In der Trigonometrie sind das Gesetz von Sinus (auch bekannt als das Sinus-Gesetz, die Sinus-Formel oder die Sinus-Regel) eine Gleichung, die die Längen der Seiten eines willkürlichen Dreiecks zu den Sinus seiner Winkel verbindet. Gemäß dem Gesetz,

:

wo a, b, und c die Längen der Seiten eines Dreiecks und der A, B sind, und C die entgegengesetzten Winkel sind (sieh die Zahl nach rechts). Manchmal wird das Gesetz mit dem Gegenstück in dieser Gleichung festgesetzt:

:

Das Gesetz von Sinus kann verwendet werden, um die restlichen Seiten eines Dreiecks zu schätzen, wenn zwei Winkel und eine Seite — eine als Triangulation bekannte Technik bekannt sind. Es kann auch verwendet werden, wenn zwei Seiten und einer der nichtbeiliegenden Winkel bekannt sind. In einigen solchen Fällen gibt die Formel zwei mögliche Werte für den beiliegenden Winkel, zu einem zweideutigen Fall führend.

Das Gesetz von Sinus ist eine von zwei trigonometrischen Gleichungen, die allgemein angewandt sind, um Längen und Winkel in einem allgemeinen Dreieck, der andere zu finden, das Gesetz von Kosinus seiend.

Beispiele

Der folgende ist Beispiele dessen, wie man ein Problem mit dem Gesetz von Sinus behebt:

Gegeben: Ergreifen Sie = 20, Seite c = 24 Partei, und biegen Sie C = 40° um

Mit dem Gesetz von Sinus schließen wir das

::

Oder ein anderes Beispiel dessen, wie man ein Problem mit dem Gesetz von Sinus behebt:

Wenn zwei Seiten des Dreiecks R gleich sind und die Länge der dritten Seite, des Akkords, als 100 Fuß gegeben wird und der Winkel C gegenüber dem Akkord in Graden, dann gegeben wird

:und::

Numerische Probleme

Wie das Gesetz von Kosinus, obwohl das Gesetz von Sinus mathematisch wahr ist, hat es Probleme für den numerischen Gebrauch. Viel Präzision kann verloren werden, wenn ein arcsine geschätzt wird, wenn der Sinus eines Winkels demjenigen nah ist.

Einige Anwendungen

• Das Sinus-Gesetz kann verwendet werden, um die Winkelsumme-Identität für den Sinus zu beweisen, wenn α und β jeder zwischen 0 und 90 Graden sind.

: Um das zu beweisen, machen Sie ein willkürliches Dreieck mit Seiten a, b, und c mit entsprechenden willkürlichen Winkeln A, B und C. Ziehen Sie eine Senkrechte zu c vom Winkel C. Das wird den Winkel C in zwei verschiedene Winkel, α und β spalten, die weniger als 90 Grade sind, wo wir beschließen, α zu haben, um auf derselben Seite wie A und β zu sein, auf derselben Seite wie B sein. Verwenden Sie die Sinus-Gesetzidentität, die Seite c und Seite a verbindet. Lösen Sie diese Gleichung für den Sinus von C. Bemerken Sie, dass die Senkrechte zwei richtige Winkeldreiecke macht, bemerken Sie auch dass Sünde (A) = weil (α), Sünde (B) = weil (β) und dass c = eine Sünde (β) + b Sünde (α). Nach dem Bilden dieser Ersetzungen sollten Sie Sünde (C) =sin (α + β) = Sünde (β) weil (α) + (b/a) Sünde (α) weil (α) haben. Wenden Sie jetzt die Sinus-Gesetzidentität an, die Seiten b und a verbindet und machen Sie die Ersetzungen bemerkt vorher. Wechseln Sie jetzt gegen diesen Ausdruck (b/a) in die ursprüngliche Gleichung für die Sünde aus (α + β), und Sie werden die Winkelsumme-Identität für α und β in Bezug auf den Sinus haben.

: Das einzige Ding, das im Beweis verwendet wurde, der nicht eine Definition war, war das Sinus-Gesetz. So ist das Sinus-Gesetz zur Winkelsumme-Identität gleichwertig, wenn die Winkelsumme zwischen 0 und 180 Graden ist, und wenn jeder individuelle Winkel zwischen 0 und 90 Graden ist.

• Das Sinus-Gesetz zusammen mit dem prosthaphaeresis und der Verschiebungsidentität kann verwendet werden, um das Gesetz von Tangenten und den Formeln von Mollweide zu beweisen (Dresden 2009, Flugzeug-Trigonometrie pg. 76-78).

Der zweideutige Fall

Wenn

man das Gesetz von Sinus verwendet, um Dreiecke zu lösen, dort besteht ein zweideutiger Fall, wo zwei getrennte Dreiecke gebaut werden können (d. h. es gibt zwei verschiedene mögliche Lösungen des Dreiecks).

In Anbetracht eines allgemeinen Dreieck-Abc würden die folgenden Bedingungen für den Fall erfüllt werden müssen, um zweideutig zu sein:

• Die einzige über das Dreieck bekannte Information ist der Winkel A und die Seiten a und b
• Der Winkel A ist akut (d. h., A

In Anbetracht aller obengenannten Propositionen sind wahr, der Winkel B kann akut oder stumpf sein; wenn er bedeutet, ist einer des folgenden wahr:

:

oder

:

Beziehung zum circumcircle

In der Identität

:

der allgemeine Wert der drei Bruchteile ist wirklich das Diameter des circumcircle des Dreiecks. Es kann gezeigt werden, dass diese Menge gleich

ist:

\frac {Alphabet} {2S} & {} = \frac {Alphabet} {2\sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}} \\[6pt]

& {} = \frac {2abc} {\\sqrt {(a^2+b^2+c^2) ^2-2 (a^4+b^4+c^4)}},

\end {richten} </Mathematik> {aus}

wo S das Gebiet des Dreiecks ist und s der Halbumfang ist

:

Die zweite Gleichheit ist oben im Wesentlichen die Formel des Reihers.

Kugelförmiger Fall

Im kugelförmigen Fall ist die Formel:

:

Hier sind α, β, und γ die Winkel am Zentrum des Bereichs, der durch die drei Kreisbogen des kugelförmigen Oberflächendreiecks a, b, und c beziehungsweise entgegengesetzt ist. A, B, und C sind die Oberflächenwinkel gegenüber ihren jeweiligen Kreisbogen.

: Siehe auch Kugelförmiges Gesetz von Kosinus und Halbseitenformel.

Hyperbelfall

In der Hyperbelgeometrie, wenn die Krümmung &minus;1 ist, wird das Gesetz von Sinus

:

Im speziellen Fall, wenn B ein richtiger Winkel ist, bekommt man

:

der das Analogon der Formel in der Euklidischen Geometrie ist, die den Sinus eines Winkels als die durch die Hypotenuse geteilte Gegenseite ausdrückt.

:See auch Hyperbeldreieck.

Vereinigte Formulierung

Definieren Sie eine verallgemeinerte Sinusfunktion, auch von einem echten Parameter abhängend:

:

Das Gesetz von Sinus in der unveränderlichen Krümmung liest als

:Indem

man vertritt, und erhält man beziehungsweise den euclidian, die kugelförmigen und hyperbolischen Fälle des Gesetzes von Sinus, die oben beschrieben sind.

Lassen Sie zeigen den Kreisumfang eines Kreises des Radius in einem Raum der unveränderlichen Krümmung an. Dann. Deshalb kann das Gesetz von Sinus auch als ausgedrückt werden:

:

Diese Formulierung wurde von János Bolyai entdeckt.

Geschichte

Gemäß Ubiratàn D'Ambrosio und Selin Helaine wurde das kugelförmige Gesetz von Sinus im 10. Jahrhundert entdeckt. Es wird al-Khujandi, Abul Wafa Bozjani, Al-Lärm von Nasir al-Tusi und Abu Nasr Mansur verschiedenartig zugeschrieben.

Al-Jayyani Das Buch von unbekannten Kreisbogen eines Bereichs hat im 11. Jahrhundert das allgemeine Gesetz von Sinus eingeführt. Das Flugzeug-Gesetz von Sinus wurde später im 13. Jahrhundert durch Nasīr al-Dīn al-Tūsī beschrieben. In seinem Auf der Sektor-Abbildung hat er das Gesetz von Sinus für das Flugzeug und die kugelförmigen Dreiecke festgesetzt, und hat Beweise für dieses Gesetz zur Verfügung gestellt.

Gemäß Glen Van Brummelen, "Ist das Gesetz von Sinus wirklich das Fundament von Regiomontanus für seine Lösungen rechtwinkliger Dreiecke im Buch IV und diese Lösungen, sind der Reihe nach die Basen für seine Lösungen allgemeiner Dreiecke." Regiomontanus war ein deutscher Mathematiker des 15. Jahrhunderts.

Abstammung

Machen Sie ein Dreieck mit den Seiten a, b, und c, und biegt A, B, und C um. Ziehen Sie die Höhe vom Scheitelpunkt C beiseite über c; definitionsgemäß teilt es das ursprüngliche Dreieck in zwei richtige Winkeldreiecke. Kennzeichnen Sie die Länge dieser Linie h.

Es kann dass bemerkt werden:

:

Deshalb

:und:

Mit der Linie dasselbe machend, die zwischen Scheitelpunkt A und Seite ein Wille-Ertrag gezogen ist:

:

Alternative Abstammung

Bemerken Sie, dass das Gebiet des Dreiecks als einige von geschrieben werden kann

:

Das Multiplizieren von diesen dadurch gibt

:

Ein Gesetz von Sinus für tetrahedra

Eine Folgeerscheinung des Gesetzes von Sinus ist wie oben angegeben, dass in einem Tetraeder mit Scheitelpunkten O, A, B, C, wir haben

:

\begin {richten }\aus

& {} \quad \sin\angle OAB\cdot\sin\angle OBC\cdot\sin\angle OCA \\

& = \sin\angle OAC\cdot\sin\angle OCB\cdot\sin\angle OBA.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Man kann die zwei Seiten dieser Identität als entsprechend im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn Orientierungen der Oberfläche ansehen.

Das Stellen von einigen der vier Scheitelpunkte in der Rolle von O gibt vier solche Identität nach, aber gewissermaßen höchstens sind drei von ihnen unabhängig: Wenn "im Uhrzeigersinn" Seiten von drei von ihnen multipliziert werden und das Produkt abgeleitet wird, um dem Produkt "gegen den Uhrzeigersinn" Seiten derselben drei Identität gleich zu sein, und dann gemeinsame Faktoren von beiden Seiten annulliert werden, ist das Ergebnis die vierte Identität. Ein Grund, sich für diese "Unabhängigkeits"-Beziehung zu interessieren, ist das: Es ist weit bekannt, dass drei Winkel die Winkel von einem Dreieck sind, wenn, und nur wenn ihre Summe ein Halbkreis ist. Welche Bedingung auf 12 Winkeln ist notwendig und für sie genügend, um die 12 Winkel von einem Tetraeder zu sein? Klar muss die Summe der Winkel jeder Seite des Tetraeders ein Halbkreis sein. Da es vier solche Dreiecke gibt, gibt es vier solche Einschränkungen auf Summen von Winkeln, und die Anzahl von Graden der Freiheit wird von 12 bis 8 dadurch vermindert. Die vier Beziehungen, die durch dieses Sinus-Gesetz weiter gegeben sind, vermindern die Anzahl von Graden der Freiheit, nicht von 8 unten zu 4, aber nur von 8 unten zu 5, da die vierte Einschränkung von den ersten drei ziemlich abhängig ist. So ist der Raum aller Gestalten von tetrahedra 5-dimensional.

Siehe auch

• Gesetz von Kosinus
• Gesetz von Tangenten
• Die Formel von Mollweide - um Lösungen von Dreiecken zu überprüfen
• Halbseitenformel - um kugelförmige Dreiecke zu lösen
• Das Vermessen
• Gersonides

Links

• Das Gesetz von Sinus an der Knoten-Kürzung
• Grad der Krümmung
• Die Entdeckung des Sinus von 1 Grad