Im mathematischen Feld der Gruppentheorie die Ungeheuer-Gruppe sind M oder F (auch bekannt als das Ungeheuer von Fischer-Griess oder der Freundliche Riese) eine Gruppe der begrenzten Ordnung:

Es ist eine einfache Gruppe, bedeutend, dass es keine normalen Untergruppen abgesehen von der Untergruppe hat, die nur aus dem Identitätselement und der M sich besteht.

Die begrenzten einfachen Gruppen sind (die Klassifikation von begrenzten einfachen Gruppen) völlig klassifiziert worden. Die Liste von begrenzten einfachen Gruppen besteht aus 18 zählbar unendlichen Familien plus 26 sporadische Gruppen, die solch einem systematischen Muster nicht folgen. Die Ungeheuer-Gruppe ist von diesen sporadischen Gruppen am größten und enthält alle außer sechs der anderen sporadischen Gruppen als Subquotienten. Robert Griess hat diese sechs Ausnahme-Parias genannt, und bezieht sich auf andere als die glückliche Familie.

Wahrscheinlich ist die beste Definition, dass das Ungeheuer die kleinste einfache Gruppe ist, die sowohl die Gruppen von Conway als auch die Gruppen von Fischer als Subquotienten enthält.

Existenz und Einzigartigkeit

Das Ungeheuer wurde von Bernd Fischer (unveröffentlicht) und ungefähr 1973 als eine einfache Gruppe vorausgesagt, die einen doppelten Deckel der Baby-Ungeheuer-Gruppe von Fischer als ein centralizer einer Involution enthält. Innerhalb von ein paar Monaten wurde die Ordnung der M von Griess mit der Ordnungsformel von Thompson gefunden, und Fischer, Conway, Norton und Thompson haben andere Gruppen als Subquotienten, einschließlich vieler der bekannten sporadischen Gruppen und zwei neuer entdeckt: die Gruppe von Thompson und die Gruppe von Harada-Norton. gebaute M als die automorphism Gruppe der Algebra von Griess, einer 196884-dimensionalen nichtassoziativen Ersatzalgebra. John Conway und Jacques Tits haben nachher diesen Aufbau vereinfacht.

Der Aufbau von Griess hat gezeigt, dass das Ungeheuer bestanden hat. John G. Thompson hat gezeigt, dass seine Einzigartigkeit (als eine einfache Gruppe der gegebenen Ordnung) aus der Existenz einer 196883-dimensionalen treuen Darstellung folgen würde. Ein Beweis der Existenz solch einer Darstellung wurde 1982 von Simon P. Norton bekannt gegeben, obwohl er die Details nie veröffentlicht hat. Der erste veröffentlichte Beweis der Einzigartigkeit des Ungeheuers wurde dadurch vollendet.

Der Charakter-Tisch des Ungeheuers, 194 durch 194 Reihe, wurde 1979 von Fischer und Donald Livingstone berechnet, der von Michael Thorne geschriebene Computerprogramme verwendet. Die Berechnung hat basiert in der Annahme, dass der minimale Grad einer treuen komplizierten Darstellung 196883 ist, der das Produkt der 3 größten Hauptteiler der Ordnung der M ist.

Mondschein

Die Ungeheuer-Gruppe ist einer von zwei Hauptbestandteilen in der Monströsen Mondschein-Vermutung durch Conway und Norton, der getrennte und nichtgetrennte Mathematik verbindet und schließlich von Richard Borcherds 1992 bewiesen wurde.

In dieser Einstellung ist die Ungeheuer-Gruppe als die automorphism Gruppe des Ungeheuer-Moduls, einer Scheitelpunkt-Maschinenbediener-Algebra, einer unendlichen dimensionalen Algebra sichtbar, die die Algebra von Griess enthält, und folgt dem Ungeheuer Liegen Algebra, eine verallgemeinerte Kac-launische Algebra.

Die E Beobachtung von McKay

Es gibt auch Verbindungen zwischen dem Ungeheuer und den verlängerten Diagrammen von Dynkin spezifisch zwischen den Knoten des Diagramms und der bestimmten conjugacy Klassen im Ungeheuer, das als die E Beobachtung von McKay bekannt ist. Das wird dann zu einer Beziehung zwischen den verlängerten Diagrammen und den Gruppen 3 erweitert. Fi', 2. B, und M, wo diese (3/2/1-fold Haupterweiterungen) der Gruppe von Fischer, der Baby-Ungeheuer-Gruppe und des Ungeheuers sind. Das sind die sporadischen Gruppen, die mit centralizers von Elementen des Typs 1A, 2A, und 3A im Ungeheuer vereinigt sind, und die Ordnung der Erweiterung entspricht dem symmetries des Diagramms. Sieh ADE Klassifikation: Dreieinigkeit für weitere Verbindungen (des Ähnlichkeitstyps von McKay), einschließlich (für das Ungeheuer) mit der ziemlich kleinen einfachen Gruppe PSL (2,11) und mit den 120 tritangent Flugzeugen einer kanonischen sextic Kurve der Klasse 4.

Ein Computeraufbau

Robert A. Wilson hat ausführlich (mithilfe von einem Computer) zwei 196882 durch 196882 matrices gefunden (mit Elementen im Feld des Auftrags 2), die zusammen die Ungeheuer-Gruppe erzeugen; bemerken Sie, dass das Dimension 1 tiefer ist als die 19688-dimensionale Darstellung in der Eigenschaft 0. Jedoch ist das Durchführen von Berechnungen mit diesen matrices in Bezug auf die Zeit und den Abstellraum untersagend teuer. Wilson mit Mitarbeitern hat eine Methode gefunden, Berechnungen mit dem Ungeheuer durchzuführen, das beträchtlich schneller ist.

Lassen Sie V ein 196882 dimensionaler Vektorraum über das Feld mit 2 Elementen sein. Eine große Untergruppe H (vorzugsweise eine maximale Untergruppe) des Ungeheuers wird ausgewählt, in dem es leicht ist, Berechnungen durchzuführen. Die Untergruppe H gewählt ist 3.2. Suz.2, wo Suz die Gruppe von Suzuki ist. Elemente des Ungeheuers werden als Wörter in den Elementen von H und einem Extragenerator T versorgt. Es ist vernünftig schnell, um die Handlung von einem dieser Wörter auf einem Vektoren in V zu berechnen. Mit dieser Handlung ist es möglich, Berechnungen (wie die Ordnung eines Elements des Ungeheuers) durchzuführen. Wilson hat Vektoren u und v ausgestellt, dessen gemeinsamer Ausgleicher die triviale Gruppe ist. So (zum Beispiel) kann man die Ordnung eines Elements g des Ungeheuers berechnen, indem man das kleinste mich &gt findet; 0 solches dass gu = u und gv = v.

Das und ähnliche Aufbauten (in verschiedenen Eigenschaften) sind verwendet worden, um einige interessante Eigenschaften des Ungeheuers (zum Beispiel zu beweisen, einige seiner nichtlokalen maximalen Untergruppen zu finden).

Untergruppe-Struktur

Das Ungeheuer hat mindestens 43 conjugacy Klassen von maximalen Untergruppen. Non-abelian einfache Gruppen von ungefähr 60 Isomorphismus-Typen werden als Untergruppen oder als Quotienten von Untergruppen gefunden. Die größte Wechselgruppe hat vertreten ist A.

Das Ungeheuer enthält viele, aber nicht alle 26 sporadischen Gruppen als Untergruppen. Dieses Diagramm, das auf einem im Buch Symmetrie und das Ungeheuer durch Mark Ronan gestützt ist, zeigt, wie sie zusammen passen. Die Linien bedeuten Einschließung als ein Subquotient der niedrigeren Gruppe durch die obere. Die umkreisten Symbole zeigen an größeren sporadischen Gruppen nicht beteiligte Gruppen an. Wegen der Klarheit werden überflüssige Einschließungen nicht gezeigt.

Ereignis

Das Ungeheuer kann als eine Gruppe von Galois über die rationalen Zahlen, und als eine Gruppe von Hurwitz begriffen werden.

Referenzen

• J. H. Conway und S. P. Norton, Monströser Mondschein, Stier. Londoner Mathematik. Soc. 11 (1979), Nr. 3, 308-339.
• Conway, J. H.; Curtis, R. T.; Norton, S. P.; Parker, R. A.; und Wilson, R. A.: Atlas von Finite Groups: Maximale Untergruppen und Gewöhnliche Charaktere für Simple Groups. Oxford, England 1985.
• P. E. Holmes und R. A. Wilson, Ein Computeraufbau des Ungeheuers mit 2-lokalen Untergruppen, J. Londoner Mathematik. Soc. 67 (2003), 346-364.
• S. A. Linton, R. A. Parker, P. G. Walsh und R. A. Wilson, Computeraufbau des Ungeheuers, J. Gruppentheorie 1 (1998), 307-337.
• S. P. Norton, Die Einzigartigkeit des Ungeheuers von Fischer-Griess, der Begrenzten Gruppen — Ankunft volljährig (Montreal, Que. 1982), 271-285, Contemp. Mathematik. 45, Amer. Mathematik. Soc. Vorsehung, Rhode Island, 1985.
• M. Ronan, Symmetrie und das Ungeheuer, die Presse der Universität Oxford, 2006, internationale Standardbuchnummer 0-19-280722-6 (kurze Einführung für den Hilfsdiakonen).
• M. du Sautoy, Entdeckung des Mondscheins, des Vierten Stands, 2008, internationale Standardbuchnummer 978-0-00-721461-7 (eine andere Einführung für den Hilfsdiakonen; veröffentlicht in den Vereinigten Staaten durch HarperCollins als Symmetrie, internationale Standardbuchnummer 978-0-06-078940-4).

Links

• MathWorld: Monster Group
• Atlas von Darstellungen von Finite Group: Ungeheuer-Gruppe
• Schwer verständliche Gans: Ungeheuer von Fischer-Griess