In der geradlinigen Algebra ist die Determinante ein mit einer Quadratmatrix vereinigter Wert. Es kann von den Einträgen der Matrix durch einen spezifischen arithmetischen Ausdruck geschätzt werden, während andere Weisen, seinen Wert zu bestimmen, ebenso bestehen. Die Determinante gibt wichtige Auskunft, wenn die Matrix die der Koeffizienten eines Systems von geradlinigen Gleichungen ist, oder wenn es einer geradlinigen Transformation eines Vektorraums entspricht: Im ersten Fall hat das System eine einzigartige Lösung, wenn, und nur wenn die Determinante Nichtnull im zweiten Fall ist, dass dieselbe Bedingung bedeutet, dass die Transformation einen inversen Betrieb hat. Eine geometrische Interpretation kann dem Wert der Determinante einer Quadratmatrix mit echten Einträgen gegeben werden: Der absolute Wert der Determinante gibt den Einteilungsfaktor, mit dem Gebiet oder Volumen unter der verbundenen geradlinigen Transformation multipliziert werden, während sein Zeichen anzeigt, ob die Transformation Orientierung bewahrt. So 2 × 2 Matrix mit der Determinante 2, wenn angewandt, auf ein Gebiet des Flugzeugs mit dem begrenzten Gebiet, wird dieses Gebiet in eines mit zweimal dem Gebiet umgestalten, während sie seine Orientierung umkehren wird.

Determinanten kommen überall in der Mathematik vor. Der Gebrauch von Determinanten in der Rechnung schließt die Determinante von Jacobian in die Ersatz-Regel für Integrale von Funktionen von mehreren Variablen ein. Sie werden verwendet, um das charakteristische Polynom einer Matrix zu definieren, die ein wesentliches Werkzeug in eigenvalue Problemen in der geradlinigen Algebra ist. In einigen Fällen werden sie als eine Kompaktnotation für Ausdrücke verwendet, die sonst unhandlich sein würden, um niederzuschreiben.

Die Determinante einer Matrix A wird det (A), det A, oder |A angezeigt. Im Fall, wo die Matrixeinträge vollständig ausgeschrieben werden, wird die Determinante durch die Umgebung der Matrixeinträge durch vertikale Bars statt der Klammern oder Parenthesen der Matrix angezeigt. Zum Beispiel, die Determinante der Matrix

: wird geschrieben und hat den Wert

Obwohl meistenteils verwendet, für matrices, dessen Einträge reelle Zahlen oder komplexe Zahlen sind, schließt die Definition der Determinante nur Hinzufügung, Subtraktion und Multiplikation ein, und so kann es für das Quadrat matrices mit von jedem Ersatzring genommenen Einträgen definiert werden. So zum Beispiel wird die Determinante einer Matrix mit Koeffizienten der ganzen Zahl eine ganze Zahl sein, und die Matrix hat ein Gegenteil mit Koeffizienten der ganzen Zahl, wenn, und nur wenn diese Determinante 1 oder 1 (diese ist, die einzigen invertible Elemente der ganzen Zahlen seiend). Für das Quadrat matrices mit Einträgen in einem Nichtersatzring, zum Beispiel der quaternions, gibt es keine einzigartige Definition für die Determinante und keine Definition, die alle üblichen Eigenschaften von Determinanten über Ersatzringe hat.

Definition

Es gibt verschiedene Weisen, die Determinante einer Quadratmatrix A, d. h. ein mit derselben Zahl von Reihen und Säulen zu definieren. Vielleicht wird der natürlichste Weg in Bezug auf die Säulen der Matrix ausgedrückt. Wenn wir eine n-by-n Matrix in Bezug auf seine Spaltenvektoren schreiben

:

wo Vektoren der Größe n sind, dann wird die Determinante von A so dass definiert

:::

wo b und c Skalare sind, ist v jeder Vektor der Größe n, und ich bin die Identitätsmatrix der Größe n. Diese Eigenschaften stellen fest, dass die Determinante eine mehrgeradlinige Wechselfunktion der Säulen ist, und sie genügen, um die Determinante jeder Quadratmatrix einzigartig zu berechnen. Vorausgesetzt dass die zu Grunde liegenden Skalare ein Feld bilden (mehr allgemein, ein Ersatzring mit der Einheit), zeigt die Definition unten, dass solch eine Funktion besteht, und, wie man zeigen kann, es einzigartig ist.

Gleichwertig kann die Determinante als eine Summe von Produkten von Einträgen der Matrix ausgedrückt werden, wo jedes Produkt N-Begriffe hat und der Koeffizient jedes Produktes-1 oder 1 oder 0 gemäß einer gegebenen Regel ist: Es ist ein polynomischer Ausdruck der Matrixeinträge. Dieser Ausdruck wächst schnell mit der Größe der Matrix (eine n-by-n Matrix trägt n bei! Begriffe), so wird es zuerst ausführlich für den Fall 2 durch 2 matrices und 3 durch 3 matrices, gefolgt von der Regel für die willkürliche Größe matrices gegeben, der diese zwei Fälle unterordnet.

Nehmen Sie an ist eine Quadratmatrix mit Reihen und Säulen, so dass sie als geschrieben werden kann

:

A = \begin {bmatrix} a_ {1,1} & a_ {1,2} & \dots & a_ {1, n} \\

a_ {2,1} & a_ {2,2} & \dots & a_ {2, n} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ {n, 1} & a_ {n, 2} & \dots & a_ {n, n} \end {bmatrix}. \, </math>

Die Einträge können Zahlen oder Ausdrücke sein (wie es geschieht, wenn die Determinante verwendet wird, um ein charakteristisches Polynom zu definieren); die Definition der Determinante hängt nur von der Tatsache ab, dass sie hinzugefügt und zusammen auf eine Ersatzweise multipliziert werden können.

Die Determinante dessen wird als angezeigt, oder sie kann direkt in Bezug auf die Matrixeinträge durch das Schreiben von Umgeben-Bars statt Klammern angezeigt werden:

:a_ {2,1} & a_ {2,2} & \dots & a_ {2, n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ {n, 1} & a_ {n, 2} & \dots & a_ {n, n} \end {vmatrix}. \, </math>

2 durch 2 matrices

Die Determinante 2&times;2 Matrix wird durch definiert

:

Wenn die Matrixeinträge reelle Zahlen sind, kann die Matrix verwendet werden, um zwei geradlinige mappings zu vertreten: Derjenige, der die Standardbasisvektoren zu den Reihen, und diejenige kartografisch darstellt, die sie zu den Säulen dessen kartografisch darstellt. In jedem Fall bilden die Images der Basisvektoren ein Parallelogramm, das das Image des Einheitsquadrats darunter vertritt, kartografisch darzustellen. Das durch die Reihen der obengenannten Matrix definierte Parallelogramm ist dasjenige mit Scheitelpunkten an (0,0), (a, b), (+ c, b + d), und (c, d), wie gezeigt, im Begleitdiagramm. Der absolute Wert dessen ist das Gebiet des Parallelogramms, und vertritt so den Einteilungsfaktor, durch den Gebiete dadurch umgestaltet werden. (Das Parallelogramm, das durch die Säulen dessen gebildet ist, ist im Allgemeinen ein verschiedenes Parallelogramm, aber da die Determinante in Bezug auf Reihen und Säulen symmetrisch ist, wird das Gebiet dasselbe sein.)

Der absolute Wert der Determinante zusammen mit dem Zeichen wird das orientierte Gebiet des Parallelogramms. Das orientierte Gebiet ist dasselbe als das übliche Gebiet, außer dass es negativ ist, wenn der Winkel von Anfang an zum zweiten Vektoren, der das Parallelogramm definiert, im Uhrzeigersinn Richtung vorbeikommt (der gegenüber der Richtung ist, die man für die Identitätsmatrix bekommen würde).

So gibt die Determinante den Skalenfaktor und die Orientierung, die dadurch veranlasst ist, kartografisch darzustellen, der dadurch vertreten ist. Wenn die Determinante einer gleich ist, definiert durch die Matrix geradlinig kartografisch darzustellen, ist Equi-Flächen- und bewahrt Orientierung.

3 durch 3 matrices

Die Determinante 3&times;3 Matrix wird durch definiert

Die Regel von Sarrus ist ein mnemonischer für diese Formel: Die Summe der Produkte von drei diagonalem Nordwesten zu Südostlinien von Matrixelementen, minus die Summe der Produkte von drei diagonalem Südwesten zu Nordostlinien von Elementen, wenn die Kopien der ersten zwei Säulen der Matrix daneben als in der Illustration am Recht geschrieben werden.

Zum Beispiel, die Determinante von

:

-1& 1& 3 \\

2 &0 &-1 \end {bmatrix} </Mathematik>

wird mit dieser Regel berechnet:

Dieses Schema, für die Determinante 3&times;3 Matrix zu berechnen, trägt in höhere Dimensionen nicht vor.

n-by-n matrices

Die Determinante einer Matrix der willkürlichen Größe kann durch die Formel von Leibniz oder die Formel von Laplace definiert werden.

Die Formel von Leibniz für die Determinante einer n-by-n Matrix A ist

:

Here die Summe wird über alle Versetzungen σ vom Satz Eine Versetzung geschätzt, ist eine Funktion, die diesen Satz von ganzen Zahlen wiederbestellt. Der Wert in der i-th Position nach der Umstellung σ wird σ angezeigt. Zum Beispiel, für n = 3, könnte die ursprüngliche Folge 1, 2, 3 zu σ = [2, 3, 1], mit σ = 2, σ = 3 und σ = 1 wiederbestellt werden. Der Satz aller dieser Versetzungen (auch bekannt als die symmetrische Gruppe auf n Elementen) wird S angezeigt. Für jede Versetzung σ sgn zeigt (σ) die Unterschrift von σ an; es ist +1 für sogar σ und &minus;1 für sonderbaren σ. Ebenheit oder Merkwürdigkeit können wie folgt definiert werden: Die Versetzung ist sogar (seltsam), wenn die neue Folge durch eine gerade Zahl (seltsam, beziehungsweise) Schalter von Zahlen erhalten werden kann. Zum Beispiel, von [1, 2, 3] anfangend (und mit der Tagung dass die Unterschrift sgn ([1,2,3]) = +1 anfangend), und Schaltung der Positionen von 2 und 3 Erträgen [1, 3, 2], mit sgn ([1,3,2]) =-1. Schaltung trägt noch einmal [3, 1, 2], mit sgn ([3,1,2]) = +1 wieder. Schließlich, nach insgesamt drei Schaltern (eine ungerade Zahl), ist die resultierende Versetzung [3, 2, 1], mit sgn ([3,2,1]) =-1. Deshalb [3, 2, 1] ist eine sonderbare Versetzung. Ähnlich ist die Versetzung [2, 3, 1] gleich: [1, 2, 3]  [2, 1, 3]  [2, 3, 1], mit einer geraden Zahl von Schaltern.

Eine Versetzung kann nicht gleichzeitig sogar und seltsam sein, aber manchmal ist es günstig, Nichtversetzungen zu akzeptieren: Folgen mit wiederholten oder ausgelassenen Zahlen, wie [1, 2, 1]. In diesem Fall ist die Unterschrift jeder Nichtversetzung Null: sgn ([1,2,1]) = 0.

In einigen der summands, der Begriff

:

ist Notation für das Produkt der Einträge an Positionen (ich, σ), wo ich mich von 1 bis n erstrecke:

:

Zum Beispiel ist die Determinante 3 durch 3 Matrix (n = 3)

:

\sum_ {\\Sigma \in S_n} \sgn (\sigma) \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, \sigma_i }\

&= \sgn ([1,2,3]) \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [1,2,3] _i} + \sgn ([1,3,2]) \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [1,3,2] _i} + \sgn ([2,1,3]) \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [2,1,3] _i} \\&+ \sgn ([2,3,1]) \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [2,3,1] _i} + \sgn ([3,1,2]) \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [3,1,2] _i} + \sgn ([3,2,1]) \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [3,2,1] _i }\

\\

&= \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [1,2,3] _i} - \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [1,3,2] _i} - \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [2,1,3] _i} + \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [2,3,1] _i} + \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [3,1,2] _i} - \prod_ {i=1} ^n A_ {ich, [3,2,1] _i }\

\\

&=A_ {1,1} A_ {2,2} A_ {3,3}-A_ {1,1} A_ {2,3} A_ {3,2}-A_ {1,2} A_ {2,1} A_ {3,3} +A_ {1,2} A_ {2,3} A_ {3,1} +A_ {1,3} A_ {2,1} A_ {3,2}-A_ {1,3} A_ {2,2} A_ {3,1}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Das stimmt mit der Regel von in der vorherigen Abteilung gegebenem Sarrus überein.

Die formelle Erweiterung auf willkürliche Dimensionen wurde von Tullio Levi-Civita gemacht, sieh (Symbol von Levi-Civita) das Verwenden eines Pseudotensor-Symbols.

Symbol von Levi-Civita

Die Determinante für eine n-by-n Matrix kann in Bezug auf das völlig antisymmetrische Symbol von Levi-Civita wie folgt ausgedrückt werden:

::

Eigenschaften der Determinante

Die Determinante hat viele Eigenschaften. Einige grundlegende Eigenschaften von Determinanten sind:

1. wo die n×n Identitätsmatrix ist.
2. für eine n×n Matrix.
3. Wenn A eine Dreiecksmatrix, d. h. = 0 wann auch immer i> j oder, wechselweise, wann auch immer ich ist

Das kann aus einigen der Eigenschaften unten abgeleitet werden, aber es folgt am leichtesten direkt von der Formel von Leibniz (oder von der Vergrößerung von Laplace), in dem die Identitätsversetzung die einzige ist, die einen Nichtnullbeitrag gibt.

Mehrere zusätzliche Eigenschaften beziehen sich zu den Effekten auf die Determinante, besondere Reihen oder Säulen zu ändern:

1. Diese N-Linear-Funktion ist eine Wechselform. Das bedeutet, dass, wann auch immer zwei Säulen einer Matrix, oder mehr allgemein eine Säule identisch sind, als eine geradlinige Kombination der anderen Säulen ausgedrückt werden kann (d. h. die Säulen der Matrix einen linearen abhängig Satz bilden), ist seine Determinante 0.

Eigenschaften 1, 7 und 8 — der alle aus der Formel von Leibniz — völlig folgen, charakterisieren die Determinante; mit anderen Worten ist die Determinante die einzigartige Funktion von n×n matrices zu Skalaren, der n-linear ist, der in den Säulen abwechselt, und den Wert 1 für die Identitätsmatrix nimmt (diese Charakterisierung hält, ob Skalare in einem gegebenem Ersatzring genommen werden). Um das zu sehen, genügt es, um die Determinante durch die Mehrlinearität in den Säulen in eine (riesige) geradlinige Kombination von Determinanten von matrices auszubreiten, in dem jede Säule ein Standardbasisvektor ist. Diese Determinanten sind irgendein 0 (durch das Eigentum 8) oder ±1 (durch Eigenschaften 1 und 11 unten), so gibt die geradlinige Kombination den Ausdruck oben in Bezug auf das Symbol von Levi-Civita. Während weniger technisch anscheinend diese Charakterisierung die Formel von Leibniz im Definieren der Determinante, seitdem ohne es nicht völlig ersetzen kann, ist die Existenz einer passenden Funktion nicht klar. Für matrices über Nichtersatzringe sind Eigenschaften 7 und 8 dafür unvereinbar, also gibt es keine gute Definition der Determinante in dieser Einstellung.

Eigentum 2 deutet oben an, dass Eigenschaften für Säulen ihre Kollegen in Bezug auf Reihen haben:

1. Diese N-Linear-Funktion ist eine Wechselform: Wann auch immer zwei Reihen einer Matrix identisch sind, ist seine Determinante 0.
2. Das Austauschen von zwei Säulen einer Matrix multipliziert seine Determinante mit 1. Das folgt aus Eigenschaften 7 und 8 (es ist ein allgemeines Eigentum von mehrgeradlinigen Wechselkarten). Das Wiederholen gibt das mehr allgemein eine Versetzung der Säulen multipliziert die Determinante mit dem Referenzen der Versetzung. Ähnlich multipliziert eine Versetzung der Reihen die Determinante mit dem Zeichen der Versetzung.
3. Das Hinzufügen eines Skalarvielfaches einer Säule zu einer anderen Säule ändert den Wert der Determinante nicht. Das ist eine Folge von Eigenschaften 7 und 8: Durch das Eigentum 7 ändert sich die Determinante durch ein Vielfache der Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Säulen, die Determinante 0 durch das Eigentum 8 ist. Ähnlich verlässt das Hinzufügen eines Skalarvielfaches einer Reihe zu einer anderen Reihe die Determinante unverändert.

</li> </ol>

Diese Eigenschaften können verwendet werden, um die Berechnung von Determinanten durch die Vereinfachung der Matrix zum Punkt zu erleichtern, wo die Determinante sofort bestimmt werden kann. Spezifisch, für matrices mit Koeffizienten in einem Feld, können Eigenschaften 11 und 12 verwendet werden, um jede Matrix in eine Dreiecksmatrix umzugestalten, deren Determinante durch das Eigentum 6 gegeben wird; das ist im Wesentlichen die Methode der Beseitigung von Gaussian.

Zum Beispiel, die Determinante von-1& 1& 3 \\

2 &0 &-1 \end {bmatrix} </Mathematik>

kann mit dem folgenden matrices geschätzt werden:

0 & 0 & 4.5 \\

2 &0 &-1 \end {bmatrix},

C = \begin {bmatrix} -2&2&-3 \\

0 & 0 & 4.5 \\

0 & 2 &-4 \end {bmatrix},

D = \begin {bmatrix} -2&2&-3 \\

0 & 2 &-4 \\

0 & 0 & 4.5

\end {bmatrix}.</Mathematik>

Hier wird B bei durch das Hinzufügen &minus;1/2 &times erhalten; die erste Reihe zum zweiten, so dass det (A) = det (B). C wird bei B durch das Hinzufügen des ersten zur dritten Reihe, so dass det (C) = det (B) erhalten. Schließlich wird D bei C durch das Austauschen der zweiten und dritten Reihe, so dass det (D) = &minus;det (C) erhalten. Die Determinante der (oberen) Dreiecksmatrix D ist das Produkt seiner Einträge auf der Hauptdiagonale: (&minus;2) · 2 · 4.5 = &minus;18. Deshalb det (A) = &minus;det (D) = +18.

Multiplicativity und Matrixgruppen

Die Determinante eines Matrixproduktes des Quadrats matrices kommt dem Produkt ihrer Determinanten gleich:

:

So ist die Determinante eine Multiplicative-Karte. Dieses Eigentum ist eine Folge der Charakterisierung, die oben der Determinante als der einzigartige n-linear Wechselfunktion der Säulen mit dem Wert 1 auf der Identitätsmatrix seit der Funktion gegeben ist, die, wie man leicht sehen kann, Karten n-linear sind und in den Säulen der M abwechselnd, und nimmt den Wert an der Identität. Die Formel kann zu (quadrat)-Produkten von rechteckigem matrices verallgemeinert werden, die Cauchy-Binet Formel gebend, die auch einen unabhängigen Beweis des multiplicative Eigentums zur Verfügung stellt.

Die Determinante det (A) einer Matrix A ist Nichtnull, wenn, und nur wenn A invertible oder, noch eine andere gleichwertige Behauptung ist, wenn seine Reihe der Größe der Matrix gleichkommt. Wenn so, die Determinante der umgekehrten Matrix wird durch gegeben

:

Insbesondere Produkte und Gegenteile von matrices mit der Determinante hat man noch dieses Eigentum. So bildet der Satz solchen matrices (der festen Größe n) eine als die spezielle geradlinige Gruppe bekannte Gruppe. Mehr allgemein zeigt das "spezielle" Wort die Untergruppe einer anderen Matrixgruppe von matrices der Determinante ein an. Beispiele schließen die spezielle orthogonale Gruppe ein (der, wenn n 2 oder 3 ist, aus der ganzen Folge matrices besteht), und die spezielle einheitliche Gruppe.

Die Formel von Laplace und die adjugate Matrix

Die Formel von Laplace drückt die Determinante einer Matrix in Bezug auf seine Minderjährigen aus. Die geringe M wird definiert, um die Determinante (n&minus;1) &times zu sein; (n&minus;1) - Matrix, die sich durch das Entfernen der i-th Reihe und der j-th Säule ergibt. Der Ausdruck (&minus;1) M ist als cofactor bekannt. Die Determinante von A wird durch gegeben

:

Das Rechnen det (A) mittels dieser Formel wird Erweiterung der Determinante entlang einer Reihe oder Säule genannt. Für das Beispiel 3 durch 3 Matrix

-1& 1& 3 \\

2 &0 &-1 \end {bmatrix} </Mathematik>, Vergrößerung von Laplace entlang der zweiten Säule (j = 2 geht die Summe i durch), Erträge:

Jedoch ist Vergrößerung von Laplace für kleinen matrices nur effizient.

Das adjugate Matrixadjektiv (A) ist das Umstellen der Matrix, die aus dem cofactors, d. h., besteht

:

Der bestimmende Lehrsatz von Sylvester

Der bestimmende Lehrsatz von Sylvester stellt fest, dass für A, eine m-by-n Matrix und B, eine n durch M Matrix (so dass A und B Dimensionen haben, die ihnen erlauben, in jeder Ordnung multipliziert zu werden):

:

wo und die M-für-M- und n-by-n Identität matrices beziehungsweise sind.

Von diesem allgemeinen Ergebnis folgen mehrere Folgen.

(a) Für den Fall des Spaltenvektors c und Zeilenvektoren r, jedes mit der M Bestandteile, erlaubt die Formel schnelle Berechnung der Determinante einer Matrix, die sich von der Identitätsmatrix durch eine Matrix der Reihe 1 unterscheidet:

:.

(b) Mehr allgemein, für jeden invertible M-für-M-Matrix X,

:

(c) Für eine Säule und Zeilenvektoren als oben.

Eigenschaften der Determinante in Bezug auf andere Begriffe

Beziehung zu eigenvalues und Spur

Determinanten können verwendet werden, um den eigenvalues der Matrix A zu finden: Sie sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung

:

wo ich die Identitätsmatrix derselben Dimension wie A bin. Umgekehrt det ist (A) das Produkt des eigenvalues von A, der mit ihrer algebraischen Vielfältigkeit aufgezählt ist. Das Produkt der ganzen Nichtnull eigenvalues wird Pseudodeterminante genannt.

Eine Hermitian Matrix ist bestimmt positiv, wenn seine alle eigenvalues positiv sind. Das Kriterium von Sylvester behauptet, dass das zu den Determinanten des submatrices gleichwertig

ist:

a_ {2,1} & a_ {2,2} & \dots & a_ {2, k} \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

a_ {k, 1} & a_ {k, 2} & \dots & a_ {k, k} \end {bmatrix} </Mathematik>

für den ganzen k zwischen 1 und n positiv seiend.

Die Spur tr (A) ist definitionsgemäß die Summe der diagonalen Einträge von A und kommt auch der Summe des eigenvalues gleich. So, für den Komplex matrices A,

:

oder, für echten matrices A,

:

Hier zeigt exp (A) die von A Exponential-Matrix an, weil jeder eigenvalue λ A zum eigenvalue exp (λ) von exp (A) entspricht. Insbesondere in Anbetracht jedes Logarithmus von A, d. h. jede Matrix L, befriedigend

:

die Determinante von A wird durch gegeben

:

Zum Beispiel, für n = 2 und n = 3, beziehungsweise,

::

Diese Formeln sind nah mit der Identität von Newton verbunden.

Eine Generalisation der obengenannten Identität kann bei der folgenden Reihenentwicklung von Taylor der Determinante erhalten werden:

:

\det (ich + A) = \sum_ {k=0} ^ {\\infty} \frac {1} {k!} \left (-\sum_ {j=1} ^ {\\infty} \frac {(-1) ^j} {j }\\mathrm {tr} (A^j) \right) ^k \,

\end {richten }\aus

</Mathematik>

wo ich die Identitätsmatrix bin.

Die Regierung von Cramer

Für eine Matrixgleichung

:

die Lösung wird durch die Regierung von Cramer gegeben:

:

wo A die gebildete Matrix durch das Ersetzen der i-th Säule durch den Spaltenvektor b ist. Das folgt sofort durch die Säulenvergrößerung der Determinante, d. h.

:

wo die Vektoren die Säulen von A sind. Die Regel wird auch durch die Identität einbezogen

:

Es ist kürzlich gezeigt worden, dass die Regierung von Cramer in O (n) Zeit durchgeführt werden kann, die mit mehr üblicher Methodik vergleichbar ist, Systeme von geradlinigen Gleichungen, wie LU, QR oder einzigartige Wertzergliederung zu lösen.

Block matrices

Nehmen Sie A, B, C an, und D sind n&times;n - n&times;m - m&times;n - und m&times;m-matrices beziehungsweise. Dann

:

Das kann von der Formel von Leibniz oder durch die Induktion auf n gesehen werden. Wenn A invertible ist, die folgende Identität verwendend

:

führt

zu:

Wenn D invertible ist, kann eine ähnliche Identität mit dem ausgeklammerten analog abgeleitet werden, der, ist

:

Wenn die Blöcke quadratischer matrices derselben Ordnung sind, halten weitere Formeln. Zum Beispiel, wenn C und D pendeln (d. h., CD = Gleichstrom), dann hält die folgende Formel, die mit der Determinante 2 durch 2 Matrix vergleichbar ist:

:

Ableitung

Definitionsgemäß, z.B, mit der Formel von Leibniz, der Determinante von echten (oder analog für den Komplex) ist Quadrat matrices eine polynomische Funktion von R bis R. Als solcher ist es überall differentiable. Seine Ableitung kann mit der Formel von Jacobi ausgedrückt werden:

:

wo Adjektiv (A) den adjugate von A anzeigt. Insbesondere wenn A invertible ist, haben wir

:

Ausgedrückt in Bezug auf die Einträge von A ist das

:

Und doch ist eine andere gleichwertige Formulierung

:

das Verwenden großer O Notation. Der spezielle Fall wo, die Identitätsmatrix, Erträge

:

Diese Identität wird im Beschreiben des Tangente-Raums von bestimmten Matrixlüge-Gruppen verwendet.

Wenn die Matrix A als geschrieben wird, wo a, b, c Vektoren sind, dann kann der Anstieg über einen der drei Vektoren als das Kreuzprodukt der anderen zwei geschrieben werden:

:

\nabla_\mathbf {ein }\\det (A) &= \mathbf {b} \times \mathbf {c} \\

\nabla_\mathbf {b }\\det (A) &= \mathbf {c} \times \mathbf \\

\nabla_\mathbf {c }\\det (A) &= \mathbf {ein} \times \mathbf {b}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Abstrakte algebraische Aspekte

Determinante eines Endomorphismus

Die obengenannte Identität bezüglich der Determinante deuten Produkte und Gegenteile von matrices an, dass ähnliche matrices dieselbe Determinante haben: Zwei matrices A und B sind ähnlich, wenn dort eine invertible Matrix X solch dass = XBX besteht. Tatsächlich wiederholt gibt die Verwendung der obengenannten Identität nach

:

Die Determinante wird deshalb auch eine Ähnlichkeit invariant genannt. Die Determinante einer geradlinigen Transformation

:

für einen begrenzten dimensionalen Vektorraum V wird definiert, um die Determinante der Matrix zu sein, die es, in Bezug auf eine willkürliche Wahl der Basis in V beschreibt. Durch die Ähnlichkeit invariance ist diese Determinante der Wahl der Basis für V unabhängig, und hängt deshalb nur vom Endomorphismus T ab.

Außenalgebra

Die Determinante kann auch als die einzigartige Funktion charakterisiert werden

:

vom Satz des ganzen n-by-n matrices mit Einträgen in Feld K zu diesem Feld, das die folgenden drei Eigenschaften befriedigt: Erstens ist D eine N-Linear-Funktion: Alle außer einer Säule Eines festen denkend, ist die Determinante in der restlichen Säule geradlinig, die ist

:

für irgendwelche Spaltenvektoren v..., v, und w und irgendwelche Skalare (Elemente von K) a und b. Zweitens ist D eine Wechselfunktion: für jede Matrix mit zwei identischen Säulen. Schließlich, D (I) = 1. Hier bin ich die Identitätsmatrix.

Diese Tatsache deutet auch an, dass jeder andere n-linear, der Funktion abwechseln lässt, befriedigt

:

Der letzte Teil folgt tatsächlich aus der vorhergehenden Behauptung: Man sieht leicht, dass, wenn F Nichtnull ist, es befriedigt, und Funktion, die dazu verkehrt, alle Bedingungen des Lehrsatzes befriedigt. Die Wichtigkeit davon, diesen Teil festzusetzen, besteht hauptsächlich darin, dass es gültig bleibt, wenn K ein Ersatzring aber nicht ein Feld ist, in welchem Fall das gegebene Argument nicht gilt.

Die Determinante einer geradlinigen Transformation A: V  V eines n-dimensional Vektorraums V können auf eine koordinatenfreie Weise durch das Betrachten der n-ten Außenmacht ΛV V formuliert werden. Ein Veranlassen einer geradlinigen Karte

::

Da ΛV eindimensional ist, wird die Karte ΛA durch das Multiplizieren mit einem Skalar gegeben. Dieser Skalar fällt mit der Determinante von A, das heißt zusammen

:

Diese Definition stimmt mit der konkreteren koordinatenabhängigen Definition überein. Das folgt aus der Charakterisierung der Determinante, die oben gegeben ist. Zum Beispiel ändert Schaltung von zwei Säulen die Gleichheit der Determinante; ebenfalls verändert das Permutieren der Vektoren im Außenprodukt v  v ...  v zu v  v  v ...  v, sagen wir, auch die Gleichheit.

Deshalb wird die höchste Nichtnullaußenmacht Λ (V) manchmal auch die Determinante V und ähnlich für beteiligtere Gegenstände wie Vektor-Bündel oder Kettenkomplexe von Vektorräumen genannt. Minderjährige einer Matrix können auch in dieser Einstellung geworfen werden, indem sie tiefer Wechselformen ΛV mit k denken

soll

für alle Elemente r und s des Rings halten. Zum Beispiel bilden die ganzen Zahlen einen Ersatzring.

Viele der obengenannten Behauptungen und Begriffe tragen mutatis mutandis zu Determinanten dieser allgemeineren matrices vor: Die Determinante ist multiplicative in dieser allgemeineren Situation, und die Regierung von Cramer hält auch. Eine Quadratmatrix über einen Ersatzring R ist invertible, wenn, und nur wenn seine Determinante eine Einheit in R, d. h. ein Element ist, das ein (multiplicative) Gegenteil hat. (Wenn R ein Feld ist, ist diese letzte Bedingung zur Determinante gleichwertig, die Nichtnull so ist, die obengenannte Charakterisierung zurückgebend.) Zum Beispiel ist eine Matrix mit Einträgen in Z, den ganzen Zahlen, invertible (im Sinn, dass die umgekehrte Matrix wieder Einträge der ganzen Zahl hat), wenn die Determinante +1 oder &minus;1 ist. Solch eine Matrix wird unimodular genannt.

Die Determinante definiert kartografisch darzustellen

:

zwischen der Gruppe von invertible n×n matrices mit Einträgen in R und der multiplicative Gruppe von Einheiten darin. Da es die Multiplikation in beiden Gruppen respektiert, ist diese Karte ein Gruppenhomomorphismus. Zweitens, in Anbetracht eines Ringhomomorphismus, gibt es eine gegebene Karte durch das Ersetzen aller Einträge in durch ihre Images darunter. Die Determinante respektiert diese Karten, d. h., in Anbetracht einer Matrix mit Einträgen in, die Identität

:

hält. Zum Beispiel ist die Determinante des Komplexes, der einer komplizierten Matrix verbunden ist (der auch die Determinante seines verbundenen ist, stellen um), der Komplex, der seiner Determinante, und für die ganze Zahl matrices verbunden ist: Die Verminderung modulo der Determinante solch einer Matrix ist der Determinante reduzierten modulo der Matrix (die letzte Determinante gleich, die wird schätzt, Modularithmetik verwendend). Im intellektuelleren Sprachgebrauch der Kategorie-Theorie ist die Determinante eine natürliche Transformation zwischen den zwei functors und. Noch eine andere Schicht der Abstraktion hinzufügend, wird das durch den Ausspruch gewonnen, dass die Determinante ein morphism von algebraischen Gruppen, von der allgemeinen geradlinigen Gruppe zur multiplicative Gruppe, ist

:

Generalisationen und verwandte Begriffe

Unendlicher matrices

Für matrices mit einer unendlichen Zahl von Reihen und Säulen tragen die obengenannten Definitionen der Determinante direkt nicht vor. Zum Beispiel, in Leibniz' Formel, würde eine unendliche Summe (alle sind dessen Begriffe unendliche Produkte) berechnet werden müssen. Funktionsanalyse stellt verschiedene Erweiterungen der Determinante für solche unendlich-dimensionalen Situationen zur Verfügung, die jedoch nur für besondere Arten von Maschinenbedienern arbeiten.

Die Fredholm Determinante definiert die Determinante für Maschinenbediener, die als Spur-Klassenmaschinenbediener durch eine passende Generalisation der Formel bekannt

sind:

Ein anderer unendlich-dimensionaler Begriff der Determinante ist die funktionelle Determinante.

Begriffe der Determinante über Nichtersatzringe

Für das Quadrat matrices mit Einträgen in einem Nichtersatzring gibt es verschiedene Schwierigkeiten, Determinanten zu definieren, die gewissermaßen dem für Ersatzringe analog sind. Eine Bedeutung kann der Formel von Leibniz gegeben werden, vorausgesetzt dass die Ordnung für das Produkt, und ähnlich für andere Weisen angegeben wird, die Determinante zu definieren, aber non-commutativity führt dann zum Verlust von vielen grundsätzlichen Eigenschaften der Determinante, zum Beispiel das multiplicative Eigentum oder die Tatsache, dass die Determinante unter der Umstellung der Matrix unverändert ist. Über Nichtersatzringe gibt es keinen angemessenen Begriff einer mehrgeradlinigen Form (wenn eine bilineare Form mit einem regelmäßigen Element von R als Wert auf einem Paar von Argumenten besteht, kann es verwendet werden, um zu zeigen, dass alle Elemente von R pendeln). Dennoch sind verschiedene Begriffe der Nichtersatzdeterminante formuliert worden, die einige der Eigenschaften von Determinanten, namentlich Quasideterminanten und die Determinante von Dieudonné bewahren.

Weitere Varianten

Determinanten von matrices in Superringen (d. h. Z/2-graded Ringe) sind als Berezinians oder Superdeterminanten bekannt.

Die dauerhafte von einer Matrix wird als die Determinante definiert, außer dass die Faktoren sgn (σ), in Leibniz' Regel vorkommend, weggelassen werden. Der immanant verallgemeinert beide durch das Einführen eines Charakters der symmetrischen Gruppe S in Leibniz' Regel.

Berechnung

Determinanten werden als ein theoretisches Werkzeug hauptsächlich verwendet. Sie werden ausführlich in der numerischen geradlinigen Algebra selten berechnet, wo für Anwendungen wie Überprüfung invertibility und Entdeckung eigenvalues die Determinante durch andere Techniken größtenteils verdrängt worden ist. Dennoch ist ausführlich das Rechnen von Determinanten in einigen Situationen erforderlich, und verschiedene Methoden sind verfügbar, um so zu tun.

Naive Methoden, einen Algorithmus durchzuführen, um die Determinante zu schätzen, schließen das Verwenden Leibniz' Formel oder die Formel von Laplace ein. Beide diese Annäherungen sind für großen matrices aber äußerst ineffizient, da die Zahl von erforderlichen Operationen sehr schnell wächst: Es ist des Auftrags n! (n factorial) für n&times;n MatrixM. Zum Beispiel verlangt Leibniz' Formel, um n zu berechnen! Produkte. Deshalb sind beteiligtere Techniken entwickelt worden, um Determinanten zu berechnen.

Zerlegungserfahren

In Anbetracht einer Matrix A schätzen einige Methoden seine Determinante durch das Schreiben als ein Produkt von matrices, dessen Determinanten leichter geschätzt werden können. Solche Techniken werden Zerlegungserfahren genannt. Beispiele schließen die LU Zergliederung, die QR Zergliederung oder die Zergliederung von Cholesky (für positiven bestimmten matrices) ein. Diese Methoden sind des Auftrags O (n), der eine bedeutende Verbesserung über O ist (n!)

Die LU Zergliederung drückt in Bezug auf eine niedrigere Dreiecksmatrix L, eine obere Dreiecksmatrix U und eine Versetzungsmatrix P aus:

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Die Determinanten von L und U können schnell berechnet werden, da sie die Produkte der jeweiligen diagonalen Einträge sind. Die Determinante von P ist gerade das Zeichen der entsprechenden Versetzung (der +1 für eine gerade Zahl von Versetzungen ist und-1 für eine unebene Zahl von Versetzungen ist). Die Determinante von A ist dann

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Außerdem kann die Zergliederung solch gewählt werden, dass L eine unitriangular Matrix ist und deshalb Determinante 1 hat, in welchem Fall die Formel weiter zu vereinfacht

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Weitere Methoden

Wenn die Determinante von A und das Gegenteil von A bereits geschätzt worden sind, erlaubt das bestimmende Matrixlemma, die Determinante dessen schnell zu berechnen, wo u und v Spaltenvektoren sind.

Da die Definition der Determinante Abteilungen nicht braucht, entsteht eine Frage: Bestehen schnelle Algorithmen die brauchen Abteilungen nicht? Das ist für matrices über Ringe besonders interessant. Tatsächlich bestehen Algorithmen mit der zu n proportionalen Durchlaufzeit. Ein Algorithmus von Mahajan und Vinay und Berkowitz basiert auf geschlossenen bestellten Spaziergängen (kurzer clow). Es schätzt mehr Produkte, als die bestimmende Definition verlangt, aber einige dieser Produkte annullieren und die Summe dieser Produkte effizienter geschätzt werden kann. Der Endalgorithmus ist sehr viel einem wiederholten Produkt von dreieckigem matrices ähnlich.

Wenn zwei matrices des Auftrags n in der Zeit M (n) multipliziert werden können, wo M (n) n für einen a> 2, dann kann die Determinante rechtzeitig O (M (n)) geschätzt werden. Das bedeutet zum Beispiel, dass ein O (n) Algorithmus gestützt auf dem Algorithmus des Kupferschmieds-Winograd besteht.

Algorithmen können auch gemäß ihrer Bit-Kompliziertheit bewertet werden, d. h., wie viele Bit der Genauigkeit erforderlich sind, um Zwischenwerte zu versorgen, die in der Berechnung vorkommen. Zum Beispiel, die Beseitigung von Gaussian (oder LU Zergliederung) Methoden sind des Auftrags O (n), aber die Bit-Länge von Zwischenwerten kann exponential lang werden. Der Bareiss Algorithmus ist andererseits eine auf der Identität von Sylvester gestützte Methode der genauen Abteilung ist auch des Auftrags n, aber die Bit-Kompliziertheit ist grob die Bit-Größe der ursprünglichen Einträge in den Matrixzeiten n.

Geschichte

Historisch wurden Determinanten ohne Berücksichtigung matrices betrachtet: Ursprünglich wurde eine Determinante als ein Eigentum eines Systems von geradlinigen Gleichungen definiert. Die Determinante "bestimmt", ob das System eine einzigartige Lösung hat (der genau vorkommt, wenn die Determinante Nichtnull ist). In diesem Sinn wurden Determinanten zuerst im chinesischen Mathematik-Lehrbuch Die Neun Kapitel über die Mathematische Kunst (, chinesische Gelehrte, um das 3. Jahrhundert v. Chr.) verwendet. In Europa zwei durch zwei wurden Determinanten von Cardano am Ende des 16. Jahrhunderts und der größeren von Leibniz betrachtet.

In Europa hat Cramer (1750) zur Theorie beigetragen, das Thema in Bezug auf Sätze von Gleichungen behandelnd. Das Wiederauftreten-Gesetz wurde zuerst von Bézout (1764) bekannt gegeben.

Es war Vandermonde (1771), wer zuerst Determinanten als unabhängige Funktionen anerkannt hat. Laplace (1772) hat die allgemeine Methode gegeben, eine Determinante in Bezug auf seine Ergänzungsminderjährigen auszubreiten: Vandermonde hatte bereits einen speziellen Fall gegeben. Sofort folgend, Lagrange (1773) behandelte Determinanten der zweiten und dritten Ordnung. Lagrange war erst, um Determinanten auf Fragen der Beseitigungstheorie anzuwenden; er hat viele spezielle Fälle der allgemeinen Identität bewiesen.

Gauss (1801) hat den folgenden Fortschritt gemacht. Wie Lagrange hat er viel Gebrauch von Determinanten in der Theorie von Zahlen gemacht. Er hat die Wortdeterminanten eingeführt (Laplace hatte Endergebnis verwendet), obwohl nicht in der gegenwärtigen Bedeutung, aber eher in Bezug auf den discriminant eines quantic. Gauss hat auch den Begriff von gegenseitigen (umgekehrten) Determinanten erreicht, und ist sehr in der Nähe vom Multiplikationslehrsatz gekommen.

Der folgende wichtige Mitwirkende ist Binet (1811, 1812), wer formell den Lehrsatz in Zusammenhang mit dem Produkt von zwei matrices der M Säulen und n Reihen festgesetzt hat, die für den speziellen Fall der M = n auf den Multiplikationslehrsatz reduziert. An demselben Tag (am 30. November 1812), dass Binet seinen Vortrag vor der Akademie gehalten hat, hat Cauchy auch ein auf dem Thema präsentiert. (Sieh Cauchy-Binet Formel.) Darin hat er die Wortdeterminante in seinem gegenwärtigen Sinn, zusammengefasst und vereinfacht verwendet, was dann auf dem Thema bekannt war, die Notation verbessert hat, und den Multiplikationslehrsatz mit einem Beweis gegeben hat, der befriedigender ist als Binet. Mit ihm beginnt die Theorie in seiner Allgemeinheit.

Die folgende wichtige Zahl war Jacobi (von 1827). Er hat früh die funktionelle Determinante verwendet, die Sylvester später Jacobian genannt hat, und in seinen Lebenserinnerungen in Crelle für 1841 er besonders dieses Thema, sowie die Klasse behandelt, Funktionen abwechseln zu lassen, die Sylvester alternants genannt hat. Über die Zeit der letzten Lebenserinnerungen von Jacobi hat Sylvester (1839) und Cayley ihre Arbeit begonnen.

Die Studie von speziellen Formen von Determinanten ist das natürliche Ergebnis der Vollziehung der allgemeinen Theorie gewesen. Determinanten von Axisymmetric sind von Lebesgue, Hesse und Sylvester studiert worden; Persymmetric-Determinanten durch Sylvester und Hankel; circulants durch Katalanen, Spottiswoode, Glaisher und Scott; verdrehen Sie Determinanten und Pfaffians im Zusammenhang mit der Theorie der orthogonalen Transformation durch Cayley; Dauerlaute durch Sylvester; Wronskians (so genannt durch Muir) durch Christoffel und Frobenius; zusammengesetzte Determinanten durch Sylvester, Reiss und Picquet; Jacobians und Hessians durch Sylvester; und symmetrische linkische Determinanten durch Trudi. Der Lehrbücher auf dem unterworfenen Spottiswoode war erst. In Amerika, Hanus (1886), Schweißstelle (1893), und Muir/Metzler (1933) veröffentlichte Abhandlungen.

Anwendungen

Geradlinige Unabhängigkeit

Wie oben erwähnt, die Determinante einer Matrix (mit echten oder komplizierten Einträgen, sagen) ist Null, wenn, und nur wenn die Spaltenvektoren der Matrix linear abhängig sind. So können Determinanten verwendet werden, um lineare abhängig Vektoren zu charakterisieren. Zum Beispiel, in Anbetracht zwei Vektoren v, v in R, liegt ein dritter Vektor v im Flugzeug, das durch die ehemaligen zwei Vektoren genau abgemessen ist, wenn die Determinante 3 durch 3 Matrix, die aus den drei Vektoren besteht, Null ist. Dieselbe Idee wird auch in der Theorie von Differenzialgleichungen verwendet: Gegebene N-Funktionen f (x)..., f (x) (angenommen, n&minus;1 Zeiten differentiable zu sein), wird Wronskian definiert, um zu sein

:

W (f_1, \ldots, f_n) (x) =

\begin {vmatrix}

f_1 (x) & f_2 (x) & \cdots & f_n (x) \\

f_1' (x) & f_2' (x) & \cdots & f_n' (x) \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

F_1^ {(n-1)} (x) & F_2^ {(n-1)} (x) & \cdots & F_n^ {(n-1)} (x)

\end {vmatrix}.

</Mathematik>

Es ist Nichtnull (für einen x) in einem angegebenen Zwischenraum, wenn, und nur wenn die gegebenen Funktionen und alle ihre Ableitungen bis zur Ordnung n&minus;1 linear unabhängig sind. Wenn es gezeigt werden kann, dass Wronskian Null überall auf einem Zwischenraum dann im Fall von analytischen Funktionen ist, deutet das an, dass die gegebenen Funktionen linear abhängig sind. Sieh Wronskian und geradlinige Unabhängigkeit.

Orientierung einer Basis

Von der Determinante kann als das Zuweisen einer Zahl zu jeder Folge von n in R, durch das Verwenden der Quadratmatrix gedacht werden, deren Säulen die gegebenen Vektoren sind. Zum Beispiel vertritt eine orthogonale Matrix mit Einträgen in R eine orthonormale Basis im Euklidischen Raum. Die Determinante solch einer Matrix bestimmt, ob die Orientierung der Basis mit oder gegenüber der Orientierung der Standardbasis im Einklang stehend ist. Nämlich, wenn die Determinante +1 ist, hat die Basis dieselbe Orientierung. Wenn es 1 ist, hat die Basis die entgegengesetzte Orientierung.

Mehr allgemein, wenn die Determinante von A positiv ist, vertritt A eine Orientierung bewahrende geradlinige Transformation (wenn A ein orthogonaler 2×2 oder 3×3 Matrix ist, ist das eine Folge), während, wenn es, Schalter die Orientierung der Basis negativ ist.

Volume und Determinante von Jacobian

Wie hingewiesen, oben ist der absolute Wert der Determinante von echten Vektoren dem Volumen des durch jene Vektoren abgemessenen parallelepiped gleich. Demzufolge, wenn die geradlinige Karte ist, die durch die Matrix A vertreten ist, und S jede messbare Teilmenge von R ist, dann wird das Volumen von f (S) durch |det (A) | Zeiten das Volumen von S gegeben. Mehr allgemein, wenn die geradlinige Karte durch die m-by-n Matrix A vertreten wird, dann wird durch das n-dimensional Volumen von f (S) gegeben:

:

Durch das Rechnen des Volumens des durch vier Punkte begrenzten Tetraeders können sie verwendet werden, um sich zu identifizieren, verdrehen Linien. Das Volumen jedes Tetraeders, in Anbetracht seiner Scheitelpunkte a, b, c, und d, ist (1/6) · |det (&minus; b, b &minus; c, c &minus; d) |, oder jede andere Kombination von Paaren von Scheitelpunkten, die einen Überspannen-Baum über die Scheitelpunkte bilden würden.

Für eine allgemeine Differentiable-Funktion trägt viel vom obengenannten durch das Betrachten der Matrix von Jacobian von f vor. Für

:

Jacobian ist die n-by-n Matrix, deren Einträge durch gegeben werden

:

Seine Determinante, die Determinante von Jacobian erscheint in der hoch-dimensionalen Version der Integration durch den Ersatz: Für passende Funktionen f und eine offene Teilmenge U R' (das Gebiet von f) wird das Integral über f (U) einer anderen Funktion durch gegeben

:

Der Jacobian kommt auch im umgekehrten Funktionslehrsatz vor.

Determinante von Vandermonde (alternant)

Die dritte Ordnung

:

\begin {Reihe} {ccc }\

1 & 1 & 1 \\

x_1 & x_2 & x_3 \\

x_1^2 & x_2^2 & x_3^2

\end {ordnen }\

\right | =\left (x_3-x_2\right) \left (x_3-x_1\right) \left (x_2-x_1\right). </Mathematik>

Im Allgemeinen ist die n-te Ordnung Determinante von Vandermonde

:

\begin {Reihe} {ccccc }\

1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\

x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\

x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

X_1^ {n-1} & X_2^ {n-1} & X_3^ {n-1} & \cdots & x_n^ {n-1 }\

\end {ordnen }\

\right | =\prod _ {1\leq ich

wo die Rechte das fortlaufende Produkt aller Unterschiede ist, die vom n (n-1)/2 Paare von Zahlen gebildet werden können, die von x, x..., x mit der Ordnung der Unterschiede genommen sind, die in der umgekehrten Ordnung der Nachsilben genommen sind, die beteiligt werden.

Circulants

Die zweite Ordnung

:

\begin {Reihe} {Cc }\

x_1 & x_2 \\

x_2 & x_1

\end {ordnen }\

\right | =\left (x_1+x_2\right) \left (x_1-x_2\right). </Mathematik>

Die dritte Ordnung:\begin {Reihe} {ccc }\ x_1 & x_2 & x_3 \\

x_3 & x_1 & x_2 \\

x_2 & x_3 & x_1

\end {ordnen }\

\right | =\left (x_1+x_2+x_3\right) \left (x_1 +\omega x_2 +\omega ^2x_3\right) \left (x_1 +\omega ^2x_2 +\omega x_3\right), </Mathematik>

wo ω und ω die komplizierten Würfel-Wurzeln 1 sind. Im Allgemeinen ist die n-te Ordnung circulant Determinante

:\begin {Reihe} {ccccc }\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\

x_n & x_1 & x_2 & \cdots & x_ {n-1} \\

x_ {n-1} & x_n & x_1 & \cdots & x_ {n-2} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_1

\end {ordnen }\

\right | =\prod _ {j=1} ^n \left (x_1+x_2\omega _j+x_3\omega _j^2 +\ldots +x_n\omega _j^ {n-1 }\\Recht), </Mathematik>

wo ω eine n-te Wurzel 1 ist.

Siehe auch

• Determinante von Dieudonné
• Bestimmendes Matrixlemma
• Dauerhafter
• Immanant
• Pfaffian
• Schieferdecker-Determinante
• Funktionelle Determinante

Referenzen

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Links

• WebApp, um Determinanten zu berechnen und beschreibend Systeme von geradlinigen Gleichungen zu lösen
• Determinante interaktives Programm und Tutorenkurs
• Online-Matrixrechenmaschine
• Geradlinige Algebra: Determinanten. Schätzen Sie Determinanten von matrices bis zum Verwenden des Auftrags 6 Vergrößerung von Laplace, die Sie wählen.
• Matrices und Linear Algebra auf den frühsten Gebrauch-Seiten
• Determinanten, die auf eine leichte Mode im 4. Kapitel als ein Teil eines Geradlinigen Algebra-Kurses erklärt sind.
• Unterrichtsvideo bei der Einnahme der Determinante einer nxn Matrix (Khan-Akademie)
• Online-Matrixrechenmaschine (Determinante, Spur, stellt Gegenteil, adjoint, um), Schätzt Determinante der Matrix bis zum Auftrag 8