In der Mathematik sind kugelförmige Obertöne der winkelige Teil von einer Reihe von Lösungen der Gleichung von Laplace. Vertreten in einem System von kugelförmigen Koordinaten sind die kugelförmigen Obertöne von Laplace ein spezifischer Satz von kugelförmigen Obertönen, die ein orthogonales System bilden, das zuerst von Pierre Simon de Laplace 1782 eingeführt ist. Kugelförmige Obertöne sind in vielen theoretischen und praktischen Anwendungen, besonders in der Berechnung von Atomaugenhöhlenelektronkonfigurationen, Darstellung von Schwerefeldern, geoids, und den magnetischen Feldern von planetarischen Körpern und Sternen und Charakterisierung der kosmischen Mikrowellenhintergrundradiation wichtig. In der 3D-Computergrafik spielen kugelförmige Obertöne eine spezielle Rolle in einem großen Angebot an Themen einschließlich der indirekten Beleuchtung (umgebende Verstopfung, globale Beleuchtung, hat Strahlen-Übertragung, usw. vorgeschätzt), und die Anerkennung von 3D-Gestalten.

Geschichte

Kugelförmige Obertöne wurden zuerst im Zusammenhang mit dem Newtonischen Potenzial des Newtonschen Gesetzes der universalen Schwerkraft in drei Dimensionen untersucht. 1782 hatte Pierre-Simon de Laplace, in seiner Mécanique Céleste, beschlossen, dass das Gravitationspotenzial an einem Punkt x vereinigt zu einer Reihe von Punkt-Massen, die M an Punkten x ausfindig gemacht hat, durch gegeben wurde

:

Jeder Begriff in der obengenannten Summierung ist ein individuelles Newtonisches Potenzial für eine Punkt-Masse. Gerade vor dieser Zeit hatte Adrien-Marie Legendre die Vergrößerung des Newtonischen Potenzials in Mächten von r = |x und r = |x untersucht. Er hat dass wenn r  r dann entdeckt

:

wo γ der Winkel zwischen den Vektoren x und x ist. Die Funktionen P sind die Polynome von Legendre, und sie sind ein spezieller Fall von kugelförmigen Obertönen. Nachher, in seinen 1782 memoire, hat Laplace diese Koeffizienten mit kugelförmigen Koordinaten untersucht, um den Winkel γ zwischen x und x. zu vertreten (Sieh Anwendungen von Polynomen von Legendre in der Physik für eine ausführlichere Analyse.)

1867 hat William Thomson (Herr Kelvin) und Peter Guthrie Tait die festen kugelförmigen Obertöne in ihrer Abhandlung auf der Natürlichen Philosophie eingeführt, und hat auch zuerst den Namen "kugelförmiger Obertöne" für diese Funktionen eingeführt. Die festen Obertöne waren homogene Lösungen der Gleichung von Laplace

:Indem

sie die Gleichung von Laplace in kugelförmigen Koordinaten untersucht haben, haben Thomson und Tait die kugelförmigen Obertöne von Laplace wieder erlangt. Der Begriff "die Koeffizient-von Laplace" wurde von William Whewell verwendet, um das besondere System von entlang diesen Linien eingeführten Lösungen zu beschreiben, wohingegen andere diese Benennung für die kugelförmigen Zonenobertöne vorbestellt haben, die von Laplace und Legendre richtig eingeführt worden waren.

Die Entwicklung des 19. Jahrhunderts der Reihe von Fourier hat möglich die Lösung eines großen Angebotes an physischen Problemen in rechteckigen Gebieten, wie die Lösung der Hitzegleichung und Wellengleichung gemacht. Das konnte durch die Vergrößerung von Funktionen in der Reihe von trigonometrischen Funktionen erreicht werden. Wohingegen die trigonometrischen Funktionen in einer Reihe von Fourier die grundsätzlichen Weisen des Vibrierens in einer Schnur vertreten, die kugelförmigen Obertöne vertreten die grundsätzlichen Weisen des Vibrierens eines Bereichs auf die ziemlich gleiche Weise. Viele Aspekte der Theorie der Reihe von Fourier konnten durch die Einnahme von Vergrößerungen in kugelförmigen Obertönen aber nicht trigonometrischen Funktionen verallgemeinert werden. Das war ein Segen für Probleme, die kugelförmige Symmetrie, wie diejenigen der himmlischen Mechanik ursprünglich besitzen, die von Laplace und Legendre studiert ist.

Das Vorherrschen von kugelförmigen Obertönen bereits in der Physik hat den Weg für ihre spätere Wichtigkeit in der Geburt des 20. Jahrhunderts der Quant-Mechanik bereitet. Die kugelförmigen Obertöne sind eigenfunctions des Quadrats des winkeligen Augenhöhlenschwung-Maschinenbedieners

:

und deshalb vertreten sie die verschiedenen gequantelten Konfigurationen von atomarem orbitals.

Die kugelförmigen Obertöne von Laplace

Die Gleichung von Laplace beeindruckt, dass die Abschweifung des Anstiegs eines Skalarfeldes f Null ist. In kugelförmigen Koordinaten ist das:

:

+ {1 \over r^2\sin\theta} {\\ist teilweiser \over \partial \theta }\\(\sin\theta {\\teilweiser f \over \partial \theta }\\Recht) abgereist

+ {1 \over r^2\sin^2\theta} {\\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0. </math>

Denken Sie das Problem, Lösungen des Form-ƒ (r, θ,φ) = R(r) Y (θ,φ) zu finden. Durch die Trennung von Variablen resultieren zwei Differenzialgleichungen durch das Auferlegen der Gleichung von Laplace:

:

Die zweite Gleichung kann unter der Annahme vereinfacht werden, dass Y die Form Y (θ,φ) = Θ (θ)Φ (φ) hat. Die Verwendung der Trennung von Variablen wieder zur zweiten Gleichung gibt dem Paar von Differenzialgleichungen nach

::

für eine Zahl M. A priori ist M eine komplizierte Konstante, aber weil Φ eine periodische Funktion sein muss, deren sich Periode gleichmäßig 2π teilt, ist M notwendigerweise eine ganze Zahl, und Φ ist eine geradlinige Kombination des Komplexes exponentials e. Die Lösungsfunktion Y (θ,φ) ist an den Polen des Bereichs, wo θ = 0, π regelmäßig. Das Auferlegen dieser Regelmäßigkeit in der Lösung Θ der zweiten Gleichung an den Grenzpunkten des Gebiets ist ein Sturm-Liouville Problem, das den Parameter λ zwingt, der Form λ =  ( +1) für eine natürliche Zahl mit   |m zu sein; das wird auch unten in Bezug auf den winkeligen Augenhöhlenschwung erklärt. Außerdem eine Änderung von Variablen t = gestaltet cosθ diese Gleichung in die Gleichung von Legendre um, deren Lösung ein Vielfache des verbundenen Polynoms von Legendre ist. Schließlich hat die Gleichung für R Lösungen der Form; das Verlangen der Lösung, überall in R regelmäßig zu sein, zwingt B = 0.

Hier, wie man annahm, hatte die Lösung die spezielle Form Y (θ,φ) = Θ (θ)Φ (φ). Für einen gegebenen Wert von  gibt es 2  + 1 unabhängige Lösungen dieser Form, ein für jede ganze Zahl M mit &minus;  M  . Diese winkeligen Lösungen sind ein Produkt von trigonometrischen Funktionen, hier vertreten als ein Komplex Exponential-, und haben Polynome von Legendre vereinigt:

:

die erfüllen

:

Hier wird eine kugelförmige harmonische Funktion des Grads  und Ordnung M genannt, ist ein verbundenes Polynom von Legendre, N ist eine Normalisierung unveränderlich, und θ, und φ vertreten colatitude und Länge beziehungsweise. Insbesondere der colatitude θ, oder polarer Winkel, Reihen von 0 am Nordpol zu π am Südpol, den Wert von π/2 am Äquator und die Länge φ, oder Azimut annehmend, kann alle Werte mit 0  φ annehmen

ist eine geradlinige Kombination dessen. Tatsächlich, für jede solche Lösung, rY (θ,φ) ist der Ausdruck in kugelförmigen Koordinaten eines homogenen Polynoms, das (sieh unten) harmonisch ist, und so das Aufzählen von Dimensionen zeigt, dass es 2  + 1 linear unabhängiger solche Polynome gibt.

Die allgemeine Lösung der Gleichung von Laplace in einem am Ursprung in den Mittelpunkt gestellten Ball ist eine geradlinige Kombination der kugelförmigen harmonischen Funktionen, die mit dem passenden Einteilungsfaktor r, multipliziert sind

:

wo Konstanten sind und die Faktoren als feste Obertöne bekannt sind. Solch eine Vergrößerung ist im Ball gültig

:

Winkeliger Augenhöhlenschwung

In der Quant-Mechanik werden die kugelförmigen Obertöne von Laplace in Bezug auf den winkeligen Augenhöhlenschwung verstanden

:

Herkömmlich in der Quant-Mechanik zu sein; es ist günstig, in Einheiten in der zu arbeiten. Die kugelförmigen Obertöne sind eigenfunctions des Quadrats des winkeligen Augenhöhlenschwungs

:

\mathbf {L} ^2 &=-r^2\nabla^2 + \left (r\frac {\\teilweise} {\\teilweise r\+1\right) r\frac {\\teilweise} {\\teilweiser r }\\\

&= - {1 \over \sin\theta} {\\teilweiser \over \partial \theta }\\sin\theta {\\teilweiser \over \partial \theta} - {1 \over \sin^2\theta} {\\Partial^2 \over \partial \varphi^2}.

\end {richten }\aus</Mathematik>

Die kugelförmigen Obertöne von Laplace sind das Gelenk eigenfunctions vom Quadrat des winkeligen Augenhöhlenschwungs und dem Generator von Folgen über die scheitelwinklige Achse:

:

L_z &=-i\left (x\frac {\\teilweise} {\\teilweise y\-y\frac {\\teilweise} {\\teilweiser x }\\Recht) \\

&=-i \frac {\\teilweise} {\\partial\varphi}.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Diese Maschinenbediener pendeln, und werden selbst adjungierte Maschinenbediener auf dem Raum von Hilbert des Funktions-ƒ-Quadrat-Integrable in Bezug auf die Normalverteilung auf R dicht definiert:

:

Außerdem ist L ein positiver Maschinenbediener.

Wenn Y ein Gelenk eigenfunction von L und L, dann definitionsgemäß ist

:

\mathbf {L} ^2Y &= \lambda Y \\

L_zY &= mein

\end {richten }\aus</Mathematik>

für einige reelle Zahlen M und λ. Hier muss M tatsächlich eine ganze Zahl sein, weil Y in der Koordinate φ mit der Periode eine Zahl periodisch sein muss, die sich gleichmäßig 2π teilt. Außerdem, seitdem

:

und jeder von L, L, sind L, hieraus folgt dass λ  M selbst adjungiert.

Zeigen Sie dieses Gelenk eigenspace durch E an, und definieren Sie die Aufhebung und das Senken von Maschinenbedienern durch

:\begin {richten }\aus

L _ + &= L_x + iL_y \\

l_-&= L_x - iL_y

\end {richten }\aus</Mathematik>

Dann pendeln L und L mit L, und die Lüge-Algebra, die durch L, L, L erzeugt ist, ist die spezielle geradlinige Lüge-Algebra, mit Umwandlungsbeziehungen

:

So (ist es ein "erhebender Maschinenbediener"), und (es ist ein "sinkender Maschinenbediener"). Insbesondere muss Null für den genug großen k sein, weil die Ungleichheit λ  M in jedem des nichttrivialen Gelenks eigenspaces halten muss. Lassen Sie Y  E ein Nichtnullgelenk eigenfunction sein, und k kleinste solche ganze Zahl dass sein

zu lassen:

Dann, seitdem

:

hieraus folgt dass

:

So λ =  ( +1) für die positive ganze Zahl.

Vereinbarung

Orthogonality und Normalisierung

Mehrere verschiedene Normalisierungen sind in der üblichen Anwendung für Laplace kugelförmige harmonische Funktionen. Überall in der Abteilung verwenden wir die Standardtagung dass (sieh hat Polynome von Legendre vereinigt)

:

der die natürliche durch die Formel von Rodrigues gegebene Normalisierung ist.

In der Physik und Seismologie, Laplace kugelförmige Obertöne werden allgemein als definiert

:

die orthonormaler sind

:

wo δ = 1, δ = 0 wenn ein  b, (sieh Delta von Kronecker), und dΩ = sinθ dφ dθ. Diese Normalisierung wird in der Quant-Mechanik verwendet, weil es sicherstellt, dass Wahrscheinlichkeit, d. h. nichtnegativen |m normalisiert wird. Wie man sagt, sind die Obertöne mit m> 0 des Kosinus-Typs, und diejenigen mit der M Diese Funktionen haben dieselben Normalisierungseigenschaften wie die komplizierten oben. Sieh hier für eine Liste von echten kugelförmigen Obertönen bis zu und einschließlich. Bemerken Sie jedoch, dass die verzeichneten Funktionen Phase-Faktor von Condon-Shortley nicht verwenden und sich durch die Phase (&minus;1) von der in diesem Artikel gegebenen Phase unterscheiden.

Kugelförmige Obertöne-Vergrößerung

Die Laplace kugelförmigen Obertöne bilden einen ganzen Satz von orthonormalen Funktionen und bilden so eine orthonormale Basis des Raums von Hilbert von Quadrat-Integrable-Funktionen. Auf dem Einheitsbereich kann jede Quadrat-Integrable-Funktion so als eine geradlinige Kombination von diesen ausgebreitet werden:

:

Diese Vergrößerung hält im Sinne der Mittelquadratkonvergenz - Konvergenz in L des Bereichs - der das sagen

soll:

Die Ausdehnungskoeffizienten sind die Analoga von Koeffizienten von Fourier, und können durch das Multiplizieren der obengenannten Gleichung durch den einer kugelförmigen Harmonischen verbundenen Komplex, die Integrierung über den Raumwinkel und das Verwenden des obengenannten orthogonality Beziehungen erhalten werden. Das wird streng durch die grundlegende Raumtheorie von Hilbert gerechtfertigt. Für den Fall von orthonormalized Obertönen gibt das:

:

Wenn der mitwirkende Zerfall in  genug schnell - zum Beispiel exponential - dann die Reihe auch gleichförmig zum ƒ zusammenläuft.

Ein echter Quadrat-Integrable-Funktions-ƒ kann in Bezug auf die echten Obertöne Y oben als eine Summe ausgebreitet werden

:

Die Konvergenz der Reihe hält wieder in demselben Sinn.

Spektrum-Analyse

Macht-Spektrum in der Signalverarbeitung

Die Gesamtmacht eines Funktions-ƒ wird in der Signalverarbeitungsliteratur als das Integral der Funktion definiert, die quadratisch gemacht, durch das Gebiet seines Gebiets geteilt ist. Mit den orthonormality Eigenschaften der echten Einheitsmacht kugelförmige harmonische Funktionen ist es aufrichtig, um nachzuprüfen, dass die Gesamtmacht einer auf dem Einheitsbereich definierten Funktion mit seinen geisterhaften Koeffizienten durch eine Generalisation des Lehrsatzes von Parseval verbunden ist:

:wo:

wird als das winkelige Macht-Spektrum definiert. Auf eine ähnliche Weise kann man die Quer-Macht von zwei Funktionen als definieren

:wo:

wird als das Quer-Macht-Spektrum definiert. Wenn der Funktions-ƒ und g eine bösartige Null haben (d. h. der geisterhafte mitwirkende ƒ und g sind Null), dann vertreten S () und S () die Beiträge zur Abweichung der Funktion und Kovarianz für den Grad  beziehungsweise. Es ist üblich, dass dem (quer-)-Macht-Spektrum durch ein Macht-Gesetz der Form gut näher gekommen wird

:

Wenn β = 0, das Spektrum "weiß" ist, weil jeder Grad gleiche Macht besitzt. Wenn β

Eigenschaften von Differentiability

Man kann auch die differentiability Eigenschaften des ursprünglichen Funktions-ƒ in Bezug auf den asymptotics von S () verstehen. Insbesondere wenn S () schneller verfällt als vernünftige Funktion von  als   , dann ist ƒ ungeheuer differentiable. Wenn, außerdem, S () Zerfall exponential, dann ist ƒ analytisch auf dem Bereich wirklich echt.

Die allgemeine Technik soll die Theorie von Räumen von Sobolev verwenden. Behauptungen, die das Wachstum des S () zu differentiability verbinden, sind dann analogen Ergebnissen auf dem Wachstum der Koeffizienten der Reihe von Fourier ähnlich. Spezifisch, wenn

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dann ist ƒ im Raum von Sobolev H (S). Insbesondere der Sobolev, der Lehrsatz einbettet, deutet an, dass ƒ ungeheuer differentiable vorausgesetzt, dass ist

:

für den ganzen s.

Algebraische Eigenschaften

Hinzufügungslehrsatz

Ein mathematisches Ergebnis vom beträchtlichen Interesse und Gebrauch wird den Hinzufügungslehrsatz nach kugelförmigen Obertönen genannt. Das ist eine Generalisation der trigonometrischen Identität

:

in dem die Rolle der trigonometrischen Funktionen, die auf der rechten Seite erscheinen, durch die kugelförmigen Obertöne gespielt wird und diese der linken Seite durch die Polynome von Legendre gespielt wird.

Denken Sie zwei Einheitsvektoren x und y, kugelförmige Koordinaten (θ,φ) habend, und (&prime;,&prime), beziehungsweise. Der Hinzufügungslehrsatz setzt fest

wo P das Polynom von Legendre des Grads  ist. Dieser Ausdruck ist sowohl für echte als auch für komplizierte Obertöne gültig. Das Ergebnis kann analytisch, mit den Eigenschaften des Kerns von Poisson im Einheitsball, oder geometrisch durch die Verwendung einer Folge auf den Vektoren y bewiesen werden, so dass es entlang der Z-Achse, und dann direkt dem Rechnen der Rechte hinweist.

Insbesondere wenn x = y, das den Lehrsatz von Unsöld gibt

:

der die Identität cosθ + sinθ = 1 zu zwei Dimensionen verallgemeinert.

In der Vergrößerung , die linke Seite P (x · y) ist ein unveränderliches Vielfache des Grads  kugelförmige Zonenharmonische. Von dieser Perspektive hat man die folgende Generalisation zu höheren Dimensionen. Lassen Sie Y eine willkürliche orthonormale Basis des Raums H des Grads  kugelförmige Obertöne auf dem N-Bereich sein. Dann, der Grad  Zonenharmonische entsprechend dem Einheitsvektor x, zersetzt sich als

Außerdem wird die Zonenharmonische als ein unveränderliches Vielfache des passenden Polynoms von Gegenbauer gegeben:

Das Kombinieren und gibt in der Dimension n = 2, wenn x und y in kugelförmigen Koordinaten vertreten werden. Schließlich an x = bewertend, gibt y die funktionelle Identität

:

wo ω das Volumen (n&minus;1) - Bereich ist.

Clebsch-Gordan Koeffizienten

Die Clebsch-Gordan Koeffizienten sind die Koeffizienten, die in der Vergrößerung des Produktes von zwei kugelförmigen Obertönen in Bezug auf kugelförmige Obertöne selbst erscheinen. Eine Vielfalt von Techniken ist verfügbar, um im Wesentlichen dieselbe Berechnung, einschließlich Wigner 3-jm Symbol, die Koeffizienten von Racah und die Schieferdecker-Integrale zu tun. Abstrakt drücken die Clebsch-Gordan Koeffizienten das Tensor-Produkt von zwei nicht zu vereinfachenden Darstellungen der Folge-Gruppe als eine Summe von nicht zu vereinfachenden Darstellungen aus: Angemessen normalisiert sind die Koeffizienten dann die Vielfältigkeit.

Gleichheit

Die kugelförmigen Obertöne haben Gleichheit im Sinn gut definiert, dass sie entweder sogar oder seltsam in Bezug auf das Nachdenken über den Ursprung sind. Das Nachdenken über den Ursprung wird vom Maschinenbediener vertreten. Für die kugelförmigen Winkel entspricht das dem Ersatz. Die verbundenen Polynome von Legendre geben (&minus;1), und von der Exponentialfunktion haben wir (&minus;1), zusammen für die kugelförmigen Obertöne eine Gleichheit (-1) gebend:

::

Das bleibt wahr für kugelförmige Obertöne in höheren Dimensionen: Verwendung eines Punkt-Nachdenkens zu einer kugelförmigen Harmonischen des Grads  ändert das Zeichen durch einen Faktor (&minus;1).

Vergegenwärtigung der kugelförmigen Obertöne

Die Laplace kugelförmigen Obertöne können durch das Betrachten ihrer "Knotenlinien", d. h. des Satzes von Punkten auf dem Bereich wo, oder wechselweise wo vergegenwärtigt werden. Knotenlinien dessen werden aus Kreisen zusammengesetzt: Einige sind Breiten, und andere sind Längen. Man kann die Zahl von Knotenlinien jedes Typs bestimmen, indem man die Zahl von Nullen in den Breiten- und Längsrichtungen unabhängig aufzählt. Für die Breitenrichtung, die echten und imaginären Bestandteile der verbundenen Polynome von Legendre besitzt jeder &minus;|m Nullen, wohingegen für die Längsrichtung, die trigonometrische Sünde, und weil Funktionen 2|m Nullen besitzen.

Wenn die kugelförmige harmonische Ordnung M ist Null (ober verlassen in der Zahl), die kugelförmigen harmonischen Funktionen, von Länge nicht abhängt, und zonenartig genannt wird. Solche kugelförmigen Obertöne sind ein spezieller Fall von kugelförmigen Zonenfunktionen. Wenn  = |m (direkt in der Zahl), es keine Nulldurchgänge in der Breite gibt, und die Funktionen branchenspezifisch genannt werden. Für die anderen Fälle karieren die Funktionen den Bereich, und sie werden tesseral genannt.

Allgemeinere kugelförmige Obertöne des Grads  sind nicht notwendigerweise diejenigen der Basis von Laplace, und ihre Knotensätze können von einer ziemlich allgemeinen Art sein.

Liste von kugelförmigen Obertönen

Analytische Ausdrücke für erste paar orthonormalized Laplace kugelförmige Obertöne, die die Phase-Tagung von Condon-Shortley verwenden:

:::::::::

Höhere Dimensionen

Die klassischen kugelförmigen Obertöne werden als Funktionen auf dem Einheitsbereich S innerhalb des dreidimensionalen Euklidischen Raums definiert. Kugelförmige Obertöne können zum höheren dimensionalen Euklidischen Raum R wie folgt verallgemeinert werden. Lassen Sie P den Raum von homogenen Polynomen des Grads  in n Variablen anzeigen. D. h. ein Polynom P ist in P vorausgesetzt, dass

:

Lassen Sie A den Subraum von P anzeigen, der aus allen harmonischen Polynomen besteht; das sind die festen kugelförmigen Obertöne. Lassen Sie H den Raum von Funktionen auf dem Einheitsbereich anzeigen

:

erhalten durch die Beschränkung bei A.

Die folgenden Eigenschaften halten:

• Die Räume H sind im Satz von dauernden Funktionen auf S in Bezug auf die gleichförmige Topologie durch den Stein-Weierstrass Lehrsatz dicht. Infolgedessen sind sie auch im Raum L (S) Quadrat-Integrable-Funktionen auf dem Bereich dicht.
• Für den ganzen ƒ  H hat man

::

:where &Delta; ist der Laplace-Beltrami Maschinenbediener auf S. Dieser Maschinenbediener ist das Analogon des winkeligen Teils von Laplacian in drei Dimensionen; zum Witz zersetzt sich Laplacian in n Dimensionen als

::

• Es folgt Schürt Lehrsatz und das vorhergehende Eigentum, dass die Räume H in Bezug auf das Skalarprodukt von L (S) orthogonal sind. Das heißt, soll sagen

::

:for &fnof; &isin; H und g &isin; H für k  .

• Umgekehrt sind die Räume H genau der eigenspaces von Δ. Insbesondere eine Anwendung des geisterhaften Lehrsatzes zum Potenzial von Riesz gibt einen anderen Beweis, dass die Räume H orthogonal und abgeschlossen in L (S) pairwise sind.
• Jedes homogene Polynom P  P kann in der Form einzigartig geschrieben werden

::

|x |^\\Elle P_0 & \ell \rm {\\sogar }\\\

|x |^ {\\Elle 1\P_1 (x) & \ell\rm {\\sonderbarer }\

\end {Fälle }\

</Mathematik>

:where P &isin; A. In der besonderen Einzelheit,

::

Eine orthogonale Basis von kugelförmigen Obertönen in höheren Dimensionen kann induktiv durch die Methode der Trennung von Variablen, durch das Beheben des Sturm-Liouville Problems für kugelförmigen Laplacian gebaut werden

:

wo φ die axiale Koordinate in einem kugelförmigen Koordinatensystem auf S ist.

Verbindung mit der Darstellungstheorie

Der Raum H kugelförmiger Obertöne des Grads  ist eine Darstellung der Symmetrie-Gruppe von Folgen um einen Punkt (SO (3)) und sein doppelter Deckel SU (2). Tatsächlich folgen Folgen dem zweidimensionalen Bereich, und so auch auf H durch die Funktionszusammensetzung

:

für ψ eine kugelförmige Harmonische und ρ eine Folge. Die Darstellung H ist eine nicht zu vereinfachende Darstellung SO (3).

Die Elemente von H entstehen als die Beschränkungen zum Bereich von Elementen von A: Harmonische Polynome, die des Grads  auf dem dreidimensionalen Euklidischen Raum R homogen sind. Durch die Polarisation von ψ  A gibt es Koeffizienten, die auf den Indizes einzigartig symmetrisch sind, die durch die Voraussetzung bestimmt sind

:

Die Bedingung, dass ψ, harmonisch sein, zur Behauptung gleichwertig ist, dass der Tensor auf jedem Paar von Indizes freie Spur sein muss. So als eine nicht zu vereinfachende Darstellung SO (3) ist H zum Raum des traceless symmetrischen Tensor des Grads  isomorph.

Mehr allgemein halten die analogen Behauptungen in höheren Dimensionen: Der Raum H kugelförmiger Obertöne auf dem N-Bereich ist die nicht zu vereinfachende Darstellung SO (n+1) entsprechend dem traceless symmetrischen  - Tensor. Jedoch, wohingegen jede nicht zu vereinfachende Tensor-Darstellung SO (2) und SO (3) dieser Art ist, haben die speziellen orthogonalen Gruppen in höheren Dimensionen zusätzliche nicht zu vereinfachende Darstellungen, die auf diese Weise nicht entstehen.

Die speziellen orthogonalen Gruppen haben zusätzliche Drehungsdarstellungen, die nicht Tensor-Darstellungen sind, und normalerweise nicht kugelförmige Obertöne sind. Eine Ausnahme ist die Drehungsdarstellung SO (3): Genau genommen sind das Darstellungen des doppelten Deckels SU (2) SO (3). Der Reihe nach wird SU (2) mit der Gruppe der Einheit quaternions identifiziert, und fällt so mit dem 3-Bereiche-zusammen. Die Räume von kugelförmigen Obertönen auf dem 3-Bereiche-sind bestimmte Drehungsdarstellungen SO (3), in Bezug auf die Handlung durch die quaternionic Multiplikation.

Generalisationen

Die winkeltreuen symmetries des zwei-Bereiche-werden von der Gruppe von Transformationen von Möbius PSL (2, C) beschrieben. In Bezug auf diese Gruppe ist der Bereich zum üblichen Bereich von Riemann gleichwertig. Die Gruppe PSL (2, C) ist zur (richtigen) Gruppe von Lorentz und seiner Handlung auf dem zwei-Bereiche-isomorph, stimmt mit der Handlung der Gruppe von Lorentz auf dem himmlischen Bereich im Raum von Minkowski zu. Das Analogon der kugelförmigen Obertöne für die Gruppe von Lorentz wird durch die hypergeometrische Reihe gegeben; außerdem können die kugelförmigen Obertöne in Bezug auf die hypergeometrische Reihe, als SO (3) = wiederausgedrückt werden PSU (2) ist eine Untergruppe von PSL (2, C).

Mehr allgemein kann hypergeometrische Reihe verallgemeinert werden, um den symmetries jedes symmetrischen Raums zu beschreiben; insbesondere hypergeometrische Reihe kann für irgendwelchen entwickelt werden Liegen Gruppe.

Siehe auch

• Drehungsbelastete kugelförmige Obertöne
• Sturm-Liouville Theorie
• Vektor kugelförmige Obertöne
• Tisch von kugelförmigen Obertönen

Referenzen

Zitierte Verweisungen

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Allgemeine Verweisungen

• E.W. Hobson, Die Theorie von Kugelförmigen und Ellipsenförmigen Obertönen, (1955) Bar Chelsea. Co. internationale Standardbuchnummer 978-0-8284-0104-3.
• C. Müller, Kugelförmige Obertöne, (1966) Springer, Vortrag-Zeichen in der Mathematik, Vol. 17, internationale Standardbuchnummer 978-3-540-03600-5.
• E. U. Condon und G. H. Shortley, Die Theorie von Atomspektren, (1970) Cambridge an der Universitätspresse, internationale Standardbuchnummer 0-521-09209-4, Sehen Kapitel 3.
• J.D. Jackson, Klassische Elektrodynamik, internationale Standardbuchnummer 0 471 30932 X
• Albert Messiah, Quant-Mechanik, Band II (2000) Dover. Internationale Standardbuchnummer 0-486-40924-4.
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, Quant-Theorie von V. K. Khersonskii des Winkeligen Schwungs, (1988) World Scientific Publishing Co., Singapur, internationale Standardbuchnummer 9971-5-0107-4