In der Geometrie, ein Tetraeder (Mehrzahl-: Tetrahedra) ist ein Polyeder, das aus vier Dreiecksgesichtern zusammengesetzt ist, von denen drei sich an jedem Scheitelpunkt treffen. Es hat sechs Ränder und vier Scheitelpunkte. Das Tetraeder ist das einzige konvexe Polyeder, das vier Gesichter hat.

Das Tetraeder ist der dreidimensionale Fall des mehr Gesamtkonzeptes eines Euklidischen Simplexes.

Das Tetraeder ist eine Art der Pyramide, die ein Polyeder mit einer flachen Vieleck-Basis und Dreiecksgesichtern ist, die die Basis mit einem allgemeinen Punkt verbinden. Im Fall von einem Tetraeder ist die Basis ein Dreieck (einige der vier Gesichter kann als die Basis betrachtet werden), so ist ein Tetraeder auch bekannt als eine "Dreieckspyramide".

Wie alle konvexen Polyeder kann ein Tetraeder von einem Einzelbeleg von Papier gefaltet werden. Es hat zwei Netze.

Für jedes Tetraeder dort besteht ein Bereich (der circumsphere) solch, dass die Scheitelpunkte des Tetraeders auf der Oberfläche des Bereichs liegen.

Spezielle Fälle

Ein regelmäßiges Tetraeder ist dasjenige, in dem alle vier Gesichter gleichseitige Dreiecke sind, und einer der Platonischen Festkörper ist. Ein gleichschenkliges Tetraeder, auch genannt einen disphenoid, ist ein Tetraeder, wo alle vier Gesichter kongruente Dreiecke sind. In einem trirectangular Tetraeder sind die drei Gesichtswinkel an einem Scheitelpunkt richtige Winkel. Wenn alle drei Paare von entgegengesetzten Rändern eines Tetraeders rechtwinklig sind, dann wird es ein orthocentric Tetraeder genannt. Wenn nur ein Paar von entgegengesetzten Rändern rechtwinklig ist, wird es ein semi-orthocentric Tetraeder genannt. Ein isodynamic Tetraeder ist dasjenige in der die cevians schließen sich die an die Scheitelpunkte zum incenters der entgegengesetzten Gesichter sind gleichzeitig, und ein isogonic Tetraeder hat gleichzeitige cevians, die sich anschließen, die Scheitelpunkte zu den Punkten des Kontakts des Gegenteils konfrontiert mit dem eingeschriebenen Bereich des Tetraeders.

Formeln für ein regelmäßiges Tetraeder

Für ein regelmäßiges Tetraeder der Rand-Länge a:

Bemerken Sie, dass in Bezug auf das Grundflugzeug der Hang eines Gesichtes zweimal mehr als das eines Randes entsprechend der Tatsache ist, dass die horizontale Entfernung, die von der Basis bis die Spitze entlang einem Rand bedeckt ist, zweimal das entlang der Mittellinie eines Gesichtes ist. Mit anderen Worten, wenn C der centroid der Basis ist, ist die Entfernung von C bis einen Scheitelpunkt der Basis zweimal das von C bis den Mittelpunkt eines Randes der Basis. Das folgt aus der Tatsache, dass sich die Mittellinien eines Dreiecks an seinem centroid schneiden, und dieser Punkt jeden von ihnen in zwei Segmenten teilt, von denen eines zweimal so lang ist wie der andere (sahen).

Volumen

Das Volumen eines Tetraeders wird durch die Pyramide-Volumen-Formel gegeben:

:

wo A das Gebiet der Basis und h die Höhe von der Basis bis die Spitze ist. Das bewirbt sich um jede der vier Wahlen der Basis, so sind die Entfernungen von den Spitzen bis die entgegengesetzten Gesichter zu den Gebieten dieser Gesichter umgekehrt proportional.

Für ein Tetraeder mit Scheitelpunkten

, und

, das Volumen, ist oder jede andere Kombination von Paaren von Scheitelpunkten, die einen einfach verbundenen Graphen bilden. Das kann mit einem Punktprodukt und einem Kreuzprodukt umgeschrieben werden, tragend

:

Wenn der Ursprung des Koordinatensystems gewählt wird, um mit dem Scheitelpunkt d, dann d = 0, so zusammenzufallen

:

wo a, b, und c drei Ränder vertreten, die sich an einem Scheitelpunkt treffen, und ein dreifaches Skalarprodukt ist. Das Vergleichen dieser Formel damit hat gepflegt, das Volumen eines parallelepiped zu schätzen, wir beschließen, dass das Volumen eines Tetraeders 1/6 des Volumens jedes parallelepiped gleich ist, der drei konvergierende Ränder damit teilt.

Der dreifache Skalar kann durch die folgenden Determinanten vertreten werden:

:

\mathbf & \mathbf {b} & \mathbf {c }\

\end {vmatrix} </Mathematik> oder

\mathbf \\\mathbf {b} \\\mathbf {c }\

\end {vmatrix} </Mathematik> whereis ausgedrückt als eine Reihe oder Spaltenvektor usw.

Folglich

:

\mathbf {a^2} & \mathbf {ein} \cdot \mathbf {b} & \mathbf {ein} \cdot \mathbf {c} \\

\mathbf {ein} \cdot \mathbf {b} & \mathbf {b^2} & \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\

\mathbf {ein} \cdot \mathbf {c} & \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} & \mathbf {c^2 }\

\end {vmatrix} </Mathematik> whereetc.

der gibt

:

wo α, β, γ die Flugzeug-Winkel sind, die im Scheitelpunkt d vorkommen. Der Winkel α, ist der Winkel zwischen den zwei Rändern, die den Scheitelpunkt d zu den Scheitelpunkten b und c verbinden. Der Winkel β, tut so für die Scheitelpunkte a und c, während γ, durch die Position der Scheitelpunkte a und b definiert wird.

In Anbetracht der Entfernungen zwischen den Scheitelpunkten eines Tetraeders kann das Volumen mit der Cayley-Menger Determinante geschätzt werden:

:

\begin {vmatrix }\

0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\

1 & 0 & d_ {12} ^2 & d_ {13} ^2 & d_ {14} ^2 \\

1 & d_ {12} ^2 & 0 & d_ {23} ^2 & d_ {24} ^2 \\

1 & d_ {13} ^2 & d_ {23} ^2 & 0 & d_ {34} ^2 \\

1 & d_ {14} ^2 & d_ {24} ^2 & d_ {34} ^2 & 0

\end {vmatrix} </Mathematik>

wo die Subschriften die Scheitelpunkte {a, b, c, d} vertreten und die pairwise Entfernung zwischen ihnen — d. h., die Länge des Randes ist, der die zwei Scheitelpunkte verbindet. Ein negativer Wert der Determinante bedeutet, dass ein Tetraeder mit den gegebenen Entfernungen nicht gebaut werden kann. Diese Formel, manchmal genannt die Formel von Tartaglia, ist im Wesentlichen wegen des Malers Piero della Francesca im 15. Jahrhundert, als eine dreidimensionale Entsprechung des 1. Jahrhunderts die Formel des Reihers für das Gebiet eines Dreiecks.

Formel des Reiher-Typs für das Volumen eines Tetraeders

Wenn U, V, W, u, v, w Längen von Rändern des Tetraeders sind (zuerst drei, bilden ein Dreieck; u gegenüber U und so weiter), dann

:

\text {Volumen} = \frac {\\sqrt {\\, (-+ b + c + d) \, (-b + c + d) \, (+ b - c + d) \, (+ b + c - d)}} {192 \, u \, v \, w} </Mathematik>

wo: \begin {richten }\aus

\begin {richten} a & = \sqrt {xYZ} \\b & = \sqrt {yZX} \\c & = \sqrt {zXY} \\d & = \sqrt {xyz} \\X & = (w - U + v) \, (U + v + w) \\x & = (U - v + w) \, (v - w + U) \\Y & = (u - V + w) \, (V + w + u) \\y & = (V - w + u) \, (w - u + V) \\Z & = (v - W + u) \, (W + u + v) \\z & = (W - u + v) \, (u - v + W) {aus}. \end {richten} {aus}

\end {richten }\aus</Mathematik>

Entfernung zwischen den Rändern

Irgendwelche zwei entgegengesetzten Ränder eines Tetraeders liegen auf zwei verdrehen Linien. Wenn das nächste Paar von Punkten zwischen diesen zwei Linien Punkte in den Rändern ist, definieren sie die Entfernung zwischen den Rändern; sonst kommt die Entfernung zwischen den Rändern dem zwischen einem der Endpunkte und dem entgegengesetzten Rand gleich. Lassen Sie d die Entfernung zwischen den verdrehen Linien sein, die durch entgegengesetzte Ränder a und wie berechnet, darin gebildet sind. Dann wird eine andere Volumen-Formel durch gegeben

:

Eigenschaften eines allgemeinen Tetraeders

Das Tetraeder hat viele Eigenschaften, die denjenigen eines Dreiecks, einschließlich eines insphere, circumsphere, mittleren Tetraeders und Ex-Bereiche analog sind. Es hat jeweilige Zentren wie incenter, circumcenter, Ex-Zentren, Zentrum von Spieker und Punkte wie ein centroid. Jedoch gibt es allgemein keinen orthocenter im Sinne sich schneidender Höhen. Der circumsphere des mittleren Tetraeders ist dem Neun-Punkte-Kreis des Dreiecks analog, aber führt die Grundpunkte der Höhen des Bezugstetraeders nicht allgemein durch.

Gaspard Monge hat ein Zentrum gefunden, das in jedem Tetraeder besteht, das jetzt als der Punkt von Monge bekannt ist: Der Punkt, wo sich die sechs midplanes eines Tetraeders schneiden. Ein midplane wird als ein Flugzeug definiert, das zu einem Rand orthogonal ist, der sich irgendwelchen zwei Scheitelpunkten anschließt, der auch den centroid eines entgegengesetzten gebildeten Randes durch das Verbinden den anderen zwei Scheitelpunkten enthält. Wenn sich die Höhen des Tetraeders wirklich schneiden, dann fallen der Punkt von Monge und der orthocenter zusammen, um die Klasse des orthocentric Tetraeders zu geben.

Eine orthogonale Linie, die vom Punkt von Monge bis jedes Gesicht fallen gelassen ist, entspricht dieses Gesicht am Mittelpunkt des Liniensegmentes zwischen dem orthocenter dieses Gesichtes und dem Fuß der vom entgegengesetzten Scheitelpunkt fallen gelassenen Höhe.

Ein Liniensegment, das sich einem Scheitelpunkt eines Tetraeders mit dem centroid des entgegengesetzten Gesichtes anschließt, wird eine Mittellinie genannt, und ein Liniensegment, das sich den Mittelpunkten von zwei entgegengesetzten Rändern anschließt, wird einen bimedian des Tetraeders genannt. Folglich gibt es vier Mittellinien und drei bimedians in einem Tetraeder. Diese sieben Liniensegmente sind der ganze Begleitumstand an einem Punkt genannt den centroid des Tetraeders. Der centroid eines Tetraeders ist der Mittelpunkt zwischen seinem Punkt von Monge und circumcenter. Diese Punkte definieren die Linie von Euler des Tetraeders, das der Linie von Euler eines Dreiecks analog ist.

Der Neun-Punkte-Kreis des allgemeinen Dreiecks hat eine Entsprechung im circumsphere eines mittleren Tetraeders eines Tetraeders. Es ist der Zwölf-Punkte-Bereich und außer dem centroids der vier Gesichter des Bezugstetraeders, es geht vier durch setzen Punkte von Euler, 1/3 des Weges vom Punkt von Monge zu jedem der vier Scheitelpunkte ein. Schließlich geht es durch die vier Grundpunkte von orthogonalen von jedem Euler fallen gelassenen Linien weisen zum Gesicht hin, das nicht den Scheitelpunkt enthält, der den Punkt von Euler erzeugt hat.

Das Zentrum T des Zwölf-Punkte-Bereichs liegt auch auf der Linie von Euler. Verschieden von seinem Dreieckskollegen liegt dieses Zentrum 1/3 des Weges vom Punkt von Monge M zum circumcenter. Außerdem ist eine orthogonale Linie durch T zu einem gewählten Gesicht coplanar mit zwei anderen orthogonalen Linien zu demselben Gesicht. Das erste ist eine orthogonale Linie, die den entsprechenden Punkt von Euler zum gewählten Gesicht durchführt. Das zweite ist eine orthogonale Linie, die den centroid des gewählten Gesichtes durchführt. Diese orthogonale Linie durch das Zwölf-Punkte-Zentrum liegt auf halbem Wege zwischen der orthogonalen Linie des Punkts von Euler und der centroidal orthogonalen Linie. Außerdem, für jedes Gesicht, liegt das Zwölf-Punkte-Zentrum am Mittelpunkt des entsprechenden Punkts von Euler und des orthocenter für dieses Gesicht.

Der Radius des Zwölf-Punkte-Bereichs ist 1/3 des circumradius des Bezugstetraeders.

Mehr Vektor-Formeln in einem allgemeinen Tetraeder

Wenn OABC ein allgemeines Tetraeder mit einem Scheitelpunkt O als der Ursprung und die Vektoren a, b bildet und c die Positionen der Scheitelpunkte A, B, und C in Bezug auf O vertreten, dann wird durch den Radius des insphere gegeben:

:

und durch den Radius des circumsphere wird gegeben:

:

der den Radius des Zwölf-Punkte-Bereichs gibt:

:

wo:

:

In den Formeln überall in dieser Abteilung, der Skalar ein Vertreten des inneren Vektorprodukts a · a; ähnlich b und c.

Die Vektor-Positionen von verschiedenen Zentren sind wie folgt:

Der centroid

:

Der incenter

:

Der circumcenter

:

Die Monge spitzen an

:

Die Euler Linienbeziehungen sind:

::

wo T Zwölf-Punkte-Zentrum ist.

Auch:

:

und:

:

Geometrische Beziehungen

Ein Tetraeder ist ein 3-Simplexe-. Verschieden vom Fall der anderen Platonischen Festkörper sind alle Scheitelpunkte eines regelmäßigen Tetraeders von einander gleich weit entfernt (sie sind die einzige mögliche Einordnung von vier gleich weit entfernten Punkten im 3-dimensionalen Raum).

Ein Tetraeder ist eine Dreieckspyramide, und das regelmäßige Tetraeder ist Selbstdoppel-.

Ein regelmäßiges Tetraeder kann innerhalb eines Würfels auf zwei solche Weisen eingebettet werden, dass jeder Scheitelpunkt ein Scheitelpunkt des Würfels ist, und jeder Rand eine Diagonale von einem der Gesichter des Würfels ist. Für ein solches Einbetten sind die Kartesianischen Koordinaten der Scheitelpunkte

:(+1, +1, +1);

:(1, 1, +1);

:(1, +1, 1);

:(+1, 1, 1).

Das gibt ein Tetraeder mit der Rand-Länge nach, die am Ursprung in den Mittelpunkt gestellt ist. Für das andere Tetraeder (der zum ersten Doppel-ist), kehren Sie alle Zeichen um. Die verbundenen Scheitelpunkte dieses zwei tetrahedra sind die Scheitelpunkte eines Würfels, demonstrierend, dass das regelmäßige Tetraeder der 3-demicube ist.

Das Volumen dieses Tetraeders ist 1/3 das Volumen des Würfels. Das Kombinieren von beiden, die tetrahedra einer regelmäßigen polyedrischen Zusammensetzung gibt, hat die Zusammensetzung von zwei tetrahedra oder stella octangula genannt.

Das Interieur des stella octangula ist ein Oktaeder, und entsprechend, ein regelmäßiges Oktaeder ist das Ergebnis des Abschneidens, von einem regelmäßigen Tetraeder, vier regelmäßigen tetrahedra der Hälfte der geradlinigen Größe (d. h. das Korrigieren des Tetraeders).

Das obengenannte Einbetten teilt den Würfel in fünf tetrahedra, von denen einer regelmäßig ist. Tatsächlich, 5 ist die minimale Zahl von tetrahedra, der erforderlich ist, einen Würfel zusammenzusetzen.

Das Einschreiben tetrahedra innerhalb der regelmäßigen Zusammensetzung von fünf Würfeln gibt zwei regelmäßigere Zusammensetzungen, fünf und zehn tetrahedra enthaltend.

Regelmäßiger tetrahedra kann nicht tessellate Raum durch sich, obwohl dieses Ergebnis wahrscheinlich genug scheint, dass Aristoteles behauptet hat, dass es möglich war. Jedoch können zwei regelmäßige tetrahedra mit einem Oktaeder verbunden werden, einen rhombohedron gebend, der Raum mit Ziegeln decken kann.

Jedoch gibt es mindestens ein unregelmäßiges Tetraeder, dessen Kopien Raum mit Ziegeln decken können. Wenn man die Voraussetzung entspannt, dass die tetrahedra Gestalt alle gleich sind, kann man Raum mit nur tetrahedra auf verschiedene Weisen mit Ziegeln decken. Zum Beispiel kann man ein Oktaeder in vier identische tetrahedra teilen und sie wieder mit zwei regelmäßigen verbinden. (Als ein Seitenzeichen: Diese zwei Arten des Tetraeders haben dasselbe Volumen.)

Das Tetraeder ist unter den gleichförmigen Polyedern im Besitzen keiner parallelen Gesichter einzigartig.

Zusammenhängende Polyeder

Image:Truncatedtetrahedron.jpg|Truncated Tetraeder

Image:CubeAndStel.svg|Two tetrahedra in einem Würfel

Image:Compound von fünf tetrahedra.png|Compound von fünf tetrahedra

Image:Compound von zehn tetrahedra.png|Compound von zehn tetrahedra

</Galerie>

Ein auf das Tetraeder angewandter Stutzungsprozess erzeugt eine Reihe von gleichförmigen Polyedern. Das Beschneiden von Rändern unten zu Punkten erzeugt das Oktaeder als ein berichtigter tetahedron. Der Prozess vollendet als ein birectification, die ursprünglichen Gesichter unten auf Punkte reduzierend, und das Selbstdoppeltetraeder wieder erzeugend.

Dieses Polyeder ist topologisch als ein Teil der Folge von regelmäßigen Polyedern mit Symbolen von Schläfli {3, n} verbunden, ins Hyperbelflugzeug weitergehend.

Das Schneiden tetrahedra

Ein interessantes Polyeder kann vom fünf Schneiden tetrahedra gebaut werden. Diese Zusammensetzung von fünf tetrahedra ist seit Hunderten von Jahren bekannt gewesen. Es kommt regelmäßig in der Welt des Origamis herauf. Das Verbinden den zwanzig Scheitelpunkten würde ein regelmäßiges Dodekaeder bilden. Es gibt sowohl linkshändige als auch rechtshändige Formen, die Spiegelimages von einander sind.

Isometrien

Isometrien von regelmäßigem tetrahedra

Die Scheitelpunkte eines Würfels können in zwei Gruppen vier, jeder gruppiert werden, ein regelmäßiges Tetraeder bildend (sieh oben, und auch, einen der zwei tetrahedra im Würfel zeigend). Die symmetries eines regelmäßigen Tetraeders entsprechen Hälfte von denjenigen eines Würfels: Diejenigen, die den tetrahedra zu sich, und nicht zu einander kartografisch darstellen.

Das Tetraeder ist der einzige Platonische Festkörper, der zu sich durch die Punkt-Inversion nicht kartografisch dargestellt wird.

Das regelmäßige Tetraeder hat 24 Isometrien, die Symmetrie-Gruppe T, isomorph zu S bildend. Sie können wie folgt kategorisiert werden:

• T, isomorph zur Wechselgruppe (die Identität und 11 richtigen Folgen) mit den folgenden conjugacy Klassen (in Parenthesen werden die Versetzungen der Scheitelpunkte, oder entsprechend, die Gesichter und die Einheit quaternion Darstellung gegeben):
• Identität (Identität; 1)
• Folge über eine Achse durch einen Scheitelpunkt, Senkrechte zum entgegengesetzten Flugzeug, durch einen Winkel von ±120 °: 4 Äxte, 2 pro Achse, zusammen, usw.;
• die Folge durch einen Winkel von 180 solchen °, dass ein Rand zum entgegengesetzten Rand kartografisch darstellt: usw.)
• Nachdenken in einer Flugzeug-Senkrechte zu einem Rand: 6
• das Nachdenken in einem Flugzeug hat sich mit 90 ° Folge über eine Achse-Senkrechte zum Flugzeug verbunden: 3 Äxte, 2 pro Achse, zusammen 6; gleichwertig sind sie 90 ° mit der Inversion verbundene Folgen (x wird zu x kartografisch dargestellt): Die Folgen entsprechen denjenigen des Würfels über persönliche Äxte

Isometrien von unregelmäßigem tetrahedra

Die Isometrien eines unregelmäßigen Tetraeders hängen von der Geometrie des Tetraeders mit 7 möglichen Fällen ab. In jedem Fall wird eine 3-dimensionale Punkt-Gruppe gebildet.

• Eine gleichseitige Dreieck-Basis und gleichschenklig (und nichtgleichseitig) Dreieck-Seiten gibt 6 Isometrien entsprechend den 6 Isometrien der Basis. Als Versetzungen der Scheitelpunkte sind diese 6 Isometrien die Identität 1, (123), (132), (12), (13) und (23), die Symmetrie-Gruppe C, isomorph zu S bildend.
• Vier kongruente gleichschenklige (nichtgleichseitige) Dreiecke geben 8 Isometrien. Wenn Ränder (1,2) und (3,4) der verschiedenen Länge zu den anderen 4 dann sind, sind die 8 Isometrien die Identität 1, Nachdenken (12) und (34), und 180 ° Folgen (12) (34), (13) (24), (14) (23) und unpassende 90 ° Folgen (1234) und (1432) das Formen der Symmetrie-Gruppe D.
• Vier kongruente scalene Dreiecke geben 4 Isometrien. Die Isometrien sind 1 und die 180 ° Folgen (12) (34), (13) (24), (14) (23). Das ist der Klein vier-Gruppen-V Z, Gegenwart als die Punkt-Gruppe D. Ein Tetraeder mit dieser Symmetrie wird disphenoid genannt.
• Zwei Paare von isomorphen gleichschenkligen (nichtgleichseitigen) Dreiecken. Das gibt zwei entgegengesetzte Ränder (1,2) und (3,4), die rechtwinklige, aber verschiedene Längen sind, und dann die 4 Isometrien 1, Nachdenken (12) und (34) und die 180 ° Folge (12) (34) sind. Die Symmetrie-Gruppe ist C, der zu V isomorph ist.
• Zwei Paare von isomorphen scalene Dreiecken. Das hat zwei Paare von gleichen Rändern (1,3), (2,4) und (1,4), (2,3), aber sonst keinen gleichen Rändern. Die nur zwei Isometrien sind 1 und die Folge (12) (34), die Gruppe C isomorph zu Z gebend.
• Zwei ungleiche gleichschenklige Dreiecke mit einer allgemeinen Basis. Das hat zwei Paare von gleichen Rändern (1,3), (1,4) und (2,3), (2,4) und sonst keinen gleichen Rändern. Die nur zwei Isometrien sind 1 und das Nachdenken (34), die Gruppe C isomorph zu Z gebend.
• Keine gleichen Ränder, so dass die einzige Isometrie die Identität und die Symmetrie-Gruppe ist, sind die triviale Gruppe.

Ein Gesetz von Sinus für tetrahedra und den Raum aller Gestalten von tetrahedra

Eine Folgeerscheinung des üblichen Gesetzes von Sinus ist, dass in einem Tetraeder mit Scheitelpunkten O, A, B, C, wir haben

:

Man kann die zwei Seiten dieser Identität als entsprechend im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn Orientierungen der Oberfläche ansehen.

Das Stellen von einigen der vier Scheitelpunkte in der Rolle von O gibt vier solche Identität nach, aber gewissermaßen höchstens sind drei von ihnen unabhängig: Wenn "im Uhrzeigersinn" Seiten von drei von ihnen multipliziert werden und das Produkt abgeleitet wird, um dem Produkt "gegen den Uhrzeigersinn" Seiten derselben drei Identität gleich zu sein, und dann gemeinsame Faktoren von beiden Seiten annulliert werden, ist das Ergebnis die vierte Identität. Ein Grund, sich für diese "Unabhängigkeits"-Beziehung zu interessieren, ist das: Es ist weit bekannt, dass drei Winkel die Winkel von einem Dreieck sind, wenn, und nur wenn ihre Summe 180 ° (π radians) ist. Welche Bedingung auf 12 Winkeln ist notwendig und für sie genügend, um die 12 Winkel von einem Tetraeder zu sein? Klar muss die Summe der Winkel jeder Seite des Tetraeders 180 ° sein. Da es vier solche Dreiecke gibt, gibt es vier solche Einschränkungen auf Summen von Winkeln, und die Anzahl von Graden der Freiheit wird von 12 bis 8 dadurch vermindert. Die vier Beziehungen, die durch dieses Sinus-Gesetz weiter gegeben sind, vermindern die Anzahl von Graden der Freiheit, nicht von 8 unten zu 4, aber nur von 8 unten zu 5, da die vierte Einschränkung von den ersten drei ziemlich abhängig ist. So ist der Raum aller Gestalten von tetrahedra 5-dimensional.

Anwendungen

Numerische Analyse

In der numerischen Analyse werden komplizierte dreidimensionale Gestalten darin allgemein gebrochen, oder durch, ein polygonales Ineinandergreifen von unregelmäßigem tetrahedra im Prozess näher gekommen, die Gleichungen für die begrenzte Element-Analyse besonders in der numerischen Lösung teilweiser Differenzialgleichungen aufzustellen. Diese Methoden haben breite Anwendungen in praktischen Anwendungen in rechenbetonter flüssiger Dynamik, Aerodynamik, elektromagnetischen Feldern, Hoch- und Tiefbau, chemischer Technik, Marinearchitektur und Technik und verwandten Feldern.

Chemie

Die Tetraeder-Gestalt wird in der Natur in covalent Obligationen von Molekülen gesehen. Alle sp-hybridized Atome werden durch Atome umgeben, die an jeder Ecke eines Tetraeders liegen. Zum Beispiel in einem Methan-Molekül (CH) oder einem Ammonium-Ion (NH) umgeben vier Wasserstoffatome einen Hauptkohlenstoff oder Stickstoff-Atom mit der vierflächigen Symmetrie. Deshalb wird eine der Hauptzeitschriften in der organischen Chemie Tetraeder genannt. Siehe auch vierflächige molekulare Geometrie. Der Hauptwinkel zwischen irgendwelchen zwei Scheitelpunkten eines vollkommenen Tetraeders, ist oder etwa 109.47 °.

Wasser, HO, hat auch eine vierflächige Struktur, mit zwei Wasserstoffatomen und zwei einsamen Paaren von Elektronen um die Hauptsauerstoff-Atome. Seine vierflächige Symmetrie ist jedoch nicht vollkommen, weil die einsamen Paare mehr zurücktreiben als die einzelnen O-H Obligationen.

Vierergruppe-Phase-Diagramme in der Chemie werden grafisch als tetrahedra vertreten.

Jedoch werden Vierergruppe-Phase-Diagramme in der Nachrichtentechnik grafisch auf einem zweidimensionalen Flugzeug vertreten.

Elektrizität und Elektronik

Wenn sechs gleiche Widerstände zusammen verlötet werden, um ein Tetraeder zu bilden, dann ist der zwischen irgendwelchen zwei Scheitelpunkten gemessene Widerstand halb mehr als das eines Widerstands.

Da Silikon der allgemeinste Halbleiter ist, der in der Halbleiterelektronik verwendet ist, und Silikon eine Wertigkeit vier hat, ist die vierflächige Gestalt der vier chemischen Obligationen in Silikon ein starker Einfluss darauf, wie Kristalle der Silikonform, und was sich formt, sie nehmen an.

Spiele

Besonders in roleplaying ist dieser Festkörper bekannt, weil ein 4-seitiger stirbt, hat einer der allgemeineren polyedrischen Würfel, mit der Zahl das Erscheinen um den Boden oder auf dem Spitzenscheitelpunkt gerollt. Einem Würfel ähnliche Rätsel eines Rubiks, sind wie Pyraminx und Pyramorphix vierflächig.

Farbenraum

Tetrahedra werden in Farbenraumumwandlungsalgorithmen spezifisch für Fälle verwendet, in denen die Klarheitsachse diagonal den Farbenraum segmentiert (z.B. RGB, CMY).

Zeitgenössische Kunst

Der österreichische Künstler Martina Schettina hat ein Tetraeder mit Leuchtstofflampen geschaffen. Es wurde an der leichten Kunst biennale Österreich 2010 gezeigt.

Es wird als Album-Gestaltungsarbeit verwendet, die durch schwarze Flammen auf Dem Ende Aller Dinge umgeben ist, durch Mudvayne Zu kommen.

Populäre Kultur

Stanley Kubrick hat ursprünglich den Monolithen beabsichtigt in, ein Tetraeder, gemäß Marvin Minsky, einem kognitiven Wissenschaftler und Experten auf der künstlichen Intelligenz zu sein, der Kubrick den Hal 9000 Computer und andere Aspekte des Films beraten hat. Kubrick hat die Idee ausrangiert, das Tetraeder als ein Besucher zu verwenden, der gesehen hat, dass die Gesamtlänge davon nicht anerkannt hat, was es war und er nichts im Film gewollt hat, den regelmäßige Leute nicht verstanden haben.

Geologie

Die vierflächige Hypothese, die ursprünglich von William Lowthian Green veröffentlicht ist, um die Bildung der Erde zu erklären, war im Laufe des Anfangs des 20. Jahrhunderts populär.

Siehe auch

• Boerdijk-Coxeter Spirale
• Caltrop
• Demihypercube
• Disphenoid - ein Tetraeder mit der Spiegelsymmetrie
• Hügel-Tetraeder
• Tetraeder von Orthocentric
• Simplex
• Tetra Pak
• Vierflächiger Flugdrache
• Vierflächige Zahl
• Tetraeder, das sich verpacken lässt
• Dreieckiger dipyramid - gebaut durch das Verbinden zwei tetrahedra entlang einem Gesicht
• Tetraeder von Trirectangular

Links

• F.M. Jackson und
• Die gleichförmigen Polyeder
• Editable druckfähiges Netz eines Tetraeders mit der interaktiven 3D-Ansicht
• Tetraeder: Interaktives Polyeder-Modell
• Die Formel von Piero della Francesca für das Tetraeder-Volumen an MathPages
• Freie Papiermodelle eines Tetraeders und vieler anderer Polyeder
• Eine Erstaunliche Raumfüllung, Nichtregelmäßiges Tetraeder, das auch eine Beschreibung eines "rotierenden Rings von tetrahedra", auch bekannt als einen kaleidocycle einschließt.
• Tetraeder-Kernnetzanwendung einer vierflächigen Struktur, um elastisches Datennetz des teilweisen Ineinandergreifens zu schaffen
• Ausführliche genaue Formeln für den Trägheitstensor eines willkürlichen Tetraeders in Bezug auf seinen Scheitelpunkt koordinieren
• Der Trägheitstensor eines Tetraeders