In der mathematischen Analyse ist das Maß von Haar eine Weise, "invariant Volumen" zu Teilmengen lokal kompakter topologischer Gruppen zuzuteilen und nachher ein Integral für Funktionen auf jenen Gruppen zu definieren.

Dieses Maß wurde von Alfréd Haar, einem ungarischen Mathematiker 1933 eingeführt. Maßnahmen von Haar werden in vielen Teilen der Analyse und Zahlentheorie, und auch in der Bewertungstheorie verwendet.

Einleitungen

Lassen Sie (G.), eine lokal kompakte topologische Gruppe sein. In diesem Artikel wird der durch alle Kompaktteilmengen von G erzeugte σ-algebra die Algebra von Borel genannt. Ein Element der Algebra von Borel wird genannt ein Borel ist untergegangen. Wenn eines Elements von G und S zu sein, eine Teilmenge von G ist, dann definieren wir den verlassenen, und Recht übersetzt S wie folgt:

• Verlassen übersetzen Sie:

::

• Recht übersetzt:

::

Verlassen und Recht übersetzt stellen Sätze von Borel in Sätze von Borel kartografisch dar.

Ein Maß μ auf den Teilmengen von Borel von G wird left-translation-invariant genannt, wenn für alle Teilmengen von Borel S G und aller in G man hat

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Eine ähnliche Definition wird für die richtige Übersetzung invariance gemacht.

Der Lehrsatz von Haar

Es, gibt bis zu einer positiven multiplicative Konstante, ein einzigartiges zählbar zusätzliches, nichttriviales Maß μ auf den Teilmengen von Borel von G Zufriedenheit der folgenden Eigenschaften:

• μ (gE) = μ (E) für jeden g in G und Borel setzen E (left-translation-invariance).
• μ (K) ist für jeden Kompaktsatz K begrenzt.
• Jeder Borel ist untergegangen E ist Außenstammkunde:

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• Jeder offene Satz E ist innerer Stammkunde:

::

Solch ein Maß auf G wird ein linkes Maß von Haar genannt. Es kann demzufolge der obengenannten Eigenschaften dass μ (U)> 0 für jede nichtleere offene Teilmenge U gezeigt werden. Insbesondere wenn G dann μ (G) kompakt ist, ist begrenzt und positiv, so können wir ein linkes Maß von Haar auf G einzigartig angeben, indem wir die Normalisierungsbedingung μ (G) = 1 hinzufügen.

Das linke Maß von Haar befriedigt die innere Regelmäßigkeitsbedingung für alle σ-finite Sätze von Borel, aber kann nicht innerer Stammkunde für alle Sätze von Borel sein. Zum Beispiel ist das Produkt des Einheitskreises (mit seiner üblichen Topologie) und die echte Linie mit der getrennten Topologie eine lokal kompakte Gruppe mit der Produkttopologie, und das Maß von Haar auf dieser Gruppe ist nicht innerer Stammkunde für die geschlossene Teilmenge {1} x [0,1]. (Kompaktteilmengen dieses vertikalen Segmentes sind begrenzte Sätze, und Punkte haben Maß 0, so ist das Maß jeder Kompaktteilmenge dieses vertikalen Segmentes 0. Aber, mit der Außenregelmäßigkeit, kann man zeigen, dass das Segment unendliches Maß hat.)

Die Existenz und Einzigartigkeit (bis zum Schuppen) eines linken Maßes von Haar wurden zuerst in der vollen Allgemeinheit von André Weil bewiesen. Der Beweis von Weil hat das Axiom der Wahl verwendet, und Henri Cartan hat einen Beweis ausgestattet, der seinen Gebrauch vermieden hat. Der Beweis von Cartan beweist auch die Existenz und die Einzigartigkeit gleichzeitig. Der spezielle Fall des Invariant-Maßes für die zweiten zählbaren lokal kompakten Gruppen war von Haar 1933 gezeigt worden.

Das Recht Maß von Haar

Es kann auch bewiesen werden, dass dort ein einzigartiger (bis zur Multiplikation durch eine positive Konstante) right-translation-invariant Maß von Borel ν Zufriedenheit der obengenannten Regelmäßigkeitsbedingungen besteht und begrenzt auf Kompaktsätzen zu sein, aber es braucht mit dem Left-Translation-Invariant-Maß-μ nicht zusammenzufallen. Der verlassene und das Recht Maßnahmen von Haar sind dasselbe nur für so genannte unimodular Gruppen (sieh unten). Es ist aber ziemlich einfach, eine Beziehung zwischen μ und ν zu finden.

Tatsächlich, für einen Borel setzt S, lassen uns durch den Satz von Gegenteilen von Elementen von S anzeigen. Wenn wir definieren

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dann ist das ein Recht Maß von Haar. Um Recht invariance zu zeigen, wenden Sie die Definition an:

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Weil das richtige Maß einzigartig ist, hieraus folgt dass μ ein Vielfache von ν und so ist

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für alle Sätze von Borel S, wo k eine positive Konstante ist.

Integrierter Haar

Mit der allgemeinen Theorie der Integration von Lebesgue kann man dann ein Integral für den ganzen Borel messbare Funktionen f auf G definieren. Dieses Integral wird den integrierten Haar genannt. Wenn μ ein linkes Maß von Haar, dann ist

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weil irgendwelche integrable f fungieren. Das ist für Schritt-Funktionen unmittelbar, im Wesentlichen die Definition von linkem invariance seiend.

Beispiele

• Ein Maß von Haar auf der topologischen Gruppe (R, +), der den Wert 1 auf dem Zwischenraum [0,1] nimmt, ist der Beschränkung des Maßes von Lebesgue zu den Teilmengen von Borel von R gleich. Das kann zu (R, +) verallgemeinert werden.
• Wenn G die Gruppe von reellen Nichtnullzahlen mit der Multiplikation als Operation ist, dann wird ein Maß von Haar μ durch gegeben

::

:for jede Teilmenge von Borel S der Nichtnull reals.

Das verallgemeinert zum folgenden:

• Für G = GL (n, R), ist irgendwelcher abgereist Maß von Haar ist ein Recht, das Maß von Haar und ein solches Maß μ durch gegeben werden

::

:where dX zeigt das Maß von Lebesgue auf R, dem Satz des ganzen-matrices an. Das folgt aus der Änderung der Variable-Formel.

• Mehr allgemein, auf irgendwelchen Liegen die Gruppe der Dimension d ein linkes Maß von Haar kann mit jeder nach-links-invariant NichtnullD-Form ω vereinigt werden, weil Lebesgue ω messen; und ähnlich für das Recht Maßnahmen von Haar. Das bedeutet auch, dass die Modulfunktion als der absolute Wert der Determinante der adjoint Darstellung geschätzt werden kann.
• Um ein Maß von Haar μ auf dem Einheitskreis T zu definieren, betrachten Sie die Funktion f von [0,2π] auf T als definiert durch f (t) = (weil (t), Sünde (t)). Dann kann μ durch definiert werden

::

wo M das Maß von Lebesgue ist. Der Faktor (2π) wird so dass μ (T) = 1 gewählt.

• Wenn G die Gruppe von nichtungültigem quaternions ist, dann kann G als eine offene Teilmenge von R gesehen werden. Ein Maß von Haar μ wird durch gegeben

::

:where dx dy dz dw zeigt das Maß von Lebesgue in R an, und S ist eine Teilmenge von Borel von G.

Gebrauch

Historisch war der erste Gebrauch des Lehrsatzes von Haar die Lösung durch von Neumann vom fünften Problem von Hilbert im Fall von Kompaktgruppen. Tatsächlich wurde der Artikel von von Neumann in demselben Problem von Annalen der Mathematik als der Artikel von Haar und sofort danach veröffentlicht.

Die Maßnahmen von Haar werden in der harmonischen Analyse auf willkürliche lokal kompakte Gruppen verwendet; sieh Dualität von Pontryagin. Eine oft verwendete Technik, für die Existenz eines Maßes von Haar auf einer lokal kompakten Gruppe G zu beweisen, zeigt die Existenz eines linken invariant Maßes von Radon auf G.

In der Bewertungstheorie können Maßnahmen von Haar als nichtinformativer priors verwendet werden, Jeffreys priors für verschiedene Fragen seiend. Zum Beispiel entspricht Übersetzung invariance der (unpassenden) Rechteckverteilung auf den reellen Zahlen (das Maß von Haar in Bezug auf die Hinzufügung) keiner Information über die Position, und so ist es Jeffreys, der für den unbekannten bösartigen von einem Vertrieb von Gaussian, das Mittelwesen ein Maß der Position vorherig ist.

Wenn G keine getrennte Gruppe ist, ist es unmöglich, ein zählbar zusätzliches verlassenes Invariant-Maß auf allen Teilmengen von G zu definieren, das Axiom der Wahl annehmend. Sieh nichtmessbare Mengen.

Die Modulfunktion

Die verlassenen übersetzen von einem Recht Maß von Haar ist ein Recht Maß von Haar. Genauer, wenn μ ein Recht Maß von Haar, dann ist

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ist auch richtiger invariant. So, durch die Einzigartigkeit des Maßes von Haar, dort besteht eine Funktion Δ von der Gruppe zum positiven reals, genannt das Modul von Haar, die Modulfunktion oder den Modulcharakter, solch, die für jeden Borel Einen setzen

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Seit dem Recht ist Maß von Haar bis zu einem positiven Skalenfaktor bestimmt, diese Gleichung zeigt, dass die Modulfunktion der Wahl des Rechts Maß von Haar in der obengenannten Gleichung unabhängig ist.

Die Modulfunktion ist ein Gruppenhomomorphismus in die multiplicative Gruppe von reellen Nichtnullzahlen. Eine Gruppe ist unimodular, wenn, und nur wenn die Modulfunktion identisch 1, oder gleichwertig ist, wenn das Maß von Haar sowohl verlassen wird und Recht invariant. Beispiele von unimodular Gruppen sind abelian Gruppen, Kompaktgruppen, getrennte Gruppen (z.B, begrenzte Gruppen), halbeinfache Lüge-Gruppen und verbundener nilpotent Lügen Gruppen. Ein Beispiel einer non-unimodular Gruppe ist die Gruppe von affine Transformationen

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auf der echten Linie. Dieses Beispiel zeigt, dass eine lösbare Lüge-Gruppe unimodular nicht zu sein braucht.

Siehe auch

• Dualität von Pontryagin

Referenzen

Weiterführende Literatur

• Lynn Loomis, Eine Einführung in die Abstrakte Harmonische Analyse, D. Kombi Nostrand and Co., 1953.
• André Weil, Grundlegende Zahlentheorie, Akademische Presse, 1971.

Links

• Auf der Existenz und Einzigartigkeit von Invariant-Maßnahmen auf Locally Compact Groups - durch Simon Rubinstein-Salzedo