Die Verdoppelung des Würfels (auch bekannt als das Problem von Delian) ist eines der drei berühmtesten geometrischen Probleme, die durch den Kompass und Haarlineal-Aufbau unlösbar sind. Es war den Ägyptern, Griechen und Indern bekannt.

Den Würfel "zu verdoppeln", bedeutet, ein Würfel von etwas Seitenlänge s und Band V = s gegeben zu werden, und einen neuen Würfel zu bauen, der größer ist als das erste, mit dem Band 2V und deshalb der Seitenlänge. Wie man bekannt, ist das Problem unmöglich, mit nur dem Kompass und Haarlineal zu lösen, weil  1.25992105 nicht eine constructible Zahl ist.

Geschichte

Das Problem schuldet seinen Namen zu einer Geschichte bezüglich der Bürger von Delos, die das Orakel an Delphi befragt haben, um zu erfahren, wie man eine von Apollo gesandte Plage vereitelt. Gemäß Plutarch waren es die Bürger von Delos, die das Orakel an Delphi befragt haben, eine Lösung für ihre inneren politischen Probleme zurzeit suchend, die Beziehungen unter den Bürgern verstärkt hatten. Das Orakel hat geantwortet, dass sie die Größe des Altars Apollo verdoppeln müssen, der ein regelmäßiger Würfel war. Die Antwort ist sonderbar Delians geschienen, und sie haben Plato befragt, der im Stande gewesen ist, das Orakel als das mathematische Problem zu interpretieren, das Volumen eines gegebenen Würfels zu verdoppeln, so das Orakel als der Rat von Apollo für die Bürger von Delos erklärend, um sich mit der Studie der Geometrie und Mathematik zu beschäftigen, um ihre Leidenschaften zu beruhigen.

Gemäß Plutarch hat Plato das Problem Eudoxus und Archytas und Menaechmus gegeben, der das Problem mit mechanischen Mitteln behoben hat, eine Rüge von Plato verdienend, für das Problem mit der reinen Geometrie nicht zu beheben (Plut. Quaestiones convivales VIII.ii, 718ef). Das kann sein, warum auf das Problem in 350s v. Chr. vom Autor des pseudoplatonischen Sisyphus (388e) als noch ungelöst verwiesen wird. Jedoch sagt eine andere Version der Geschichte, dass alle drei gefundenen Lösungen, aber sie waren zu abstrakt, um von praktischer Wichtigkeit zu sein.

Eine bedeutende Entwicklung in der Entdeckung einer Lösung des Problems war die Entdeckung durch Hippocrates von Chios, dass es zur Entdeckung von zwei bösartigen proportionals zwischen einem Liniensegment und einem anderen mit zweimal der Länge gleichwertig ist. In der modernen Notation bedeutet das, dass gegeben Segmente von Längen a und 2a, die Verdoppelung des Würfels zur Entdeckung von Segmenten von Längen r und s so dass gleichwertig

Der Reihe nach bedeutet das das

Aber Pierre Wantzel hat 1837 bewiesen, dass die Würfel-Wurzel 2 nicht constructible ist; d. h. es kann mit dem Haarlineal und Kompass nicht gebaut werden.

Lösungen

Die ursprüngliche Lösung von Menaechmus schließt die Kreuzung von zwei konischen Kurven ein. Andere mehr komplizierte Methoden, den Würfel zu verdoppeln, schließen den cissoid von Diocles, den conchoid von Nicomedes oder die Linie von Philo ein. Archytas hat das Problem im vierten Jahrhundert B.C. das Verwenden geometrischen Aufbaus in drei Dimensionen behoben, einen bestimmten Punkt als die Kreuzung von drei Oberflächen der Revolution bestimmend.

Unberechtigte Forderungen, den Würfel mit dem Kompass und Haarlineal zu verdoppeln, haben an mathematischer Kurbelliteratur (Pseudomathematik) Überfluss.

Origami kann auch verwendet werden, um die Würfel-Wurzel zwei durch die Falte von Papier zu bauen.

Das Verwenden eines gekennzeichneten Lineals

Es gibt einen einfachen neusis Aufbau mit einem gekennzeichneten Lineal für eine Länge, die die Würfel-Wurzel von 2mal einer anderen Länge ist.

• Kennzeichnen Sie ein Lineal mit der gegebenen Länge, das wird schließlich GH sein.
• Bauen Sie ein gleichseitiges Dreieck mit der gegebenen Länge als Seite.
• Erweitern Sie AB ein gleicher Betrag wieder zu D.
• Erweitern Sie die Linie, die v. Chr. die Linie CE bildet.
• Erweitern Sie den Liniengleichstrom, der die Linie VGL bildet
• Legen Sie das gekennzeichnete Lineal, so geht es A durch und ein Ende G der gekennzeichneten Länge auf VGL fällt und das andere Ende der gekennzeichneten Länge auf dem Strahl CE fällt. So ist GH die gegebene Länge.

Der AG ist die gegebenen Länge-Zeiten die Würfel-Wurzel 2.

Außenverbindungen

• Verdoppelung des Würfels. J. J. O'Connor und E. F. Robertson in der Geschichte von MacTutor des Mathematik-Archivs.
• Einen Würfel - Die Lösung von Archytas zu verdoppeln. Exzerpiert mit der Erlaubnis von Einer Geschichte der griechischen Mathematik durch Herrn Thomas Heath.
• Delian behobenes Problem. Oder Ist Es? an der Knoten-Kürzung.