruf von Hilbert nach einem Konsistenz-Beweis nicht geantwortet werden kann. Jedoch, wie Nagel und Newman (1958:96-99) erklären, gibt es noch Zimmer für einen Beweis, der in der Arithmetik nicht formalisiert werden kann:

:" Dieses eindrucksvolle Ergebnis der Analyse von Godel sollte nicht missverstanden werden: Es schließt keinen meta-mathematischen Beweis der Konsistenz der Arithmetik aus. Was es ausschließt, ist ein Beweis der Konsistenz, die durch die formellen Abzüge der Arithmetik widergespiegelt werden kann. Meta-mathematische Beweise der Konsistenz der Arithmetik sind tatsächlich, namentlich von Gerhard Gentzen, einem Mitglied der Schule von Hilbert, 1936, und durch andere seitdem gebaut worden...., Aber diese meta-mathematischen Beweise können innerhalb der arithmetischen Rechnung nicht vertreten werden; und da sie nicht finitistic sind, erreichen sie die öffentlich verkündigten Ziele des ursprünglichen Programms von Hilbert nicht.... Die Möglichkeit, einen finitistic absoluten Beweis der Konsistenz für die Arithmetik zu bauen, wird durch die Ergebnisse von Gödel nicht ausgeschlossen. Gödel hat gezeigt, dass kein solcher Beweis möglich ist, der innerhalb der Arithmetik vertreten werden kann. Sein Argument beseitigt die Möglichkeit ausschließlich finitistic Beweise nicht, die innerhalb der Arithmetik nicht vertreten werden können. Aber keiner scheint heute, eine klare Idee davon zu haben, wem ein finitistic Beweis ähnlich sein würde, der zur Formulierung innerhalb der Arithmetik nicht fähig ist."

Der Konsistenz-Beweis von Gentzen

1936 hat Gentzen einen Beweis veröffentlicht, dass Peano Arithmetik entspricht. Das Ergebnis von Gentzen zeigt, dass ein Konsistenz-Beweis in einem System erhalten werden kann, das viel schwächer ist als Mengenlehre.

Der Beweis von Gentzen geht durch das Zuweisen jedem Beweis in der Arithmetik von Peano einer Ordinalzahl weiter, die auf der Struktur des Beweises mit jeder dieser Ordnungszahlen weniger gestützt ist als ε. Er beweist dann durch die transfinite Induktion auf diesen Ordnungszahlen, dass kein Beweis in einem Widerspruch aufhören kann. Die in diesem Beweis verwendete Methode kann auch verwendet werden, um ein Kürzungsbeseitigungsergebnis für die Arithmetik von Peano in einer stärkeren Logik zu beweisen, als Logik der ersten Ordnung, aber der Konsistenz-Beweis selbst kann in der gewöhnlichen Logik der ersten Ordnung das Verwenden der Axiome der primitiven rekursiven Arithmetik und eines transfiniten Induktionsgrundsatzes ausgeführt werden. Tait (2005) gibt eine spieltheoretische Interpretation der Methode von Gentzen.

Der Konsistenz-Beweis von Gentzen hat das Programm der Ordnungsanalyse in der Probetheorie begonnen. In diesem Programm sind formelle Theorien der Arithmetik oder Mengenlehre zugeteilte Ordinalzahlen, die die Konsistenz-Kraft der Theorien messen. Eine Theorie wird unfähig sein, die Konsistenz einer anderen Theorie mit einem höheren Beweis theoretische Ordnungszahl zu beweisen.

Moderne Gesichtspunkte auf dem Status des Problems

Während die Lehrsätze von Gödel und Gentzen jetzt von der mathematischen Logikgemeinschaft gut verstanden werden, hat sich keine Einigkeit auf geformt entweder (oder auf welche Weise) diese Lehrsätze antworten auf das zweite Problem von Hilbert. Simpson (1988:sec. 3) behauptet, dass der Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel zeigt, dass es nicht möglich ist, finitistic Konsistenz-Beweise von starken Theorien zu erzeugen. Kreisel (1976) stellt fest, dass, obwohl die Ergebnisse von Gödel andeuten, dass kein finitistic syntaktischer Konsistenz-Beweis erhalten, semantisch werden kann (insbesondere zweite Ordnung) Argumente verwendet werden können, um überzeugende Konsistenz-Beweise zu geben. Detlefsen (1990:p. 65) behauptet, dass der Lehrsatz von Gödel keinen Konsistenz-Beweis verhindert, weil seine Hypothesen für alle Systeme nicht gelten könnten, in denen ein Konsistenz-Beweis ausgeführt werden konnte. Dawson (2006:sec. 2) nennt den Glauben, dass der Lehrsatz von Gödel die Möglichkeit eines überzeugenden "falschen" Konsistenz-Beweises beseitigt, den Konsistenz-Beweis zitierend, der von Gentzen und einem späteren gegeben ist, der von Gödel 1958 gegeben ist.

Siehe auch

• Takeuti vermuten

Referenzen

• Dawson, John W. (2006) "Geschüttelte Fundamente oder groundbreaking Wiederanordnung? Eine Hundertjährige Bewertung des Einflusses von Kurt Gödel auf Logik, Mathematik und Informatik". 2006 21. Jährliches IEEE Symposium auf der Logik in der Informatik, IEEE, den Seiten 339-341. Internationale Standardbuchnummer 0-7695-2631-4
• Torkel Franzen (2005), der Lehrsatz von Godel: Ein Unvollständiges Handbuch zu seinem Gebrauch und Missbrauch, A.K. Peters, Wellesley Magister artium. Internationale Standardbuchnummer 1-56881-238-8
• Gerhard Gentzen (1936). "Sterben Sie Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie." Mathematische Annalen, v. 112, Seiten 493-565.
• Kurt Gödel (1931), Über formeller unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, ich. Monatshefte für Mathematik und Physik 38: 173-98. Übersetzt in Jean van Heijenoort, 1967. Von Frege bis Gödel: Ein Quellbuch auf der Mathematischen Logik. Universität von Harvard Presse: 596-616.
• David Hilbert [1900] (1901) "Mathematische Probleme". Archiv der Mathematik und Physik, v. 3 n. 1, Seiten 44-63 und 213-237. Englische Übersetzung, Maby Winton, Meldung der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft 8 (1902), 437-479. Verfügbar online an http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html.
• Nagel, Ernest und Newman, James R., der Beweis von Godel, New Yorker Universität Presse, 1958.
• Verfügbar online an http://www.math.psu.edu/simpson/papers/hilbert.pdf.
• William W. Tait (2005). "Die neue Darlegung von Gödel des ersten Konsistenz-Beweises von Gentzen der Arithmetik: die Interpretation ohne Gegenbeispiele." Meldung der Symbolischen Logik v. 11 n. 2, Seiten 225-238.

Links

• Ursprünglicher Text des Gespräches von Hilbert, in deutschem
• Die englische Übersetzung von 1900 von Hilbert richtet